1、第 1 页 共 15 页 2020-2021 学年江西省吉安市永丰中学高一上学期第一次月学年江西省吉安市永丰中学高一上学期第一次月 考数学试题考数学试题 一、单选题一、单选题 1设集合设集合 0,1,3,5,6,8U ， A1,5,8B2，则，则 UA B （ ） A0,2,3,6 B 0,3,6 C1,2,5,8 D 【答【答案】案】A 【解析】【解析】根据集合的补集、并集运算即可得到结论 【详解】 解：0,1,3,5,6,8U ，1,5,8A， 2B ， 0,3,6 UA 0,2,3,6 UA B 故选：A 【点睛】 本题主要考查集合的基本运算，属于基础题 2集合集合 | 212PxNx
2、的子集的个数是（的子集的个数是（ ） A4 B8 C16 D32 【答案】【答案】B 【解析】【解析】化简集合P得到其元素个数，然后根据公式2n计算可得结果. 【详解】 因为| 212PxNx | 130,1,2xNx ， 所以其子集个数为 3 28个. 故选：B. 【点睛】 本题考查了求集合的子集个数，属于基础题. 3下下列各式中：列各式中：0 0,1,2 ；0,1,22,1,0；0,1,2 ；0 ； 0,1(0,1)；00. .正确的个数是（正确的个数是（ ） A1 1 B2 2 C3 3 D4 4 第 2 页 共 15 页 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据元素与集合的关系、集合与
3、集合的关系可判断正确的关系式，从而可得正 确的选项. 【详解】 解：集合之间的关系是包含与不包含，因此 00,1,2，不正确，应该为 00,1,2； 0,1,22,1,0，正确； 0,1,2，正确； 不含有元素，因此 0； 0,1与0,1的元素形式不一样，因此不正确； 元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为 00，因此不正确. 综上只有：，正确. 故选：B. 【点睛】 本题考查元素与集合的关系判断、集合与集合的关系判断，前者是属于不属于的关系， 后者是包含不包含的关系，本题属于容易题. 4下列对应是从集合下列对应是从集合 A到集合到集合 B的映射的是（ 的映射的是（ ） A集合集合
4、|Ax x 是圆是圆 |Bx x，是三角形是三角形，对应关系，对应关系 f：每一个圆都对应它的内：每一个圆都对应它的内 接三角形接三角形 B集合集合 ,AZ BQ对应关系对应关系 1 : 1 fxy x C集合集合0ARB ，对应关系，对应关系 f：求绝对值：求绝对值 D集合集合0A BR，对应关系，对应关系 f：开平方：开平方 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据映射的定义一一判断可得 【详解】 解：对于A中， |Ax x是圆， |Bx x是三角形，对应关系f：每一个圆都对 应它的内接三角形，因为每一个圆都有无数个内接三角形，故A不能构成从A到B的 映射； 第 3 页 共 15 页 对于
5、B，集合,AZ BQ对应关系 1 : 1 fxy x ，当1x 时， 1 1x 无意义， 即1x 在B中找不到元素与其相对应，故B不能构成从A到B的映射； 对于C，集合0ARB，对应关系f：求绝对值；因为任何实数的绝对值 都大于等于零，且只有唯一的数与其相对应，故C能构成从A到B的映射； 对于D，集合0ABR，），对应关系f：开平方，因为任何正数的平方根 有两个，故不是一一对应的，故D不能构成从A到B的映射； 故选：C 【点睛】 本题考查映射的判断，考查映射的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 5函数函数 y= 2 11x 的定义域为（的定义域为（ ） A(-，1 B(-，0)(0，
6、1) C(-，0)(0，1 D1，+) 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据偶次根式有意义的条件以及分母不为 0 列式可解得结果. 【详解】 由函数 y= 2 11x 有意义可得10 x且11x，解得1x且0 x. 故选：C. 【点睛】 本题考查了求函数的定义域，属于基础题. 6下列各组函数中，表示同一组函数的是（下列各组函数中，表示同一组函数的是（ ） ） A 2 ( )f xx ， 33 ( )g xx B f xx， 2 g xx C 2 f xx， g xx D 1f tt， 1,1 1,1 xx g x xx 【答案】【答案】D 【解析】【解析】通过分析两个函数的对应关系和定义域
7、，结合相等函数的定义可得答案. 【详解】 对于选项A，( ) |f xx，( )g xx，两个函数的对应关系不同，故不表示同一函数； 对于选项B， ( )f x的定义域为R，( )g x的定义域为0,)，故不表示同一函数； 第 4 页 共 15 页 对于选项C，( ) |f xx，( )g xx，两个函数的对应关系不同，故不表示同一函数； 对于选项D， 1f tt 1,1 1,1 tt tt ， 1,1 1,1 xx g x xx 两个函数的定义域和 对应关系都相同，故表示同一函数. 故选：D. 【点睛】 本题考查了函数相等的定义与判断，抓住函数的定义域和对应关系是解题关键，属于基 础题. 7
8、若函数若函数 2 2 1 1 20 x fxx x ，那么，那么 1 2 f （ ） A1 B3 C15 D30 【答案】【答案】C 【解析】【解析】令 1 12 2 x，得 1 4 x ，代入计算可得选项. 【详解】 由于 2 2 1 1 20 x fxx x ，当 1 4 x 时， 2 2 1 1 11 16 15 1 2 16 x f x ， 故选：C. 【点睛】 本题考查由解析式求函数值，属于基础题. 8函数函数 2 4yxx 的值域是（的值域是（ ） A,4 B ,2 C0,2 D0,4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】配方即可得到 2 2 4 =24xxx，从而得出 0 2 4
9、xx 2，即得出 y 的范围，从而得出原函数的值域 【详解】 2 2 4 =24xxx， 0 2 24x4； 0 2 4xx 2； 第 5 页 共 15 页 函数 2 4yxx 的值域为0,2. 故选：C. 【点睛】 本题考查函数的值域，利用配方法即可，属于简单题. 9若函数若函数 2 ( )2(1)f xxax 与与 2 ( ) 2 a g x x 均在区间均在区间3,4上为减函数，则上为减函数，则 a的的 取值范围为（取值范围为（ ） A(5, ) B(2,) C2,4 D(2,5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据二次函数的对称轴与区间的关系可得4a，根据反比例函数的单调性可 得2
10、a，从而可得 a 的取值范围为24a. 【详解】 由函数 2 ( )2(1)f xxax 在区间3,4上为减函数，可得13a ，解得4a； 由函数 2 ( ) 2 a g x x 在区间3,4上为减函数，可得20a ，解得2a， 所以24a. 故选：C. 【点睛】 本题考查了二次函数的单调性，考查了反比例函数的单调性，属于基础题. 10若函数若函数 2 34yxx的定义域为的定义域为0,m，值域为，值域为 25 , 4 4 ，则，则m的取值范围的取值范围 是（是（ ） A (0,4 B 25 4, 4 C 3 ,3 2 D 3 , 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】运用配方法求出函数的最
11、小值，结合二次函数的单调性、函数的定义域和值域 进行求解即可. 【详解】 2 2 325 34 24 yxxx ， 当 3 2 x 时， 25 4 y ；当0 x或3时，4y . 第 6 页 共 15 页 因此当 3 3 2 m时，函数 2 34yxx在区间0,m上的最小值为 25 4 ， 最大值为4，所以，实数m的取值范围是 3 ,3 2 . 故选：C. 【点睛】 本题考查了已知二次函数的定义域和值域求参数取值范围问题，考查了数学运算能力. 11定义在定义在 R上的奇函数上的奇函数 ( )f x，对任意的 ，对任意的 12 ,0 x x ，都有，都有 1212 0 xxf xf x ， (
12、1)0f ，则不等式，则不等式( )0 xf x 的解集是（的解集是（ ） A( 1,0) (0,1) B(, 1)(0,1) C( , 1)(1,) D( 1,0)(1,)-? 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据已知条件，结合减函数的定义可得函数 ( )f x在(,0) 上为递减函数，再 根据奇函数的性质和单调性解不等式可得结果. 【详解】 因为对任意的 12 ,0 x x ，都有 1212 0 xxf xf x ， 所以当 12 0 xx时， 12 ( )0(f xf x，即 12 ( )(f xf x）， 所以函数 ( )f x在(,0) 上为递减函数， 当0 x时，( )0 xf
13、 x 等价于( )0( 1)f xf，所以1x， 当0 x时，( )0 xf x 等价于( )0f x 等价于()0fx等价于 ()0( 1)fxf ， 所以1x ，所以1x . 所以不等式( )0 xf x 的解集为(, 1)(1,) . 故选：C. 【点睛】 本题考查了函数的单调性的判断，考查了利用奇偶性和单调性解不等式，属于中档题. 12 设函数设函数 2 2 , ( ) 6, xxxa f x axxa 是定义在是定义在R上的增函数， 则实数上的增函数， 则实数a取值范围 （取值范围 （ ） 第 7 页 共 15 页 A2, B 0,3 C2,3 D2,4 【答案】【答案】D 【解析】
14、【解析】画出函数 2 2yxx的图象，结合图象及题意分析可得所求范围 【详解】 画出函数 2 2yxx的图象如下图所示， 结合图象可得，要使函数 2 2 , 6, xxxa x axxa 是在R上的增函数， 需满足 22 2 26 a aaa ，解得24x 所以实数a取值范围是2,4 故选 D 【点睛】 解答本题的关键有两个： （1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和 形象性； （2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要 考虑在分界点处的函数值的大小关系 二、填空题二、填空题 13设函数设函数 2 2 1,1 ( ) 2,1 xx f x xxx 则
15、则 1 () (2) f f 的值为的值为_ 【答案】【答案】 15 16 【解析】【解析】直接利用分段函数解析式，先求出 f 2的值，从而可得 1 2 f f 的值. 【详解】 第 8 页 共 15 页 因为函数 2 2 1,1 ,21 2,1 xx f x xxx ， 所以 2 22224f ， 则 2 11115 1 24416 ff f ，故答案为 15 16 . 【点睛】 本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析 式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因 此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 14已知已知 2
16、1,2, ,2, ,AaBa a，若，若A B，则，则a_. 【答案】【答案】1 【解析】【解析】根据集合相等的定义以及集合中元素的互异性列式可解得结果. 【详解】 因为 2 1,2, ,2, ,AaBa a，且A B， 所以 2 1a 且1a ，解得1a. 故答案为：1. 【点睛】 本题考查了集合相等的定义，考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 15已知已知21fx定义域为定义域为 1,3，则，则3fx定义域为定义域为_ 【答案】【答案】 7 1, 3 【解析】【解析】由13x，得出3217x ，然后解不等式337x即可得出函数 3yfx的定义域. 【详解】 由于函数21yfx的定义域为1
17、,3，即13x，得3217x ， 对于函数3yfx，则337x，解得 7 1 3 x. 因此，函数3yfx的定义域为 7 1, 3 . 第 9 页 共 15 页 故答案为： 7 1, 3 . 【点睛】 本题考查抽象函数定义域的计算，解题要注意定义域为自变量的取值范围，以及中间变 量的取值范围一致，由此列不等式求解，考查运算求解能力，属于基础题. 16若若1fxx x，则，则 f x的解析式为的解析式为_ 【答案】【答案】 2 ,1f xxx x 【解析】【解析】利用换元法求得函数 ( )f x的解析式即可，注意x的范围. 【详解】 令1tx，则1t ，且 2 (1)xt， 可得 22 ( )(
18、1)1f ttttt ， 所以 2 ( )f xxx(1x)， 故答案为： 2 ( )f xxx(1x). 【点睛】 本题主要考查了函数的解析式的求解及应用， 其中解答中合理利用换元法求得函数的解 析式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 三、解答题三、解答题 17已知集合已知集合 |3Ax x 或或2x ， |15Bxx， |12 Cx mxm （1）求）求AB，() R C AB； （2）若若BCC，求实数，求实数m的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】(1) |25ABxx () | 35 R C ABxx (2) 5 (, 1)(2, ) 2 【解析】【解析】试题分析：
19、 （1）根据集合的交集的概念得到 |25ABxx， | 32 R C Axx ，进而得到结果； （2）BCC CB，分情况列出表达式即可. 解析： （1） |25ABxx 第 10 页 共 15 页 | 32 R C Axx |35 R C ABxx （2）BCC CB ）当C 时，12mm 即1m ）当C 时， 12 1 1 25 mm m m 5 2 2 m 综上所述：m的取值范围是 5 , 12, 2 18已知幂函数已知幂函数 2 2 42 1 mm f xmx 在在0,上单调递增上单调递增. （1）求）求m的值；的值； （2） 当） 当1,2x时， 记时， 记 f x的值域为集合的值域
20、为集合A， 若集合， 若集合2,4Bkk， 且， 且=AB ， 求实数求实数k的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）0m； （2）3k 或2k . 【解析】【解析】 （1）由幂函数的定义可得； （2）求出 f x的值域，再由集合交为空集的含义可得k. 【详解】 （1） f x为幂函数， 2 11m，0m或 2. 当0m时， 2 f xx在0,上单调递增，满足题意. 当2m时， 2 f xx在0,上单调递减，不满足题意，舍去. 0m. （2）由（1）知， 2 f xx. f x在1,2上单调递增，1,4A 由于此题中B，要满足=AB ，只需4124kk或，32kk 或. 【点睛】 此题
21、考查幂函数概念、空集概念、集合交运算，属于基础题. 19已知函数已知函数 f x是定义域为是定义域为 R的偶函数，当的偶函数，当0 x 时，时，( )(2)f xxx . 第 11 页 共 15 页 （1）在给定的图示中画出函数）在给定的图示中画出函数 f x的图象的图象(不需列表不需列表) （2）求函数）求函数 f x的解析式；的解析式； （3）若方程）若方程( )2f xa有四个根，求实数有四个根，求实数a的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）图像见解析（2） (2)0 ( ) (2)0 xxx f x x xx （3） 1 0, 2 【解析】【解析】 （1）画出函数 f x在0
22、,）上的图象，根据偶函数的对称性得出 f x在 () ,0-?上的图象； （2）设0 x，0 x ，将x代入( )(2)f xxx，结合偶函数的定义，得出0 x 时，函数 f x的解析式； （3）由图象确定021a，解不等式即可得出答案. 【详解】 （1）0 x时，( )(2)f xxx； f x的图象过(0,0),(2,0),(1,1)，从而可画出 f x在0,）上的图象，根据偶函数的图象对称性即可画出 f x在( ) ,0-?上的 图象，图象如下: （2）设0 x，0 x ，则:()(2)( )fxx xf x ； 第 12 页 共 15 页 (2)0 ( ) (2)0 xxx f x x
23、 xx ； （3）由图象可知，021a；实数a的取值范围为 1 0, 2 . 【点睛】 本题主要考查了由奇偶性求函数解析式以及根据方程的根的个数求参数取值， 属于中档 题. 20已知已知 1 ( )f xaxb x 是定义在是定义在|0 xR x上的奇函数，上的奇函数，且且(1)5f . （1）求）求 ( )f x的解析式； 的解析式； （2）判断）判断 ( )f x在 在 1 , 2 上的单调性，并用定义加以证明上的单调性，并用定义加以证明. 【答案】【答案】 （1） 1 ( )4(0)f xxx x ； （2）( )f x在 1 , 2 上单调递增，证明见解析. 【解析】【解析】 （1）根
24、据函数奇偶性，以及题中条件，求出参数，即可得出函数解析式； （2）根据函数单调性的定义，直接证明，即可证明结论成立. 【详解】 （1） ( )f x为奇函数，()( )0fxf x-+= ，0b. 由(1)5f，得4a， 1 ( )4(0)f xxx x . （2） ( )f x在 1 , 2 上单调递增. 证明如下: 设 12 1 2 xx，则 1212 12 11 4f xf xxx xx 12 12 12 41x x xx x x 12 1 2 xx， 12 0 xx， 12 410 x x ， 12 12 12 41 0 x x xx x x ， 1212 0,f xf xf xf x
25、， 第 13 页 共 15 页 ( )f x在 1 , 2 上单调递增. 【点睛】 本题主要考查由函数奇偶性求参数，以及函数单调性的证明，属于常考题型. 21设设 ( )f x是定义在 是定义在R上的函数，且对任意上的函数，且对任意, x yR，恒有，恒有()( )( )f xyf xf y . （1）求）求(0)f的值；的值； （2）判断）判断 ( )f x的奇偶性并证明； 的奇偶性并证明； （3）若函数）若函数 ( )f x是 是R上的增函数，已知上的增函数，已知(1)3f，且，且 2 (2)(1)6faf a，求实数，求实数 a的取值范围 的取值范围. 【答案】【答案】 （1） 00f；
26、 （2） f x是奇函数，证明见解析； （3）1a 或 1 2 a . 【解析】【解析】 （1）令0 xy可得结果； （2） f x是奇函数，令y x ，根据奇函数的定义可证结论正确； （3）由( 1 )3f得(2)6f，将不等式化为 2 (2)(1)faf a，再根据单调性可解得 结果. 【详解】 （1）令0 xy，得 000fff，所以 00f； （2） f x是奇函数， 证明：因为 f x的定义域为R并且关于原点对称， 令y x ，得 00f xxf xfxf ， 所以 fxf x，所以 f x是奇函数； （3）令1xy，所以(1 1)(1)(1)6fff，即(2)6f 又因为 2 (2
27、)(1)6faf a，所以 2 (2)(1)(2)faf af，所以 2 (2)(1)faf a， 因为函数 ( )f x是R上的增函数，所以 2 21aa， 即 2 210aa ，解得 1a 或 1 2 a . 【点睛】 第 14 页 共 15 页 本题考查了利用定义证明抽象函数的奇偶性， 考查了利用单调性解不等式， 属于基础题. 22已知二次函数已知二次函数 f x满足满足 011ff，且，且 f x的最小值是的最小值是 3 4 1求求 f x的解析式；的解析式； 2若关于若关于x x的方程的方程 f xxm在区间在区间1,2上有唯一实数根， 求实数上有唯一实数根， 求实数mm的取值范的取
28、值范 围；围； 3函数函数 21g xf xtx，对任意，对任意 1 x， 2 4,5x 都有都有 12 4g xg x恒恒 成立，求实数成立，求实数t t的取值范围的取值范围 【答案】【答案】（1） 2 1f xxx (2) 01,4U （3） 513 22 t 【解析】【解析】试题分析：（1）因 01ff，故对称轴为 1 2 x ，故可设 2 13 24 f xa x ，再由 11f得1a .（2） f xxm有唯一实数根可以 转化为y m 与( )yf xx有唯一的交点去考虑.（3） 2 21g xxtx，任意 12 ,4,5x x 都有不等式 12 4g xg x成立等价于 maxmi
29、n 4f xf x，分 4t 、 9 4 2 t 、 9 5 2 t 和5t 四种情形讨论即可. 解析： （1） 因 01ff， 对称轴为 1 2 x ，设 2 13 24 f xa x ， 由 01f 得1a ，所以 2 1f xxx . （2）由方程 f xxm得 2 21mxx，即直线y m 与函数 2 21,1,2yxxx 的图象有且只有一个交点，作出函数 2 21yxx在 1,2x 的图象.易得当0m或1,4m时函数图象与直线y m 只有一个交点， 所以m的取值范围是 01,4U. （3）由题意知 2 21g xxtx. 假设存在实数t满足条件，对任意 12 ,4,5x x 都有 1
30、2 4g xg x 成立，即 12 max 4g xg x ，故有 maxmin 4g xg x ，由 第 15 页 共 15 页 2 2 1,4,5g xxttx. 当4t 时， g x在4,5上为增函数 maxmin 544g xg xgg ， 5 2 t ，所以 5 4 2 t ； 当 9 4 2 t 时， maxmin 54g xg xgg t ， 22 25 101214ttt .即 2 10210tt ，解得37t ，所以 9 4 2 t . 当 9 5 2 t 时， maxmin 44g xg xgg t 即 2 8120tt解得26t .所以 9 5 2 t . 当5t 时， maxmin 544g xg xgg ，即 13 2 t ，所以 13 5 2 t ，综上所述， 513 22 t ， 所以当 513 22 t 时，使得对任意 12 ,4,5x x 都有 12 4g xg x成立. 点睛：（1）求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合 理假设二次函数的形式（如双根式、顶点式、一般式） ； （2）不等式 12 f xf xM对任意的,xa b恒成立可以等价转化为 maxmin ( )( )f xf xM恒成立.
