1、 专题专题 04 逐个击破考向逐个击破考向-第四周：规律寻找第四周：规律寻找 考察规律考察规律 通过分析对比，可以看出： 安徽中考数学规律题的主要考向分为四类： 一是均匀变化规律，一是均匀变化规律， 二是不均匀变化规律，二是不均匀变化规律， 三是循环变化规律，三是循环变化规律， 四是数字运算规律四是数字运算规律。 其中均匀变化规律考察最多，主要体现为数式规律寻找和坐标，个数规律寻找； 规律题型是在中考中每年必出的必考考点，难度表面看比较难，在了解各类规律的技巧后，均可快速 计算答案，化难为易。 【真题再现】【真题再现】 年份：年份：2010 年年 考向：循环数规律考向：循环数规律 9. 下面两
2、个多位数 1248624、6248624，都是按照如下方法得到的：将第 1 位数字乘以 2，若积为 一位数，将其写在第 2 位；若积为两位数，则将其个位数字写在第 2 位对第 2 位数字再进行如上操作得 到第 3 位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的当第 1 位数字是 3 时，仍按 如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100 位的所有数字之和是( ) A. 495 B. 497 C. 501 D. 503 【答案】A 年份年份 规律题规律题 考向补充考向补充 2010 循环规律 2011 循环规律，均匀变化规律 2012 均匀变化规律 2013 均匀变化规律 2014
3、 均匀变化规律 2015 数字运算规律 2016 均匀变化规律，高斯求和规律 2017 数字运算规律 2018 均匀变化规律 2019 均匀变化规律，不均匀变化规律 【解析】 当把 3 按此规律操作时， 不难得出应该是 362486248， 除首位的 3 外， 四个一循环， 因而(100 1) 4243，则这个多位数前 100 位的所有数字之和是 3(6248) 24624495. 年份：年份：2011 年年 考向：循环规律，均匀变化规律考向：循环规律，均匀变化规律 18. 在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动， 每次移动 1 个单位其行走路线
4、如下图所示 第 18 题图 (1)填写下列各点的坐标：A4(_，_)，A8(_，_)，A12(_，_)； (2)写出点 A4n的坐标(n 是正整数)； (3)指出蚂蚁从点 A100到点 A101的移动方向 【解析】 (1)解：A4(2，0)，A8(4，0)，A12(6，0)； (2)解：A4n的坐标为(2n，0)； (3)解：蚂蚁从点 A100到点 A101的移动方向是向上 年份：年份：2012 年年 考向：均匀变化规律考向：均匀变化规律 17. 在由 m n(m n1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数 f. (1)当 m、n 互质(m、n 除 1 外无其他公
5、因数)时，观察下列图形并完成下表： 第 17 题图 m n mn f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 3 4 7 猜想：当 m、n 互质时，在 m n 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数 f 与 m、n 的关系 式是_(不需证明)； (2)当 m、n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否仍然成立 【解析】 (1)解：表中填 6；6. 关系式为 fmn1. 注：若猜想出的是其他关系式，只要这个关系式对表中每种情况都成立就可酌情给分； (2)解：当 m、n 不互质时，关系式 fmn1 不成立 例如：当 m2，n2 时，图形如解图所示 第 17 题解图 对角
6、线所穿过的小正方形的个数 f2，而 mn4，等式 fmn1 不成立 年份：年份：2013 年年 考向：均匀变化规律考向：均匀变化规律 18. 我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图所示基本图的特征点， 显然这样的基本图共有 7 个 特征点将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图，图， 第 18 题图 (1)观察以上图形并完成下表： 图形的名称 基本图的个数 特征点的个数 图 1 7 图 2 12 图 3 17 图 4 猜想：在图)中，特征点的个数为_(用 n 表示)； (2)如图，将图)放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心 O1的坐标为(x1，2)，则 x
7、1 _；图的对称中心的横坐标为_ 【解析】(1)解：22，5n2； .(3 分) (2)解： 3，2013 3. .(8 分) 【解法提示】正六边形的边长是 2，所以边心距为 3；图的对称中心在正六边形的一边上，横坐标 为 2 3；图的对称中心是正中间的正六边形的中心，横坐标为 3 3，依此类推，图 的对称中心的 横坐标为 2013 3. 年份：年份：2014 年年 考向：均匀变化规律考向：均匀变化规律 16. 观察下列关于自然数的等式： 324 125 524 229 724 3213 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：924 ( )2( )； (2)写出你猜想的第 n 个等
8、式(用含 n 的式子表示)，并验证其正确性 【解析】(1)解：4，17. .(4 分) 【解法提示】观察所给的三个等式可得： 等式左边第一项分别为 32，52，72，； 第二项为 4 12，4 22，4 32，； 等式右边分别为 5，954，1394，； 第四个等式第二项为 4 42，等式右边为 13417. (2)解：第 n 个等式为(2n1)24n24n1， 左边4n24n14n24n1右边， 第 n 个等式成立 .(8 分) 【解法提示】由、三个等式可知，等号左边第一项为从 3 开始的连续奇数的平方，第二项为 相应序号数的平方的 4 倍，等号右边为相应序号数的 4 倍加 1，即： 324
9、 125(2 11)24 124 11， 524 229(2 21)24 224 21， 724 3213(2 31)24 324 31， 故第 n 个等式为(2n1)24n24n1. 年份：年份：2015 年年 考向：数字运算规律考向：数字运算规律 13. 按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，若 x、y、z 表示这列数中的连续三个数， 猜测 x、y、z 满足的关系式是_ 【解析】观察这一列数可得：2321 22，2522 23，2823 25，21325 28，即从第三个数起每个数 都等于前两个数之积 ，由 x、y、z 表示这列数中的连续三个数，则有 xyz. 年份
10、：年份：2016 年年 考向：均匀变化规律，高斯求和规律考向：均匀变化规律，高斯求和规律 18. (1)观察下列图形与等式的关系，并填空： (2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有 n 的代数式填空： 135(2n1)(_)(2n1)531_ 【解析】(1)42；n2；(每空 2 分) 【解法提示】观察每一行图形变换，可以发现，当小球有 4 行时，小球的总个数4 442(个)，第 一个空填 42；根据此规律可知，当小球有 n 行时，小球的总数n nn2，第二个空填 n2. (2)2n1；2n22n1.(每空 2 分) 【解法提示】在连续的奇数中，2n1 后边的数是 2n1，
11、第一个空填“2n1”；由第(1)小题的结论 可知，在等式的左边的数中，“2n1”前面的所有数之和等于 n2，后面的所有的数之和也等于 n2，总和 n2(2n1)n22n22n1，等式的右边填“2n22n1” 年份：年份：2017 年年 考向：数字运算规律考向：数字运算规律 19 【阅读理解】 我们知道，123nn（n1） 2 ，那么 122232n2结果等于多少呢？ 在图 1 所示三角形数阵中， 第 1 行圆圈中的数为 1， 即 12； 第 2 行两个圆圈中数的和为 22， 即 22； ； 第 n 行 n 个圆圈中数的和为，即 n2.这样，该三角形数阵中共有n（n1） 2 个圆圈，所有圆圈中数
12、 的和为 122233n2. 第 19 题图 1 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图 2 所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中 的数(如第 n1 行的第一个圆圈中的数分别为 n1，2，n)，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 _ 由此可得， 这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： 3(122232n2)_ 因此， 122232n2_ 第 19 题 图 2 【解决问题】 根据以上发现，计算1 2223220172 1232017 的结果为_ 【解析】 【规律探究】2n1. .(3 分) n（n1）（2n1） 2 ； .(6 分) n（n1）（2n1） 6 ； .(8
13、 分) 【解法提示】第 n1 行的第一个圆圈中的数分别为 n1，2，n，则 n12n2n1；3(1222 32 n2) (1 2 3 n)(2n 1) n（n1）（2n1） 2 ； 12 22 32 n2 n（n1）（2n1） 2 1 3 n（n1）（2n1） 6 . 【解决问题】1345. .(10 分) 【解法提示】1 2223220172 1232017 2017 （20171）（2 20171） 6 2017 （20171） 2 2 20171 3 1345. 年份：年份：2018 年年 考向：均匀变化规律考向：均匀变化规律 18. 观察以下等式： 第 1 个等式：1 1 0 2 1
14、1 0 21， 第 2 个等式：1 2 1 3 1 2 1 31， 第 3 个等式：1 3 2 4 1 3 2 41， 第 4 个等式：1 4 3 5 1 4 3 51， 第 5 个等式：1 5 4 6 1 5 4 61， 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第 6 个等式：_； (2)写出你猜想的第 n 个等式：_(用含 n 的等式表示)，并证明 【解析】 (1)1 6 5 7 1 6 5 71 (2)1 n n1 n1 1 n n1 n11 证明：左边1 n n1 n1 1 n n1 n1 n1n（n1）n1 n（n1） n（n1） n（n1）1； 右边1.左边右边，原等式成立 年份：
15、年份：2019 年年 考向：均匀变化规律，不均匀变化规律考向：均匀变化规律，不均匀变化规律 18.观察以下等式: 第 1 个等式: 211 = 111 ， 第 2个等式: 311 = 226 ， 第 3 个等式: 211 = 5315 ， 第 4 个等式: 211 = 7428 ， 第 5 个等式: 211 = 9545 ， 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第 6 个等式： ； 【解析】 解： （1）第 6个等式： 211 = 11666 （2） 211 = 2n-1nn2n-1 （） 证明：右边 112n-1+12 = nn2n-1n2n-12n-1 （）（） 左边. 等式成立 【技
16、巧总结】【技巧总结】 一、一、均匀变化规律均匀变化规律 方法一：方法一：一组数据 a b c d. 前后两个数的差值一致都为 k 时，这组数据的第 n 个数是：kn+a-k 方法二：方法二：设 y=kx+b，以数字序数为 x 值，数据为 y 值带入求函数解析式 所有的规律题都可以转化为数字规律进行寻找。 二、二、不均匀变化规律不均匀变化规律 方法一：方法一：一组数据 a b c d. 标出前后数据之差，往前顺推一个数 m 所求数据第一个数与顺推的数作差：a-m 求出中所标数据的第 n 项（根据均匀变化的数字规律来求） 根据高斯数计算规律求出中所标数据的和 2 n尾数）（首数 所求数据第 n 项
17、即为： 2 n尾数）（首数 +a-m，化简即可。 方法二：方法二：设 y=ax +bx+c，以数字序数为 x 值，数据为 y 值带入求函数解析式 所有的规律题都可以转化为数字规律进行寻找。 三、三、循环数规律循环数规律 方法： 第一步：找出完整的一组循环数并排序 第二步：拿要求的序数除以一组循环数的个数得出余数 第三步：把余数作为序号找到对应循环数字即为所求 【典型例题】【典型例题】 例 1、找出下列各组数的第 n 个数，用 n 表示。 （1） ：） ：2 6 10 14 . （2） ：） ：5 8 11 14 . 【解析】 ： （1）前后两个数字之差均为 4，第一个数 2-4=-2，第 n
18、个数是：4n-2 （2）前后两个数字之差均为 3，第一个数 5-3=2，第 n 个数是：3n+2 例 2、 为庆祝“六 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示： 按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ） A2 6n B86n C44n D8n 【解析】 ：转换为数字为： 8 14 20. 前后两个数字之差均为 6，第一个数 8-6=2，第 n 个数是：6n+2 选 A 例 3、找出下列各组数的第 n 个数，用 n 表示。 1 3 6 10 . 1 2 3 4 【解析】 ：标出前后数据之差，往前顺推一个数，1 2 3 4.（如上图） 所求数据第一个数与顺推的数作差：
19、1-1=0 求出中所标数据的第 n 项（根据均匀变化的数字规律来求） 根据高斯数计算规律求出中所标数据的和 2 nn1）（ 所求数据第 n 项即为： 2 nn1）（ +0，化简即可。 例 4、 （2019海南）有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和如 果第一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是 0 ，这 2019 个数的和是 2 【解析】 ：由题意可得， 这列数为：0，1，1，0，1，1，0，1，1， 前 6 个数的和是：0+1+1+0+（1）+（1）0， 2019 63363， 这 2019 个数的和是：0 336+（0+1+1）2， 故
20、答案为：0，2 【对应练习】【对应练习】 1 （2019 安徽初二）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，甲乙分别由 2,0A点同时出发， 沿矩形BCDE的边作环绕运动甲按逆时针方向以1个单位/秒的速度匀速运动，乙按顺时针方向以2个单位/ 秒的速度匀速运动，则甲、乙运动后的第2019次相遇地点的坐标是（ ） A2,0 B1,1 C2,1 D1, 1 【答案】A 【分析】 利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为 4 和 2，乙是甲的速度的 2 倍，求得每一次相遇的地点，找 出规律即可解答 【解析】 矩形的边长为 4 和 2，因为乙是甲的速度的 2 倍，时间相同，甲与乙的路程比为 1：
21、2，由题意知： 第一次相遇甲与乙行的路程和为 12 1， 甲行的路程为 121 3 =4， 乙行的路程为 122 3 =8， 在 BC 边相遇； 第二次相遇甲与乙行的路程和为 12 2，甲行的路程为 12 21 3 =8，乙行的路程为 12 22 3 =16，在 DE 边 相遇； 第三次相遇甲与乙行的路程和为 12 3，甲行的路程为 12 31 3 =12，乙行的路程为 12 32 3 =24，在 A 点 相遇； 此时甲乙回到原出发点， 则每相遇三次，甲乙回到出发点， 2019 3=673， 故第 2019 次相遇地点的是回到出发点 A， 此时相遇点 A 的坐标为： （2，0） ， 故选：A
22、【点睛】此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规 律就可以解决问题解本题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙回到出发点 2 （2020 安徽初三）观察下列等式，探究其中的规律：1 1 + 1 2 1 1 2 ， 1 3 + 1 4 1 2 1 12 ， 1 5 + 1 6 1 3 1 30 ， 1 7 + 1 8 1 4 1 56 ， （1）按以上规律写出第个等式：_； （2）猜想并写出第 n 个等式：_； （3）请证明猜想的正确性 【答案】 （1） 1 15 + 1 16 1 8 1 240 ； （2） 1 21n + 1 2n 1 n 1 2 (21
23、)nn ； （3）证明见解析 【分析】 （1）仔细观察四个等式，可以发现第一个数的分母为连续的奇数，第二个数的分母为连续的偶数，第三个 分母为连续的自然数，据此进一步整理即可得出答案； （2）根据（1）中的规律直接进行归纳总结即可； （3）利用分式的运算法则进行计算验证即可. 【解析】 （1）观察四个等式，可以发现第一个数的分母为连续的奇数，第二个数的分母为连续的偶数，第三个分母 为连续的自然数， 第个等式为： 1 15 + 1 16 1 8 1 240 ， 故答案为： 1 15 + 1 16 1 8 1 240 ； （2）根据（1）中规律总结归纳可得： 1 21n + 1 2n 1 n 1
24、2 (21)nn ， 故答案为： 1 21n + 1 2n 1 n 1 2 (21)nn ； （3）证明： 对等式左边进行运算可得： 1 21n + 1 2n 1 n = 221 2(21) 2 (21) nnn nn 1 2 (21)nn ， 等式右边 1 2 (21)nn ， 左边右边， 1 21n + 1 2n 1 n 1 2 (21)nn 成立 【点睛】本题主要考查了分式运算中数字的变化规律，根据题意正确找出相应的规律是解题关键. 3 （2020 安徽初三）观察以下等式： 第 1 个等式： 2 12 1 12 1 1 1 ； 第 2 个等式： 2 12 222 22 1 ； 第 3 个
25、等式： 2 12 332 33 1 ； 第 4 个等式： 2 12 442 44 1 ； 第 5 个等式： 2 12 552 55 1 ； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第 7 个等式：_； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示） ，并加以证明 【答案】 （1） 2 12 772 77 1 ； （2）第n个等式： 2 12 2 1 nn nn ；证明见解析 【分析】 （1）依据所给的前 6 个等式的规律即可写出第 7 个等式； （2）观察第 1 至 6 个等式，可猜测第 n 个等式为 2 12 2 1 nn nn ，通过计算证明等号左右两侧相等 即可 【解析】 （1）第 7
26、 个等式： 2 12 772 77 1 （2）第n个等式： 2 12 2 1 nn nn . 证明：左边 22 2 122 2 1 nnnn nnnn 右边， 故猜想成立 【点睛】本题考查规律探索和分式的运算，解题的关键是根据所给的等式找出正确的规律 4 （2019 合肥市第四十五中学初三）观察下列各组式子： 26 1 15 1 31 33 ； 126 2 111 353 515 ； 126 3 117 575 735 （1）请根据上面的规律写出第 4个式子； （2）请写出第n个式子，并证明你发现的规律 【答案】 （1） 126 4 123 797 963 ； （2） 1261 2121212
27、1 n nnnn ，证明见解析 【分析】 （1）仿造中的规律直接写出第 4 个式子即可； （2）仔细观察四个式子总结出规律 1261 21212121 n nnnn ，然后进一步将等式左边 直接进行变形计算得出等式右边，由此证明结论即可. 【解析】 （1） 126 4 123 797 963 （2） 1261 21212121 n nnnn 证明： 等式左边 12 2121nn ， 2 2121 21212121 nn nnnn 212 21 2121 nn nn 61 2121 n nn 等式右边为 61 2121 n nn ，与等式左边计算出的结果相等， 1261 21212121 n n
28、nnn 成立. 【点睛】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键. 5 （2020 安徽合肥市五十中学新校初三）图 1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上 面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层.将图 1 倒置后与原图 1 拼成图 2 的形 状，这样我们可以算出图 1 中所有圆圈的个数为 (1) 123 2 n n n . 如果图 3、图 4 中的圆圈均有 13 层. (1)我们自上往下，在每个圆圈中都图 3 的方式填上一串连续的正整数 1，2，3，4，则最底层最左边这 个圆圈中的数是_； (2)我们自上往下，在每
29、个圆圈中按图 4 的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，-20，求最底层最右 边圆圈内的数是_； (3)求图 4 中所有圆圈中各数值的绝对值之和.(写出计算过程) 【答案】(1)79；(2)6；(3)2554. 【分析】 （1）13 层时最底层最左边这个圆圈中的数是前 12 层圆圈的个数和再加 1； （2）首先计算圆圈的个数，从而分析出 23 个负数后，又有多少个正数即可得； （3）将图中的所有数字加起来利用所给的公式进行计算即可得. 【解析】 （1）当有 13 层时，前 12 层共有：1+2+3+12=78 个圆圈，78+1=79， 故答案为 79； （2）图中所有圆圈中共有 1+
30、2+3+13= 1313 1 2 =91 个数，其中 23 个负数，1 个 0，67 个正数， 故答案为 67； （3）图中共有 91 个数，分别为-23，-22，-21，66，67， 图中所有圆圈中各数的和为： -23+（-22）+（-1）+0+1+2+67= 912367 2 =2002. 【点睛】 本题是一道找规律的题目， 通过观察， 分析、 归纳发现其中的规律， 并应用发现的规律解决问题 注 意连续整数相加的时候的这种简便计算方法：1+2+3+n= 1 2 n n . 6 （2020 海门市东洲国际学校初三）用黑白棋子摆出下列一组图形，根据规律可知 （1）在第 n 个图中，白棋共有 枚
31、，黑棋共有 枚； （2）在第几个图形中，白棋共有 300 枚； （3）白棋的个数能否与黑棋的个数相等？若能，求出是第几个图形，若不能，说明理由 【答案】 （1） 1 2 n（n+1） ，3n+6； （2）第 24 个图形中，白棋共有 300 枚； （3）白棋的个数不能与黑棋的个 数相等 【分析】 （1）观察图形可得：第一个图形有白棋 1= 1 11 1 2 枚，黑棋 9=3 1+6 枚；第二个图形有白棋 3= 1 22 1 2 枚，黑棋 12=3 2+6 枚；第三个图形有白棋 6= 1 33 1 2 枚，黑棋 15=3 3+6 枚；由此 可得，第 n 个图中，白棋共有 1 1 2 n n枚，黑
32、棋共有 3n+6 枚； （2）令 1 1 2 n n=300，解方程求得 n 的 值即可； （3） 令 1 1 2 n n=3n+6， 解方程求得 n 的值， 若 n 为正整数， 则白棋的个数能与黑棋的个数相等， 否则，不能. 【解析】 解： （1）由题意得：白棋为： n（n+1） ，黑棋为 3n+6； 故答案为 n（n+1） ，3n+6； （2）n（n+1）300，解得：n24（已舍去负值） 故：第 24 个图形中，白棋共有 300 枚； （3）n（n+1）3n+6； 解得：n为无理数，不是整数， 白棋的个数不能与黑棋的个数相等 【点睛】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得
33、到其中的规律正确总结出第 n 个 图中白棋及黑棋的数目的表达式是解决本题的关键 7 （2019 山东初二月考）计算张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律 请你结合这些算式，解答下列问题： （1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式； （2）验证规律：设两个连续奇数为 2n+1，2n1（其中 n 为正整数） ，则它们的平方差是 8 的倍数； （3）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是 8 的倍数”，这个结论正确吗？请说明理由 【答案】 （1） 22 978 4 ； 22 1198 5 （2）两个连续奇数的平方差是 8 的倍数（3）不正确 【分析】 1观察所给式子，找出规律. 2根
34、据平方差公式，化简即可. 3举例说明或者参照 2进行运算即可. 【解析】 ： 1观察所给式子：找出规律： 22 978 4 22 1198 5 （2）验证规律：设两个连续奇数为 2n1，2n1（其中 n 为正整数） ，则它们的平方差是 8 的倍数； 22 212121 212121nnnnnn ， 2 48 .nn 故两个连续奇数的平方差是 8 的倍数. （3）不正确， 解法一：举反例： 22 4212 因为 12 不是 8 的倍数，故这个结论不正确， 解法二：设这两个偶数位 2n 和 2n2， 22 2 2222222284nnnnnnn 因为 8n4 不是 8 的倍数，故这个结论不正确.
35、三、填空题 8 （2019 合肥市第四十五中学初三）观察以下等式： 第 1 个等式： （x1） （x+1）x21； 第 2 个等式： （x1） （x2+x+1）x31 第 3 个等式： （x1） （x3+x2+x+1）x41： 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第 4 个等式： （x1） （x4+x3+x2+x+1） ； （2）写出你猜想的第 n 个等式： （x1） （xn+xn1+x+1） ； （3）请利用上述规律，确定 22019+22018+2+1 的个位数字是多少？ 【答案】 （1）x51； （2）xn+11； （3）原式的个位数为 5 【分析】 （1）根据题干所给出的例子可知（
36、x1） （x4+x3+x2+x+1）x51； （2）根据规律写出通项公式然后证明即可； （3）给等式乘以（21）从而可知（22019+22018+2+1）220201，然后找出 2n的尾数规律从而得到答 案 【解析】 解： （1） （x1） （x4+x3+x2+x+1）x51； （2） （x1） （xn+xn1+x+1）xn+11； （3）原式（21） （22019+22018+2+1）220201， 212，224，238，2416，2532， 2 的个位数 2，4，8，6 循环， 2020505 4， 22020的个位数为 6， 则原式的个位数为 5 故答案为： （1）x51； （2）xn
37、+11 【点睛】 本题主要考查的是平方差公式的应用，找出 2n的尾数规律是解题的关键 9 （2020 海门市东洲国际学校初三）如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个，第 2 幅图中有 3 个，第 3 幅图中有 5 个，则第 4 幅图中有_个，第 n 幅图中共有_个 【答案】7 2n1 【分析】 根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个，第 2 幅图中有 2 2-1=3 个，第 3 幅图中有 2 3-1=5 个，可以发 现，每个图形都比前一个图形多 2 个，继而即可得出答案 【解析】 解：根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个 第 2 幅图中有 2 2-1=3 个
38、 第 3 幅图中有 2 3-1=5 个 第 4 幅图中有 2 4-1=7 个 可以发现，每个图形都比前一个图形多 2 个 故第 n 幅图中共有（2n-1）个 故答案为 7；2n-1 【点睛】考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律 10. 观察下列等式： 第一行 3=41 第二行 5=94 第三行 7=169 第四行 9=2516 按照上述规律，第 n 行的等式为_ 【答案】 ：2n+1=（n+1）2- n2。 【解析】 ：等式的左边的特点是：奇数 3、5、7、9 ， 这些奇数可以用对应的序号表示，3=2 1+1， 5=2 2+1，7=2 3+1，9=
39、2 4+1， 其中 1、2、3、4 等恰好是对应的序号，所以，第 n 个奇数为 2n+1，这样，我们就把等式左边的规律找出 来了； 等式右边的特点是：被减数为 4、9、16、25、恰好是 22，32，42，52，等对应的幂，幂的底数与对应的 序号的关系是：底数=对应序号+1，这样，我们就又找到了一部分规律， 第 n 个被减数为（n+1）2； 减数分别为 1、4、9、16恰好是 12，22，32，42，等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数= 对应序号，这样，我们就又找到了一部分规律，第 n 个减数为 n2； 所以，本题的变化规律为：2n+1=（n+1）2- n2。 11. 如图，RtO
40、A0A1在平面直角坐标系内，OA0A190 ，A0OA130 ，以 OA1为直角边向外作 Rt OA1A2，使OA1A290，A1OA230 ，以 OA2为直角边向外作 RtOA2A3，使OA2A390 ，A2OA3 30 ，按此方法进行下去，得到 RtOA3A4，RtOA4A5，RtOA2016A2017，若点 A0(1，0)，则点 A2017 的横坐标为_ 第 14 题图 【答案】(4 3) 1008 【解析】由题意可知，经过 12 次变换后，点 A13落在射线 OA1上，2017 121681，点 A2017落在 射线 OA1上，其横坐标与点 A2016相同，OA01，经过 12 次变换
41、后，OA12(2 3 3 )12，再经过 12 次变换 后，OA24(2 3 3 )24，综上可猜想，OA2016(2 3 3 )2016(4 3) 1008，点 A 2017的横坐标为(4 3) 1008. 12. 如图，直线 y 3 3 x 上有点 A1，A2，A3，An1，且 OA11，A1A22，A2A34，AnAn12n， 分别过点 A1， A2， A3， ， An1作直线 y 3 3 x 的垂线， 交 y 轴于点 B1， B2， B3， ， Bn1， 依次连接 A1B2， A2B3，A3B4，AnBn1，得到A1B1B2，A2B2B3，A3B3B4，AnBnBn1，则AnBnBn1
42、的面积 为_(用含正整数 n 的式子表示) 第 15 题图 【答案】 3 2 22n 3 2 2n 【解析】 如解图， 作 A1C1x 轴于 C1， A2C2x 轴于 C2， AnCnx 轴于 Cn， 点 An在直线上 y 3 3 x， A1C1 OC1 A2C2 OC2 AnCn OCn 3 3 ，AnOCn30 ，OCn 3 2 OAn 3 2 (12222n 1)，A nOBn60 ，BnAn OAn，OBn2OAn，BnBn12OAn12OAn2AnAn12 2n2n 1. 第 15 题解图 SAnBnBn11 2BnBn1 OCn 1 2 2 n13 2 (12222n 1)，设 S1242n1，则 2S24 2n 12n，S2SS(242n12n)(1242n1)2n1 ，综上可知 SAnBnBn11 2 2 n1 3 2 (2n1) 3 2 22n 3 2 2n.
