1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第2 2讲讲 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 第八章 平面解析几何 考纲解读 1.能用方程组的方法求出两条直线的交点坐标，根据两条直线 的斜率能判断两条直线的平行或垂直(重点) 2 能够利用两点间距离公式、 点到直线的距离公式解决相关的数学问题 (难 点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲内容很少独立命题预测 2021 年高考会与其他知识结合考查两直线的位置关系、求直线方程(如与导数、 圆锥曲线结合)、面积等问题题型为客观题，试题难度一般不大，属中档
2、题型. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系 条件 两直线位置关系 斜率的关系 01 _ 平行 k1与 k2都不存在 02 _ 两条不重合 的直线 l1， l2， 斜率分别为 k1，k2 垂直 k1与 k2一个为零、另一个不存在 k1k2 k1 k21 2三种距离 三种距离 条件 公式 两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) |AB|01 _ 点到直线的距离 P(x0，y0)到直线 AxByC 0 的距离为 d d02 _ 两平行线间的距离 直线 AxByC10 到直 线 AxByC20 的距离 为 d d03 _ x1x22y1y22
3、 |Ax0By0C| A2B2 |C1C2| A2B2 3常用的直线系方程 (1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR 且 mC) (2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAym0(mR) (3)过直线 l1： A1xB1yC10 与 l2： A2xB2yC20 的交点的直线系 方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2. 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 1概念辨析 (1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.( ) (2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( ) (3
4、)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交( ) (4)已知直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1， A2，B2，C2为常数)，若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.( ) 2小题热身 (1)若直线 mx2ym0 与直线 3mx(m1)y70 平行， 则 m 的值 为( ) A7 B0 或 7 C0 D4 解析 直线 mx2ym0与直线 3mx(m1)y70平行， m(m 1)3m2，m0 或 7，经检验，都符合题意故选 B. 答案答案 解析解析 (2)原点到直线 x2y50 的距离是_ 解析 原点到直线 x2y50 的距离 d |5| 1222
5、 5. 5 解析解析 (3)经过直线 l1：xy50，l2：xy10 的交点且垂直于直线 2x y30 的直线方程为_ 解析 联立直线 l1与 l2的方程，得 xy50， xy10， 解得 x3， y2， 所以 直线 l1与 l2的交点坐标为(3,2)， 设所求直线的方程为 x2yC0， 将点(3,2) 的坐标代入直线方程得 322C0，解得 C1，因此，所求的直线方 程为 x2y10. x2y10 解析解析 (4)已知点 P(1,1)与点 Q(3,5)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 _ 解析 直线 PQ 的斜率 k11，直线 l 的斜率 k21，又线段 PQ 的中点坐标为(1,3)
6、，直线 l 的方程为 xy40. xy40 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1若三条直线 y2x，xy3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值为_ 题型一题型一 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 解析 由 y2x， xy3， 得 x1， y2. 点(1,2)满足方程 mx2y50， 即 m12250，m9. 解析解析 9 2已知两条直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下 列条件的 a，b 的值 (1)l1l2，且 l1过点(3，1)； (2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等 解解 解 (1)由已知，得 l2的斜率存在，且 k2
7、1a. 若 k20，则 1a0，a1. l1l2，直线 l1的斜率 k1必不存在，即 b0. 又 l1过点(3，1)， 3a40，即 a4 3(矛盾)， 此种情况不存在， k20，即 k1，k2都存在且不为 0. k21a，k1a b，l1l2， k1k21，即a b(1a)1. 又 l1过点(3，1)， 3ab40. 由联立，解得 a2，b2. 解解 (2)l2的斜率存在，l1l2， 直线 l1的斜率存在，k1k2，即a b1a， 又坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1l2， l1，l2在 y 轴上的截距互为相反数， 即4 bb， 联立，解得 a2， b2 或 a2 3， b2. a2，
8、b2 或 a2 3，b2. 解解 1已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等 (2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1. 2由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1xB1yC10(A2 1B 2 10) l2：A2xB2yC20(A2 2B 2 20) l1与 l2垂直的充要条件 A1A2B1B20 l1与 l2平行的充分条件 A1 A2 B1 B2 C1 C2(A2B2C20) l1与 l2相交的充分条件 A1 A2 B1 B2(A2B20) l1与 l2重合的充分条件 A1 A2 B1 B2 C1 C2(A2B2C2
9、0) 注意：在判断两直线位置关系时，比例式A1 A2与 B1 B2， C1 C2的关系容易记住， 在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答 . 1(2019 淮南模拟)设 R，则“3”是“直线 2x(1)y1 与直线 6x(1)y4 平行”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 解析 当 3 时，两条直线的方程分别为 6x4y10,3x2y2 0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则 2 (1)6(1)，所以 3 或 1，经检验，两者均符合，综上，“3”是“直线 2x( 1)y1 与直线 6x(1)y4 平行”的充分不必要条件 答案答案 解析解析 解
10、 (1)kBC51 68 2， ADBC，kAD2. AD 边所在直线的方程为 y72(x4)， 即 2xy150. 解解 2 (2019 湖北十堰模拟)已知菱形 ABCD 的顶点 A， C 的坐标分别为 A( 4,7)，C(6，5)，BC 边所在直线过点 P(8，1)求： (1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线 BD 所在直线的方程 (2)kAC 57 64 6 5. 菱形的对角线互相垂直， BDAC，kBD5 6. AC 的中点(1,1)，也是 BD 的中点， 对角线 BD 所在直线的方程为 y15 6(x1)，即 5x6y10. 解解 1若直线 l1：xay60 与 l2：(a2)
11、x3y2a0 平行，则 l1与 l2 之间的距离为( ) A.4 2 3 B4 2 C.8 2 3 D2 2 题型二题型二 距离问题距离问题 答案答案 解析 若 l1l2，则 13a(a2)0，解得 a1 或 3. 经检验 a3 时，两条直线重合，舍去 所以 a1，此时有 l1：xy60， l2：3x3y20，即 xy2 30， 所以 l1与 l2之间的距离 d 62 3 1212 8 2 3 . 解析解析 2(2019 重庆巴蜀中学模拟)已知曲线 y 2x x1在点 P(2，4)处的切线与 直线 l 平行且距离为 2 5，则直线 l 的方程为( ) A2xy20 B2xy20 或 2xy18
12、0 C2xy180 D2xy20 或 2xy180 答案答案 解析 y2x12x x12 2 x12， 当 x2 时， y 2 2122， 因此 kl2，则设直线 l 方程为 y2xb，即 2xyb0，由题意知 |224b| 5 2 5，解得 b18 或 b2，所以直线 l 的方程为 2xy18 0 或 2xy20.故选 B. 解析解析 3已知点 A(5,2a1)，B(a1，a4)，当|AB|取得最小值时，实数 a 的值是_ 解析 由题意，得 |AB| a152a42a12 a42a322 a1 2 249 2 ， 所以当 a1 2时，|AB|取得最小值 1 2 解析解析 距离问题的常见题型及
13、解题策略 (1)求两条平行线间的距离要先将直线方程中 x，y 的对应项系数转化 成相等的形式，再利用距离公式求解，也可以转化成点到直线的距离问 题如举例说明 1. (2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式， 若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定系数法(如举例说明 2)， 若待定系数是斜率，必须讨论斜率是否存在 (3)求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用 来判断三角形的形状等 1 若点 P 在直线 3xy50 上， 且 P 到直线 xy10 的距离为 2， 则点 P 的坐标为( ) A(1,2) B(2,1) C(1,2)或(2，1) D(2,
14、1)或(1,2) 解析 设 P(x,53x)，则 d|x53x1| 1212 2，化简得|4x6|2，即 4x6 2，解得 x1 或 x2，故 P(1,2)或(2，1) 答案答案 解析解析 解析 易知直线 3x4y120 与 6x8y50 平行，所以|PQ|的最 小值就是这两条平行线间的距离.6x8y50 可化为 3x4y5 20，则这 两条平行线间的距离是 125 2 3242 29 10. 2若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点， 则|PQ|的最小值为( ) A.9 5 B.18 5 C.29 10 D.29 5 答案答案 解析解析 1已知入射光线经过点 M
15、(3,4)，被直线 l：xy30 反射，反射 光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_ 题型三题型三 对称问题对称问题 6xy60 解析 设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)， 则反射光线所在直线过点 M， 所以 b4 a3 11， 3a 2 b4 2 30， 解得 a1， b0. 又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为y0 60 x1 21，即 6x y60. 解析解析 2已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)求： (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标； (2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程
16、； (3)直线 l 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程 解 (1)设 A(x，y)，再由已知，得 y2 x1 2 31， 2x1 2 3y2 2 10， 解得 x33 13， y 4 13， A 33 13， 4 13 . 解解 (2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m上 设对称点为 M(a，b)，则 2a2 2 3b0 2 10， b0 a2 2 31. 解得 M 6 13， 30 13 . 设 m 与 l 的交点为 N， 则由 2x3y10， 3x2y60， 得 N(4,3) 又 m经过点 N(4,3)， 由两点式得直线方程为 9x
17、46y1020. 解解 (3)解法一：在 l：2x3y10 上任取两点， 如 M(1,1)，N(4,3)， 则 M，N 关于点 A 的对称点 M，N均在直线 l上 易知 M(3，5)，N(6，7)，由两点式可得 l的方程为 2x 3y90. 解法二：设 P(x，y)为 l上任意一点，则 P(x，y)关于点 A(1，2) 的对称点为 P(2x，4y)， P在直线 l 上， 2(2x)3(4y)10， 即 2x3y90. 解解 解法三：ll，设 l的方程为 2x3yc0(c1)， 由点到直线的距离公式得 |26c| 2232 |261| 2232 ， 解得 c9 或 c1(舍去)， l的方程为 2
18、x3y90. 解解 1中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点的对称 若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 x2ax1， y2by1， 进而求解 (2)直线关于点的对称问题的主要求解方法 在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称 的两点坐标，再由两点式求出直线方程如举例说明 2(3) 求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线 方程 2轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称 若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：AxByC0 对称，由方程 组 A x1x2 2 B y1
19、y2 2 C0， y2y1 x2x1 A B 1， 得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标 (x2，y2)(其中 B0，x1x2)如举例说明 1,2(1) (2)直线关于直线的对称 一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称 轴相交；二是已知直线与对称轴平行 已知直线 l：3xy30，求： (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点； (2)直线 xy20 关于直线 l 对称的直线方程； (3)直线 l 关于(1,2)的对称直线 解 (1)解法一： 设 P(x， y)关于直线 l： 3xy30 的对称点为 P(x， y)， kPP kl1，即yy xx31. 又 PP的
20、中点在直线 3xy30 上， 3xx 2 yy 2 30. 由得 x 4x3y9 5 ， y 3x4y3 5 . 把 x4，y5 代入得 x2，y7， 点 P(4,5)关于直线 l 的对称点 P的坐标为(2,7) 解解 解法二：设点 P(4,5)关于 l 的对称点为 M(m，n) PM 与 l 垂直，且 PM 的中点 m4 2 ，n5 2 在直线 l 上， n5 m431， 3m4 2 n5 2 30， 解得 m2， n7， 点 P(4,5)关于 l 的对称点为(2,7) 解解 (2)解法一：用分别代换 xy20 中的 x，y，得关于 l 对称的直 线方程为 4x3y9 5 3x4y3 5 2
21、0， 化简得 7xy220. 解法二：设直线 xy20 关于直线 l 对称的直线为 l. 解 方 程 组 xy20， 3xy30， 得 x5 2， y9 2， 即 两 直 线 的 交 点 为 5 2， 9 2 ，则点 5 2， 9 2 在直线 l上 解解 取直线 xy20 上一点 Q(2,0)，则点 Q(2,0)关于直线 l 的对称点 Q(a，b)在 l上 QQ与 l 垂直，且 QQ的中点 a2 2 ，b 2 在 l 上 b a231， 3a2 2 b 230， 解得 a17 5 ， b9 5， 解解 Q 17 5 ，9 5 ，l的斜率为 9 5 9 2 17 5 5 2 7， 直线 l的方程
22、为 y9 27 x5 2 ， 即 7xy220. 解解 (3)在直线 l：3xy30 上取点 M(0,3)， 设关于(1,2)的对称点 M(x，y)， x0 2 1，x2，y3 2 2，y1，M(2,1) l 关于(1,2)的对称直线平行于 l，k3， 对称直线方程为 y13(x2)，即 3xy50. 解解 3 课时作业课时作业 PART THREE 1已知过点 A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点 C(4,3)，D(0,5)的 直线平行，则 m 的值为( ) A1 B2 C2 D1 A组组 基础关基础关 解析 由题意得，kAB m0 5m1 m 6m，kCD 53 04 1 2.由于 A
23、BCD，即 kABkCD，所以 m 6m 1 2，所以 m2. 答案答案 解析解析 2若直线 l1：(m2)xy10 与直线 l2：3xmy0 互相平行，则 m 的值等于( ) A0 或1 或 3 B0 或 3 C0 或1 D1 或 3 解析 当 m0 时，两条直线方程分别化为2xy10,3x0，此时 两条直线不平行；当 m0 时，由于 l1l2，则m2 3 1 m，解得 m1 或 3， 经验证满足条件综上，m1 或 3.故选 D. 答案答案 解析解析 3过两直线 l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交点和原点的直线 方程为( ) A19x9y0 B9x19y0 C19x3y0 D3x1
24、9y0 答案答案 解析 解法一：解方程组 x3y40， 2xy50， 可得两条直线的交点坐标为 19 7 ，3 7 ，又因为所求直线过原点，所以其斜率为 3 19，方程为 y 3 19x， 即 3x19y0. 解法二：根据题意可设所求直线方程为 x3y4(2xy5)0，因 为此直线过原点，所以 450，4 5.所以 x3y4 4 5(2xy5)0， 整理得 3x19y0. 解析解析 4(2019 南昌检测)直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线的方程是 ( ) A3x4y50 B3x4y50 C3x4y50 D3x4y50 解析 在所求直线上任取一点 P(x， y)， 则点 P 关于 x
25、轴的对称点 P(x， y)在已知的直线 3x4y50 上，所以 3x4(y)50，即 3x4y5 0. 答案答案 解析解析 5若直线 l 经过点(1，2)，且原点到直线 l 的距离为 1，则直线 l 的方程为( ) A3x4y50 Bx1 C3x4y50 或 y1 D3x4y50 或 x1 答案答案 解析 当直线 l 的斜率不存在时， 直线方程为 x1， 满足原点到直线 l 的距离为 1，x1.当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y2 k(x1)，即 kxyk20，由原点到直线 l 的距离为 1， |k2| k211， 解得k3 4.从而得直线l的方程为y2 3 4(x1)， 即3x4y5
26、0.综上可得， 直线 l 的方程为 x1 或 3x4y50. 解析解析 6(2019 葫芦岛模拟)当点 P(3,2)到直线 mxy12m0 的距离最大 时，m 的值为( ) A3 B0 C1 D1 解析 直线 mxy12m0 可化为 ym(x2)1，故直线过定点 Q(2,1)，当 PQ 和直线垂直时，距离取得最大值，故 m kPQm 21 32m 1 1，m1. 答案答案 解析解析 7已知直线 l 被两条直线 l1：4xy30 和 l2：3x5y50 截得的 线段的中点为 P(1,2)，则直线 l 的一般式方程为( ) A3xy50 B3xy10 Cx3y70 Dx3y50 解析 设 l 与
27、l1的交点坐标为 A(a，y1)，l 与 l2的交点坐标为 B(b，y2)， y14a3，y23b 5 1，由中点坐标公式得ab 2 1， y1y2 2 2，即 a b2，(4a3) 3b 5 1 4，解得 a2，b0，A(2,5)，B(0， 1)，l 的方程为 3xy10. 答案答案 解析解析 8点(2,1)关于直线 xy10 的对称点为_ 解析 设对称点为(x0，y0)，则 y01 x021， x02 2 y 01 2 10， 解得 x00， y03， 故所求对称点为(0,3) (0,3) 解析解析 9若两平行直线 3x2y10,6xayc0 之间的距离为2 13 13 ，则 实数 c 的
28、值是_ 解析 直线 6xayc0 的方程可化为 3xa 2y c 20， 由题意得 a 2 2 且 c 2 1，解得 a4，c2.根据两平行直线的距离为 2 13 13 ，得 1c 2 3222 2 13 13 ，所以 1c 2 2，解得 c2 或6. 2 或6 解析解析 10以 A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的ABC，其边 AB 上的高所在的 直线方程是_ 解析 由 A，B 两点得 kAB1 2，则边 AB 上的高所在直线的斜率为2， 故所求直线方程是 y42(x5)，即 2xy140. 2xy140 解析解析 1已知 b0，直线(b21)xay20 与直线 xb2y10 垂
29、直，则 ab 的最小值为( ) A1 B2 C2 2 D2 3 B组组 能力关能力关 解析 由已知两直线垂直， 得(b21)ab20， 即 ab2b21， 又 b0， abb1 b.由基本不等式得 b 1 b2 b 1 b2，当且仅当 b1 时等号成 立，(ab)min2.故选 B. 答案答案 解析解析 2两条平行线 l1，l2分别过点 P(1,2)，Q(2，3)，它们分别绕 P，Q 旋转，但始终保持平行，则 l1，l2之间距离的取值范围是( ) A(5，) B(0,5 C( 34，) D(0， 34 解析 当 PQ 与平行线 l1，l2垂直时，|PQ|为平行线 l1，l2间的距离的最 大值，
30、为 122232 34，l1，l2之间距离的取值范围是(0， 34故选 D. 答案答案 解析解析 3已知三条直线 2x3y10,4x3y50，mxy10 不能构成 三角形，则实数 m 的取值集合为( ) A. 4 3， 2 3 B. 4 3， 2 3 C. 4 3， 2 3， 4 3 D. 4 3， 2 3， 2 3 答案答案 解析 设 l1：2x3y10，l2：4x3y50，l3：mxy10，易 知 l1与 l2交于点 A 1，1 3 ，l3过定点 B(0，1)因为 l1，l2，l3不能构成 三角形，所以 l1l3或 l2l3或 l3过点 A.当 l1l3时，m2 3；当 l2l3 时，m
31、4 3；当 l3 过点 A 时，m2 3，所以实数 m 的取值集合为 4 3， 2 3， 2 3 . 故选 D. 解析解析 4 (2019 保定模拟)设点 P 为直线 l： xy40 上的动点， 点 A(2,0)， B(2,0)，则|PA|PB|的最小值为( ) A2 10 B. 26 C2 5 D. 10 答案答案 解析 依据题意作出图象如下， 解析解析 设点 B(2,0)关于直线 l 的对称点为 B1(a，b)，则它们的中点坐标为 a2 2 ，b 2 ，且|PB|PB1|，由对称性，得 b0 a211， a2 2 b 240， 解得 a4，b2，所以 B1(4,2)，因为|PA|PB| |
32、PA|PB1|，所以当 A，P，B1三点共线时，|PA|PB|最小，此时最小值 为|AB1| 4222022 10. 解析解析 5已知曲线 y4 x在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且两直线之间的距 离为 17，则直线 l 的方程为_ 解析 y 4 x2， 所以曲线 y 4 x在点 P(1,4)处的切线的斜率 k 4 12 4，则切线方程为 y44(x1)，即 4xy80.所以可设直线 l 的方 程为 4xyC0，由 |C8| 421 17，得 C9 或 C25，所以所求直线 方程为 4xy90 或 4xy250. 4xy90 或 4xy250 解析解析 6在ABC 的顶点 A(5,1
33、)，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2xy 50，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x2y50，则直线 BC 的方程 为_ 解析 由 AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x2y50 可以知道 kAC 2，又 A(5,1)， AC 边所在直线方程为 2xy110， 联立直线 AC 与直线 CM 方程得 2xy110， 2xy50， 解得 x4， y3， 所以顶点 C 的坐标为 C(4,3) 6x5y90 解析解析 设 B(x0，y0)，AB 的中点 M 为 x05 2 ，y 01 2 ， 由 M 在直线 2xy50 上，得 2x0y010， B 在直线 x2y50 上，得 x02y
34、050， 联立 2x0y010， x02y050. 解得 x01， y03， 所以顶点 B 的坐标为(1，3) 于是直线 BC 的方程为 6x5y90. 解析解析 解 (1)证明：直线 l 的方程可化为 a(2xy1)b(xy1)0，由 2xy10， xy10， 得 x2， y3， 所以直线 l 恒过定点(2,3) 解解 7已知直线 l：(2ab)x(ab)yab0 及点 P(3,4) (1)证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程 (2)由(1)知直线 l 恒过定点 A(2,3)， 当直线 l 垂直于直线 PA 时，点 P 到直线 l 的距离最大 又因为直线 PA 的斜率 kPA43 32 1 5， 所以直线 l 的斜率 kl5. 故直线 l 的方程为 y35(x2)，即 5xy70. 解解 本课结束本课结束
