1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第8 8讲讲 曲线与方程曲线与方程 第八章 平面解析几何 考纲解读 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，能用解析几何的 基本思想和坐标法研究几何问题(重点) 2能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，并掌握求曲线方 程的两种常见题型：根据曲线确定方程，可用待定系数法；求轨迹方 程，可用直接法、定义法、代入法(相关点法)、参数法(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个命题热点预测 2021 年高考将会有以下两种命题方式：用定义法求
2、曲线的方程；由已 知条件直接求曲线的方程题型为解答题中的一问，试题难度中等偏上考 查知识点多，能力要求较高，尤其是运算变形能力解题时注意函数与方 程思想及等价转化思想的应用. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 求曲线方程的基本步骤 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 1概念辨析 (1)f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件( ) (2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线( ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y2.( ) (4)方程 y x与 xy2表示同一曲线( ) 2小题热身 (1)已知点 P
3、(x，y)满足方程 x2y22x10，则点 P(x，y)的轨迹是 ( ) A圆 B一条直线 C两条直线 D直线的交点 解析 点 P(x，y)满足方程 x2y22x10，即(x1)2y2，可得 x 1 y，即 xy10 或 xy10，故点 P(x，y)的轨迹是两条直线 答案答案 解析解析 (2)在ABC 中，A(4,0)，B(4,0)，ABC 的周长是 18，则顶点 C 的轨 迹方程是( ) A. x2 25 y2 9 1(y0) B. y2 25 x2 9 1(y0) C. x2 16 y2 9 1(y0) D. y2 16 x2 9 1(y0) 解析 由已知得，|AB|8，|CA|CB|AB
4、|18，所以|CA|CB| 10|AB|，所以顶点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆(去掉左右两个顶点)， 其方程为 x2 25 y2 9 1(y0) 答案答案 解析解析 (3)已知点 O(0,0)，A(1，2)，动点 P 满足|PA|3|PO|，则点 P 的轨迹 方程是( ) A8x28y22x4y50 B8x28y22x4y50 C8x28y22x4y50 D8x28y22x4y50 解析 设点 P 坐标为(x， y)， 由|PA|3|PO|得(x1)2(y2)29(x2y2)， 整理得 8x28y22x4y50. 答案答案 解析解析 (4)直线 x a y 2a 1 与 x 轴、y
5、轴交点连线的中点轨迹方程是 _ 解析 直线x a y 2a1 与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为(a,0)和(0,2a)， 设此直线与 x 轴、y 轴交点连线的中点坐标为(x，y)，则 xa 2， y2a 2 ， 消去 a，得 y1x 即 xy1.由 a0 且 2a0，得 x0 且 x1，故所求的 轨迹方程为 xy1(x0 且 x1) xy1(x0 且 x1) 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1 A 为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)上的任意一点， 过焦点 F1 作F1AF2 的角平分线的垂线，垂足为 M，则点 M 的轨迹方程为_ 题型一题型一 定义
6、法求轨迹方程定义法求轨迹方程 x2y2a2 解析 如图，延长 F1M 交 AF2延长线于点 N， 故|AF1|AN|，|AF1|AF2|2a， 故|AN|AF2|2a，所以|F2N|2a， 所以|OM|1 2|F2N|a， 故 M 点的轨迹方程为 x2y2a2. 解析解析 2如图所示，已知点 C 为圆(x 2)2y24 的圆心，点 A( 2，0)P 是圆上的动点， 点 Q 在圆的半径 CP 所在的直线上， 且MQ AP 0， AP 2AM . 当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程 解 由(x 2)2y24 知圆心 C( 2，0)，半径 r2. MQ AP 0，AP 2AM ， MQAP
7、，点 M 为 AP 的中点，因此 QM 垂直平分线段 AP.如图，连 接 AQ，则|AQ|QP|， |QC|QA|QC|QP|CP|2. 又|AC|2 22，根据双曲线的定义，点 Q 的轨迹是以 C( 2，0)， A( 2，0)为焦点，实轴长为 2 的双曲线 由 c 2，a1，得 b21， 故点 Q 的轨迹方程为 x2y21. 解解 解 由(x 2)2y216 知圆心 C( 2，0)，半径 r4. MQ AP 0，AP 2AM ， QM 垂直平分 AP，连接 AQ，则|AQ|QP|， |QC|QA|QC|QP|r4. 根据椭圆的定义， 点 Q 的轨迹是以 C( 2，0)，A( 2，0)为焦点，
8、长轴长为 4 的椭圆 由 c 2，a2，得 b 2. 因此点 Q 的轨迹方程为x 2 4 y 2 2 1. 解解 条件探究 将本例中的条件“圆 C 的方程(x 2)2y24”改为“圆 C 的 方程(x 2)2y216”，其他条件不变，求点 Q 的轨迹方程 定义法求轨迹方程的适用条件及关键点 (1)求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、 双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方 程，见举例说明 1,2. (2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键 (3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、 双曲线、 抛物线， 如果不是完整的
9、曲线， 则应对其中的变量 x 或 y 进行限制 ABC 的顶点 A(5,0)，B(5,0)，ABC 的内切圆的圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是_ 解析 如图， |AD|AE|8， |BF|BE|2， |CD|CF|， 所以|CA|CB| 826. 根据双曲线的定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线 的右支，方程为x 2 9 y2 161(x3) x2 9 y2 161(x3) 解析解析 1(2019 葫芦岛调研)在ABC 中，已知 A(2,0)，B(2，0)，G，M 为 平面上的两点，且满足GA GB GC 0，|MA |MB |MC |，GM AB ，则 顶
10、点 C 的轨迹为( ) A焦点在 x 轴上的椭圆(长轴端点除外) B焦点在 y 轴上的椭圆(短轴端点除外) C焦点在 x 轴上的双曲线(实轴端点除外) D焦点在 x 轴上的抛物线(顶点除外) 题型二题型二 直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程 答案答案 解析 设 C(x，y)(y0)，则由GA GB GC 0，即 G 为ABC 的重 心，得 G x 3， y 3 .又|MA |MB |MC |，即 M 为ABC 的外心，所以点 M 在 y 轴上， 又GM AB ， 则有 M 0，y 3 .所以 x2 yy 3 24y 2 9 ， 化简得x 2 4 y2 121， y0.所以顶点 C 的轨迹为焦点在
11、 y 轴上的椭圆(除去短轴端点) 解析解析 2已知ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD|3，则顶 点 A 的轨迹方程为_ 解析 设 A(x，y)，由题意可知 D x 2， y 2 . 又|CD|3， x 25 2 y 2 29， 即(x10)2y236，由于 A，B，C 三点不共线， 点 A 不能落在 x 轴上，即 y0， 点 A 的轨迹方程为(x10)2y236(y0) (x10)2y236(y0) 解析解析 解 由题设，得 y x2 y x2 1 2， 化简得x 2 4 y 2 2 1(|x|2)， 所以 C 为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左
12、右顶点 解解 3(2019 全国卷节选)已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x，y)满足直 线 AM 与 BM 的斜率之积为1 2.记 M 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线 1直接法求轨迹方程的应用条件和步骤 若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法， 其一般步骤是：设点列式化简检验 2用直接法求轨迹方程需要注意的问题 (1)求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的 点如举例说明 3. (2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可， 如举例说明 2；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形如举例说明 1. 1设
13、点 A 为圆(x1)2y21 上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|1， 则 P 点的轨迹方程为( ) Ay22x B(x1)2y24 Cy22x D(x1)2y22 解析 如图， 设 P(x， y)， 圆心为 M(1,0)， 连接 MA， 则 MAPA， 且|MA| 1. 又|PA|1， |PM| |MA|2|PA|2 2， 即|PM|22，(x1)2y22.故选 D. 答案答案 解析解析 解 如图，设动圆圆心为 O1(x，y)，由题意，知|O1A|O1M|，当 O1不 在 y 轴上时，过 O1作 O1HMN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点， |O1M| x242. 又|O1A|
14、 x42y2， x42y2 x242，化简得 y28x(x0) 又当 O1在 y 轴上时，O1与 O 重合， 点 O1的坐标(0,0)也满足方程 y28x， 动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28x. 解解 2已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.求动圆 圆心的轨迹 C 的方程 1动点 P 在抛物线 y2x21 上移动，若 P 与点 Q(0，1)连线的中 点为 M，则动点 M 的轨迹方程为( ) Ay2x2 By4x2 Cy6x2 Dy8x2 题型三题型三 相关点法相关点法(代入法代入法)求轨迹方程求轨迹方程 解析 设 M(x，y)，P(x0，y0)，因为 P
15、与点 Q(0，1)连线的中点为 M， 所以 x02x，y02y1，又因为点 P 在抛物线 y2x21 上移动，所以 2y 12(2x)21，即 y4x2.故选 B. 答案答案 解析解析 2(2019 莆田二模)已知 A(0，1)，B 是曲线 y1 8x 21 上任意一点， 动点 P 满足 AP BP 0. (1)求点 P 的轨迹 E 的方程； (2)过点 D(0,1)的直线交 E 于 M，N 两点，过原点 O 与点 M 的直线交直 线 y1 于点 H，求证：|DN|HN|. 解 (1)设 P(x，y)，B(x0，y0)， 由AP BP 0 得， (x，y1)(xx0，yy0)(0,0)， 则
16、2xx00， 2yy010， 即 x02x， y02y1， 因为点 B 为曲线 y1 8x 21 上任意一点， 故 y01 8x 2 01，代入得 x 24y. 所以点 P 的轨迹 E 的方程是 x24y. 解解 (2)证明：依题意，得直线 MN 的斜率存在，其方程可设为 ykx1， M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 ykx1， x24y， 得 x24kx40， 所以 16k2160，x1x24. 因为直线 OM 的方程为 yy1 x1x， 且点H是直线OM与直线y1的交点， 所以点H的坐标为 x1 y1，1 . 解解 根据抛物线的定义|DN|等于点 N 到准线 y1 的距离，由于点
17、 H 在准 线 y1 上， 所以要证明|DN|HN|，只需证明 HN 垂直准线 y1，即证 HNy 轴 因为点 H 的横坐标为x1 y1 x1 x2 1 4 4 x1 x1x2 x1 x2， 所以 HNy 轴成立，所以|DN|HN|成立 解解 代入法求轨迹方程的四步骤 如图，已知 P 是椭圆x 2 4 y21 上一点，PMx 轴于 M.若PN NM . (1)求点 N 的轨迹方程； (2)当点 N 的轨迹为圆时，求 的值 解 (1)设点 P，点 N 的坐标分别为 P(x1，y1)， N(x，y)，则 M 的坐标为(x1,0)，且 xx1， PN (xx1，yy1)(0，yy1)， NM (x1
18、x，y)(0，y)， 由PN NM 得(0，yy1)(0，y) yy1y，即 y1(1)y. P(x1，y1)在椭圆x 2 4 y21 上， 则x 2 1 4 y2 11，x 2 4 (1)2y21， 故x 2 4 (1)2y21 即为所求的点 N 的轨迹方程 解解 (2)要使点 N 的轨迹为圆，则(1)21 4， 解得 1 2或 3 2. 所以当 1 2或 3 2时，点 N 的轨迹是圆 解解 3 课时作业课时作业 PART THREE 1到点 F(0,4)的距离比到直线 y5 的距离小 1 的动点 M 的轨迹方 程为( ) Ay16x2 By16x2 Cx216y Dx216y A组组 基础
19、关基础关 解析 由条件， 知动点 M 到 F(0,4)的距离与到直线 y4 的距离相等， 所以点 M 的轨迹是以 F(0,4)为焦点，直线 y4 为准线的抛物线，其标准 方程为 x216y. 答案答案 解析解析 2曲线 C：x22xy40 的对称性为( ) A关于原点成中心对称 B关于点(2,0)成中心对称 C关于直线 yx 对称 D曲线 C 不具有对称性 解析 设点 P(a，b)(a，bR)在曲线上，则 a22ab40，即(a)2 2(a)(b)40， 则 P 点关于原点的对称点 P(a， b)也在曲线上， 曲线关于原点对称 答案答案 解析解析 3(2019 长沙模拟)已知点集 M(x，y)
20、| 1x2 1y2xy，则平面 直角坐标系中区域 M 的面积是( ) A1 B3 4 C D2 2 解析 当 xy0 时，只需要满足 x21，y21 即可；当 xy0 时，对不 等式两边平方整理，得 x2y21，所以区域 M 如图易知其面积为 2 2. 答案答案 解析解析 4如图，已知 F1，F2是椭圆 ：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，P 是椭圆 上任意一点， 过 F2作F1PF2的外角的角平分线的垂线， 垂足为 Q， 则点 Q 的轨迹为( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 答案答案 解析 延长F2Q， 与F1P的延长线交于点M， 连接OQ.因为PQ是F1PF2 的外角的
21、角平分线，且 PQF2M，所以在PF2M 中，|PF2|PM|，且 Q 为线段 F2M 的中点又 O 为线段 F1F2的中点，由三角形的中位线定理，得 |OQ|1 2|F1M| 1 2(|PF1|PF2|)根据椭圆的定义，得|PF1|PF2|2a，所以 |OQ|a，所以点 Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为 a 的圆，故选 B. 解析解析 5若曲线 C 上存在点 M，使 M 到平面内两点 A(5,0)，B(5，0)的距 离之差为 8， 则称曲线 C 为“好曲线” 以下曲线不是“好曲线”的是( ) Axy5 Bx2y29 C. x2 25 y2 9 1 Dx216y 答案答案 解析 M 到平面内两
22、点 A(5,0)，B(5,0)的距离之差为 8，M 的轨 迹是以 A(5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支，方程为 x2 16 y2 9 1(x4)A 项，直线 xy5 过点(5,0)，与 M 的轨迹有交点；B 项，x2y29 的圆心 为(0,0)， 半径为 3， 与 M 的轨迹没有交点； C 项， x2 25 y2 9 1 的右顶点为(5,0)， 与 M 的轨迹有交点；D 项，将 x216y 代入 x2 16 y2 9 1，得 yy 2 9 1，即 y2 9y90，0.故选 B. 解析解析 6已知两定点 A(2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹
23、所包围的图形的面积为_ 解析 设点 P 的坐标为(x，y)则由|PA|2|PB|得(x2)2y24(x1)2 y2，即(x2)2y24，所以点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆， 所以点 P 的轨迹所包围的图形的面积为 4. 4 解析解析 7在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点 C 满足 OC OA t(OB OA )，其中 tR，则点 C 的轨迹方程是_ 解析 设 C(x，y)，则OC (x，y)，OA t(OB OA )(1t,2t)，所以 xt1， y2t， 消去参数 t，得点 C 的轨迹方程为 y2x2. y2x2 解析解析 8已知点 P
24、是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上的任意一点，F1，F2 是它的两 个焦点，O 为坐标原点，且OQ PF1 PF2 ，则动点 Q 的轨迹方程是 _ 解析 由于OQ PF1 PF2 ，又PF1 PF2 2PO 2OP . 设 Q(x，y)，则OP 1 2OQ x 2， y 2 ，即 P 点坐标为 x 2， y 2 ，又 P 在椭圆上，则有 x 2 2 a2 y 2 2 b2 1，即动点 Q 的轨迹方程是 x2 4a2 y2 4b21. x2 4a2 y2 4b21 解析解析 1 (2019 宝鸡二模)设 D 为椭圆 x2y 2 5 1 上任意一点， A(0， 2)， B(0,2)， 延
25、长 AD 至点 P，使得|PD|BD|，则点 P 的轨迹方程为( ) Ax2(y2)220 Bx2(y2)220 Cx2(y2)25 Dx2(y2)25 B组组 能力关能力关 答案答案 解析 如图，由椭圆方程 x2y 2 5 1，得 a25，b21，c a2b2 2，则 A(0，2)，B(0,2)为椭圆的两焦点，|DA|DB|2a2 5，|PD| |BD|，|PA|PD|DA|BD|DA|2 5. 点 P 的轨迹是以 A 为圆心，2 5为半径的圆，其方程为 x2(y2)2 20. 解析解析 2(2019 北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： x2y21|x|y 就是其中之
26、一(如图)给出下列三个结论： 曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是( ) A B C D 答案答案 解析 由 x2y21|x|y，当 x0 时，y 1；当 y0 时，x 1；当 y1 时，x0， 1.故曲线 C 恰好经过 6 个整点：A(0,1)，B(0，1)，C(1,0)， D(1，1)，E(1,0)，F(1,1)，所以正确由基本不等式，当 y0 时，x2 y21|x|y1|xy|1x 2y2 2 ，所以 x2y22，所以 x2y2 2，故 正确
27、如图，由知长方形 CDFE 面积为 2，三角形 BCE 面积为 1，所 以曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 3，故错误故选 C. 解析解析 3已知圆 C：x2y225，过点 M(2,3)作直线 l 交圆 C 于 A，B 两点， 分别过 A，B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点 Q 时，点 Q 的轨迹方 程为_ 解析 圆 C：x2y225 的圆心 C 为(0,0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， Q(x0，y0)，因为 AQ 与圆 C 相切，所以 AQCA，所以(x1x0)(x10) (y1y0)(y10)0，即 x2 1x0 x1y 2 1y0y10，因为 x 2 1y 2
28、 125，所以 x0 x1 y0y125，同理 x0 x2y0y225，所以过点 A，B 的直线方程为 xx0yy025. 因为直线 AB 过点 M(2,3)，所以得2x03y025，所以点 Q 的轨迹方程 为 2x3y250. 2x3y250 解析解析 4(2019 哈尔滨三模)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数 时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解法，例如， 与 xa2yb2相关的代数问题，可以转化为点 A(x，y)与点 B(a，b)之 间距离的几何问题结合上述观点，可得方程| x26x13 x26x13| 4 的解为_ 6 5 5 解析 由| x26x13 x2
29、6x13|4，得 | x324 x324|4， 其几何意义为平面内动点(x,2)与两定点(3,0)， (3,0)距离差的绝对值为 4. 平面内动点与两定点(3,0)， (3,0)距离差的绝对值为 4 的点的轨迹方程 为x 2 4 y 2 5 1. 联立 y2， x2 4 y 2 5 1， 解得 x 6 5 5 . 解析解析 解 解法一：设点 C(x，y)sinAsinB3cosC0， 即 y2 |AC| |BC|3 |AC|2|BC|2|AB|2 2|AC| |BC| 0， y23x2 2y2x22y216 2 0(y0) 化简得点 C 的轨迹 Q 的方程为x 2 4 y 2 3 1(y0)
30、解解 5在直角坐标平面中，已知ABC 的顶点 A(2,0)，B(2，0)，C 为平 面内的动点，且 sinAsinB3cosC0.求动点 C 的轨迹 Q 的方程 解法二：设点 C(x，y) sinAsinB3cosC0， sinAsinB3cos(AB)0， 即 4sinAsinB3cosAcosB0. 在ABC 中，sinA0，sinB0， tanAtanB3 4， kAC kBCtanA tanB3 4. 解解 又 A(2,0)，B(2,0)， 直线 AC 的斜率为 kAC y x2(x2)，直线 BC 的斜率为 kBC y x2 (x2)， y x2 y x2 3 4(x2，且 x2) 化简得点 C 的轨迹 Q 的方程为x 2 4 y 2 3 1(x2，且 x2) 解解 本课结束本课结束
