1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第6 6讲讲 几何概型几何概型 第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 考纲解读 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率 2了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率(重 点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一预测 2021 年将会考查：与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合； 与面积有关的几何概型，常涉及线性规划、定积分等内容题型为客观 题，试题难度不大，属中、低档试题. 1 基础知识过关基础知识过关 P
2、ART ONE 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的01 _ 成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 2几何概型的两个基本特点 长度(面积或体积) 3几何概型的概率公式 P(A)01 _. 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 1概念辨析 (1)几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数 是有限的( ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关( ) (3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地 取一点，该区域中的每一点
3、被取到的机会相等( ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形( ) 2小题热身 (1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小 球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 ( ) 解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率 依次为 P(A)3 8， P(B) 2 8， P(C) 2 6， P(D) 1 3， 所以 P(A)P(C)P(D)P(B) 故 选 A. 答案答案 解析解析 (2)在区间2,4上随机地取一个数 x， 若 x 满足|x|m 的概率为5 6， 则 m ( ) A1 B2 C3 D4 解析 区间2,
4、4的长度为 6，在2,4上随机地取一个数 x，若 x 满 足|x|m 的概率为5 6，则对应区间长度为 5，由2,3的长度为 5，得 m3. 答案答案 解析解析 (3)(2019 福州四校联考)如图，在圆心角为 90 的扇形 AOB 中，以圆心 O 为起点在AB 上任取一点 C 作射线 OC，则使得AOC 和BOC 都不小 于 30 的概率是( ) A.1 3 B.2 3 C.1 2 D.1 6 答案答案 解析 记事件T是“作射线OC， 使得AOC和BOC都不小于30 ”， 如图，记AB 的三等分点为 M，N，连接 OM，ON，则AONBOM MON30 ，则符合条件的射线 OC 应落在扇形
5、MON 中，所以 P(T) MON AOB 30 90 1 3，故选 A. 解析解析 (4)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中 心，在正方体 ABCDA1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大 于 1 的概率为_ 解析 正方体的体积为 2228，以 O 为球心，1 为半径且在正方 体内部的半球的体积为1 2 4 3r 31 2 4 3 132 3 ， 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1 2 3 8 1 12. 1 12 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1在区间0,2上随机地取一个数 x，
6、则事件“1log1 2 x1 2 1”发 生的概率为( ) A.3 4 B.2 3 C.1 3 D.1 4 答案答案 题型一题型一 与长度与长度(角度角度)有关的几何概型有关的几何概型 解析 不等式1log1 2 x1 2 1 可化为 log1 22log 1 2 x1 2 log1 2 1 2，即 1 2 x1 22，解得 0 x 3 2，故由几何概型的概率公式得 P 3 20 20 3 4. 解析解析 条件探究 1 将本例中的条件“1log1 2 x1 2 1”改为“使函数 y log1 24x3有意义”，则其概率为_ 解析 由 log1 2(4x3)0 得 04x31，即 x 3 4，1
7、 ，由几何概型的 概率公式，得 P 13 4 20 1 8. 1 8 解析解析 条件探究 2 将本例中的条件“1log1 2 x1 2 1”改为“22x 1 2 4”，则其概率为_ 解析 由 22x1 24 得 1x 1 22，即 x 1 2， 3 2 ，由几何概型的概 率公式，得 P 3 2 1 2 20 1 2. 1 2 解析解析 2 (2019 东北三省三校联考)如图， 在直角梯形 ABCD 中， ABC90 ， ABAD1， BC 3， 在边 AD 上任取点 E， 连接 BE 交 AC 于点 F， 则 AF1 2 的概率为_ 3 3 解析 由题意，得ABC 为直角三角形，由 AB1，B
8、C 3，得 AC 2.当 AF1 2时，CF 3 2，因为AFECFB，所以 AE AF BC CF，即 AE 1 2 3 3 2 ， 所以 AE 3 3 ， 且点 E 的活动区域为线段 AD， AD1.所以 AF1 2的概率为 3 3 1 3 3 . 解析解析 3如图，在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 作射线 CM 交 AB 于点 M，则使得 AM 小于 AC 的概率为_ 3 4 解析 当 AMAC 时，ACM 为以 A 为顶点的等腰三角形，ACM 180 45 2 67.5 .当ACM67.5 时，AMAC，所以 AM 小于 AC 的概率 PACM的度数 ACB的度数 67.5
9、 90 3 4. 解析解析 1与长度有关的几何概型 (1)如果试验结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计 算公式为 P(A) 构成事件A的区域长度 试验的全部结果所构成的区域长度. (2)与时间、不等式及其解有关的概率问题 与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转 化为与长度有关的几何概型，利用几何概型求解 2与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为 区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手 段 1(2019 河南八市重点高中联盟模拟)函数 f(x)x22x 8(4x6)，在其定义域内任取一点 x
10、0，使 f(x0)0 的概率是( ) A. 3 10 B.2 3 C.3 5 D.4 5 解析 由题意，得 f(x0)0，即x2 02x080，解得x0|2x04， 所以由长度的几何概型可得概率为 P42 64 3 5. 答案答案 解析解析 2如图，四边形 ABCD 为矩形，AB 3，BC1，以 A 为圆心，1 为 半径作四分之一个圆弧DE ，在DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 . 1 3 解析 因为在DAB 内任作射线 AP， 则等可能基本事件为“DAB 内 作射线 AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域是DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时
11、，射线 AP 落在CAB 内，区域为CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为CAB DAB 30 90 1 3. 解析解析 角度 1 与随机模拟相关的几何概型 1(2019 郑州三模)关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的 求法，如著名的蒲丰试验受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来 估计 的值，试验步骤如下：先请高二年级 n 名同学每人在小卡片上随 机写下一个实数对(x，y)(0x1,0y1，则实数对 (x，y)在如图所示的阴影部分(不包括边界)，则能构成锐角三角形的概率为 1 4 1 m n ，解得 4nm n . 解析解析 角度 2 与平面图形面积有关的问题 2(2
12、019 晋冀鲁豫中原名校联考)1876 年 4 月 1 日，加菲尔德在新英 格兰教育日志上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形 ABCD 中， 利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和 等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881 年加菲尔德就 任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证 明，就把这一证明方法称为“总统证法”如图，设BEC15 ，在梯形 ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角三角形 CDE 中(阴影部分)的概 率是( ) A. 3 2 B.3 4 C.2 3 D. 2 2 答案答案 解析 在直角三角形 EBC 中
13、，accos15 ，bcsin15 ，则 P SCDE S梯形ABCD 1 2c 2 1 2ab 2 c2 c2cos15 sin15 2 1 1sin30 2 3. 解析解析 角度 3 与线性规划有关的几何概型 3(2019 大庆模拟)设不等式组 x20， xy0， xy0， 表示的平面区域为 ，在 区域 内任取一点 P(x，y)，则 P 点的坐标满足不等式 x2y22 的概率为 ( ) A. 8 B. 4 C. 1 2 D. 1 2 答案答案 解析 画出 x20， xy0， xy0 所表示的区域 ，易知 A(2,2)，B(2，2)，所 以AOB 的面积为 4，满足不等式 x2y22 的点，
14、在区域 内是一个以原 点为圆心， 2为半径的1 4圆面，其面积为 2，由几何概型的公式可得其概率 为 P 2 4 8. 解析解析 角度 4 与定积分有关的几何概型 4(2019 常德一中模拟)如图，在矩形 OABC 中的曲线分别是 ysinx， ycosx 的一部分，A 2，0 ，C(0,1)，在矩形 OABC 内随机取一点，若此点 取自阴影部分的概率为 p1，取自非阴影部分的概率为 p2，则( ) Ap1p2 Cp1p2 D大小关系不能确定 答案答案 解析 根据题意，得阴影部分的面积的一半为 4 0 (cosxsinx)dxsinx cosx| 4 0 21，于是此点取自阴影部分的概率为 p
15、12 21 2 4 21 41.41 3.2 1 2.又 p21p1p2. 解析解析 1与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路 利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形 状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率见 举例说明 1、2. 2与线性规划交汇问题的解题思路 先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公 式求概率见举例说明 3. 3与定积分交汇问题的解题思路 先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的 计算，并求其大小，进而代入公式求概率见举例说明 4. 1中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”太极图是
16、由黑 白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、 和谐美 按照太极图的构图方法， 在平面直角坐标系中， 圆 O 被函数 y3sin 6 x 的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中小圆的半径均为 2，现从 大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A.1 9 B.2 9 C. 1 18 D. 1 36 答案答案 解析 因为函数 y3sin 6x 的图象与 x 轴交于点(6,0)和点(6,0)，则大 圆的半径为 6，所以 S 大圆36.又小圆的半径为 2，故两个小圆的面积和为 8，所以所求的概率为 P 8 36 2 9. 解析解析 2如图，点 A 的坐标为(
17、1,0)，点 C 的坐标为(2,4)，函数 f(x)x2.若在 矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_ 5 12 解析 由题图可知 S 阴影S矩形ABCD 1 2x2dx14x 3 3 |2 14 8 3 1 3 5 3， 则所求事件的概率 P S阴影 S矩形ABCD 5 3 4 5 12. 解析解析 解 (1)设(a，b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件共 36 个 用 A 表示事件“yf(x)恰有一个零点”，即 (a1)24b20， 则 a12b.则 A 包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共 3 个，所以 P(A) 3 36 1 12.
18、 即事件“yf(x)恰有一个零点”的概率为 1 12. 解解 3已知关于 x 的二次函数 f(x)b2x2(a1)x1. (1)若 a，b 分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求 yf(x)恰有一个 零点的概率； (2)若 a，b1,6，求满足 yf(x)有零点的概率 (2)用 B 表示事件“yf(x)有零点”，即 a12b.试验的全部结果所构 成的区域为(a，b)|1a6,1b6，构成事件 B 的区域为(a， b)|1a6,1b6，a2b10 如图所示： 所以所求的概率为 P(B) 1 25 5 2 55 1
19、4. 解解 某个四面体的三视图如图所示，若在该四面体的外接球内任取一点， 则点落在四面体内的概率为( ) A. 9 13 B. 1 13 C.9 13 169 D. 13 169 题型三题型三 与体积有关的几何概型与体积有关的几何概型 答案答案 解析 由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为 3 2的等腰直角三角形，高为 4，所以该三棱锥的体积为 12，又外接球的直 径 2r 为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长、 宽、 高所作的长方体的对角线， 即 2r 423 223 222 13，所以球的体积为52 13 3 ，所以点落在 四面体内的概率为 12 52 13 3 9 13 16
20、9 . 解析解析 与体积有关的几何概型问题 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表 示，则其概率的计算公式为： P(A) 构成事件A的区域体积 试验的全部结果所构成的区域体积. 求解的关键是计算事件的总体积以及事件 A 的体积. 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，在正方体内随机取点 M， 则使四棱锥 MABCD 的体积小于1 6的概率为_ 1 2 解析 过 M 作平面 平面 ABCD，则两平面间的距离是四棱锥 MABCD 的高，显然 M 在平面 上任意位置时，四棱锥 MABCD 的体 积都相等若此时四棱锥 MABCD 的体积等于1 6.只要 M 在截面以下
21、即可 小于1 6，当 VMABCD 1 6时，即 1 311h 1 6，解得 h 1 2，即点 M 到底面 ABCD 的距离，所以所求概率 P 111 2 111 1 2. 解析解析 3 课时作业课时作业 PART THREE 1在区间0,2上随机取一个数 x，则事件“sinx1 2”发生的概率为 ( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 A组组 基础关基础关 解析 当 x0,2时，由 sinx1 2得 0 x 6或 5 6 x2，因此所求概 率为 P1 5 6 6 2 2 3. 答案答案 解析解析 2 (2019 山东师范大学附中模拟)“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝， “火 纹”
22、是常见的一种传统纹样为了测算某火纹纹样(如图中阴影部分所示) 的面积，作一个边长为 5 的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投 掷 1000 个点，已知恰有 400 个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面 积是( ) A2 B3 C10 D15 答案答案 解析 设阴影部分的面积是 S，由题意得 400 1000 S 52，S10，选 C. 解析解析 3(2019 陕西南郑中学模拟)如图，矩形 OABC 的四个顶点依次为 O(0,0)，A 2，0 ，B 2，1 ，C(0,1)，记线段 OC，CB 以及 ysinx 0 x 2 的 图象围成的区域(图中阴影部分)为 ，若向矩形 OABC 内任
23、意投一点 M，则 点 M 落在区域 内的概率为( ) A. 2 2 B.1 C.2 D12 答案答案 解析 易知题图中矩形空白处的面积 S 2 0 sinxdx(cosx)| 2 0 1， 故 阴影部分的面积为 1 2S 21， 由几何概型的概率计算公式可得所求概 率 P 21 2 12 . 解析解析 4古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的 “中末比”问题：将一线段 AB 分为两线段 AC，CB，使得其中较长的一段 AC 是全长 AB 与另一段 CB 的比例中项，即满足AC AB BC AC 51 2 0.618. 后人把这个数称为黄金分割数，把点 C 称为线段 AB 的
24、黄金分割点在 ABC 中，若点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，在ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为( ) A. 51 2 B. 52 C. 51 4 D. 52 2 答案答案 解析 设 BC1，则 BQPC 51 2 ，所以 BCPQBQPC 51，所以 PQ 52，所以所求概率 PS APQ SABC PQ BC 52.故选 B. 解析解析 5已知区域 (x，y)|xy6，x0，y0，区域 E(x，y)|x 2y0，x4，y0，若向区域 内随机投一点 P，则点 P 落在区域 E 内 的概率为( ) A.1 3 B.2 3 C.1 9 D.2 9 答案答案 解析
25、 如图，区域 表示的平面区域为AOB 的边界及其内部，区域 E 表示的平面区域为COD 的边界及其内部，所以点 P 落在区域 E 内的概 率为 SCOD SAOB 1 224 1 266 2 9.故选 D. 解析解析 6(2019 青岛二中模拟)在区间2,2上随机取一个数 b.若使直线 yx b 与圆 x2y2a 有交点的概率为1 2，则 a( ) A.1 4 B.1 2 C1 D2 解析 由直线 yxb 与圆 x2y2a 有交点，得圆心到直线的距离 d |b| 2 a，解得 b 2a， 2a又 b2,2，且直线 yxb 与圆 x2y2a 有交点的概率为 1 2 ，所以由几何概型的概率公式可知
26、 P 2a 2a 22 1 2，解得 a 1 2. 答案答案 解析解析 7 如图， 正四棱锥 SABCD 的顶点都在球面上， 球心 O 在平面 ABCD 上，在球 O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为_ 解析 设球的半径为 R，则所求的概率为 PV 锥 V球 1 3 1 22R2RR 4 3R 3 1 2. 1 2 解析解析 8(2020 安徽马鞍山月考)如图，扇形 AOB 的圆心角为 2，点 P 在弦 AB 上，且 OP 2AP，延长 OP 交弧 AB 于点 C，则AOC_；现向 该扇形内随机投一点，则该点落在扇形 AOC 内的概率为_ 6 1 3 解析 在AOP 中， OP sin
27、 4 AP sinAOC， 因为 OP 2AP， 所以 sinAOC 1 2，所以AOC 6.向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形 AOC 内的概 率为 P 6 2 1 3. 解析解析 1已知 P 是ABC 所在平面内的一点，且PB PC 4PA 0，现向 ABC 内随机投掷一根针，则该针扎在PBC 内的概率为( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 B组组 能力关能力关 答案答案 解析 如图所示，以 PB，PC 为邻边作平行四边形 BPCD，连接 PD 交 BC 于点 O，PB PC 4PA 0，PB PC PD ，PD 4PA ，2PO 4PA ，则PO 2PA ， 点 P
28、到 BC 的距离是点 A 到 BC 距离的2 3，SPBC 2 3SABC，因此向 ABC 内随机投掷一根针，则该针扎在PBC 内的概率为S PBC SABC 2 3.故选 D. 解析解析 2已知区域 A 内的点满足不等式组 x0， xy20， 2xy40， 在区域 A 内任取 一点 P(a，b)，则函数 f(x)x22axb 有零点的概率为( ) A.29 36 B.17 18 C. 7 36 D. 1 18 答案答案 解析 如图，不等式组表示的可行域为ABC 的内部及边界，易得其 面积为 6.若函数 f(x)有零点，则 4a24b0，即 ba2，则满足 ba2的 点(a，b)在曲边四边形 DOCB(阴影部分)内由 xy20， yx2， 得点 D 的坐 标为(1,1)，则曲边四边形 DOCB(阴影部分)的面积为 0 1x2dx1 2114 29 6 ，故所求的概率为 29 6 6 29 36. 解析解析 本课结束本课结束
