1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第1 1讲讲 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 第四章 平面向量 考纲解读 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等 的含义，理解向量的几何表示 2掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义(重点) 3掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向 量线性运算的性质及其几何意义(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查预测 2021 年 高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，
2、属 中、低档试题. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向 量的大小叫做向量的长度 (或称模) 平面向量是自由向量 向量的模 向量 a 的01 _，也就 是表示向量 a 的有向线段 AB 的02 _(或称模) 03 _或 04 _ 零向量 长度为零的向量；其方向是 任意的 记作05 _ |a| |AB | 0 大小 长度 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 与非零向量 a 共线的单位 向量为a |a| 平行向量 方向06 _或07 _ 的非零向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量 又叫做共线向量 0 与任一向量0
3、8 _或 共线 相等向量 长度09 _且方向10 _的向量 两向量只有相等或不等， 不 能比较大小 相反向量 长度11 _且方向12 _的向量 0 的相反向量为 0 相同 相反 平行 相等 相同 相等 相反 2向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运 算 (1)交换律： ab01 _； (2)结合律： (ab)c 02 _ 减法 求 a 与 b 的相反向 量b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 aba(b) ba a(bc) 数乘 求实数与向 量 a 的积的 运算 (1)|a|03 _； (2)当 0 时，a 的方向与 a 的 方向04 _；当 |
4、b|，则 ab C若 ab，则 ab D若|a|0，则 a0 解析 A 错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B 错误，向量 不能比较大小；C 正确，若 ab，则 a 与 b 方向相同，故 ab；D 错误， 若|a|0，则 a0. 答案答案 解析解析 (2)设 a，b 是不共线的两个向量，已知BA a2b，BC4a4b，CD a2b，则( ) AA，B，D 三点共线 BA，C，D 三点共线 CA，B，C 三点共线 DB，C，D 三点共线 解析 因为BA a2b，所以AB a2b，所以AC AB BC (a 2b)(4a4b)3a6b3(a2b)3CD .所以AC CD ，所以 A，C，D
5、三点共线 答案答案 解析解析 (3)已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且OA a，OB b，则 DC _，BC _(用 a，b 表示) 解析 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以DC AB ，OC OA a， 所以DC AB OB OA ba， BC OC OB ab. ba 解析解析 ab 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1设 a0为单位向量，下列命题中：若 a 为平面内的某个向量，则 a |a| a0；若 a 与 a0平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行且|a|1，则 a a0，假命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 题型一题型一 平
6、面向量的基本概念平面向量的基本概念 解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一 定相同，故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一 是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题 综上所述，假命题的个数是 3. 答案答案 解析解析 2下列叙述错误的是_(填序号) 已知向量 ab，且|a|b|0，则向量 ab 的方向与向量 a 的方向相 同； |a|b|ab|a 与 b 方向相同； 向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ， 使得 ba； AB BA 0； 若 ab，则 ab. 0 或 1 解析 对于，当 a 和 b
7、方向相同，则它们的和的方向应该与 a(或 b) 的方向相同；当 a 和 b 方向相反，而 a 的模大于 b 的模，则它们的和的方 向与 a 的方向相同 对于，当 a，b 之一为零向量时结论不成立 对于，当 a0 且 b0 时， 有无数个值；当 a0 但 b0 时， 不 存在 对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB BA 0. 对于，当 0 时，无论 a 与 b 的大小与方向如何，都有 ab，此 时不一定有 ab. 故均错误 解析解析 有关平面向量概念的六个注意点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 (3)向量可以平移，平移后
8、的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它 与函数图象的移动混淆 (4)非零向量 a 与 a |a|的关系： a |a|是与 a 同方向的单位向量， a |a|是与 a 反方向的单位向量 (5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可 以比较大小 (6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这 一条件 1给出下列说法：若 A，B，C，D 是不共线的四个点，则AB DC 是 四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； 若 a， b 都是单位向量， 则 ab； 向量AB 与BA 相等； 若 ab， bc， 则 ac.其中正确说法的序号是( ) A B C D 解析
9、 正确；错误，因为 a，b 的方向不一定相同；错误，AB BA . 答案答案 解析解析 2下列命题中，正确的个数是( ) 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； 若|a|b|，则 ab 或 ab； 若 a0( 为实数)，则 必为零； 已知 ， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线 A0 B1 C2 D3 解析 错误，如在ABCD 中，AD BC ，但是这两个向量的起点和终 点分别不重合；错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；错误， 若 a0( 为实数)，则 0 或 a0；错误，当 0 时，ab0， 但 a 与 b 不一定共线 答案答案 解析解析 1下列四个结论： AB BC CA 0
10、； AB MB BO OM 0； AB AC BD CD 0； NQ QP MN MP 0. 其中一定正确的结论个数是( ) A1 B2 C3 D4 题型二题型二 向量的线性运算向量的线性运算 答案答案 解析 正确； 错误， AB MB BO OM AB BO OM MB AB 0；正确，AB AC BD CD (AB AC )(BD DC )CB BC 0； 正确，NQ QP MN MP (NQ QP )(MN MP )NP PN 0. 解析解析 2(2018 全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中 点，则EB ( ) A.3 4AB 1 4AC B.1 4AB
11、 3 4AC C.3 4AB 1 4AC D.1 4AB 3 4AC 解析 根据向量的运算法则，可得EB AB AE AB 1 2AD AB 1 4 (AB AC )3 4AB 1 4AC ，故选 A. 答案答案 解析解析 3在ABC 中，D 为 AB 的中点，点 E 满足 2CE BE 0，则AE _(用AB ，CD 表示) 解析 因为 D 为 AB 的中点， 所以CD CA AD AC 1 2AB ， 所以AC 1 2AB CD . 2 3AB 2 3CD 解析解析 又因为 2CE BE 0， 所以 2(AE AC )(AE AB )0， 所以 3AE 2AC AB ， 所以AE 2 3A
12、C 1 3AB 2 3 1 2AB CD 1 3AB 2 3AB 2 3CD . 1平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解 (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相 等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示 出来求解 2向量线性运算的两个常用结论 (1)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，则AD 1 2(AC AB )，如举例说 明 2. (2)O 为ABC 的重心的充要条件是OA OB OC 0. 1在ABC 中，若点 D 满足CD 2DB ，点 M 为 AC 的中点，则MD ( ) A.2 3AB 1
13、6AC B.1 3AB 1 6AC C.2 3AB 1 3AC D.2 3AB 1 6AC 答案答案 解析解析 解析 MD MC CD 1 2AC 2 3CB 1 2AC 2 3(AB AC )2 3AB 1 6AC . 2.(2019 衡水模拟)如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交 于点 O，且AE 2EO ，则ED ( ) A.1 3AD 2 3AB B.2 3AD 1 3AB C.2 3AD 1 3AB D.1 3AD 2 3AB 答案答案 解析 因为AE 2EO ，所以AE 2 3AO ，又因为AO 1 2AC ，所以EA 1 3 AC ，所以ED EA AD
14、1 3AC AD 1 3(AD AB )AD 2 3AD 1 3AB . 解析解析 角度 1 证明向量共线或三点共线 1 已知平面内一点 P 及ABC， 若PA PB PC AB ， 则点 P 与ABC 的位置关系是( ) A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 BC 上 C点 P 在线段 AC 上 D点 P 在ABC 外部 题型三题型三 共线向量定理的应用共线向量定理的应用 解析 因为PA PB PC AB PB PA ，所以PC 2PA ，所以 A，P， C 三点共线，且 P 是线段 AC 的三等分点(靠近 A) 答案答案 解析解析 角度 2 由向量共线求参数的值 2(2019 安徽
15、合肥一中高考模拟)如图，在平行四边形 ABCD 中，M， N 分别为 AB，AD 上的点，且AM 4 5AB ，连接 AC，MN 交于点 P，若AP 4 11AC ，则点 N 在 AD 上的位置为( ) AAD 中点 BAD 上靠近点 D 的三等分点 CAD 上靠近点 D 的四等分点 DAD 上靠近点 D 的五等分点 答案答案 解析解析 解析 设AD AN ， 因为AP 4 11AC 4 11(AB AD ) 4 11 5 4AM AN 5 11 AM 4 11AN ，又 M，N，P 三点共线，所以 5 11 4 111，解得 3 2，所以AN 2 3AD ，所以点 N 在 AD 上靠近点 D
16、 的三等分点 解析解析 求解向量共线问题的注意事项 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能 表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用如举例说 明 2. (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三 点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线 (3)若 a 与 b 不共线且 ab，则 0. (4)直线的向量式参数方程， A， P， B 三点共线OP (1t)OA tOB (O 为平面内任一点，tR) OA OB OC (， 为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 1. 1在四边形 ABCD 中，AB a2b，BC 4
17、ab，CD 5a3b， 则四边形 ABCD 的形状是( ) A矩形 B平行四边形 C梯形 D以上都不对 解析 AD AB BC CD (a2b)(4ab)(5a3b)8a 2b2(4ab)2BC ，所以 ADBC，且 ADBC，所以四边形 ABCD 是 梯形 答案答案 解析解析 解 (1)证明：由已知得 BD CD CB (2e1e2)(e13e2)e14e2， AB 2e18e2， AB 2BD . 又 AB 与 BD有公共点 B， A，B，D 三点共线 解解 2设 e1，e2是两个不共线的向量，已知AB 2e18e2，CB e13e2， CD 2e1e2. (1)求证：A，B，D 三点共线
18、； (2)若BF 3e1ke2，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值 解解 (2)由(1)可知BD e14e2， BF 3e1ke2，且 B，D，F 三点共线， BF BD (R)， 即 3e1ke2e14e2， 3， k4. 解得 k12. 3 课时作业课时作业 PART THREE 1设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使 a |a| b |b|0 成立的 是( ) Aa2b Bab Ca1 3b Da b0 A组组 基础关基础关 解析 使 a |a| b |b|0 成立，需向量 a 与 b 反向故选 C. 答案答案 解析解析 2已知向量 a，b 不共线，且 cab，da(2
19、1)b，若 c 与 d 反 向共线，则实数 的值为( ) A1 B1 2 C1 或1 2 D1 或1 2 解析 由于 c 与 d 反向共线，则存在实数 k 使 ckd(k0)，于是 ab ka(21)b整理得 abka(2kk)b.由于 a，b 不共线，所以有 k， 2kk1， 整理得 2210， 解得 1 或 1 2.又 k0， 所以 0， 故 1 2. 答案答案 解析解析 3已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2OP 2OA BA ，则( ) A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C点 P 在线段 AB 的延长线上 D点 P 不在
20、直线 AB 上 解析 因为 2OP 2OA BA ，所以 2AP BA ，所以点 P 在线段 AB 的 反向延长线上，故选 B. 答案答案 解析解析 4 已知四边形 ABCD 是菱形， 点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A， C)， 则AP ( ) A(AB AD )，(0,1) B(AB BC )， 0， 2 2 C(AB AD )，(0,1) D(AB BC )， 0， 2 2 解析 根据向量的平行四边形法则，得AC AB AD .因为点 P 在对角 线 AC 上(不包括端点 A， C)， 所以AP 与AC 共线， 所以AP AC (AB AD )， (0,1)，故选 A. 答案答案
21、 解析解析 5(2019 湖北省“四地七市”联考)向量 a，b，c 在正方形网格中的位 置如图所示若向量 ab 与 c 共线，则实数 ( ) A2 B1 C1 D2 解析 由图可知 2abc，若向量 ab 与 c 共线，则 2.故选 D. 答案答案 解析解析 6如图，在 RtABC 中，ABC 2，AC2AB，BAC 的平分线交 ABC 的外接圆于点 D.设AB a，AC b，则向量AD ( ) Aab B.1 2ab Ca1 2b Da2 3b 答案答案 解析 由题意知，AC 为ABC 的外接圆的直径设ABC 的外接圆圆 心为 O，如图，连接 OD，BD，则 ABOAOD.又易得 ABOD，
22、所以四 边形 ABDO 是平行四边形，所以AD AB AO AB 1 2AC a1 2b.故选 C. 解析解析 7如图，在直角梯形 ABCD 中，AB2AD2DC，E 为 BC 边上一点， BC 3EC ，F 为 AE 的中点，则BF ( ) A.2 3AB 1 3AD B.1 3AB 2 3AD C2 3AB 1 3AD D1 3AB 2 3AD 解析 BF BA AF BA 1 2AE AB 1 2 AD 1 2AB CE AB 1 2 AD 1 2AB 1 3CB AB 1 2AD 1 4AB 1 6(CD DA AB )2 3AB 1 3AD . 答案答案 解析解析 8(2019 河南
23、三市联考)若AP 1 2PB ，AB (1)BP ，则 _. 解析 AP 1 2PB ，AP PB AB 3 2PB 3 2BP .13 2， 5 2. 5 2 解析解析 9给出下列四个命题： 若 ab 与 ab 是共线向量，则 a 与 b 也是共线向量； 若|a|b|ab|，则 a 与 b 是共线向量； 若|ab|a|b|，则 a 与 b 是共线向量； 若|a|b|a|b|，则 b 与任何向量都共线 其中为真命题的有_(填序号) 解析 由向量的平行四边形法则可知，若 ab 与 ab 是共线向量， 则必有 a 与 b 也是共线向量，所以是真命题；若|a|b|ab|，则 a 与 b 同向，或 b
24、 是零向量，或 a，b 均为零向量，所以 a 与 b 是共线向量，所以 是真命题；若|ab|a|b|，则 a 与 b 方向相反，或 a，b 中至少有一个 零向量，所以 a 与 b 是共线向量，所以是真命题；当 a 是零向量，b 是非 零向量时，|a|b|a|b|成立，而 b 不能与任何向量都共线，所以是 假命题 解析解析 10(2019 青岛质检)已知 D，E，F 分别为ABC 的边 BC，CA，AB 的 中点，且BC a，CA b，给出下列命题： AD 1 2ab；BE a1 2b；CF 1 2a 1 2b；AD BE CF 0. 其中正确命题的序号为_ 解析 AD CD CA 1 2BC
25、CA 1 2ab， 所以错误； BE BC CE BC 1 2CA a1 2b，故正确；CF 1 2(CA CB )1 2(ba) 1 2a 1 2b， 故正确；综上知AD BE CF 1 2ab a1 2b 1 2a 1 2b 0，故 正确 解析解析 1 已知点 O 为ABC 的外接圆的圆心， 且OA OB OC 0， 则ABC 的内角 A 等于( ) A30 B60 C90 D120 B组组 能力关能力关 解析 因为OA OB OC 0， 所以OC OA OB . 所以四边形 OACB 是平行四边形， 又因为|OA |OB |OC |， 所以四边形 OACB 是菱形， OAC 是等边三角形
26、 所以BAC1 2OAC 30 . 答案答案 解析解析 2在ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC 3CD ，点 O 在 线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，若AO xAB (1x)AC ，则 x 的取值范围 是( ) A. 0，1 2 B. 0，1 3 C. 1 2，0 D. 1 3，0 解析 设CO yBC ，AO AC CO AC yBC AC y(AC AB ) yAB (1y)AC .BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)， y 0，1 3 ，AO xAB (1x)AC ，xy，x 1 3，0 . 答案答案 解析解析 3点 O 是ABC 内
27、一点，满足条件OA 2BO 3CO ，延长 BO 交 AC 于点 D，则S COD SAOD的值为( ) A.2 3 B.1 3 C.1 2 D.3 4 答案答案 解析 解法一： 如图(1)， 分别取 BC， AC 的中点为 E， F， 连接 EF.OA 2BO 3CO ， OA CO 2(BO CO )， 即OA OC 2(OB OC )， 2OF 2 2OE ，OF 2OE .故 O 在ABC 的中位线 EF 上，且 OF2OE. 过点 E 作 EHCD，交 BD 于点 H，则 H 为 BD 的中点，EH1 2CD 1 2DF， 因此 CDDF，CDAD13，SCOD SAOD CD AD
28、 1 3.故选 B. 解析解析 解析解析 解法二：OA 2OB 3OC 0，令 2OB OB ，3OC OC ，OA OB OC 0， O 是ABC的重心， 如图(2)， 延长 BO 交 AC 于点 F， 则 AFFC.过点 C 作 CEAC， 交 BF 于点 E， CD AD CE AF CE CF OC OC 1 3， SCOD SAOD CD AD 1 3.故选 B. 解析解析 4在平面向量中有如下定理：设点 O，P，Q，R 为同一平面内的点， 则 P，Q，R 三点共线的充要条件是：存在实数 t，使OP (1t)OQ tOR . 试利用该定理解答下列问题：如图，在ABC 中，点 E 为 AB 边的中点， 点 F 在 AC 边上，且 CF2FA，BF 交 CE 于点 M，设AM xAE yAF ，则 x y_. 7 5 解析 因为 B，M，F 三点共线，所以存在实数 t，使得AM (1t)AB tAF ，又AB 2AE ，AF 1 3AC ，所以AM 2(1t)AE 1 3tAC .又 E，M，C 三点 共线，所以 2(1t)1 3t1，得 t 3 5.所以AM 2(1t)AE tAF 4 5AE 3 5AF ， 所以 x4 5，y 3 5，所以 xy 7 5. 解析解析 本课结束本课结束
