1、 专题专题 07 逐个击破考向逐个击破考向-第第七七周：周：圆的综合证明与计算圆的综合证明与计算 【考向分析考向分析】 通过分析对比，可以看出： 安徽中考数学圆的主要考向分为四类： 一是圆基本计算，一是圆基本计算， 二是圆基础综合，二是圆基础综合， 三是圆综合证明与计算，三是圆综合证明与计算， 四是尺规作图四是尺规作图。 其中圆的基础计算基本上是每年必考，圆中综合证明与计算是近几年的主要热考方向，18 年新出了一个考向：尺规作图； 圆是在中考中每年必出的必考考点，难度从简单到一般，需要我们牢记圆的基本知识点，另外掌握圆 中辅助线做法等技巧是快速解决圆题型的关键。 【真题再现真题再现】 年份：年
2、份：2010 年年 考向：圆中计算问题考向：圆中计算问题 8. 如图，O 过点 B、C，圆心 O 在等腰直角 ABC 的内部，BAC90 ，OA1，BC6，则O 的半径为( ) 年份年份 圆圆 考向补充考向补充 2010 圆中计算问题 2011 圆中计算问题 2012 圆中计算问题，圆综合 2013 圆中计算问题，圆综合 2014 圆综合证明与计算 2015 圆综合证明与计算，圆计算 2016 圆中计算问题 2017 圆综合证明与计算，圆计算 2018 圆综合证明与计算，圆计算，尺规作图 2019 圆综合证明与计算，圆计算 A. 10 B. 2 3 C. 13 D. 3 2 【解析】 延长AO
3、交BC于点D， 连接OB.由ABAC得点A在线段BC的垂直平分线上， 因而可得ADBC， 所以 BD3，不难得出 ADBD3，于是 ODADOA2，在 RtODB 中，OB OD2DB2 2232 13. 13. 如图， ABC 内接于O， AC 是O 的直径， ACB50 ， 点 D 是BAC 上一点， 则D_ 【解析】AC 是O 的直径ABC90 A90 50 40 A和D都是BC 所对的圆周角 DA40 . 年份：年份：2011 年年 考向：圆中计算问题考向：圆中计算问题 7. 如图，O 的半径是 1，A、B、C 是圆周上的三点，BAC36 ，则劣弧BC 的长是( ) A. 5 B. 2
4、 5 C. 3 5 D. 4 5 【解析】连接 OB、OC. BOC是BC 所对的圆心角 A是BC 所对的圆周角 A36 BOC2A72 O的半径是1 劣弧BC 的长721 180 2 5. 13. 如图，O 的两条弦 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，且 ABCD，已知 CE1，ED3，则O 的 半径是_ 【解析】过点 O 作 OFAB，OGCD，垂足分别是 F、G. 连接 OD. ABCD OFAB OGCD 四边形OFEG是矩形 ABCDOFOG 矩形OFEG是正方形 CE1 ED3 CD4 ABCD GD1 2CD2EG1 OGGE1OD OG2DG2 1222 5. 年份：年份：20
5、12 年年 考向：圆中计算，圆综合考向：圆中计算，圆综合 9. 如图，A 点在半径为 2 的O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线 l，与O 过 A 点的切线交于点 B， 且APB60 .设 OPx，则 PAB 的面积 y 关于 x 的函数图象大致是( ) 【解析】因为 OPx，且 OA2，则 AP2x，由相切的性质可知，PAB90 ，APB60 ，利用 三角函数可求得：AB2 3 3x.则PAB 的面积 y 3x2 2 2 3x2 3.所以函数图象为二次函数，对称轴 为 x2. 13. 如图，点 A、B、C、D 在O 上，O 点在D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则OAD OC
6、D_ . 【解析】因为 OAOC，且四边形 OABC 是平行四边形，则四边形 OABC 为菱形，如解图，连接 OB， 则 OAOBAB， OAB 为等边三角形， 则OABOCB60 .又DABDCB180 ， OABOCB 60 ，则OADOCD60 . 年份：年份：2013 年年 考向：圆中计算，圆综合考向：圆中计算，圆综合 10. 如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接圆O 上的点在以下判断中，不正确 的是( ) A. 当弦 PB 最长时， APC 是等腰三角形 B. 当 APC 是等腰三角形时，POAC C. 当 POAC 时，ACP30 D. 当ACP30 时， BPC 是直角三角形
7、 【解析】 选项 逐项分析 正误 A 当弦 PB 最长时， PB 是O 的直径， O 既是等边ABC 的内心， 也是外心，所以ABPCBP，根据圆周角性质，PA PC ， 所以 PAPC，故APC 为等腰三角形 B 当APC 是等腰三角形时，点 P 是AC 的中点或与点 B 重合，由 垂径定理可得 POAC C 当 POAC 时，由点 P 是AC 的中点或与点 B 重合，易得ACP 30 或ACP60 D 当ACP30 时，分两种情况：1. 点 P 是AC 的中点，则 BP 为 直径，根据圆周角定理可得：BCP90； 2. 点 P 是AB 的 中点，则 CP 为直径，CBP90 .两种情况都可
8、以得到BPC 是直角三角形 年份：年份：2014 年年 考向：圆综合证明与计算考向：圆综合证明与计算 19. 如图，在O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 E，以 OC 为直径的圆与弦 AB 的一个交点为 F， D 是 CF 延长线与O 的交点若 OE4，OF6，求O 的半径和 CD 的长 第 19 题图 【解析】 OC 为小圆的直径， OFC90 ，CFDF， 又OEAB，OFCOEF90 . FOECOF，OEFOFC. 则OE OF OF OC. OCOF 2 OE 62 4 9. 又CF OC2OF2 92623 5， CD2CF6 5. .(10 分) 年份：年份：2015
9、年年 考向：圆综合证明与计算，圆计算考向：圆综合证明与计算，圆计算 12. 如图，点 A、B、C 在O 上，O 的半径为 9，AB 的长为 2，则ACB 的大小是_ 【解析】如解图，连接 OA、OB，由已知可得：lAB nr 180 n9 180 2，解得 n40，即AOB40 ， ACB1 2AOB20 . 20. 在O 中，直径 AB6，BC 是弦，ABC30 ，点 P 在 BC 上，点 Q 在O 上，且 OPPQ. (1)如图，当 PQAB 时，求 PQ 长； (2)如图，当点 P 在 BC 上移动时，求 PQ 长的最大值 【解析】(1)解：OPPQ，PQAB，OPAB. 在 RtOPB
10、 中，OPOB tanABC3 tan30 3. .(3 分) 如解图，连接 OQ，在 RtOPQ 中， PQ OQ2OP232（ 3）2 6. .(5 分) (2)解：如解图，连接 OQ，OPPQ， OPQ 为直角三角形， PQ2OQ2OP29OP2， 当 OP 最小时，PQ 最大，此时 OPBC. .(7 分) OPOB sinABC3 sin303 2. PQ 长的最大值为9（3 2） 23 3 2 . .(10 分) 图 图 年份：年份：2016 年年 考向：圆中计算问题考向：圆中计算问题 13. 如图，已知O 的半径为 2，A 为O 外一点过点 A 作O 的一条切线 AB，切点是 B
11、，AO 的延 长线交O 于点 C.若BAC30 ，则劣弧BC 的长为_ 【解析】如解图，连接 OB.AB 为O 的切线，B 为切点，B90 ，又A30 ，AOB 60 ，BOC120 ，劣弧BC 的长1202 180 4 3. 年份：年份：2017 年年 考向：圆综合证明与计算，圆计算考向：圆综合证明与计算，圆计算 13如图，已知等边 ABC 的边长为 6，以 AB 为直径的O 与边 AC，BC 分别交于 D，E 两点，则劣 弧DE 的长为_ 【解析】在等边ABC 中，AB60 ，如解图，连接 OE、OD，OBOEODOA1 2AB 1 263， BOEAOD60 ，DOE60 ，DE 603
12、 180 . 20如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，BD，AD 不平行 于 BC，过点 C 作 CEAD 交 ABC 的外接圆 O 于点 E，连接 AE. (1)求证：四边形 AECD 为平行四边形； (2)连接 CO，求证：CO 平分BCE. 【解析】(1)证明：BD，BE， DE. .(10 分) CEAD， EDAE180 ， DDAE180 ， AEDC. 四边形 AECD 为平行四边形； .(5 分) (2)证明：(方法一)如解图，过点 O 作 OMEC，ONBC，垂足分别为 M、N. 四边形 AECD 是平行四边形， ADEC， 又 ADBC， ECBC， OMON， CO
13、平分BCE. .(10 分) 第 20 题解图 (方法二)如解图，连接 OB、OE，在COE 和COB 中， COCO CECB EOBO ， COECOB(SSS)， ECOBCO， CO 平分BCE. 第 20 题解图 年份：年份：2018 年年 圆综合证明与计算，圆计算，尺规作图圆综合证明与计算，圆计算，尺规作图 12. 如图， 菱形ABOC的边AB、 AC分别与O相切于点D， E， 若点D是AB的中点， 则DOE_ . 【解析】如解图，连接 OA；AB 为O 的切线，ODAB；又D 为 AB 的中点，OD 为 AB 的中 垂线，OAOB；四边形 ABOC 为菱形，ABOB，ABO 为等
14、边三角形，AOD30 ；同理 AOE30 ，DOE60 . 20. 如图，O 为锐角 ABC 的外接圆，半径为 5. (1)用尺规作图作出BAC 的平分线，并标出它与劣弧BC 的交点 E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若(1)中的点 E 到弦 BC 的距离为 3，求弦 CE 的长 【解析】(1)尺规作图如解图所示 第 20 题解图 (2)如解图，连接 OE 交 BC 于点 M，连接 OC，CE， BAECAE，BE EC ， OEBC，EM3， 在 RtOMC 中，OMOEEM532，OC5， MC2OC2OM225421. 在 RtEMC 中，CE2EM2MC292130. 弦 CE 的
15、长为 30. 年份：年份：2019 年年 考向：圆综合证明与计算，圆计算考向：圆综合证明与计算，圆计算 13. 如图，ABC 内接于O，CAB30O，CBA45O，CDAB 于点 D，若O 的半径为 2，则 CD 的长 为 . 【解析】连接 OA，OC， COA=2CBA=90 ， 在 RtAOC 中，AC= 2222 222 2OAOC ， CDAB， 在 RtACD 中，CD=AC sinCAD= 1 2 22 2 ， 故答案为 2. 19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒 车的工作原理.如图 2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 O 为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截 得的弦 AB 长为 6 米，OAB=41.3，若点 C 为运行轨道的最高点（C，O 的连线垂直于 AB） ，求点 C 到弦 AB 所在直线的距离. （参考数据：sin41.30.66，cos41.30.75，tan41.30.88） 【解析】如图：连接 CO并延长，交 AB于点 D， ODAB，AB=6， AD= 1 2 AB=3， 在 RtOAD中, OAB=
