1、第 1 页 共 15 页 2020-2021 学年江苏省南京市外国语学校高一上学期第一次学年江苏省南京市外国语学校高一上学期第一次 月考数学试题月考数学试题 一、单选题一、单选题 1下列命题为真命题的是（下列命题为真命题的是（ ） AxZ ，143x BxZ ，151 0 x CxR ， 2 10 x DxR ， 2 20 xx 【答案】【答案】D 【解析】【解析】求解不等式判断 A；方程的解判断 B；反例判断 C；二次函数的性质判断 D； 【详解】 解：143x，可得 13 44 x，所以不存在xZ，143x，所以 A 不正确； 1510 x ，解得 1 15 x ，所以不存在xZ，1510
2、 x ，所以 B不正确； 0 x， 2 10 x ，所以xR ， 2 10 x 不正确，所以 C不正确； xR， 2 2 177 20 244 yxxx ，所以 D正确； 故选：D 【点睛】 本题主要考查命题的真假的判断，考查不等式的解法以及方程的解，属于基础题 2集合集合 * 421AxxN ，则，则A的非空真子集的个数是（的非空真子集的个数是（ ） A62 B126 C254 D510 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由条件 * 421AxxN 计算出集合A,再求出A的非空真子集的个 数 【详解】 解： * 421AxxN 2x,或 3 2 x ,或1x ,或 1 2 x , 或0 x
3、,或 1 2 x ,或1x, 311 2,1,0, 1 222 A , 第 2 页 共 15 页 A的非空真子集的个数是 7 22126. 故选 B 【点睛】 当集合中的元素个数为n,该集合的子集个数为2n;真子集个数为2 1 n ;非空真子集个 数为2 2 n . 3已知已知, ,a b cR，则下列四个，则下列四个命题正确的个数是（命题正确的个数是（ ） 若若 22 acbc，则，则a b；若若22ab，则，则 22 22ab； 若若0abc，则，则 aac bbc ；若若0a，0b，4ab，4ab ，则，则2a， 2b. . A1 1 B2 2 C3 3 D4 4 【答案】【答案】C 【
4、解析】【解析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论. 【详解】 当 22 acbc时， 2 0c ，两边同时除以 2 c，得到a b，正确； 220ab，那么 22 22ab，即 22 22ab，正确； a bcb acc abaac bbcb bcb bc ，0abc 0,0abbc aac bbc ，正确； 令 1 10, 2 ab 同样能满足4,4abab ，2,2ab不正确. 共有 3 个正确. 故选 C. 【点睛】 本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性 质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小. 4若实数若实数 a，b 满
5、足满足 a0，b0，且，且 ab=0，则称，则称 a 与与 b 互补，记互补，记 （a，b）= ab 那么那么 （a，b）=0 是是 a 与与 b 互补的（互补的（ ） ） A必要不充分条件必要不充分条件 B充分不必要的条件充分不必要的条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 第 3 页 共 15 页 【答【答案】案】C 【解析】【解析】试题分析：由 （a，b）0 得 22 ab ab 且0,0ab；所以 （a，b） 0 是 a 与 b 互补的充分条件；再由 a 与 b 互补得到：0,0ab，且ab0；从而有 ， 所以 （a，b）0 是 a 与 b 互补的必要条件；
6、故得 （a，b）0 是 a 与 b 互补的充要 条件；故选 【考点】充要条件的判定 5集合集合 A=xN|x2-3x-40，B=x|x 2-3x+2=0，若 ，若 B C A，则满足条件的集合，则满足条件的集合 C的的 个数是（个数是（ ） A8 B7 C4 D3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】化简 A，B，再利用 BCA，即可求出满足条件的集合 C 的个数 【详解】 解：A=xN|x2-3x-40=1，2，3，4，B=x|x2-3x+2=0=1，2， 又 BCA， 所以满足条件的集合 C 为1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4，共 4 个， 故选：C 【点睛】 本题考查集合的
7、包含关系及应用，解答的关键是理解 BCA，比较基础 6要制作一个容积为要制作一个容积为 4 m3，高为，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每 平方米平方米 20 元，侧面造价是每平方米元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是元，则该容器的最低总造价是( ) A80 元元 B120 元元 C160 元元 D240 元元 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【详解】 设长方体底面边长分别为 , x y，则 4 y x ， 所以容器总造价为 4 2() 102020()80zxyxyx x ， 第 4 页 共 15 页 由
8、基本不等式得， 4 20()80160zx x ， 当且仅当底面为边长为2的正方形时，总造价最低，选 C. 【考点】函数的应用，基本不等式的应用. 7已知已知0a，0b，8ab，则，则 22 loglogab的最大值为（的最大值为（ ） A 3 2 B 9 4 C4 D8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可 【详解】 解：0a，0b，8ab， 则 22 loglogab 222 (log 8log) logbb 22 (3log) logbb 2 22 3log(log)bb 2 2 939 log 424 b 当且仅当 3 2 2b 时，函数
9、取得最大值 9 4 故选：B 【点睛】 本题考查对数运算法则以及函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题 8已知已知 11 22 4mm ，则，则 33 22 11 22 mm mm 的值是（的值是（ ） A15 B12 C16 D25 【答案】【答案】A 【解析】【解析】推导出 11 12 22 ()214mmmm ，再由立方差公式得 33 22 1 11 22 1 mm mm mm ，从而求出结果 【详解】 解： 11 22 4mm ， 第 5 页 共 15 页 11 12 22 ()214mmmm ， 由立方差公式得 33 22 1 11 22 115 mm mm mm ， 故选：A
10、【点睛】 本题主要考查根式的化简、求值，考查有理数指数幂、根式的性质等基础知识，考查运 算求解能力，属于基础题 二、多选题二、多选题 9某公司一年购某公司一年购买某种货物买某种货物 900 吨，现分次购买，若每次购买吨，现分次购买，若每次购买 x吨，运费为 吨，运费为 9 万元万元/次，次， 一年的总储存费用为一年的总储存费用为 4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法 正确的是（正确的是（ ） A10 x 时费用之和有最小值时费用之和有最小值 B45x 时费用之和有最小值时费用之和有最小值 C最小值为最小值为850万元万
11、元 D最小值为最小值为360万元万元 【答案】【答案】BD 【解析】【解析】利用函数的思想列出一年的总费用与总存储费用之和，再结合基本不等式得到 一个不等关系即可求最值. 【详解】 一年购买某种货物 900吨，若每次购买 x 吨，则需要购买 900 x 次，运费是 9 万元/次， 一年的总储存费用为4x万元， 所以一年的总运费与总储存费用之和为 900 94x x ， 因为 9008100 94242 180360 xx xx ， 当且仅当 8100 4x x ，即45x 时，等号成立， 所以当45x 时，一年的总运费与总储存费用之和最小为360万元， 故选：BD 【点睛】 本题主要考查了函数
12、最值的应用，以及函数模型的选择，和基本不等式的应用，属于中 档题. 10有限集合有限集合 S中元素的个数记做中元素的个数记做 card(S)，设，设 A， ，B都为有限集合，下列命题中是真都为有限集合，下列命题中是真 命题的是（命题的是（ ） 第 6 页 共 15 页 AAB的充要条件是的充要条件是 card(A B)card(A)card(B) BAB的必要条件是的必要条件是 card(A)card(B) CAB 的充分不必要条件是的充分不必要条件是 card(A)card(B) 1 DAB的充要条件是的充要条件是 card(A)card(B) 【答案】【答案】AB 【解析】【解析】根据集合
13、之间的关系以及充分条件、必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】 对于 A，AB，即集合A与集合B没有公共元素，故 A正确； 对于 B，AB，集合A中的元素都是集合B中的元素，故 B正确； 对于 C，AB，集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素， 因此，A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，故 C错误； 对于 D，AB，集合A中的元素与集合B中元素完全相同， 两个集合的元素的个数相同，并不意味着它们的元素相同. 故选：AB 【点睛】 本题考查了集合的基本运算、集合的包含关系、充分条件、必要条件的定义，考查了基 本知识的掌握情况，属于基础题. 11设设 a，b，c都是正数，且都是正数，且469
14、 abc ，那么（，那么（ ） A2ab bcac Bab bcac C 221 cab D 121 cba 【答案】【答案】AD 【解析】【解析】利用与对数定义求出a，b，c，再根据对数的运算性质可得 log4log92log6 MMM ，然后进行化简变形即可得到. 【详解】 由于a，b，c都是正数，故可设469 abc M， 4 logaM， 6 logbM， 9 logcM， 则 1 l o g 4 M a ，1log6 M b ，1log9 M c . log4log92log6 MMM ， 112 acb ，即 121 cba ，去分母整理得， 2ab bcac. 故选 AD. 【点
15、睛】 本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题. 第 7 页 共 15 页 12对任意对任意 A，BR，记，记 ABx|xAB， ，xAB，并称，并称 A B为集合为集合 A，B的的 对称差对称差.例如，若例如，若 A1，2，3，B2，3，4，则，则 AB1，4，下列命题中，为真，下列命题中，为真 命题的是（命题的是（ ） A若若 A，BR 且且 ABB，则，则 A B若若 A，BR且且 AB，则，则 AB C若若 A，BR 且且 ABA，则，则 AB D存在存在 A，BR，使得，使得 AB A R B R E.存在存在 A，BR，使得，使得ABBA 【答案】【答案】ABD 【解析】【解析】根
16、据新定义判断 【详解】 根据定义()() RR ABABAB 痧， A.若ABB，则RA BB， R AB ， RA BB R BA， R AB AB，A，A 正确； B.若AB，则RA B ， R AB ，ABAB，B 正确； C. 若ABA，则RA B ， R ABA，则BA，C错； D.AB时，AB，()() RR ABAB 痧，D正确； E.由定义，( )() RR ABABAB 痧BA，E错 故选：ABD 【点睛】 本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算 三、填空题三、填空题 13命题命题“ 2 ,220 xR xx ”的否定是的否定是 【答案】【答案
17、】 【解析】【解析】试题分析：命题“ 2 ,220 xR xx ”的否定是. 【考点】全称命题的否定. 14设集合设集合 14Axx ，13Bxx ，则，则 R AB_ 第 8 页 共 15 页 【答案】【答案】3,4 【解析】【解析】先求 RB ，再与集合A求交集即可. 【详解】 因为13Bxx ， 所以 R |1Bx x或3x ， 所以 R |34ABxx， 故答案为：3,4 【点睛】 本题主要考查了集合的交集和补集运算，属于基础题. 15若若, a b是方程是方程 24 2(lg )lg10 xx 的两个实根，则的两个实根，则 lg() (loglog) ab abba的值的值 为为_
18、【答案】【答案】12 【解析】【解析】原方程可化为 2 2()410lgxlgx ，设tlgx，则原方程可化为 2 2410tt ，利用换元法令1t lga， 2 tlgb，再根据对数的运算法则，即可得答 案； 【详解】 原方程可化为 2 2()410lgxlgx ，设tlgx，则原方程可化为 2 2410tt 设方程 2 2410tt 的两根为1t， 2 t，则 12 2tt， 1 2 1 2 t t 由已知 a，b是原方程的两个根 可令 1 tlga， 2 tlgb，则2lgalgb， 1 2 lga lgb， ab lg ablog blog a lglg (lglg ) lglg ba
19、 ab ab 22 (lglg ) (lg )(lg ) lg lg abba ab 2 (lglg )2lg lg (lglg ) lg lg baab ab ab 2 1 22 2 212 1 2 故答案为：12. 第 9 页 共 15 页 【点睛】 本题考查对数方程的求解及对数运算法则求值， 考查函数与方程思想、 转化与化归思想， 考查逻辑推理能力、运算求解能力. 16若对任意若对任意xR，不等式，不等式 22 (1)(1)10axax 恒成立，则实数恒成立，则实数a值范围是值范围是 _. 【答案】【答案】 3 ,1 5 【解析】【解析】根据题意，分两种情况讨论：1若 2 10a ，则1
20、a，分别验证 1a 或1 时，是否能保证该不等式满足对任意的实数x都成立； 2若 2 10a ，不等式 22 (1)(1)10axax 为二次不等式，结合二次函数的性 质，可解得此时a值范围. 【详解】 由题意，分两种情况讨论： 1若 2 10a ，则1a， 当1a 时，不等式 22 (1)(1)10axax 为：10 ， 满足对任意的实数x都成立，则1a 满足题意， 当1a时，不等式 22 (1)(1)10axax 为：20 x， 不满足对任意的实数x都成立，则1a满足题意， 2若 2 10a ，不等式 22 (1)(1)10axax 为二次不等式， 要保证 22 (1)(1)10axax
21、实数x都成立， 必须有 2 2 2 10 1410 a aa 可解得 3 1 5 a， 综上可得 3 ,1 5 . 故答案为： 3 ,1 5 【点睛】 本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想的应用，属于基础 题. 第 10 页 共 15 页 四、解答题四、解答题 17 （1）化简：）化简： 111 440642 342 ()()()()a baa baba （a0，b0） ；） ； （2）先化简，再求值已知）先化简，再求值已知 2 7a ， 5 2b ，求，求 6646 35 66314 9 3 69 a bbb ab a ba bb 的值的值 【答案】【答案】 （1）a
22、； （2） 3 b；250 2 . 【解析】【解析】 （1）将根式转化为分数指数幂，利用指数的运算法则即可化简； （2） 先将所求代数式利用平方差公式和完全平方式化简， 再代入 2 7a ， 5 2b 即 可求解. 【详解】 （1） 111 440642 342 ()()()()a baa baba 1234 aba baba 11 ababaa ； （2） 2 66314332 693a ba bba bb ， 因为2 75 2ab，则 332 3a bb ， 则原式= 332332 6 23335 33 33 a bba bb b ba bab 3326353 3 3535 33 33 a
23、 bbbabb b abab ， 因为 5 2b ，所以原式= 250 2 . 【点睛】 本题主要考查了指数式的化简， 考查了指数的运算法则涉及完全平方公式， 平方差公式， 属于基础题. 18已知关于已知关于x的不等式的不等式 2 5 0 ax xa 的解集为的解集为M （1）当）当4a时，求集合时，求集合M； （2）若）若3M且且5M，求实数，求实数a的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1） 5 , 2,2 4 ； （2） 5 1,9,25 3 . 【解析】【解析】 （1）代入4a后将分式不等式转化为高次不等式，求解后可得M. 第 11 页 共 15 页 （2）根据3M且5M可得关于a
24、的不等式组，其解为实数a的取值范围. 【详解】 （1）因为4a，故 2 45 0 4 x x 即45220 xxx， 所以2x或 5 2 4 x，故M为 5 , 2,2 4 . （2）因为3M且5M，故 35 0 9 55 0 25 a a a a 或250a， 故 3590 1250 aa aa ，解得 5 1 3 a或925a， 故a的取值范围为 5 1,9,25 3 . 【点睛】 一般地， 0 f x g x 等价于 0f x g x ，而 0 f x g x 则等价于 0 0 f x g x g x ， 注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.解本题时还应注意5M对应的a满 足的条
25、件中容易遗漏250a这个情况. 19已知命题已知命题 p：x24x50，命题，命题 q：x 2 2x1m20(m0) （1）若）若 p是是 q的充分条件，求实数的充分条件，求实数 m的取值范围；的取值范围； （2）若）若 m5，命题，命题 p和和 q 中有且只有一个真命题，求实数中有且只有一个真命题，求实数 x的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1）4，+)； （2 4 ， 1)(5 ，6. 【解析】【解析】 （1）求出命题p，q成立时的x的范围，利用充分条件，根据包含关系列出不 等式求解即可 （2）讨论 p真 q假或 p假 q 真，分别利用命题的真假关系列出不等式组，求解即可 【详解】
26、 (1)对于 : 1p A ，5， 对于 :1q Bm ，1 m ，p是q的充分条件， 可得AB， 11 15 m m ， 4m ， ) (2)若 m5，命题 p和 q 中有且只有一个真命题， 第 12 页 共 15 页 此时命题 q 对应得集合为 B=4,6， 则 p真 q 假或 p假 q 真， 所以当 p 真 q假时，x1,5，且 x , 4 (6，+)，则此时无解； 当 p 假 q真时，x, 1 (5，+)，且 x4,6， 4x ， 1)(5 ，6 综上所述，x的取值范围为 4 ， 1)(5 ，6 【点睛】 本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件的应用，集合的关系，考查转化思想以及 计
27、算能力 20已知已知0 x， 0y ，24xyxya （1）当）当6a时，求时，求xy的最小值；的最小值； （2）当）当0a时，求时，求 21 2 xy xy 的最小值的最小值 【答案】【答案】 （1）9;（2） 11 2 【解析】【解析】试题分析： （1）由0 x，0y 可利用均值不等式2abab可知 42 44xyxyxy，从而得到xy的不等式，求得其最小值； （2）将2 4xyxy 变形为 12 1 2yx ，与所求式子求乘积即可利用均值不等式求得其最小值 试题解析： （1）当6a时，24646xyxyxy， 即 2 ()230 xyxy ， (1)(3)0 xyxy， 3xy， 9xy
28、 ， 当且仅当 46xy 时，等号成立 xy 的最小值为 9 （2）当0a时，可得2 4xyxy ， 两边都除以2xy，得 12 1 2yx ， 第 13 页 共 15 页 2112727211 1()() 1()2 2222222 xyxy xyxyxy xyyxyxyx ， 当且仅当 2 1 2 xy yx ，即3x ， 3 2 y 时取等号 21 2 xy xy 的最值为 11 2 【考点】均值不等式求最值 21 （1）已知）已知0m，0n， 4816 logloglog (2)mnmn求求 24 loglogmn的的 值；值； （2）若）若 18 log 9a，18 5 b ，用，用
29、a，b表示表示 36 log45 【答案】【答案】 （1） 1 2 ； （2） 36 log45 2 ab a . 【解析】【解析】 （1） 设 481 6 l o gl o gl o g ( 2)mnm nk， 将m n、 、 2mn用k表示出来， （2）化指数式为对数式求得b，把要表示的式字换成以 18 为底的对数，即可求解. 【详解】 （1）设 4816 logloglog (2)mnmnk， 所以4km ，8kn ，216kmn， 所以2 2816 kkk ，即 11 21 42 kk ， 即 2 11 21 22 kk ，令 1 0 2 k t ， 则 2 210tt ，解得： 1
30、2 t 或1t （舍） ， 所以 24222 logloglogloglog m mnmn n 222 loglo 111111 222222 glog k m n ， （2）由题意185 b ，所以 18 log 5b ，则 181818 36 1818 log45log 9log 5 log45 log 361 log22 ab a . 第 14 页 共 15 页 【点睛】 本题主要考查了指对函数互化，以及对数的运算，换底公式，属于中档题 22已知关于已知关于 x的不等式的不等式 2 20axx (aR) （1）若）若 2 20axx 的解集为的解集为 |1x x 或或xb，求实数，求实数
31、 a，b的值；的值； （2）求关于）求关于 x的不等式的不等式 2 23axxax 的解集的解集 【答案】【答案】 （1）3a， 2 3 b ； （2）答案见解析. 【解析】【解析】 （1）根据不等式解集与对应方程根的关系列等量关系，解得结果； （2）先因式分解，再根据根的大小关系分类讨论，即可确定不等式解集. 【详解】 (1)由题意可知方程 2 20axx的一个根为 1，且 a0， a+3=0，解得3a，此时不等式可化为 2 320 xx， 其解集为 |1x x 或 2 3 x ，对比可得 2 3 b . (2)由题意可将不等式 2 23axxax 化简为 2 110axa x ， 因式分解
32、，得110axx， 则当 a=0时，不等式可化简为10 x，解得 x0时，不等式可化简为 1 10 xx a ，解得 1 1x a ； 当-1a0 时，不等式可化简为 1 10 xx a ，解得1x或 1 x a ； 当 a=-1 时，不等式可化简为 2 10 x，解得 x1； 当 a-1 时，不等式可化简为 1 10 xx a ，此时1x 或 1 x a . 综上所述，当 a=0 时，不等式的解集为x|x0 时，不等式的解集为 1 |1xx a ； 当-1a0 时，不等式的解集为 |1x x 或 1 x a ； 当 a=-1 时，不等式的解集为x|x1； 当 a-1 时，不等式的解集为 |1x x 或 1 x a . 第 15 页 共 15 页 【点睛】 本题考查解含参数不等式、 根据不等式解集求参数， 考查基本分析求解能力， 属中档题.
