1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第4 4讲讲 直线与圆、圆与圆的位置关直线与圆、圆与圆的位置关 系系 第八章 平面解析几何 考纲解读 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根 据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系(重点) 2能够求出圆的切线、弦长、能利用圆系解决相关问题，同时在解题时注 意基本运算、等价转化及数形结合思想的运用(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容预测 2021 年 高考将会考查：直线与圆位置关系的判断及应用；直线与圆相交的弦 长问题；利
2、用直线与圆位置关系求参数的取值范围问题试题以客观题 形式呈现，难度一般不大，属中档题型此外也不要忽略在解答题中出现 的可能性. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.直线与圆的位置关系 设直线 l：AxByC0(A2B20)， 圆：(xa)2(yb)2r2(r0)， d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的 一元二次方程的判别式为 . 方法位置关系 几何法 代数法 相交 d01 _r 02 _0 相切 d03 _r 04 _0 相离 d05 _r 06 _0 0)， 圆 O2：(xa2)2(yb2)2r2 2(r20) 方法位置关 系 几何法：圆心
3、距 d 与 r1，r2的 关系 代数法：两圆方程联立组成方 程组的解的情况 外离 01 _ 02 _ 外切 03 _ 一组实数解 相交 04 _ 两组不同的实数解 内切 d|r1r2|(r1r2) 05 _ 内含 0dr1r2 无解 dr1r2 |r1r2|dr1r2 一组实数解 无解 3必记结论 当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径 构成一个直角三角形 (1)两圆相交时公共弦的方程 设圆 C1：x2y2D1xE1yF10， 圆 C2：x2y2D2xE2yF20， 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得， 即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)
4、0. (2)两个圆系方程 过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程： x2y2DxEyF(AxByC)0(R)； 过圆 C1：x2y2D1xE1yF10 和圆 C2：x2y2D2xE2yF2 0 交点的圆系方程：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2) 0(1)(其中不含圆 C2，因此注意检验 C2是否满足题意，以防丢解) (3)弦长公式|AB| 1k2|xAxB| 1k2xAxB24xAxB. 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 1概念辨析 (1)“k2”是“直线 xyk0 与圆 x2y22 相切”的必要不充分 条件( ) (2)过圆 O：x2y2r2
5、上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0 xy0y r2.( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( ) (4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公 共弦所在的直线方程( ) 2小题热身 (1)直线 xy10 与圆 x2y21 的位置关系为( ) A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离 解析 圆心(0,0)到直线 xy10 的距离 d 1 2 2 2 ，而 0 2 2 1.故 选 B. 答案答案 解析解析 (2)已知直线 l：yk(x 3)和圆 C：x2(y1)21，若直线 l 与圆 C 相切，则 k( ) A0 B. 3 C. 3
6、3 或 0 D. 3或 0 解析 因为直线 l 与圆 C 相切，所以圆心 C 到直线 l 的距离 d |1 3k| 1k2 1，解得 k0 或 k 3.故选 D. 答案答案 解析解析 (3)圆 x2y24 与圆 x2y24x4y120 的公共弦所在的直线方程 为_ 解析 由 x2y240， x2y24x4y120， 得 4x4y80， 即 xy20. xy20 解析解析 (4)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x2y30 被圆(x2)2(y1)2 4 截得的弦长为_ 解 析 圆 心 为 (2 ， 1) ， 半 径 r 2. 圆 心 到 直 线 的 距 离 d |2213| 14 3 5 5
7、，所以弦长为 2 r2d2222 3 5 5 22 55 5 . 2 55 5 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1直线 kxy2k0 与圆 x2y22x80 的位置关系为( ) A相交或相切或相离 B相交或相切 C相交 D相切 题型一题型一 直线与圆的位置关系的判断直线与圆的位置关系的判断 解析 解法一： 直线kxy2k0的方程可化为k(x1)(y2)0， 恒过定点(1,2)， 因为 12222180，所以点(1,2)在圆 x2y22x80 的内部， 所以直线 kxy2k0 与圆 x2y22x80 相交 答案答案 解析解析 解法二：圆的方程可化为(x1)2y232，所
8、以圆的圆心为(1,0)，半径 为 3. 圆心到直线 kxy2k0 的距离为|k2k| 1k2 2 1k20. 所以直线 kxy2k0 与圆 x2y22x80 相交 解析解析 2(2019 惠州模拟)已知圆 O：x2y24 上到直线 l：xya 的距离等 于 1 的点恰有 3 个，则实数 a 的值为( ) A2 2 B. 2 C 2或 2 D2 2或 2 2 解析 因为圆 O 的半径为 2， 若圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点恰有 3 个，则圆心到直线 l 的距离 d|a| 2 1，解得 a 2. 答案答案 解析解析 3若直线 l：xym0 与圆 C：x2y24x2y10 恒有公共点，
9、 则 m 的取值范围是( ) A 2， 2 B2 2，2 2 C 21， 21 D2 21,2 21 解析 解法一：由 xym0， x2y24x2y10， 消去 y 整理得 2x2 (2m6)xm22m10. 由 (2m6)242(m22m1)4(m22m7)0， 解得2 21m2 21. 答案答案 解析解析 解法二：圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)24. 圆心坐标为(2,1)，半径 r2. 由题意得圆心到直线 xym0 的距离 d |21m| 12122，解得2 21m2 21. 解析解析 判断直线与圆的位置关系的常用方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系见举例说明 1 解法二
10、(2)代数法：联立方程之后利用 判断见举例说明 1 解法三 (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线 与圆相交如举例说明 1 解法一 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问 题 1已知ABC 的三边长为 a，b，c，满足直线 axby2c0 与圆 x2 y24 相离，则ABC 是( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D以上情况都有可能 解析 直线 axby2c0 与圆 x2y24 相离，圆心到直线的距 离 2c a2b22，即 c 2a2b2.故ABC 是钝角三角形故选 C. 答案答案 解析解析 2若直线 l：xym 与曲线 C：y 1
11、x2有且只有两个公共点，则 m 的取值范围是_ 解析 画出图象如图，当直线 l 经过点 A，B 时，m1，此时直线 l 与 曲线 y 1x2有两个公共点，当直线 l 与曲线相切时，m 2，因此当 1mr1r2.所以两圆相离 相离 解析解析 解 (1)证明：圆 C1的圆心 C1(1,3)，半径 r1 11， 圆 C2的圆心 C2(5,6)，半径 r24， 两圆圆心距 d|C1C2|5，r1r2 114，|r1r2|4 11， |r1r2|d0)的公共弦长为 2 3，则 a_. 解析 两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为 y1 a，如图，由 已知得|AC| 3，|OA|2，|OC|1 a1，a
12、1. 1 解析解析 3 课时作业课时作业 PART THREE 1已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的 位置关系是( ) A相切 B相交 C相离 D不确定 A组组 基础关基础关 解析 因为点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，所以 a2b21，圆 O 的 半径为 1，圆 O 的圆心到直线 axby10 的距离 d 1 a2b20)上，且与直线 2xy10 相切的面积最小的 圆的方程为( ) A(x1)2(y2)25 B(x2)2(y1)25 C(x1)2(y2)225 D(x2)2(y1)225 答案答案 解析 由圆心在曲线 y2 x(x0)上，设
13、圆心坐标为 a，2 a ，a0.又圆与直 线 2xy10 相切，所以圆心到直线的距离 d 2a2 a1 5 41 5 5，当 且仅当 2a2 a，即 a1 时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小 值为 5，则所求圆的方程为(x1)2(y2)25. 解析解析 8 (2019 天津河西区模拟)垂直于直线 yx1 且与圆 x2y21 相切于 第一象限的直线方程是_ 解析 设直线方程为yxb(b0)与圆x2y21相切， 所以d |b| 2 1，b 2，所以 yx 2，即 xy 20. xy 20 解析解析 9(2019 烟台模拟)已知圆 x2y24x50 的弦 AB 的中点为(1,1)，
14、直线 AB 交 x 轴于点 P，则PA PB 的值为_ 解析 设 M(1,1)，圆心 C(2,0)，因为 kMC 10 121，ABMC， 所以 kAB1，所以直线 AB 的方程为 y1(x1)，即 xy0，联立 方程 x2y24x50， xy0， 得 2x24x50，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x25 2，易知点 P 的坐标为(0,0)，所以PA PB x1x2y1y22x1x25. 5 解析解析 10一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3y0 上，且在直线 yx 上截 得的弦长为27，则该圆的方程为 _ 解析 所求圆的圆心在直线 x3y0 上， 设所求圆的圆心为(3a，
15、a)， 又所求圆与 y 轴相切，半径 r3|a|， 又所求圆在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，圆心(3a，a)到直线 yx 的距离 d|2a| 2 ， d2( 7)2r2，即 2a279a2，a 1. 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29. (x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29 解析解析 1已知方程 kx32k 4x2有两个不同的解，则实数 k 的取值范 围是( ) A. 5 12， 3 4 B. 5 12，1 C. 5 12， 3 4 D. 0，3 4 B组组 能力关能力关 答案答案 解析 由题意得，半圆 y 4x2和直线 ykx2k3 有两个交点
16、， 又直线 ykx2k3 过定点 C(2,3)，如图 当直线在 AC 位置时，斜率 k30 22 3 4. 当直线和半圆相切时，由半径 2|002k3| k21 ， 解得 k 5 12，故实数 k 的取值范围是 5 12， 3 4 . 解析解析 2已知在圆 M：x2y24x2y0 内，过点 E(1,0)的最长弦和最短弦 分别是 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为( ) A3 5 B6 5 C4 15 D2 15 解析 圆 x2y24x2y0 可化为(x2)2(y1)25，圆心 M(2， 1)，半径 r 5，最长弦为圆的直径，|AC|2 5.BD 为最短弦，AC 与 BD 垂直，易求得
17、|ME| 2，|BD|2|BE|2 522 3.S 四边形ABCDS ABDSBDC 1 2 |BD| |EA| 1 2 |BD| |EC| 1 2 |BD| (|EA|EC|) 1 2 |BD| |AC| 1 2 2 32 52 15.故选 D. 答案答案 解析解析 3(2020 南阳高三阶段考试)若不同的两点 P，Q 的坐标分别为(a，b)， (3b,3a)，则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为_，圆(x2)2(y 3)21 关于直线 l 对称的圆的方程为_ 解析 kPQ3ab 3ba1，故直线 l 的斜率为1，由点斜式可知 l 的方 程为 yx3，圆心(2,3)关于直线 yx3 的对
18、称点为(0,1)，故所求圆 的方程为 x2(y1)21. 1 解析解析 x2(y1)21 4(2019 广东省六校联考)已知点 P(1,2)及圆(x3)2(y4)24，一 光线从点 P 出发，经 x 轴上一点 Q 反射后与圆相切于点 T，则|PQ|QT|的 值为_ 4 3 解析 点 P 关于 x 轴的对称点为 P(1， 2) 由反射的对称性可知， PQ 与圆相切，|PQ|QT|PT|. 圆(x3)2(y4)24 的圆心坐标为 A(3,4)，半径 r2，|AP|2 (13)2(24)252，|AT|r2， |PQ|QT|PT| |AP|2|AT|24 3. 解析解析 解 (1)联立，得 y2x4
19、， yx1， 解得 C(3,2)，则过点 A 的圆 C 的切线的 斜率一定存在， 设过点 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 ykx3， 则 |3k1| k211， 解得 k0 或3 4，故所求切线方程为 y3 或 3x4y120. 解解 5(2019 重庆一中模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0，3)，直线 l： y2x4 与直线 m：yx1 的交点为圆 C 的圆心，设圆 C 的半径为 1. (1)过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； (2)过点 A 作斜率为1 2的直线 l 交圆 C 于 A，B 两点，求弦 AB 的长 (2)易得直线 l： x2y60， 则圆心 C 到直线
20、 l 的距离 d|3226| 1222 5 5 ， 则弦长|AB|211 5 4 5 5 . 解解 解 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1. 因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以|2k31| 1k2 1. 解得4 7 3 k4 7 3 . 所以 k 的取值范围为 4 7 3 ，4 7 3 . 解解 6已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交 于 M，N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 将 ykx1 代入圆 C 的方程(x2)2(y3)21， 整理得(1k2)x24(1k)x70. 所以 x1x241k 1k2 ，x1x2 7 1k2.OM ON x1x2y1y2(1k2)x1x2 k(x1x2)14k1k 1k2 8. 由题设可得4k1k 1k2 812，解得 k1， 所以 l 的方程为 yx1. 故圆 C 的圆心(2,3)在 l 上，所以|MN|2. 解解 本课结束本课结束
