1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学试卷数学试卷 注意事项：注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请将答案正确填写在答题卡上答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请将答案正确填写在答题卡上 第第 I 卷（选择题）卷（选择题） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 50 分）分） 1. 如果cos0，且tan0，则是（ ） A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角函数在各象限的符号确定即可. 【详解】因为co
2、s0则在第二、第三象限或x轴的负半轴上， tan0则在第一、第三象限， 所以是第三象限的角. 故选：C 【点睛】本题主要考查了角在各象限的三角函数的符号，属于容易题. 2. 化简AB BCAD 等于（ ） A. CD B. DC C. AD uuu v D. CB 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量的线性运算求解即可. 【详解】 ACABBAACCDDD 故选：B 【点睛】本题主要考查首尾相加的向量运算与共起点的向量减法运算,属于基础题型. 3. 若向量2,1 , 2,abx共线，则实数x的值是（ ） A. 2 B. 2 C. 0 D. 2 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考
3、资源网 - 2 - 【答案】B 【解析】 试题分析：由题向量2,1 ,2,abx共线，得：22,2xx 考点：向量共线的性质. 4. 函数( ) cosf xx 的一个单调递增区间是（ ） A. (0,) 2 B. (,) 2 2 C. (0) ， D. (0, ) 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题( )cosf xx的 单 调 递 增 区 间 为 ： (21) ,2,kkkZ 则 当 0, (, 0)k 考点：余弦函数的单调性和周期性. 5. sin cosyxx是（ ） A. 最小正周期为2的偶函数 B. 最小正周期为2的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期
4、为的奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】 整理 1 sin cossin2 2 yxxx,即可判断选项. 【详解】由题,因为 1 sin cossin2 2 yxxx, 所以该函数是奇函数,周期为 2 2 T , 故选:D 【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的应用. 6. 为了得到函数sin(2) 4 yx 的图象，可以将函数sin2yx的图象（ ） A. 向左平移 4 个单位长度 B. 向右平移 4 个单位长度 C. 向左平移 8 个单位长度 D. 向右平移 8 个单位长度 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【答案】D 【解
5、析】 sin 2sin2 48 xx ，据此可知，为了得到函数sin 2 4 yx 的图象，可以将 函数sin2yx的图象向右平移 8 个单位长度. 本题选择 D 选项. 7. 若直线xa是函数sin() 6 yx 图象的一条对称轴，则 a 的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题s i n () 6 yx ， 对 称 轴 方 程 为 ： ,. 62 xkkZ 则 当 0 3 kx 时， 考点：三角函数的性质（对称性）. 8. 已知非零向量a ，b 夹角为45 ，且2a ，2ab,则b 等于（ ） A. 2 2 B. 2 C.
6、3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据数量积的运算，2ab 两边平方即可求解. 【详解】2ab ,=2a ,a ，b 夹角为45, 2 22 2 ()24a ba baa bb 2 42 2|cos|4 4 bb , 解得：| | 2 2b ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题. 9. 函数 2sin(2)yx 的图象与直线y x 的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题可画出对应的函数图象， 由图可得： 两函数有 7
7、 个交点 10. 关于函数( )sincosf xxx，给出下列三个结论： 函数 ( )f x的最小值是1； 函数 ( )f x的最大值是 2； 函数 ( )f x在区间(0,) 4 上单调递增. 其中全部正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先把三角函数变形成( )1sin2f xx的形式， 进而逐一分析三个结论的真假， 可得答案. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【详解】函数( )sincos1sin2f xxxx， 故当sin20 x 时，函数的最小值为1，故正确； 当sin21x时，函数取最大值 2，故正确；
8、 当(0,) 4 x 时，2(0,) 2 x ，此时sin2x随x的增大从0到1， 故 ( )f x为增函数，故正确； 故选：D 【点睛】本题考查了辅助角公式、三角函数性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础 题. 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分）分） 11. 5 sin 4 _. 【答案】 2 2 【解析】 试题分析：由题： 5 sin 4 2 sin()sin 442 考点：三角函数的诱导公式. 12. 已知函数( )f x 1 ,1, 2 ,1. x x x x 且 ( )(2)0f af ，则实数a _ 【答案】1 【解析
9、】 【分析】 由( )(2)0f af可知 1 ( ) 2 f a ，根据解析式求解即可. 【详解】因为 1 (2) 2 f ，( )(2)0f af， 所以 1 ( ) 2 f a ， 1x时， 1 ( )0f x x ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 由 1 0 2 知， 1 ( )2 2 a f a ，解得1a， 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了分段函数求值，注意分类讨论思想的运用，属于容易题. 13. 角终边上一点的坐标为(1,2)，则tan2_. 【答案】 4 3 【解析】 【详解】终边上一点的坐标为(1,2)得： tan2, y x 2 2t
10、an44 tan2 1tan1 43 . 故答案为： 4 3 . 14. 设向量0,2 ,3,1ab，则, a b的夹角等于_. 【答案】 3 【解析】 【详解】0,2 ,3,1ab，则：2,2,2aba b， 又 1 cos ,cos,0, , 23 a ba b 故答案为： 3 . 15. 已知 (0, ) ，且cossin 8 ，则_. 【答案】 5 8 【解析】 【详解】 5 sinsin()cos()cos, 88288 则： 55 coscos,0, 88 . 故答案为： 5 8 . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 16. 已知函数( ) sinf
11、 xx （其中0）图象过( , 1)点，且在区间(0,) 3 上单调递增， 则的值为_. 【答案】 3 2 【解析】 试题分析：由题：1sin ，则： 1 2,2 , 22 kk kZ 又， 22 , 22 kk xkZ , (0,) 3 上单调递增， 3 1, 2 K 考点：三角函数性质及方程与不等式. 17. 2 log2 _， 3 1 log 2 3 _ 【答案】 1 , 6 2 ； 【解析】 试题分析：由题： 22 11 log2log 2 22 ， 33 1 log 2log 6 336 考点：对数的运算性质. 18. 已知函数 f x是定义R上的减函数，如果 1f af x在1,2
12、x上恒成立，那么 实数a的取值范围是_. 【答案】,2 【解析】 1f af x在1,2x上恒成立，函数 f x是定义域在R上的减函数，1ax 在1,2x上恒成立，又因为1 1 12x 2a ，故答案为,2. 【方法点睛】本题主要考查函数单调性以及不等式恒成立问题，属于难题.对于求不等式恒成 立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式， 另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式， 便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为 复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.
13、 三解答题三解答题 19. 已知 , 2 ，且 3 sin 5 . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - （）求tan 4 的值； （）求 sin2cos 1cos2 的值 【答案】 ()-7；() 1 8 【解析】 【分析】 （）利用同角三角函数的基本关系及的范围求出 cosa 的值，进而得到 tana 的值，代入 tan（a 4 ） 1 1 tana tana ，运算求得结果； （）利用二倍角公式求出sin21 cos2与， 代入运算求出结果 【详解】解： （）因为, 2 ，且 3 sin 5 ， 所以 2 4 cos1 sin 5 . 所以 sin3 tan
14、cos4 . 所以 tan1 tan7 41tan . （）由（）知， 24 sin22sin cos 25 ， 2 32 1 cos22cos 25 . 所以 244 sin2cos1 255 32 1 cos28 25 . 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式，二倍角公式的应用，求 出 cosa 和 tana 的值，是解题的关键 20. 如图所示，B,C 两点是函数( )sin(2) 3 f xAx （A0）图象上相邻的两个最高点，D 点 为函数 f(x)图象与 x 轴的一个交点. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - （）若 A=2，求
15、f(x)在区间0, 2 上的值域； （）若BDCD，求 A 的值 【答案】 （）3,2； （） 3 4 A . 【解析】 【分析】 （）根据三角函数自变量的范围可得 4 2 333 x ，利用正弦函数的图象与性质即可 求解； （）写出点(, ) 12 BA ， 13 (,) 12 CA ，(,0) 3 D ，根据垂直利用向量数量积为 0 求解. 【详解】 （）由题意( )2sin(2) 3 f xx， 因为0 2 x ，所以02x .所以 4 2 333 x . 所以 3 sin(2)1 23 x . 所以 32f x， 函数 f x 的值域为3,2. （）由已知(, ) 12 BA ， 13
16、 (,) 12 CA ，(,0) 3 D ， 所以(, ) 4 DBA ， 3 (,) 4 DCA . 因为,BDCD DBDC 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 2 2 3 0 16 DB DCA ，解得 3 4 A . 又0A，所以 3 4 A . 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，向量垂直的数量积运算，属于中档题. 21. 如图，在ABC中，1ABAC，120BAC. （）求AB BC 的值； （） 设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动， 且AP x ABy AC ， 其中, x yR. 求xy的最大值. 【答案】 （） 3 2 -
17、； （）1. 【解析】 【分析】 (I）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算； (II）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值. 【详解】 （） ()AB BCAB ACAB 2 13 1 22 AB ACAB . （）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B， 13 (,) 22 C . 设 (cos ,sin )P，0, 3 ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 由AP x ABy AC ， 得 13 (cos ,sin )(1,0)(,) 22 xy . 所以 3 cos,sin 22 y xy . 所以 3 cossin 3
18、 x， 2 3 sin 3 y， 2 2 32311 sincossinsin2cos2 33333 xy 2311 (sin2cos2 ) 3223 21 sin(2) 363 ， 因为 2 0, 3 ， 7 2, 666 . 所以，当2 62 ，即 3 时，xy最大值为1. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性 质，属于中档题 22. 已知函数 2 6 ( ) 1 x f x x . （）判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论； （）求满足不等式(2 )2 xx f的实数x的取值范围 【答案】 （）奇函数，证明见解析； （） 2 1 log
19、5 2 x . 【解析】 【分析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - （）由()fxf x 即可判断奇偶性； （）代入解析式，求解不等式即可. 【详解】 （）因为 2 6 ( ) 1 x f x x ，定义域为R， 又 2 ( ) 6 () 1 x fx x f x ，所以( )f x为奇函数； （）由不等式(2 )2 xx f，得 2 6 2 2 21 x x x ， 整理得 2 25 x ，所以 2 2log 5x ，即 2 1 log 5 2 x . 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，以及解不等式，属于中档题. 23. 设a为实数，函数 2 ( )2f
20、xxax （）当1a 时，求 ( )f x在区间0,2上的值域； （）设函数( )( )g xf x，( )t a为( )g x在区间0,2上的最大值，求( )t a的最小值 【答案】 （） 1,0； （）12 8 2 . 【解析】 【分析】 （1）根据 2 ( )2f xxx为二次函数，利用对称轴求最值即可； （2）分类讨论以确定函数的单调性及极值，同时求出端点的函数值，从而确定 t (a） ，再求最 小值. 【详解】 （）当1a 时， 2 ( )2f xxx. 二次函数图象的对称轴为1x ，开口向上. 所以在区间0,2上，当1x 时， ( )f x的最小值为 1. 当0 x或2x时， (
21、)f x的最大值为0. 所以 ( )f x在区间0,2上的值域为 1,0 . （）注意到 2 ( )2f xxax的零点是0和2a，且抛物线开口向上. 当0a 时，在区间0,2上 2 ( )( )2g xf xxax， ( )g x的最大值( )(2)44t aga. 当01a时，需比较(2)g与( )g a的大小， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 22 ( )(2)(44 )44g agaaaa， 所以，当0 2 22a 时，( )(2)0g ag； 当2 2 21a 时，( )(2)0g ag. 所以，当0 2 22a 时，( )g x的最大值( )(2)44t aga. 当2 2 21a 时，( )g x的最大值 2 ( ) | ( )|t ag aa. 当12a时，( )g x的最大值 2 ( ) | ( )|t ag aa. 当2a时，( )g x的最大值( ) |(2)| 44t aga. 所以，( )g x的最大值 2 44 ,2 22, ( ),2 222, 44,2. a a t aaa aa 所以，当 2 22a 时，( )t a的最小值为12 8 2 . 【点睛】本题考查了二次函数值域的求法，利用了二次函数的图象与性质，同时考查了分类 讨论的思想应用，属于中档题.
