1、中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 二次函数压轴题专题一二次函数压轴题专题一 最短路径问题最短路径问题和最小和最小 知识梳理知识梳理 最短路径最短路径就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及以下 两个方面： 1、两点之间，线段最短； 2、垂线段最短。 常用思考的方式： 1、把立体转化为平面； 2、通过轴对称寻找对称点。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等 变式问题考查。 例题导航例题导航 例 1：如图 A 是锐角MON 内部任
2、意一点，在MON 的两边 OM，ON 上各取一点 B，C，组成三 角形，使三角形周长最小. 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥 MN，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到 E， 2.连接 AE 交河对岸与点 M, 则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BNEM 且 BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE, 所以 A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.C
3、D.DB.CE, 则 AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE 中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即 AC+CD+DB AM+MN+BN 所以桥的位置建在 CD 处，AB 两地的路程最短。 例：如图，A、B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉作物，要 C D A B E a 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 在河边建一个抽水站，将河水送到 A、B 两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道 最短，试在图中确定该点
4、。 作法： 作点B 关于直线 a 的对称点点 C,连接 AC 交直线 a 于点 D， 则点D 为建抽水站的位置。 证明：在直线 a 上另外任取一点 E，连接 AE.CE.BE.BD, 点 B.C 关于直线 a 对称,点 D.E 在直线 a 上，DB=DC,EB=EC, AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC 在ACE 中，AE+ECAC, 即 AE+ECAD+DB 所以抽水站应建在河边的点 D 处， 常见问题归纳常见问题归纳 “和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的 和最小（将军饮马问题） 如图所示，在直线l上找一点P使得PAPB最小当点P为
5、直线 AB与直线l的交点时，PAPB最小 【方法归纳】 如图所示，在直线l上找一点B使得线段AB最小过点A作ABl，垂足为B，则线段 AB即为所求 如图所示，在直线l上找一点P使得PAPB最小过点B作关于直线l的对称点B， BB与直线l交于点P，此时PAPB最小，则点P即为所求 如图所示，在AOB的边AO，BO上分别找一点C，D使得PCCDPD最小过点P分别 作关于AO，BO的对称点E，F，连接EF，并与AO，BO分别交于点C，D，此时PCCDPD 最小，则点C，D即为所求 l B A l P B A B l A l A B l B A l P B A B 中考数学满分突破教师交流群 中考满分
6、突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 如图所示，在AOB的边AO，BO上分别找一点E，F使得DEEFCF最小分别过点C， D作关于AO，BO的对称点D，C，连接DC，并与AO，BO分别交于点E，F，此时DE EFCF最小，则点E，F即为所求 如图所示，长度不变的线段CD在直线l上运动，在直线l上找到使得ACBD最小的CD 的位置分别过点A，D作AACD，DAAC，AA与DA交于点A，再作点B关于直 线l的对称点B，连接AB与直线l交于点D，此时点D即为所求 如图所示，在平面直角坐标系中，点如图所示，在平面直角坐标系中，点P P为
7、抛物线（为抛物线（y y1 1 4 4x x 2 2）上的一点，点 ）上的一点，点A A（0 0，1 1）在）在y y 轴正半轴点轴正半轴点P P在什么位置时在什么位置时PAPAPBPB最小？过点最小？过点B B作直线作直线l l：y y1 1 的垂线段的垂线段BHBH，BHBH 与抛物线交于点与抛物线交于点P P，此时，此时PAPAPBPB最小，则点最小，则点P P即为所求即为所求 O A B P D C O A B P F E C B A O D E F C B A O D D C l A B DC l D A B B A DC y x A O B P y x l P H A O B P
8、H 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 二次函数中最短路径例题二次函数中最短路径例题 例 1 （13 广东）已知二次函数yx 22mxm21 （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m2 时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐 标； （3） 在 （2） 的条件下，x轴上是否存在一点P， 使得PCPD最短？若P点存在， 求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由 y x D C O y xP E D C O 【解题过程】 解： （1）
9、二次函数的图象经过坐标原点O（0，0） ， 代入二次函数yx 22mxm21，得出：m2 10，解得：m1， 二次函数的解析式为：yx 22x 或yx 2 2x； （2）m2， 二次函数yx 22mxm21 得： yx 24x3（x2）21， 抛物线的顶点为：D（2，1） ， 当x0 时，y3，C点坐标为： （0，3） ， C（0，3） 、D（2，1） ； （3）当P、C、D共线时PCPD最短， 【方法一】 C（0，3） 、D（2，1） ， 设直线CD的解析式为ykx3，代入得：2k 31，k2，y2x3， 当y0 时，2x30，解得x3 2， PCPD最短时，P点的坐标为：P（3 2，0）
10、【方法二】 过点D作DEy轴于点E， PODE，PO DE CO CE ， PO 2 3 4，解得：PO 3 2， PCPD最短时，P点的坐标为：P（3 2，0） 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 练习 1 （11 菏泽）如图，抛物线y1 2x 2bx2 与 x轴交于A，B两点，与y轴交于C点， 且A（1，0） （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断ABC的形状，证明你的结论； （3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MCMD的值最小时，求m的值 练习 2 （12 滨州）如图
11、，在平面直角坐标系中，抛物线yax 2bxc 经过A（2，4） ， O（0，0） ，B（2，0）三点 （1）求抛物线yax 2bxc 的解析式； （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AMOM的最小值 y x A BO 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 例 2 （14 海南）如图，对称轴为直线x2 的抛物线经过A（1，0） ，C（0，5）两点，与 x轴另一交点为B已知M（0，1） ，E（a，0） ，F（a1，0） ，点P是第一象限内的抛物线 上的动点 （1）求此抛物线的解析式； （2）当
12、a1 时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标； （3）若PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说 明理由 【思路点拨】 （1） 由对称轴为直线x2， 可以得出顶点横坐标为 2， 设二次函数的解析式为ya（x2） 2k，再把点 A，B的代入即可求出抛物线的解析式； （2）求四边形MEFP的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP面积直接求不好求，可以 考虑用割补法来求， 过点P作PNy轴于点N， 由S四边形MEFPS梯形OFPNSPMNSOME即可得出； （3）四边形PMEF的四条边中，线段PM，EF长度固定，当MEPF取最小值时，四边形PMEF
13、 的周长取得最小值将点M向右平移 1 个单位长度（EF的长度） ，得到点M1（1，1） ，作点 M1关于x轴的对称点M2（1，1） ，连接PM2，与x轴交于F点，此时MEPFPM2最小 【解题过程】 解： （1）对称轴为直线x2，设抛物线解析式为ya（x2） 2k 将A（1，0） ，C（0，5）代入得： 9ak0 4ak5，解得 a1 k9 ， y（x2） 29x24x5 （2）当a1 时，E（1，0） ，F（2，0） ，OE1，OF2设P（x，x 24x5） ， 如答图 2，过点P作PNy轴于点N，则PNx，ONx 24x5， MNONOMx 24x4 S四边形MEFPS梯形OFPNSPMN
14、SOME1 2 （PNOF） ON1 2PN MN1 2OMOE 1 2（x2） （x 24x5）1 2x （x 24x4）1 211x 29 2x 9 2 （x9 4） 2153 16 当x9 4时，四边形 MEFP的面积有最大值为153 16 ，此时点P坐标为（9 4， y x FE M A C BO P y x FE M A C BO P 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 153 16 ） （3）M（0，1） ，C（0，5） ，PCM是以点P为顶点的等腰三角形，点P的纵坐标为 3 令
15、yx 24x53，解得 x2 6点P在第一象限，P（2 6，3） 四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定， 因此只要MEPF最小，则PMEF的周长将取得最小值 如答图 3，将点M向右平移 1 个单位长度（EF的长度） ，得M1（1，1） ； 作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，1） ； 连接PM2，与x轴交于F点，此时MEPFPM2最小 设直线PM2的解析式为ymxn，将P（2 6，3） ，M2（1，1）代入得： (2 6)mn3 mn1 ，解得：m4 64 5 ，n4 64 5 ，y4 64 5 x4 64 5 当y0 时，解得x 65 4 F（ 65 4 ，0） a1 65 4
16、 ，a 61 4 a 61 4 时，四边形PMEF周长最小 图 1 图 2 y x FE M A C BO P N y x FE M2 M1M A C O P 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 练习 3 （11 眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1） ，B（4，4） ，将点B绕点A 顺时针方向 90得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2 d11； （3）在（
17、2）的条件下，请探究当点P位于何处时，PAC的周长有最小值，并求出PAC 的周长的最小值 例 4 （14 福州）如图，抛物线y1 2(x3) 21 与 x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） ， 与y轴交于点C，顶点为D了 （1）求点A，B，D的坐标； （2） 连接CD， 过原点O作OECD， 垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E， 连接AE，AD 求 证：AEOADC； （3）以（2）中的点E为圆心，1 为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点 y x C B A O P 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879
18、 者教师群 853873521 P作E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标 【思路点拨】 （1） 由顶点式直接得出点D的坐标， 再令y0， 得1 2(x3) 210 解出方程， 即可得出点 A， B的坐标； （2）设HD与AE相交于点F，可以发现HEF与ADF组成一个“8 字型” 对顶角HFE AFD，只要FHEFAD即可因为EHF90，只需证明EAD90即可由勾股定 理的逆定理即可得出ADE为直角三角形，得FHEFAD90即可得出结论； （3）先画出图形因为PQ为E的切线，所以PEQ为直角三角形，半径EQ长度不变，当 斜边PE最小时，PQ的长度最小设出点P的
19、坐标，然后表示出PE，求出PE的最小值，得 到点P的坐标，再求出点Q的坐标即可 【解题过程】 解： （1） 顶点D的坐标为 （3， 1） 令y0， 得1 2 (x3) 210， 解得 x13 2，x23 2 点A在点B的左侧，A点坐标(3 2，0)，B点坐标（3 2，0） （2）过D作DGy轴，垂足为G则G（0，1） ，GD3令x0，则y7 2，C 点坐 标为（0，7 2） GC7 2(1) 9 2设对称轴交 x轴于点MOECD，GCDCOH90 MOECOH90， MOEGCD 又CGDOMN90， DCGEOM CG OM DG EM，即 9 2 3 3 EMEM2，即点 E坐标为(3，2
20、)，ED3 由勾股定理，得AE 26，AD23，AE2AD2639ED2 AED是直角三角形，即DAE90 设AE交CD于点FADCAFD90又AEOHFE90， AFDHFE，AEOADC （3）由E的半径为 1，根据勾股定理，得PQ 2EP21 要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP 2最小 x y H A E D B C O x y A D B C O 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 设P坐标为（x，y） ，由勾股定理，得EP 2(x3)2(y2)2 y1 2 (x3) 21，
21、(x3)22y2EP22y2y24y4(y1)25 当y1 时，EP 2最小值为 5把 y1 代入y1 2(x3) 21，得1 2(x3) 211，解得 x11，x25 又点P在对称轴右侧的抛物线上，x11 舍去点P坐标为(5，1) 此时Q点坐标为（3，1）或(19 5 ，13 5 ) 例 5 （14 遂宁）已知：直线l：y2，抛物线yax 2bxc 的对称轴是y轴，且经过点 （0，1） ， （2，0） （1）求该抛物线的解析式； （2）如图，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO PQ （3）请你参考（2）中结论解决下列问题： （i）如图，过原点作任意直线AB，交
22、抛物线yax 2bxc 于点A、B，分别过A、B两 点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ONOM （ii）已知：如图，点D（1，1） ，试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FDFO取得 最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 【解题过程】 x y F H A D B C O G E x y E Q1 A D B C O P Q2 y x l EO P Q y x l B A O NM y x l D O F 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 解： （1
23、）由题意，得 b 2a0 1c 04a2bc ，解得： a1 4 b0 c1 ，抛物线的解析式为：y1 4x 21； （2）如图，设P（a，1 4a 21） ，就有 OEa，PE1 4a 21，PQl，EQ2，QP1 4 a 21 在 RtPOE中，由勾股定理，得POa 2(1 4a 21)21 4a 21，POPQ； （3） （i）如图，BNl，AMl，BNBO，AMAO，BNAM， BNOBON，AOMAMO，ABNBAM180 BNOBONNBO180，AOMAMOOAM180， BNOBONNBOAOMAMOOAM360， 2BON2AOM180， BONAOM90，MON90，ONO
24、M； （ii）如图，作FHl于H，DFl于G，交抛物线与F，作FEDG于E， EGHGHFFEG90，FOFG，FHFO， 四边形GHFE是矩形，FOFDFGFDDG，FOFDFHFD， EGF H，DEDF， DEGEHFDF，DGFODF，FOFDFODF，F是所求作 的点 D（1，1） ，F的横坐标为 1，F（1，5 4） y x l F HG D OF E 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 购买秒杀中考压轴题请联系李老师购买秒杀中考压轴题请联系李老师 1898228668318982286683（微信同号（微信同号 见二维码）见二维码）
