1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第2 2讲讲 排列与组合排列与组合 第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 考纲解读 理解排列、组合的概念及排列数与组合数公式，并能用其解决 一些简单的实际问题(重点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点命题方 向预测 2021 年将会考查：有条件限制的排列、组合问题；排列、组 合与其他知识的综合问题试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、 低档题型. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.排列与组合的概念 名称 定义 排列
2、 按照01 _排成一列 组合 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素 合成一组 2排列数与组合数 (1)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的01 _的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数， 用02 _表示 (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的03 _的个数， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数， 用04 _表示 一定的顺序 所有不同排列 Am n 所有不同组合 Cm n 3排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)Am n01 _ n！ nm！ (2)Cm nA m n Am m nn1n2nm1 m！ 02 _
3、 性质 (1)0！03 _；An n04 _ (2)Cm nC nm n ；Cm n105 _ n(n1)(n2)(nm1) n！ m！nm！ 1 n! Cm nC m1 n 4常用结论 (1)Am n(nm1)A m1 n ； Am n n nmA m n1； Am nnA m1 n1. (2)nAn nA n1 n1A n n； Am n1A m nmA m1 n . (3)1！2 2！3 3！n n！(n1)！1. (4)Cm nnm1 m Cm1 n ； Cm n n nmC m n1； Cm n n mC m1 n1. (5)kCk nnC k1 n1； Cr rC r r1C r
4、r2C r nC r1 n1. 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 1概念辨析 (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列( ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同( ) (3)若组合式 Cx nC m n，则 xm 成立( ) (4)(n1)！n！n n！.( ) 2小题热身 (1)考生甲填报某高校专业意向，打算从 5 个专业中挑选 3 个，分别作 为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有( ) A10 种 B60 种 C125 种 D243 种 解析 由题意，知不同的填法有 A3 560(种) 答案答案 解析解析 (2)从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名，其
5、中至少有 1 名女生的选法共 有_种 解析 分两类： 第 1 类是有 1 名女生，共有 C1 2 C 2 621530 种； 第 2 类是有 2 名女生，共有 C2 2 C 1 6166 种 由分类加法计数原理，得共有 30636 种 36 解析解析 (3)有大小和形状完全相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，将它们排 成一排，共有_种不同的排列方法 解析 8 个小球排好后对应着 8 个位置， 题中的排法相当于在 8 个位置 中选出 3 个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这 3 个红球完全相同， 所以没有顺序，是组合问题这样共有 C3 856 种排法 56 解析解析 (4)安排 3 名志
6、愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有_种 解析 先将 4 项工作分为 3 组， 再排列， 共有 C2 4A 3 336 种不同的方法 36 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 题型一题型一 排列问题排列问题 7 位同学站成一排： (1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少 种？ (6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多
7、少种？ (7)甲总在乙的前面的排法有多少种？ 解 (1)其中甲站在中间的位置，共有 A6 6720 种不同的排法 (2)甲、乙只能站在两端的排法共有 A2 2A 5 5240 种 (3)7 位同学站成一排，共有 A7 7种不同的排法； 甲排头，共有 A6 6种不同的排法； 乙排尾，共有 A6 6种不同的排法； 甲排头且乙排尾，共有 A5 5种不同的排法； 故共有 A7 72A 6 6A 5 53720 种不同的排法 (4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元 素(同学)一起进行全排列有 A6 6种方法； 再将甲、 乙两个同学“松绑”进行排 列有 A2 2种方法，所以这
8、样的排法一共有 A 6 6A 2 21440 种 解解 (5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有： 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A2 5种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A 4 4 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A2 2种方法，所以这样 的排法一共有 A2 5A 4 4A 2 2960 种方法 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素 若丙站在排头或排尾有 2A5 5种方法， 所以
9、丙不能站在排头和排尾的排法 有(A6 62A 5 5) A 2 2960 种方法 解解 解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共 有 A1 4种方法 再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A5 5种方法，最后将甲、乙两同学 “松绑”，所以这样的排法一共有 A1 4A 5 5A 2 2960 种方法 解解 (6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 解法一：(间接法)A7 7A 6 6 A 2 23600 种 解法二： (插空法)先将其余五个同学排好有 A5 5种方法， 此时他们留下六 个位置(称为“空”)，
10、再将甲、 乙同学分别插入这六个位置(空)有 A2 6种方法， 所以一共有：A2 6 A 5 53600 种 (7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有A 7 7 A2 22520 种 解解 解 先将其余四个同学排好，有 A4 4种方法，此时他们隔开了五个空位， 再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，故共有 A4 4A 3 51440 种方法 解解 解 7 位同学站成一排，共有 A7 7种不同的排法； 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A5 5A 3 3720 种 故共有 A7 7A 5 5A 3 34320 种不同的排法 结论探究 1 若将本例中的结论变为“甲、 乙、 丙三个同学都不能相邻”， 则有多
11、少种不同的排法？ 结论探究 2 若甲、 乙、 丙三位同学不都相邻， 则有多少种不同的排法？ 解 (1)站成两排(前 3 后 4)，共有 A7 75040 种不同的排法 (2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有 3 种，第二步，前 排 3 人形成了 4 个空，任选一个空加一人，有 4 种，第三步，后排 4 人形 成了 5 个空，任选一个空加一人有 5 种，此时形成 6 个空，任选一个空加 一人，有 6 种，根据分步乘法计数原理有 3456360 种方法 解解 结论探究 3 (1)若将 7 人站成两排，前排 3 人，后排 4 人，共有多少 种不同的排法？ (2)若现将甲、乙、丙三人加入队列
12、，前排加 1 人，后排加 2 人，其他 人保持相对位置不变，则有多少种不同的加入方法？ 1求解有限制条件排列问题的主要方法 分类 法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别 计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数见 举例说明(3) 直 接 法 分步 法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出 各步骤的排列数， 再由分步乘法计数原理得出总数 见举例说明(4) 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素 进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列见举例说明(5) 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不 相邻
13、的元素插在前面元素排列的空中见举例说明(6)解法二 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素 的全排列见举例说明(7) 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法见举例说 明(3)，(5)解法二，(6)解法一 2解决有限制条件排列问题的策略 (1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步， 即先安排特殊元素或特殊位 置 (2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类 提醒：(1)分类要全，以免遗漏 (2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻 元素的排列数 (3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确. 1(2020 六盘山高级中学月考)
14、某小区有排成一排的 7 个车位，现有 3 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的 4 个车位连在一起，那么不同 的停放方法的种数为( ) A18 B24 C32 D64 解析 首先安排 3 辆车的位置，假设车位是从左到右一共 7 个，当 3 辆车都在最左边时，不同的停放方法的种数为 A3 3，当左边 2 辆，最右边 1 辆时，不同的停放方法的种数为 A3 3，当左边 1 辆，最右边 2 辆时，不同的 停放方法的种数为 A3 3，当最右边 3 辆时，不同的停放方法的种数为 A 3 3，综 上可知，共有不同的停放方法 4A3 324 种 答案答案 解析解析 2 (2019 青岛模拟)在高三某班进行
15、的演讲比赛中， 共有 5 位选手参加， 其中 3 位女生，2 位男生，如果 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排第 一个，那么出场顺序的排法种数为_ 解析 2 位男生不能连续出场的排法共有 N1A3 3 A 2 472(种)，女生甲 排第一个且 2 位男生不能连续出场的排法共有 N2A2 2 A 2 312(种)，所以出 场顺序的排法种数为 NN1N260. 60 解析解析 1将 12 个相同的小球放入编号分别为 1,2,3,4 的四个桶中，要求每个 桶中放入球的数量不得少于该桶的编号，则分配方案有( ) A10 种 B12 种 C14 种 D16 种 题型二题型二 组合问题组合问题 答案答
16、案 解析 解法一：根据题意，先在编号为 2,3,4 的 3 个桶中分别放入 1,2,3 个小球，编号为 1 的桶里不放球，再将剩下的 6 个小球放入四个桶里，每 个桶里至少一个，将 6 个球排成一排，中间有 5 个空，插入 3 块挡板分为 四堆放入四个桶中即可，共 C3 510 种方法 解法二：先在编号为 1,2,3,4 的四个桶中分别放入与编号相同的球数， 剩余 2 个球，把 2 个球放入同一个桶中有 4 种方法，2 个球放入不同的桶中 有 C2 46 种方法，所以分配方案有 4610 种 解析解析 2(2019 泉州二模)某校开设物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门选修课，甲同学需从
17、中选修 3 门，其中化学、生物两门中至少选修一门， 则不同的选法种数有_(用数字填写答案) 解析 解法一：甲同学需从 6 门中选修 3 门，化学、生物至少选修一 门，分为两类：第一类，化学、生物只选修 1 门，有 C1 2种选法，再从另外 4 门中选修 2 门，有 C2 4种选法，因此第一类共有 C 1 2C 2 4种选法；第二类，化 学、生物 2 门都选修，有 C2 2种选法，再从另外 4 门中选修 1 门，有 C 1 4种选 法， 因此第二类共有 C2 2C 1 4种选法 所以不同的选法共有 C 1 2C 2 4C 2 2C 1 416 种 解法二：甲同学需从 6 门中选修 3 门，共有
18、C3 6种选法若甲同学化学、 生物都不选修，即从物理、政治、历史、地理 4 门中选修 3 门，共有 C3 4种 选法，所以甲同学需从 6 门中选修 3 门，其中化学、生物至少选修一门， 共有 C3 6C 3 416 种选法 16 解析解析 3从一架钢琴挑出的 10 个音键中，分别选择 3 个，4 个，5 个， 10 个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声， 则这样的不同的和声个数为_(用数字作答) 解析 依题意共有 8 类不同的和声，当有 k(k3,4,5,6,7,8,9,10)个键同 时按下时，有 Ck 10种不同的和声，则和声总数为 C 3 10C 4 10C 5 1
19、0C 10 10 210C0 10C 1 10C 2 10102411045968 个 968 解析解析 1组合问题的常见题型及解题思路 (1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分 组问题等 (2)解题思路：分清问题是否为组合问题；对较复杂的组合问题， 要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将 复杂问题通过两个原理化归为简单问题见举例说明 2. 2两类带有附加条件的组合问题的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的题型：若“含有”，则先将这些 元素取出，再由另外元素补足；若“不含有”，则先将这些元素剔除，再 从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或
20、“最多”含有几个元素的题型：解这类题目要重视“至 少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接 法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解. 1若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数， 则不同取法的种数是( ) A60 B63 C65 D66 解析 因为 1,2,3，9 中共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数， 要使取出的 4 个不同的数的和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数， 或 2 个奇数和 2 个偶数，故有 C4 5C 4 4C 2 5C 2 466 种不同的取法 答案答案 解析解析 2(2019 丹东模拟)从 4
21、男 2 女共 6 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，不同 选法共有( ) A156 种 B168 种 C180 种 D240 种 解析 从 4 男 2 女共 6 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队 员 2 人组成 4 人服务队有 C1 6 C 1 5 C 2 46543 2 180 种选法，服务队中没 有女生的选法有 C1 4 C 1 3 C 2 243112 种，所以要求服务队中至少有 1 名 女生，不同选法共有 18012168 种 答案答案 解析解析 角度 1 排列组合的简单应用 1(2019 华中
22、师范大学第一附中模拟)学校组织学生参加社会调查，某 小组共有 5 名男同学，4 名女同学现从该小组中选出 3 名同学分别到 A， B，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有 ( ) A70 种 B140 种 C840 种 D420 种 答案答案 题型三题型三 排列组合的综合应用排列组合的综合应用 解析 解法一： 若选出的是 2 名男同学， 1 名女同学， 则有 C2 5C 1 4种选法； 若选出的是 1 名男同学，2 名女同学，则有 C1 5C 2 4种选法所以不同的安排方 法有(C2 5C 1 4C 1 5C 2 4)A 3 3420 种 解法二：从 9 名同学中任
23、选 3 名同学分别到 A，B，C 三地进行社会调 查的安排方法有 C3 9A 3 3种，3 名同学全是男同学或全是女同学的安排方法有 (C3 5C 3 4)A 3 3种，故选出的同学中男女均有的不同的安排方法有 C 3 9A 3 3(C 3 5 C3 4)A 3 3420(种) 解析解析 2(2019 开封模拟)某班主任准备请 2019 届毕业生做报告，要从甲、乙 等 8 人中选 4 人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加， 则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有_种(用数字 作答) 解析 若甲、乙同时参加，则有 C2 2C 2 6C 1 2A 2 2A 2 2120
24、种，若甲、乙有一 人参与，则有 C1 2C 3 6A 4 4960 种，从而总共的发言顺序有 1080 种 1080 解析解析 角度 2 分组分配问题 3将 6 名同学平均分成三组，每组两人，则不同的分组方法的种数为 ( ) A60 B30 C15 D10 解析 平均分成三组的方法种数为C 2 6C 2 4C 2 2 A3 3 15. 答案答案 解析解析 4(2019 湖南师大附中高考模拟)习近平总书记在湖南省湘西州十八洞 村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本 方略为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排 6 名高级教师(不同 姓)到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中
25、学进行扶贫支教，每所学校至少 1 人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_ 360 解析 解法一：根据 6 名高级教师到甲、乙、丙三所中学进行扶贫支 教，每所学校至少 1 人，可分四种情况： 甲校安排 1 名教师，分配方案种数有 C1 5(C 1 5C 4 4A 2 2C 2 5C 3 3A 2 2)150； 甲校安排 2 名教师，分配方案种数有 C2 5(C 1 4C 3 3A 2 2C 2 4C 2 2)140； 甲校安排 3 名教师，分配方案种数有 C3 5C 1 3C 2 2A 2 260； 甲校安排 4 名教师，分配方案种数有 C4 5C 1 2C 1 110； 由分类
26、计数原理，可得共有 1501406010360(种)分配方案 解析解析 解法二：由 6 名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情 况为 4,1,1；3,2,1；2,2,2. 对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有 C1 2种，其余 5 名分成一人组和四人组有 C 4 5A 2 2种，共 C 4 5A 2 2C 1 220(种)；李老 师分配到四人组且该组不去甲校有 C3 5C 1 2A 2 240(种)，则第一种情况共有 20 4060(种)； 对于第二种情况， 李老师分配到一人组有 C3 5C 2 2A 2 2C 1 240(种)， 李老师 分配到三人组有 C2
27、5C 2 3C 1 2A 2 2120(种)，李老师分配到两人组有 C 1 5C 1 2C 3 4A 2 2 80(种)，所以第二种情况共有 4080120240(种)； 对于第三种情况，共有 C1 5C 1 2C 2 4C 2 260(种)； 综上所述，共有 6024060360(种)分配方案 解析解析 1解决简单的排列与组合综合问题的思路 (1)根据附加条件将要完成事件先分类 (2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列 (3)由分类加法计数原理计算总数 2分组、分配问题的求解策略 (1)对不同元素的分配问题 对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是 一种情
28、况，所以分组后一定要除以 An n(n 为均分的组数)，避免重复计数见 举例说明 3. 对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若 有 m 组元素个数相等，则分组时应除以 m！ ，分组过程中有几个这样的均匀 分组，就要除以几个这样的全排列数 对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的 个数都不相等，所以不需要除以全排列数 (2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”. 1(2019 山东省实验中学模拟)给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、 油漆工三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安 排木工，则不同的安排方法共有( ) A12
29、种 B18 种 C24 种 D64 种 答案答案 解析 完成这件事情分两类：(1)1 人做木工，分两步第一步，从除甲 以外的 3 人中任选 1 人做木工，有 C1 3种方法；第二步，安排余下 3 人做泥 工、 油漆工， 有 C2 3A 2 2种方法， 因此， 1 人做木工共有 C 1 3C 2 3A 2 218(种)方法 (2)2 人做木工，也分两步第一步，从除甲以外的 3 人中选 2 人做木工，有 C2 3种 方法；第二步，安排余下 2 人做泥工、油漆工，有 A2 2种方法因此，2 人 做木工共有 C2 3A 2 26(种)方法综上所述，不同的安排方法共有 186 24(种) 解析解析 2在
30、第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便 接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在 a， b，c 三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，则这样的安 排方法共有( ) A96 种 B124 种 C130 种 D150 种 解析 五个参会国要在 a，b，c 三家酒店选择一家，且这三家都至少 有一个参会国入住，可以把 5 个参会国分成三组，一种是按照 1,1,3；另 一种是 1,2,2. 当按照 1,1,3 来分时，共有 C3 5A 3 360(种)；当按照 1,2,2 来分时，共有 C2 5C 2 3 A2 2 A3 390(种)，根据分类加法计数
31、原理，知共有 6090150(种) 答案答案 解析解析 3 课时作业课时作业 PART THREE 1从 10 名大学毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( ) A85 B56 C49 D28 A组组 基础关基础关 解析 分两类：甲、乙中只有 1 人入选且丙没有入选；甲、乙均入选 且丙没有入选，计算可得所求选法种数为 C1 2C 2 7C 2 2C 1 749. 答案答案 解析解析 2(2019 昆明质检)互不相同的 5 盆菊花，其中 2 盆为白色，2 盆为黄 色，1 盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不 相邻，黄
32、色菊花也不相邻，共有摆放方法( ) AA5 5种 BA2 2种 CA2 4A 2 2种 DC1 2C 1 2A 2 2A 2 2种 解析 由红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相 邻，则红色菊花两边各一盆白色、黄色菊花，故有 C1 2C 1 2A 2 2A 2 2种摆放方法 答案答案 解析解析 3 (2020 石家庄摸底)第十四届全国运动会将于 2021 年在陕西举办， 为 宣传地方特色，某电视台派出 3 名男记者和 2 名女记者到民间进行采访报 导工作过程中的任务划分为：“负重扛机”“对象采访”“文稿编 写”“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但 2 名女记者不参 加“
33、负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有( ) A150 B126 C90 D54 答案答案 解析 根据题意，“负重扛机”可由 1 名男记者或 2 名男记者参加， 当由 1 名男记者参加“负重扛机”工作时，有 C1 3种方法，剩余 2 男 2 女记 者可分为 3 组参加其余三项工作，共有C 2 4C 1 2 A2 2 A3 3种方法，故由 1 名男记者参 加“负重扛机”工作时，有 C1 3 C2 4C 1 2 A2 2 A3 3种方法；当由 2 名男记者参加“负重 扛机”工作时， 剩余 1 男 2 女 3 名记者各参加一项工作， 有 C2 3 A 3 3种方法 故 满足题意的不同安排方案数共有
34、C1 3 C2 4C 1 2 A2 2 A3 3C 2 3 A 3 310818126.故选 B. 解析解析 4某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类 节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( ) A72 B120 C144 D168 答案答案 解析 解法一：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目 去插空安排小品类节目和相声类节目的顺序有三种：“小品 1，小品 2， 相声”，“小品 1，相声，小品 2”和“相声，小品 1，小品 2”对于第 一种情况，形式为“ ，小品 1，歌舞 1，小品 2， ，相声， ”，有 A2 2C 1 3A 2 336 种安排
35、方法；同理，第三种情况也有 36 种安排方法；对于第二 种情况，三个节目形成 4 个空，其形式为“ ，小品 1， ，相声， ， 小品 2， ”有 A2 2A 3 448 种安排方法，故共有 363648120 种安排 方法 解法二：先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排 法共有 A3 3 A 3 4144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有 A 3 3 A 2 2 A 2 2 24(种)，于是符合题意的排法共有 14424120(种) 解析解析 5A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会A 是会议的中 心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，
36、其余 三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有( ) A60 种 B48 种 C30 种 D24 种 解析 B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，有 4 种坐法，B，C 可以交 换，有 A2 22 种坐法，其余三人坐剩余的三把椅子有 A 3 36 种坐法，故共 有 42648 种坐法故选 B. 答案答案 解析解析 6数学活动小组由 12 名同学组成，现将这 12 名同学平均分成四组分 别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出 1 名组长， 则不同的分配方案有( ) A.C 3 12C 3 9C 3 6 A3 3 A4 4种 BC3 12C 3 9C 3 6 3 4 种 C.C 3 12
37、C 3 9C 3 6 A4 4 43种 DC3 12C 3 9C 3 6 4 3 种 解析 要将 12 名同学平均分成四组，则有C 3 12C 3 9C 3 6 A4 4 种，每个组选一名组 长，故有C 3 12C 3 9C 3 6 A4 4 34种，每个组还要研究一个课题，并且只能研究一个课题， 所以相当于四个组排列选课题，故有C 3 12C 3 9C 3 6 A4 4 A4 4 3 4C3 12C 3 9C 3 6 3 4 种 答案答案 解析解析 7(2019 湖南衡阳质检)现要给一长、宽、高分别为 3,2,1 的长方体工艺 品各面涂色，有红、橙、黄、蓝、绿五种颜色的涂料可供选择，要求相邻
38、 的面不能涂相同的颜色，且橙色跟黄色二选一，红色要涂两个面，则不同 的涂色方案有( ) A48 种 B72 种 C96 种 D108 种 解析 若蓝绿选一个，由橙黄二选一，共三种颜色涂 6 个面，每一种 颜色只能涂相对的面， 故有 C1 2C 1 2A 3 324(种)； 若蓝绿选两个， 由橙黄二选一， 故共有 4 种颜色，红色只能涂相对的面，还有 4 个面，故不同的涂色方案 有 C1 3C 1 2C 1 2A 3 372(种)，根据分类加法计数原理，共有 247296(种)故选 C. 答案答案 解析解析 8(2020 柳州模拟)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿 色卡片各 4
39、 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红 色卡片至多 1 张，不同取法的种数为_ 解析 解法一： 从 16 张不同的卡片中任取 3 张， 不同取法的种数为 C3 16， 其中有 2 张红色卡片的不同取法的种数为 C2 4C 1 12，其中 3 张卡片颜色相同的 不同取法的种数为 C1 4C 3 4，所以 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至 多 1 张的不同取法的种数为 C3 16C 2 4C 1 12C 1 4C 3 4472. 解法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选 3 张，若都不同色，则不同取法的种数为 C1 4C 1 4C 1 464，若
40、2 张颜色相同，则 不同取法的种数为C2 3C 1 2C 2 4C 1 4144.若红色卡片有1张， 则剩余2张不同色时， 不同取法的种数为 C1 4C 2 3C 1 4C 1 4192，剩余 2 张同色时，不同取法的种数为 C1 4C 1 3C 2 472，所以不同的取法共有 6414419272472(种) 472 解析解析 9从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中任取 2 个数字，一共可以 组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答) 解析 若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四位数的个数为 C2 5C 2 3 A4 4；若取的 4 个数字包括 0，则可以
41、组成的四位数的个数为 C 2 5C 1 3C 1 3A 3 3.综上， 一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为 C2 5C 2 3A 4 4C 2 5C 1 3C 1 3A 3 3720 5401260. 1260 解析解析 10(2019 郑州三模)12 本相同的资料书分配给三个班级，要求每班至 少 1 本且至多 6 本，则不同的分配方法共有_种 解析 12 本相同的资料书分配给三个班级，共有 6 类分配方法： 三个班级的资料书的数量分别为 1,5,6，有 A3 36(种)分配方法； 三个班级的资料书的数量分别为 2,4,6，有 A3 36(种)分配方法； 三个班级的资料书的数量分别为
42、2,5,5，有 C1 33(种)分配方法； 三个班级的资料书的数量分别为 3,3,6，有 C1 33(种)分配方法； 三个班级的资料书的数量分别为 3,4,5，有 A3 36(种)分配方法； 三个班级的资料书的数量分别为 4,4,4，有 1 种分配方法 故共有 66336125(种)分配方法 25 解析解析 1(2019 长沙模拟)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站 法总数是( ) A72 种 B144 种 C240 种 D288 种 B组组 能力关能力关 解析 第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元 素 A，有 C1 3A 2 26 种排法第二步，假设剩下的两对夫妻
43、是 x1，x2和 y1，y2， 分成三种情况讨论：x1，x2中间有一个元素，如果是 A，则 y1，y2在两端， 有 2 种排法，如果是 y1，y2中的一个，有 12 种排法；x1，x2中间有两个 元素，只能是 A 和 y1，y2中的一个，总共有 8 种排法；x1，x2中间有三个 元素，有 2 种排法因为 x1，x2有顺序，所以仅有一对夫妻相邻的排法有 62(21282)288(种) 答案答案 解析解析 2(2019 泸州模拟)若一个四位数的各位数字相加和为 10，则称该数为 “完美四位数”，如数字“2017”试问用数字 0,1,2,3,4,5,6,7 组成的无重复 数字且大于 2017 的“完
44、美四位数”有_个( ) A53 B59 C66 D71 答案答案 解析 从0,1,2,3,4,5,6,7中取四位相加和为10的可能组合包括1,2,3,4， 0,1,2,7，0,1,3,6，0,1,4,5，0,2,3,5，用1,2,3,4组成的无重复数字的 “完美四位数”有 A4 4个； 因为 0 不能放在千位上， 所以0,1,2,7， 0,1,3,6， 0,1,4,5， 0,2,3,5组成的无重复数字的“完美四位数”有 4(A4 4A 3 3)个； 因 此用数字 0,1,2,3,4,5,6,7 组成的无重复数字的“完美四位数”共有 A4 44(A 4 4 A3 3)96 个，其中由1,2,3,
45、4，0,1,3,6，0,1,4,5组成的“完美四位数” 中小于 2017 的分别各有 A3 36 个，由0,1,2,7组成的“完美四位数”中小 于等于 2017 的有 A3 317 个， 由0,2,3,5组成的“完美四位数”中小于等 于 2017 的有 0 个，因此大于 2017 的“完美四位数”共有 963670 71 个 解析解析 3(2019 安徽六校教育研究会第一次联考)某地举办科技博览会，有 3 个场馆，现将 24 个志愿者名额分配给这 3 个场馆，要求每个场馆至少有一 个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有( ) A222 种 B253 种 C276 种 D284 种 解析 每个
46、场馆至少有一个名额的分配方法相当于在 24 个名额之间的 23 个空隙中选出两个空隙插入分割符号， 则有 C2 23253(种)， 至少有两个场 馆的名额相同的分配方法有(1,1,22)，(2,2,20)，(3,3,18)，(4,4,16)，(5,5,14)， (6,6,12)，(7,7,10)，(8,8,8)，(9,9,6)，(10,10,4)，(11,11,2)，再对场馆分配，共 有 310131(种)， 所以每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同 的分配方法共有 25331222(种) 答案答案 解析解析 4电影院一排有 10 个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐 在同一排，那
47、么他们每人左、右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有 _种 解析 除甲、乙、丙三人的座位外，还有 7 个座位，共可形成 6 个空， 三人从 6 个空中选 3 个位置坐上去有 C3 6种坐法，因为甲坐在中间，所以乙、 丙有 A2 2种坐法，所以他们每人左、右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有 C3 6A 2 240(种) 40 解析解析 5(2020 惠州摸底)红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲 述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程中，海 军舰长要求队员们依次完成 A，B，C，D，E，F 六项任务，并对任务的顺 序提出了如下要求，重点任务 A 必须排在前三位，且任务 E，F 必须排在一 起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有_种 120 解析 因为任务 A 必须排在前三位，任务 E，F 必须排在一起，所以可 把 A 的位置固定，E，F 捆绑后分类讨论 当 A 在第一位时，有 A4 4A 2 248(种)； 当 A 在第二位时，第
