1、第 1 页 共 14 页 2019-2020 学年江西省九江市修水县高一高中统考试学年江西省九江市修水县高一高中统考试 数学试题数学试题 一、单选题一、单选题 1某印刷厂为了保证图书的印刷质量，将每批次印刷出来的图书排放整齐，每隔某印刷厂为了保证图书的印刷质量，将每批次印刷出来的图书排放整齐，每隔 20 本检查一下其封面和内文的质量情况，则这样的抽样方法是（本检查一下其封面和内文的质量情况，则这样的抽样方法是（ ） A简单随机抽样简单随机抽样 B系统抽样系统抽样 C分层抽样分层抽样 D以上三种方法以上三种方法 都有都有 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据总体中个体数量较多，且分布均匀，抽
2、取样本的间隔相等这些特点，判断 是系统抽样 【详解】 从印刷出来的图书中，每隔 20 本检查一下其封面和内文的质量情况， 这样的抽样方法为系统抽样. 故选：B 【点睛】 本题考查了系统抽样的应用，属于基础题 2已知函数已知函数 3,0 ( ) 73 ,0 xx f x x x 则则 2ff =（ ） A16 B16 C4 D32 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据分段函数的解析式及对应区间，即可求 2ff 的值. 【详解】 由解析式知：( 2)73 ( 2)13f ， (13)132316fff ， 故选：A 【点睛】 本题考查了利用分段函数求函数值，注意复合函数的应用：先求内层函数的函
3、数值，作 为自变量赋给外层函数求函数值，属于简单题. 3富士康对刚生产的富士康对刚生产的 iPhone 11 智能手机进行抽样检测的数据如下，智能手机进行抽样检测的数据如下， 第 2 页 共 14 页 抽取台数抽取台数 50 100 200 300 500 1000 优等品数优等品数 40 92 192 285 478 954 则该厂生产的则该厂生产的 iPhone 11 智能手机优等品的概率约是（智能手机优等品的概率约是（ ） A75% B85% C95% D99% 【答案】【答案】C 【解析】【解析】求出表格中各个频率，根据频率的稳定值即为概率可得解. 【详解】 因为 40 80% 50
4、， 92 92% 100 ， 192 96 200 ， 285 95% 300 ， 478 95.6% 500 ， 954 95.4% 1000 ， 所以该厂生产的 iPhone11智能手机优等品的概率约是95%. 故选：C 【点睛】 本题考查了频率的计算，考查了概率的概率，属于基础题. 4已知向量已知向量,2ax， 4,1b ，且，且 /2aab，则，则x（ ） A8 B-8 C4 D-4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】计算出 2ab 的坐标，利用向量共线的坐标公式计算得出答案 【详解】 28,4 ,428abxxx，解得8x 故选：A 【点睛】 本题考查平面向量共线的坐标表示，考查学
5、生计算能力，属于基础题 5若角若角的终边过点的终边过点 2sin120 , 2cos120 ，则，则sin等于（等于（ ） A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由终边上的点为( 3,1)，知为第一象限角，即可求sin. 第 3 页 共 14 页 【详解】 由2sin120 , 2cos120 为点( 3,1)，即为第一象限角， 1 sin 2 ， 故选：A 【点睛】 本题考查了由已知确定角所在象限，进而求三角函数值，属于简单题. 6某售楼部对一周内每天的看房人数进行了统计，得到样本的茎叶图如图所示，则该某售楼部对一周内每天的看房人数进行了统计，得
6、到样本的茎叶图如图所示，则该 样本的中位数、众数、平均数分别是（样本的中位数、众数、平均数分别是（ ） A22，23，23 B22，23，24 C23，23，22 D23，23，24 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据茎叶图中的数据按大小列出所有数据，即可得到中位数、众数、平均数. 【详解】 由茎叶图知：样本数据为12,14,22,23,23,36,38， 中位数为 23，众数为 23，平均数为12 14 2223233638 24 7 ， 故选：D 【点睛】 本题考查了利用茎叶图求中位数、众数、平均数，属于简单题. 7国际比赛足球的半径应该在国际比赛足球的半径应该在 10.811.3
7、厘米之间，球的圆周不得多于 厘米之间，球的圆周不得多于 71 厘米或少于厘米或少于 68 厘米，球的重量，在比赛开始时不得多于厘米，球的重量，在比赛开始时不得多于 453 克或少于克或少于 396 克充气后其压力应等于克充气后其压力应等于 0.61.1 个大气压力（海平面上） ，即等于个大气压力（海平面上） ，即等于 6001100 克克/厘米，将一个表面积为厘米，将一个表面积为484平平 方厘米的足球用一个正方体盒子装起来，则这个正方体盒子的最小体积为（方厘米的足球用一个正方体盒子装起来，则这个正方体盒子的最小体积为（ ） A121 立方厘米立方厘米 B484 立方厘米立方厘米 C1331
8、立方厘米立方厘米 D 10648 立方厘米立方厘米 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据球体表面积求半径r，结合题意知体积最小时足球为正方体盒子的内切球 即可知正方体棱长，进而求其体积即可. 【详解】 第 4 页 共 14 页 由题意，设足球半径为r厘米，则 2 4484r，11r 厘米， 让一个正方体盒子装下足球，其体积最小时足球可视为正方体盒子的内切球， 则棱长为 22厘米， 3 2210648V 立方厘米. 故选：D 【点睛】 本题考查了球的表面积公式，利用正方体内切球的性质求体积，属于简单题. 8已知已知 1 tan 2 ， sin2cos() 3 3sin4sin 2 （ ） A
9、 5 11 B 3 5 C1 D 3 11 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据诱导公式化简，再由弦化切即可求值. 【详解】 sin2cos()sin2costan23 33sin4cos3tan411 3sin4sin 2 . 故选：D 【点睛】 本题考查了应用诱导公式、同角三角函数关系求函数值，属于简单题. 9与点与点21M,之间的距离为之间的距离为 2， ，且在且在x轴上的截距为轴上的截距为 4 的直线是（的直线是（ ） A4x B3 4120 xy C4x或或3 4120 xy D 4y 或或34120 xy 【答案】【答案】C 【解析】【解析】结合各选项中直线解析式，应用点线距、
10、直线与x轴交点即可得到正确选项. 【详解】 4x与21M,的距离为 2，在x轴上的截距为 4，故4x符合要求； 对于直线34120 xy，有 22 |3 24 1 12| 2 3( 4) d 且0y 时4x，故也符合 要求； 4y 与21M,的距离为 3且x轴无交点，不符合要求. 第 5 页 共 14 页 4x、34120 xy都是与点21M,距离为 2且在x轴上的截距为 4的直线. 故选：C 【点睛】 本题考查了点线距离公式及直线的截距，属于简单题. 10执行如图所示的程序框图输出的执行如图所示的程序框图输出的s值为（值为（ ） ） A9 B 7 2 C 3 4 D 5 8 【答案】【答案】
11、C 【解析】【解析】结合程序框图逐次进行运算，结合控制语句的限定范围可得结果. 【详解】 第一次运算：1,9ks；第二次运算： 7 2, 2 ks；第三次运算： 3 3, 4 ks； 此时退出循环体，输出s； 故选：C. 【点睛】 本题主要考查程序框图，根据程序框图求解运算结果时，通常采用“还原现场”的方法， 侧重考查数学运算的核心素养. 11 函数函数 2cosf x x（0，|） 的部分图象如图所示， 则） 的部分图象如图所示， 则 3 4 f （ ） 第 6 页 共 14 页 A 1 2 B 1 2 C1 D1 【答案】【答案】C 【解析】【解析】结合函数图像，求得函数的解析式，再计算函
12、数的函数值. 【详解】 由图可知函数的周期4 612 T ， 故 2 2 T ； 又函数过点, 2 12 ，求得：22 12 k 解得 7 2 6 k ，又， 故可得： 5 6 ， 故 5 2cos 2 6 f xx ， 则 32 2cos1 43 f . 故选：C. 【点睛】 本题考查由函数图像求解三角函数解析式，以及求三角函数值. 12我国南北朝时期数学家祖地提出了著名的祖暅原理：我国南北朝时期数学家祖地提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异 缘幂势既同，则积不容异 也也”“幂幂”是截面积，是截面积，“势势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每等高处的截面积是几何体的高，意思是
13、两等高几何体，若在每等高处的截面积 都相等， 则两几何体体积相等， 已知某不规则几何体与右边三视图所对应的几何体满足都相等， 则两几何体体积相等， 已知某不规则几何体与右边三视图所对应的几何体满足 “幂势既同幂势既同”，则该不规，则该不规则几何体的体积为（则几何体的体积为（ ） A12 B 28 3 C 32 3 D16 【答案】【答案】B 第 7 页 共 14 页 【解析】【解析】根据三视图还原直观图，即可求几何体体积. 【详解】 根据三视图可得几何体，正方体和一个直三棱锥组合而成. 如下图示： 1128 2 2 222 2 323 V . 故选：B 【点睛】 本题考查了利用几何体三视图，还
14、原几何体直观图求体积，属于简单题. 二、填空题二、填空题 13化简：化简：AB EA CBCDDE_. 【答案】【答案】0 【解析】【解析】根据平面向量的加法法则和减法法则进行运算. 【详解】 0ABEA CBCDDEEB CBCEEBBCCE . 故答案为：0. 【点睛】 本题主要考查向量的运算，明确向量加法和减法的运算规则是求解的关键，侧重考查数 学运算的核心素养. 142020 年新冠肺炎疫情期间，某市在年新冠肺炎疫情期间，某市在A、B、 、C三个社区中招募志愿者三个社区中招募志愿者 60 人，现用人，现用 分层抽样的方法分配三个社区的志愿者人数，已知分层抽样的方法分配三个社区的志愿者人
15、数，已知A、B、C的人数之比为的人数之比为 1：2：3， 则应从则应从B社区抽取社区抽取_名志愿者名志愿者. 【答案】【答案】20 【解析】【解析】 根据分层抽样的比例， 按社区人数比招募自愿者即可求B社区抽取志愿者人数. 【详解】 第 8 页 共 14 页 有分层抽样的比例关系知：B社区抽取志愿者人数为 1 6020 3 ， 故答案为：20. 【点睛】 本题考查了分层抽样的计算，依据分层的比例关系求抽样数量，属于简单题. 15已知函数已知函数 2 23f xxmx的图象关于直线的图象关于直线2x对称，则对称，则 3f_ 4f.(填填“”或或“”) 【答案】【答案】 【解析】【解析】由题意知二
16、次函数在2,)上单调递增，即可判断 3f、 4f的大小. 【详解】 由 2 23f xxmx关于2x对称， ( )f x在2,)上单调递增，即(4)(3)ff. 故答案为： 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，依据函数解析式、对称轴及单调区间比较函数值的大小， 属于简单题. 16已知一圆台的底面圆的周长分别为已知一圆台的底面圆的周长分别为4和和10，高为 ，高为 4，则圆台的表，则圆台的表面积为面积为 _. 【答案】【答案】64 【解析】【解析】先计算出母线的长，再计算表面积和底面积，然后求和即可. 【详解】 解：圆台的上下底面半径分别为, r R，则24 ,2=10rR，=2,=5rR， 圆
17、台的母线长 2 2 4525l ， 所以圆台的表面积 22 1 54104253564 2 SrR ， 故答案为：64 【点睛】 考查圆台表面积的计算，基础题. 三、解答题三、解答题 17求下列各式的值：求下列各式的值： 第 9 页 共 14 页 （1） 5 5 ( 2021) （2） 2 ( 4) （3） 2020 2020(4 ) 【答案】【答案】 （1）2021； （2）4； （3）4； 【解析】【解析】利用指数幂的运算性质求值即可. 【详解】 （1） 1 5 5 55 ( 2021)( 2021)2021 ； （2） 1 2 2 2 ( 4)( 4)4 ； （3） 2020 2020
18、1 2020 2020 (4)4(4) ； 【点睛】 本题考查了指数幂的运算，注意：以负数为底数，指数奇偶性不同对结果的影响，属于 简单题. 18已知已知2a ， 3b ，在下列情况下，求，在下列情况下，求 2()abab的值的值： （1） /a b； ； （2）a b rr ； （3）a与与b的夹角为的夹角为 120 . 【答案】【答案】 （1）-8 或-20； （2）-14； （3）-17； 【解析】【解析】结合已知条件，由向量数量积的运算律可得)(214()ab aba b ，进而 根据, a b间不同的关系求值即可. 【详解】 22 ()() |2|2|14ab abaa bba b
19、， （1） /a b时，当 , a b同向时 146 148a b ，当, a b反向时 146 1420a b ； （2）a b rr 时， 140 1414a b ； （3）a与b的夹角为 120 时， 142 3 cos1201417a b ； 【点睛】 第 10 页 共 14 页 本题考查了向量数量积的运算，结合向量不同的位置关系求值，属于简单题. 19在底面半径为在底面半径为 2，高为，高为2 2的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底 面积之比为面积之比为 1：4，求圆柱的表面积，求圆柱的表面积. 【答案】【答案】2( 21) 【
20、解析】【解析】由圆柱、圆锥的底面面积比可得圆柱的底面半径和高分别为 1、 2，进而求 其表面积即可. 【详解】 由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为 1:4，知：底面半径比为 1:2， 即圆柱底面半径1r ，若设圆柱的高为h，则有 2 21 22 2 h ，即 2h ， 由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积， 即： 2 222( 21)Srhr. 【点睛】 本题考查了圆柱的表面积计算，由圆锥内接圆柱及底面面积比求圆柱表面积，属于简单 题. 20其校高二（其校高二（2）班共有）班共有 40 名学生，他们的身高全部在名学生，他们的身高全部在162cm到 到187cm之，按他们之，按他们 身高分身
21、高分 5 个组统计得到如下频率分布表：个组统计得到如下频率分布表： 分组分组 频数频数 频率频率 162，167） 4 0.1 167，172） 8 S 172，177） 12 0.3 177，182） 10 0.25 182，187） n t 第 11 页 共 14 页 （1） 某兴趣小组为研究每天体有锻炼的时间与身高的相关性， 需要在这） 某兴趣小组为研究每天体有锻炼的时间与身高的相关性， 需要在这 40 名学生中按名学生中按 身高用分层抽样的方法抽取身高用分层抽样的方法抽取 20 名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？ （2）已知第一组的
22、学生中男、女生均为）已知第一组的学生中男、女生均为 2 人，在（人，在（1）的条件下抽取第一组的学生，求）的条件下抽取第一组的学生，求 既有男生又有女生被抽中的概率既有男生又有女生被抽中的概率. 【答案】【答案】 （1）2名； （2） 2 3 ； 【解析】【解析】 （1）由分层抽样的比例，结合图表中第一组频率值即可求第一组应抽取的学生 数； （2）由题意分析知：求男女各 2 人的第一组中任意抽取 2 人，男女各抽到 1人的概 率，应用古典概型求概率即可. 【详解】 根据表格数据知： 8 0.2 40 S ，40 346n， 6 0.15 40 t ， （1）根据分层抽样比例关系，有第一组的学生
23、应抽：20 0.12人； （2）由题意结合（1）知：在男女各 2人的第一组中任意抽取 2人，男女各抽到 1 人的 概率P， 11 22 2 4 2 3 C C P C . 【点睛】 本题考查了分层抽样相关量的计算，应用古典概型求概率，属于简单题. 21如图，在正三棱柱如图，在正三棱柱 111 ABCABC（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中， 1 BCCC，M，N，P分别是分别是 1 CC， ，AB， 1 BB的中点的中点. （1）求证：平面）求证：平面/NPC平面平面 1 ABM； （2）求证：）求证： 1 AB 平面平面 1 AMB 【答案】【答案
24、】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； 第 12 页 共 14 页 【解析】【解析】（1） 由线面平行的判定有/PN面 1 ABM， / /PC面 1 ABM， 又P N P C P 结合面面平行的判定可证面/NPC面 1 ABM； （2）应用正方形、矩形、直三棱柱的性 质，利用线面垂直的判定证明 1 AB 平面 1 AMB即可； 【详解】 （1）在 1 ABB 中，N，P分别是AB， 1 BB的中点，即 1 / /PNAB， 面 1 ABB面 11 ABMAB，PN 面 1 ABM，PN 面 1 ABB， /PN面 1 ABM 又底面是正三角形且 1 BCCC，M是 1 CC的中点，即在
25、正方形 11 BCC B中有 1 CMB P为平行四边形，有 1 / /PCMB， 面 1 CMB P面 11 ABMMB，PC 面 1 ABM，PC 面 1 CMB P， / /PC面 1 ABM，而PNPCP， 面/NPC面 1 ABM （2）在正方形 11 ABB A中有 11 ABAB，若 11 ,ABAB的交点为D，连接MD、DN， 即有矩形MCND：/CNMD，CNDN，而CNAB，则CN 面 11 ABB A， MD 面 11 ABB A，而 1 AB 面 11 ABB A，即 1 MDAB，又 1 MDABD， 1 AB 面 1 AMB 【点睛】 本题考查了应用线面平行、面面平
26、行的判定证平行， 线面垂直判定证垂直，属于中档题. 22设函数设函数 3 ( )sin(2) 0 2 f xax ， yf x图象的一个对称中心是图象的一个对称中心是 第 13 页 共 14 页 ,1 8 （1）求）求a，； （2）求函数）求函数 yf x的单的单调减区间；调减区间； （3）将函数）将函数 yf x的图象向下平移的图象向下平移 1 个长度单位，再向右平移个长度单位，再向右平移 4 个长度单位，得个长度单位，得 到函数到函数 ( ) yg x=的图象，试求函数的图象，试求函数 ( ) yg x=的解析式，并用五点法作出其在区间的解析式，并用五点法作出其在区间 0, 上的图象上的图
27、象. 【答案】【答案】 （1）1a ， 3 4 ； （2） 37 , 88 kk ，kZ； （3） cos 2 4 g xx ，图象见解析； 【解析】【解析】 （1）利用三角函数的性质求a，即可； （2）根据（1）所得函数，结合余弦 函数的单调区间求 ( )f x的单调减区间； （3）由函数平移得到新三角函数的解析式，应 用五点作图法作函数图象； 【详解】 （1） yf x图象的一个对称中心是,1 8 ，知：1a 且sin()0 4 ， 4 k ，kZ，而 3 0 2 ，即 3 4 ； （2）由（1）知： 3 ( )1 sin(2)1 cos(2) 44 f xxx ， 对于cos(2) 4
28、x ，在2,(21) kk内单调递减，在(21) ,2(1) kk上单调递 增； 对于 ( )f x，当(21)22(1) 4 kxk 时单调递减，故单调递减区间为 37 , 88 kk ，kZ； （3）将函数 yf x的图象向下平移 1个长度单位，再向右平移 4 个长度单位，知： 第 14 页 共 14 页 () 1cos(2) 44 yf xx ， x 0 4 2 3 4 y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 图象如下： 【点睛】 本题考查了三角函数的图象与性质，根据对称中心求参数，由余弦函数的单调区间求函 数的单调区间，并应用函数平移确定新函数解析式且利用五点作图法画图象，属于简单 题.
