1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第2 2讲讲 用样本估计总体用样本估计总体 第九章 统计与统计案例 考纲解读 1.了解频率分布直方图的意义和作用，能根据频率分布表画频 率分布直方图、频率折线图、茎叶图，并体会它们各自的特点(重点) 2理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；能从样本数据 中提取基本的数字特征，并作出合理的解释 3会用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的 基本数字特征(难点) 4会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决实际问题 考向预测 从近
2、三年高考情况来看， 本讲是高考中的一个热点 预测 2021 年将会考查用样本估计总体，主要体现在利用频率分布直方图或茎叶图估 计总体，利用样本数字特征估计总体题型以客观题呈现，试题难度不大， 属中、低档题型频率分布直方图与茎叶图也可能出现于解答题中，与概 率等知识综合命题. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.作频率分布直方图的步骤 2频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的01 _，就得到频率分布折线图 (2)总体密度曲线：随着02 _的增加，作图时所分的组数增 加，03 _减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，
3、即总体密度曲线 中点 样本容量 组距 3茎叶图 (1)茎叶图的概念：统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图， 茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数 (2)茎叶图的优点：一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；二是 茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情况 4样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字 特征 样本数据 频率分布直方图 优点与缺点 众数 出现次数01 _ 的数据 取最高的小长方形 底边02 _的横 坐标 通常用于描述变量的值出现 次数最多的数， 但显然它对其 他数据信息的忽视使得无法 客观地反映总体特征 最多 中点 数字 特征 样本数据 频率分布直方图 优
4、点与缺点 中位 数 将数据按大小依次 排列，处在最 03 _位置的一 个数据(或最中间两 个数据的平均数) 把频率分布直方 图划分左右两个 面积04 _的 分界线与 x 轴交 点的横坐标 是样本数据所占频率的等分 线， 它不受少数几个极端值的 影响，这在某些情况下是优 点， 但它对极端值的不敏感有 时也会成为缺点 中间 相等 数字 特征 样本数据 频率分布直方图 优点与缺点 平均 数 样本数据的算术平 均数 每个小矩形的面 积乘以小矩形底 边中点的横坐标 之05 _ 平均数和每一个数据有关， 可 以反映样本数据全体的信息， 但平均数受数据中极端值的 影响较大， 使平均数在估计总 体时可靠性降低
5、 和 (2)方差和标准差 方差：s21 n(x1 x )2(x2 x)2(xn x)2， 标准差： s 1 nx1 x 2x2 x2xn x2. (3)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据 围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波 动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 1概念辨析 (1)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结 论( ) (2)从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图 后，原有的具体数据信息就被抹掉了( ) (3)在频率分布直方图中，小矩形的
6、面积越大，表示样本数据落在该区 间内的频率越高( ) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的 顺序写，相同的数据可以只记一次( ) 2小题热身 (1)(2017 全国卷)为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验 田这 n 块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，x2，xn，下面给出的指标 中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( ) Ax1，x2，xn的平均数 Bx1，x2，xn的标准差 Cx1，x2，xn的最大值 Dx1，x2，xn的中位数 解析 因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以 要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标
7、准差故选 B. 答案答案 解析解析 (2)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组 数据的中位数和平均数分别是( ) A91.5 和 91.5 B91.5 和 92 C91 和 91.5 D92 和 92 解析 由茎叶图可知， 这组数据的中位数是1 2(9192)91.5， 平均数 是1 8(8789909192939496)91.5. 答案答案 解析解析 (3)港珠澳大桥于 2018 年 10 月 2 日正式通车，它是中国境内一座连接 香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长 55 千米桥面为双向六车道高速 公路，大桥通行限速 100 km/h，现对大桥某路段上 1000
8、辆汽车的行驶速度 进行抽样调查画出频率分布直方图(如图)，根据直方图估计在此路段上汽 车行驶速度在区间85,90)的车辆数和行驶速度超过 90 km/h 的频率分别为 ( ) A300 0.25 B300 0.35 C60 0.25 D60 0.35 答案答案 解析解析 解析 由频率分布直方图，得在此路段上汽车行驶速度在区间85,90) 的频率为 0.0650.3，在此路段上汽车行驶速度在区间85,90)的车辆数 为 0.31000300，行驶速度超过 90 km/h 的频率为(0.050.02)50.35. 故选 B. 解析解析 (4)(2019 江苏高考)已知一组数据 6,7,8,8,9,
9、10，则该组数据的方差是 _ 解析 这组数据的平均数为 8，故方差为 s21 6(68) 2(78)2(8 8)2(88)2(98)2(108)25 3. 5 3 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1 (2019 全国卷)演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分， 评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得 到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 ( ) A中位数 B平均数 C方差 D极差 题型一题型一 样本数字特征的计算及应用样本数字特征的计算及应用 解析 中位数是将 9 个数据从小到大或从
10、大到小排列后，处于中间位 置的数据，因而去掉 1 个最高分和 1 个最低分，不变的是中位数，平均数、 方差、极差均受影响故选 A. 答案答案 解析解析 2(2019 长沙二模)高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四 大发明”，近日对全国 100 个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行 大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为 x1，x2，x3，x100，它们 的平均数为 x ， 方差为 s2； 其中扫码支付使用的人数分别为 3x12,3x22,3x3 2，3x1002，它们的平均数为 x ，方差为 s2，则 x，s2 分别 为( ) A3 x 2,3s22 B3 x ，3s2 C3 x
11、 2,9s2 D3 x 2,9s22 答案答案 解析 根据题意，数据 x1，x2，x100的平均数为 x ，方差为 s2；则 x 1 100(x1x2x3x100)，s 2 1 100(x1 x )2(x2 x)2(x100 x)2， 若 3x12,3x22,3x32，3x1002 的平均数为 x ，则 x 1 100(3x1 2)(3x22)(3x1002)3 x 2，方差 s2 1 100(3x123 x 2)2(3x223 x 2)2(3x10023 x2)29s2. 解析解析 3一组数据 1,10,5,2，x,2，且 2x50%，所以超过了经济收入的一半，所以 D 正确故选 A. 解析
12、解析 (1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关 系 (2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据， 因此 非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势 (2019 东北三省四市教研联合体模拟)“科技引领， 布局未来”， 科技研 发是企业发展的驱动力量.2007 年至 2018 年，某企业连续 12 年累计研发投 入达 4100 亿元我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收 比这 12 年间的研发投入(单位：十亿元)用如图中的条形图表示，研发投 入占营收比用如图中的折线图表示根据折线图和条形图，下列结论错误 的是( ) A2012 年至 2013 年研
13、发投入占营收比增量相比 2017 年至 2018 年增 量大 B2013 年至 2014 年研发投入数量相比 2015 年至 2016 年增量小 C该企业连续 12 年研发投入逐年增加 D该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加 解析 由题图可知，该企业在 2008 年至 2009 年、2013 年至 2014 年和 2016 年至 2017 年研发投入占营收比是下降的，所以 D 错误故选 D. 答案答案 解析解析 1 (2019 郑州三模)某同学 10 次测评成绩的数据如茎叶图所示， 总体的 中位数为 12.若要使该总体的标准差最小，则 4x2y 的值是( ) A.12 B14 C16
14、D18 题型三题型三 茎叶图及其应用茎叶图及其应用 答案答案 解析 因为总体的中位数为 12，所以10 x10y 2 12，即 xy4， 所以总体的平均数为 1 10(223410 x10y19192021) 11.4.要使总体的标准差最小， 只要(10 x11.4)2(10y11.4)2最小 因 为(10 x11.4)2(10y11.4)22（ 10 x11.410y11.4 2 ） 2 0.72，当且仅当 xy2 时等号成立，所以 4x2y12.故选 A. 解析解析 2某良种培育基地正在培育一小麦新品种 A，将其与原有的一个优良 品种 B 进行对照试验，两种小麦各种植了 25 亩，所得亩产
15、数据(单位：千 克)如下： 品种 A： 357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,4 30,430,434,443,445,445,451,454. 品种 B： 363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,4 06,407,410,412,415,416,422,430. (1)作出数据的茎叶图； (2)通过观察茎叶图，对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较，写 出统计结论 解 (1)画出茎叶图如图所示
16、： (2)通过观察茎叶图可以看出： 品种 A 的亩产平均数(或均值)比品种 B 高；品种 A 的亩产标准差(或方差)比品种 B 大，故品种 A 的亩产稳定性 较差 解解 1茎叶图的画法步骤 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分； 第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右) 侧；有两组数据时，写在中间； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧 茎叶图的绘制需注意：“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位 置的数字位数一般不需要统一；重复出现的数据要重复记录，不能遗漏， 特别是“叶”的位置上的数据 2茎叶图的应用 茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分
17、析单组数据，也可以 用来比较两组数据通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在 哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等 1甲、乙两位射击运动员的 5 次比赛成绩(单位：环)如茎叶图所示， 若两位运动员平均成绩相同， 则成绩较稳定(方差较小)的那位运动员成绩的 方差为( ) A2 B4 C6 D8 答案答案 解析 根据茎叶图中的数据知，甲、乙二人的平均成绩相同，即1 5(87 89909193)1 5(8889909190 x)，解得 x2，所以平均 数为 x 90； 根据茎叶图中的数据知甲的成绩波动性小，较为稳定(方差较小)，所以 甲成绩的方差为 s21 5(8890) 2(89
18、90)2(9090)2(9190)2(92 90)22.故选 A. 解析解析 2如图茎叶图记录了甲、乙两组各 6 名学生在一次数学测试中的成绩 (单位：分)已知甲组数据的众数为 124，乙组数据的平均数为甲组数据的 中位数，则 x，y 的值分别为( ) A4,5 B5,4 C4,4 D5,5 答案答案 解析 由已知，甲组数据的众数是 124，则 x4，即甲组数据的中位数 为 124.所以1 6(116116125120y128134)124，解得 y5.故选 A. 解析解析 角度 1 求频率或频数 1党的十九大报告指出：“脱贫攻坚 战取得决定性进展，六千多万贫困人口稳定 脱贫，贫困发生率从百分
19、之十点二下降到百 分之四以下”2019 年各地根据实际进行创 新，精准、高效地完成了脱贫任务某地区对当地 3000 户家庭的 2019 年 所得年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据(单位： 千元)的分组依次为20,40)，40,60)，60,80)，80,100，则年收入不超过 6 万的家庭大约为( ) A900 户 B600 户 C300 户 D150 户 答案答案 题型四题型四 频率分布直方图频率分布直方图 解析 由频率分布直方图得：年收入不超过 6 万的家庭所占频率为： (0.0050.010)200.3，年收入不超过 6 万的家庭大约为 0.33000 900. 解
20、析解析 角度 2 求数字特征 2某市在对两千多名出租车司机的年龄进行的调查中，从两千多名出 租车司机中随机抽选 100 名司机， 已知这 100 名司机的年龄都在 20 岁至 50 岁之间，且根据调查结果得出的年龄情况频率分布直方图如图所示(部分图 表污损)利用这个残缺的频率分布直方图，可估计该市出租车司机年龄的 中位数大约是( ) A31.4 岁 B32.4 岁 C33.4 岁 D36.4 岁 答案答案 解析解析 解析 由频率分布直方图可知20,25)的频率为 0.1，25,30)的频率为 0.3，30,35)的频率为 0.35，因为 0.10.30.5 xB，sAsB B. x AsB C
21、. x A xB，sAsB D. x A xB，sAsB 答案答案 解析 由图可知 A 组的 6 个数为 2.5,10,5,7.5,2.5,10，B 组的 6 个数为 15,10,12.5,10,12.5,10， 所以 x A2.51057.52.510 6 6.25， x B151012.51012.510 6 11.67.显然 x AsB，故选 B. 解析解析 6(2019 合肥一模)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到 整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和 90后从事互联网行业岗位分布条 形图，则下列结论中不一定正确的是( ) 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指
22、19801989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C90 后从事运营岗位的人数比 80 前从事互联网行业的人数多 D 互联网行业中 90 后从事技术岗位的人数比 80 后从事技术岗位的人 数多 解析 对于 A，由饼状图可知互联网行业从业人员中 90 后占了 56%， 故 A 正确对于 B，由条形图可知互联网行业中从事技术岗位的人数占总 人数的比例为 39.6%，故 B 正确对于 C，由两图数据可计算出整个互联网 行业从事运营岗位的 90 后占 56%17%9.52%，大于互联网行业
23、中的 80 前总人数，故 C 正确对于 D，因为 80 后从事技术岗位的人数所占比例不 清楚，所以互联网行业中从事技术岗位的 90 后人数不一定比 80 后的人数 多，故 D 错误故选 D. 答案答案 解析解析 7 (2020 重庆名校联盟调研)在样本频率分布直方图中共有 9 个小矩形， 若其中 1 个小矩形的面积等于其他 8 个小矩形面积和的2 5，且样本容量为 210，则该组的频数为( ) A28 B40 C56 D60 解析 设该小矩形的面积为 x,9 个小矩形的总面积为 1，则其他 8 个小 矩形的面积和为5 2x，所以 x 5 2x1，所以 x 2 7，所以该组的频数为 2 7210
24、 60. 答案答案 解析解析 8(2020 贵阳模拟)某地的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速 得到改善教育督导一年后，分别随机抽查了初中(用 A 表示)与小学(用 B 表示)各 10 所学校，得到相关指标的综合评价得分(百分制)的茎叶图如图所 示，则从茎叶图可得出正确的信息为(80 分及以上为优秀)( ) 初中得分与小学得分的优秀率相同 初中得分与小学得分的中位数相同 初中得分的方差比小学得分的方差大 初中得分与小学得分的平均值相同 A B C D 答案答案 解析 从茎叶图可知抽查的初中得分的优秀率为 3 10100%30%，小 学得分的优秀率为 3 10100%30%，故正确；初中得分
25、的中位数为 75.5， 小学得分的中位数为 72.5，故不正确；从茎叶图可知初中得分比小学得 分分散，所以初中得分的方差比小学得分的方差大，故正确；初中得分 的平均值为 75.7，小学得分的平均值为 75，故不正确所以正确的信息 为，故选 B. 解析解析 9 已知一组数据 x1， x2， ， xn的方差为 2， 若数据 ax1b， ax2b， ， axnb(a0)的方差为 8，则 a 的值为_ 解析 根据方差的性质，知 a228，解得 a2. 2 解析解析 10某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统 计， 得到如下的频率分布直方图 若从每周使用时间在15,20)， 20,25
26、)， 25,30 三组内的学生中用分层抽样的方法选取 8 人进行访谈，则应从使用时间在 20,25)内的学生中应选取的人数为_ 3 解析 由频率分布直方图，知 5(0.010.02a0.040.040.06) 1，解得 a0.03，即使用时间在15,20)，20,25)，25,30三组内的学生人 数之比为 431，则从每周使用时间在15,20)，20,25)，25,30三组内的 学生中用分层抽样的方法选取 8 人进行访谈， 则应从使用时间在20,25)内的 学生中应选取的人数为3 883. 解析解析 1某校高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可 见部分如图，根据图中的信息，
27、可确定被抽测的人数及分数在90,100内的 人数分别为( ) A20,2 B24,4 C25,2 D25,4 B组组 能力关能力关 答案答案 解析 由频率分布直方图可知，组距为 10，所以50,60)的频率为 0.008100.08，由茎叶图可知50,60)的人数为 2，设参加本次考试的总人 数为 N， 则 N 2 0.0825， 根据频率分布直方图可知90,100内的人数与50,60) 的人数一样，都是 2.故选 C. 解析解析 2 (2019 葫芦岛一模)一个样本容量为 10 的样本数据， 它们组成一个公 差为 2 的等差数列an，若 a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中 位数
28、分别是( ) A12,13 B13,13 C13,12 D12,14 解析 依题意 a2 3a1a7，(a14) 2a 1(a162)，解得 a14，所以此 样本的平均数为S10 10 13，中位数为a 5a6 2 13. 答案答案 解析解析 3(2019 马鞍山模拟)某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了 100 头仔猪的体重(单位：斤)，经数据处理得到如图 1 的频率分布直方图，其中 体重最轻的 14 头仔猪的体重的茎叶图如图 2，为了将这批仔猪分栏喂养， 需计算频率分布直方图中的一些数据，其中 ab 的值为( ) A0.144 B0.152 C0.76 D0.076 答案答案 解析 由题
29、意得 2(cd)5212 100 0.24，ab10.24 5 0.152. 解析解析 4某车间将 10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时 间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组 技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为 10. (1)求出 m，n 的值； (2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差 s2 甲和 s2乙， 并由此分析两组技工的加工水平 解 (1)根据题意可知： x 甲1 5(78101210m)10， x 乙1 5 (9n101112)10，所以 m3，n8. (2)s 2 甲 1 5(710) 2(810)2(1010)
30、2(1210)2(1310)2 5.2， s2 乙1 5(810) 2(910)2(1010)2(1110)2(1210)22，因 为 x 甲 x乙，s2 甲s2乙，所以甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些 解解 C组组 素养关素养关 (2019 全国卷)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况， 随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产 值增长率 y 的频数分布表 y 的分组 企业数 0.20,0) 2 0,0.20) 24 0.20,0.40) 53 0.40,0.60) 14 0.60,0.80) 7 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%
31、的企业比例、产值负增 长的企业比例； (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数 据用该组区间的中点值为代表)(精确到 0.01) 附： 748.602. 解 (1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的 100 个企业中产值增 长率不低于 40%的企业频率为147 100 0.21. 产值负增长的企业频率为 2 1000.02. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%的 企业比例为 21%，产值负增长的企业比例为 2%. 解解 (2) y 1 100(0.1020.10240.30530.50140.707) 0.30，s2 1 100 i1 5 ni(yi y )2 1 100(0.40) 22(0.20)2240253 0.202140.40270.0296， s 0.02960.02 740.17.所以， 这类企 业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 0.30,0.17. 解析解析 本课结束本课结束
