1、 专题专题 01 逐个击破考向逐个击破考向-第一周：最值问题第一周：最值问题 考察规律考察规律 题型总结题型总结 几何最值题型主要分为五类： 点到直线垂线段最短； 勾股定理最值； 三角形边角关系最值，隐形圆最值； 轴对称最值； 圆中所有弦中直径最长。 该类题型是 2013 年以后开始在中考中高频出现的热考考点，难度一般都比较大。 真题在线与解法总结真题在线与解法总结 年份：年份：2011 年年 考向：几何最值考向：几何最值:三角形边角关系三角形边角关系 22. 在ABC 中， ACB90 ， ABC30 ， 将ABC 绕顶点 C 顺时针旋转， 旋转角为 (0180)， 得到ABC. (1)如图
2、，当 ABCB时，设 AB与 CB 相交于点 D.证明：ACD 是等边三角形； (2)如图， 连接 AA、 BB， 设ACA和BCB的面积分别为 SACA和 SBCB.求证： SACASBCB1 3； 年份年份 几何最值几何最值 最值考法补充最值考法补充 2010 2011 22 题：几何最值：三角形边角关系最值 2012 2013 几何最值：圆中所有的弦直径最长 2014 2015 20 题几何最值：勾股定理最值，点到直线最短 2016 几何最值：隐形圆最值 2017 几何最值：轴对称最值 2018 2019 几何最值：轴对称最值 (3)如图，设 AC 中点为 E，AB中点为 P，ACa，连
3、接 EP，当 _ 时，EP 长度最大，最 大值为_ 图 图 图 【解析】 (1)证明：ABCB，BCBABC30 ， ACA30 ；又ACB90 ， ACD60 ，又CABCAB60 . ACD 是等边三角形.(5 分) (2)证明：ACAC，BCBC，AC BC AC BC . 又ACABCB，ACABCB. AC BCtan30 3 3 ， SACASBCBAC2BC213. .(9 分) (3)解：120，3a 2 . .(12 分) 解法总结：解法总结： 三角形边角关系最值三角形边角关系最值 特征：单线段求最值（最大和最小均可） ，题目中存在旋转动态特征：单线段求最值（最大和最小均可）
4、 ，题目中存在旋转动态 做法：连接最值线段两端点到旋转点，构造旋转动态三角形做法：连接最值线段两端点到旋转点，构造旋转动态三角形 最值：另外两边之差最值：另外两边之差最值边最值边另外两边之和另外两边之和 年份：年份：2013 年年 考向：几何最值考向：几何最值:圆中所有弦中直径最长圆中所有弦中直径最长 10. 如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接圆O 上的点在以下判断中，不正确 的是( ) A. 当弦 PB 最长时，APC 是等腰三角形 B. 当APC 是等腰三角形时，POAC C. 当 POAC 时，ACP30 D. 当ACP30 时，BPC 是直角三角形 【解析】 选项 逐项分析 正误
5、 A 当弦 PB 最长时， PB 是O 的直径， O 既是等边ABC 的内心， 也是外心，所以ABPCBP，根据圆周角性质，PA PC ， 所以 PAPC，故APC 为等腰三角形 B 当APC 是等腰三角形时，点 P 是AC 的中点或与点 B 重合，由 垂径定理可得 POAC C 当 POAC 时，由点 P 是AC 的中点或与点 B 重合，易得ACP 30 或ACP60 D 当ACP30 时，分两种情况：1. 点 P 是AC 的中点，则 BP 为 直径，根据圆周角定理可得：BCP90 ； 2. 点 P 是AB 的中 点，则 CP 为直径，CBP90 .两种情况都可以得到BPC 是 直角三角形
6、年份：年份：2015 年年 考向：几何最值考向：几何最值:勾股定理最值勾股定理最值 20. 在O 中，直径 AB6，BC 是弦，ABC30 ，点 P 在 BC 上，点 Q 在O 上，且 OPPQ. (1)如图，当 PQAB 时，求 PQ 长； (2)如图，当点 P 在 BC 上移动时，求 PQ 长的最大值 第 20 题图 【解析】(1)解：OPPQ，PQAB，OPAB. 在 RtOPB 中，OPOB tanABC3 tan30 3. .(3 分) 如解图，连接 OQ，在 RtOPQ 中， PQ OQ2OP232（ 3）2 6. .(5 分) (2)解：如解图，连接 OQ，OPPQ， OPQ 为
7、直角三角形， PQ2OQ2OP29OP2， 当 OP 最小时，PQ 最大，此时 OPBC. .(7 分) OPOB sinABC3 sin30 3 2. PQ 长的最大值为9（3 2） 23 3 2 . .(10 分) 图 图 第 20 题解图 解法总结：解法总结： 勾股定理最值勾股定理最值 特征：单线段求最值，两个端点都是动点，且在一个动态三角形中特征：单线段求最值，两个端点都是动点，且在一个动态三角形中 做法：根据勾股定理：做法：根据勾股定理：a +b =c 最值：当一直角边固定时，若求另一直角边的最值，则转化为求斜边的最值，另一直角边越大则斜边最值：当一直角边固定时，若求另一直角边的最值
8、，则转化为求斜边的最值，另一直角边越大则斜边 越大，另一直角边越小则斜边越小；越大，另一直角边越小则斜边越小； 当一斜边固定时，若求一直角边的最值，则转化为求另一直角边的最值，一直角边越大则另一直角边当一斜边固定时，若求一直角边的最值，则转化为求另一直角边的最值，一直角边越大则另一直角边 越小，一直角边越小则另一斜边越大。越小，一直角边越小则另一斜边越大。 年份：年份：2016 年年 考向：几何最值考向：几何最值:隐形圆最值隐形圆最值 10. 如图， RtABC 中， ABBC， AB6， BC4， P 是ABC 内部的一个动点， 且满足PABPBC. 则线段 CP 长的最小值为( ) A.
9、3 2 B. 2 C. 8 13 13 D. 12 13 13 【解析】如解图，PABPBC，ABC90 ，BAPPBA90 ，APB90 ，点 P 始终在以 AB 的中点 O 为圆心，以 OAOBOP1 2AB3 为半径的圆上，由解图知，只有当在点 P 在 OC 与O 的交点处时， PC 的长最小在 RtOBC 中，OC OB2BC2 32425，PCOCOP5 32，线段 CP 长的最小值为 2. 第 10 题解图 解法总结解法总结 一般隐形圆最值一般隐形圆最值 解题技巧：解题技巧： 特征：单线段求最值，端点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得直角特征：单线段求最值，端
10、点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得直角 做法：以直角所对的固定斜边为直径作圆做法：以直角所对的固定斜边为直径作圆 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径 年份：年份：2017 年年 考向：几何最值考向：几何最值:轴对称最值轴对称最值 10如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD3.动点 P 满足 SPAB1 3S 矩形ABCD.则点 P 到 A，B 两点距离之 和 PAPB 的最小值为（ ） A. 29 B. 34 C5 2 D. 41 【解析】如解图所示，设PAB 底边 AB 上的高为 h，SPAB1 3S 矩形ABCD，1
11、2 AB h 1 3 AB AD，h 2，为定值，在 AD 上截取 AE2，作 EFAB，交 CD 于 F，故 P 点在直线 EF 上 ，作点 A 关于直线 EF 的对称点 A，连接 AB，交直线 EF 于点 P，此时 PAPB 最小，且 PAPBAB AA2AB2 4252 41. 第 10 题解图 解法总结：解法总结： 轴对称最值轴对称最值 特征：一直线特征：一直线(线段线段)上有一动点，在直线同侧，求动点连接的线段和的最小值上有一动点，在直线同侧，求动点连接的线段和的最小值 直观特征：求线段和最短且两线段有公共端点直观特征：求线段和最短且两线段有公共端点 做法：以动点所在直线为对称轴，作
12、两线段中任意一条线段另一端点的对称点做法：以动点所在直线为对称轴，作两线段中任意一条线段另一端点的对称点 最值：所做对称点到另外一条线段的端点的连线长度即为最小值最值：所做对称点到另外一条线段的端点的连线长度即为最小值 年份：年份：2019 年年 考向：几何最值考向：几何最值:轴对称最值轴对称最值 10.如图， 在正方形ABCD中， 点E，F将对角线AC三等分， 且AC=12.点P在正方的边上， 则满足PE+PF=9 的点 P 的个数是 ( ) A. 0 B.4 C.6 D. 8 【解析】解：如图，作点 F 关于 BC 的对称点 M，连接 FM 交 BC 于点 N，连接 EM，交 BC 于点
13、H， 点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC=12， EC=8，FC=4=AE， 点 M 与点 F 关于 BC 对称， CF=CM=4，ACB=BCM=45 ，ACM=90 EM= 22 4 5ECCM, 则在线段 BC 存在点 H 到点 E 和点 F 的距离之和最小为4 59, 在点 H 右侧，当点 P 与点 C 重合时，则 PE+PF=12, 点 P 在 CH 上时，4 5PE+PF12, 在点 H 左侧，当点 P 与点 B 重合时，BF= 22 2 10FNBN, AB=BC，CF=AE，BAE=BCF, ABECBF（SAS） BE=BF=2 10, PE+PF=4 10, 点
14、P 在 BH 上时，4 5PE+PF4 10 在线段 BC 上点 H 的左右两边各有一个点 P 使 PE+PF=9， 同理在线段 AB，AD，CD 上都存在两个点使 PE+PF=9 即共有 8 个点 P 满足 PE+PF=9， 故选 D 对应练习对应练习 1.如图，点 P 是AOB 内任意一点，AOB=30 ，OP=8，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的 动点，则PMN 周长的最小值为_ 【解析】 PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值， 此处 M、 N 均为折点， 分别作点 P 关于 OB、 OA 对称点 P、 P，化 PM+PN+MN 为 PN+MN+PM 当 P、
15、N、M、P共线时，得PMN 周长的最小值，即线段 PP长，连接 OP、OP，可得OPP为等 边三角形，所以 PP=OP=OP=8 P O B A M N P P N M A B O P 2.（2017 辽宁营口）如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90 ，点 D 在 BC 上，BD=3，DC=1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为( ) A4 B5 C6 D7 【解析】作点 C 关于 P 点所在直线 AB 的对称点 C，当 C、P、D 共线时，PC+PD 最小，最小值为 5，故 选 B 3.如图，在等边ABC 中，AB=6， N 为 AB 上一点且 BN=2AN， BC
16、 的高线 AD 交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是_ 【解析】M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最小值 P O B A M N P P P D C B A C P D C B A A BC D M N 过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 倍根号 7 4.（2018 山东潍坊）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=6AB=12，AD 平分CAB，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE+EF 的最小值为( ) A3 B4 C3 3 D2 3
17、 【解析】此处 E 点为折点，可作点 C 关于 AD 的对称，对称点 C在 AB 上且在 AB 中点，化折线段 CE+EF 为 CE+EF，当 C、E、F 共线时得最小值，CF 为 CB 的一半，故选 C 5.（2018 辽宁营口）如图，在锐角三角形 ABC 中，BC=4，ABC=60 ， BD 平分ABC，交 AC 于点 D，M、N 分别是 BD，BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是( ) A BC D M N H N M D CB A E A F CD B C A F E C D B A3 B2 C2 3 D4 【解析】此处 M 点为折点，作点 N 关于 BD 的对称点，恰好在 AB
18、 上，化折线 CM+MN 为 CM+MN 因为 M、N 皆为动点，所以过点 C 作 AB 的垂线，可得最小值，选 C 6.（2018 广西贵港）如图，在菱形 ABCD 中，AC=6 2，BD=6，E 是 BC 的中点，P、M 分别是 AC、 AB 上的动点，连接 PE、PM，则 PE+PM 的最小值是( ) N M D C B A N A B C D M N N M D C B A N A6 B3 3 C2 6 D4.5 【解析】此处 P 为折点，作点 M 关于 AC 的对称点 M，恰好在 AD 上，化折线 EP+PM 为 EP+PM 当 E、P、M共线时，EP+PM 最小，最小值即为菱形的高
19、，可用面积法：AC BD/2=BC EM 7.（2017 江苏南通）如图，矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 各边 上，且 AE=CG，BF=DH，则四边形 EFGH 周长的最小值为( ) A5 5 B10 5 C10 3 D15 3 【解析】考虑到四边形 EFGH 是平行四边形，即求 EH+EF 最小值，此处 E 为折点，作 F 关于 AB 对称 E P D C B A M M E P D C B A M M M A B C P E H F G E DC BA 点 F，则 BF=BF=DH=CM，MF=BC=5，MH=DC=10，HF为 5 倍
20、根号 5，周长最小值为 10 倍根号 5， 故选 B 8.（2018 滨州）如图，AOB=60 ，点 P 是AOB 内的定点且 OP=3，若点 M、N 分别是射线 OA、 OB 上异于点 O 的动点，则PMN 周长的最小值是( ) A 3 6 2 B 3 3 2 C6 D3 【解析】 此处 M、 N 均为折点， 分别作点 P 关于 OB、 OA 的对称点 P、 P， 化PMN 周长为 PN+NM+MP 当 P、N、M、P共线时，得最小值，利用 60 角翻倍得POP=120，OP=OP=OP，可得最小值 9.（2017 湖北随州）如图，AOB 的边 OB 与 x 轴正半轴重合，点 P 是 OA
21、上的一动点，点 N（3,0） 是 OB 上的一定点， 点 M 是 ON 的中点， AOB=30 ， 要使 PM+PN 最小， 则点 P 的坐标为 5 10 F MH F G E DC BA A B M O P N P P A B M O P N 【解析】 此处点 P 为折点， 作点 M 关于 OA 的对称对称点 M如图所示， 连接 PM， 化 PM+PN 为 PM+PN 当 M、P、N 共线时，得最小值，又MON=60 且 ON=2OM，可得OMN=90 ，故 P 点坐标可求 10.如图， 在平面直角坐标系中， 矩形 ABCD 的顶点 B 在原点， 点 A、 C 在坐标轴上， 点 D 的坐标为
22、 （6， 4） ，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ=2，要使四边形 APQE 的周长最小，则点 P 的 坐示应为_ NM P O B A x y 30 30 M NM P O B A x y M y x A B O P N M 30 30 【解析】考虑 PQ、AE 为定值，故只要 AP+QE 最小即可，如图，将 AP 平移至 AQ，考虑 AQ+QE 最小值 作点 A关于 x 轴的对称点 A，连接 AE，与 x 轴交点即为 Q 点，左移 2 个单位即得 P 点 11.如图，矩形 ABCD 中，AD=2，AB=4，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的
23、动点，且 EFAC 于点 M，连接 AF、CE，求 AF+CE 的最小值 E y x B( ) Q A C D O P A P O D C A Q B( ) x y E A A A B( )O PQ C E D A BC D E F M 【解析】此题难点在于要得到 AF 与 CE 之间的关系，方能将这两条线段联系到一起过点 E 作 EHCD 交 CD 于 H 点，由相似可得：FH=1 连接 BH，则 BH=CE 问题转化为 BH+AF 最小值 参考将军遛马的作法，作出图形，得出 AF+BH=AH+BH=AB=5 1 H A BC D E F F E D CB A H 1 1 H A BC D
24、E F F D C B A H 1 12.（2017 四川德阳）如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足 OC=5，点 P 为圆 C 上一动点， 经过点 O 的直线 l 上有两点 A、B，且 OA=OB，APB=90 ，l 不经过点 C，则 AB 的最小值为_ 【解析】连接 OP，根据APB 为直角三角形且 O 是斜边 AB 中点，可得 OP 是 AB 的一半，若 AB 最小，则 OP 最小即可 连接 OC，与圆 C 交点即为所求点 P，此时 OP 最小，AB 也取到最小值 13.（2014 成都中考）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A=60 ，M 是 AD 边的中点，N
25、 是 AB 边上 的一动点，将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是_ B A 1 H A B C D F l P O C BA l P O C BA AB C O P l A N M AB C D 【解析】考虑AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，可得 MA=MA=1，所以 A轨迹是以 M 点为圆心， MA 为半径的圆弧 连接 CM，与圆的交点即为所求的 A，此时 AC 的值最小 构造直角MHC，勾股定理求 CM，再减去 AM 即可 14.（2016 淮安中考）如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=6，BC=8，点 F 在边 AC 上，并且
26、CF=2， 点 E 为边 BC 上的动点，将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是 _ 【解析】考虑到将FCE 沿 EF 翻折得到FPE，可得 P 点轨迹是以 F 点为圆心，FC 为半径的圆弧 A N M AB C D D C BA M N A H A N M AB C D A B C E F P 过 F 点作 FHAB，与圆的交点即为所求 P 点，此时点 P 到 AB 的距离最小由相似先求 FH，再减去 FP， 即可得到 PH 15.（2018 相城区一模）如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，P、Q 分别是直线 BC、AB 上的两个
27、动点， AE=2，AEQ 沿 EQ 翻折形成FEQ，连接 PF、PD，则 PF+PD 的最小值是_ 【解析】F 点轨迹是以 E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点 D 关于 BC 对称点 D，连接 PD，PF+PD 化为 PF+PD A B C E F P H P F E C B A Q A BC D E F P D P F E D CB A Q 连接 ED，与圆的交点为所求 F 点，与 BC 交点为所求 P 点，勾股定理先求 ED,再减去 EF 即可 16.已知正方形 ABCD 边长为 2，E、F 分别是 BC、CD 上的动点，且满足 BE=CF，连接 AE、BF，交点 为 P 点，则 PD
28、的最小值为_ 【解析】由于 E、F 是动点，故 P 点也是动点，因而存在 PD 最小值这样的问题，那 P 点轨迹如何确定？ 考虑 BE=CF，易证 AEBF，即在运动过程中，APB=90 ，故 P 点轨迹是以 AB 为直径的圆 连接 OC，与圆的交点即为 P 点，再通过勾股定理即可求出 PC 长度 思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆） ，接下来可以寻找与动点相关有无定直 线与定角 17.（2013 武汉中考）如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE=DF，连接 CF 交 Q A BC D E F P D E F A B C D P O E
29、 F A B C D P BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是_ 【解析】根据条件可知：DAG=DCG=ABE，易证 AGBE，即AHB=90 ， 所以 H 点轨迹是以 AB 为直径的圆弧 当 D、H、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求 18.如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，AB=5，AC=4D 是弧 BC 上的一个动点，连接 AD，过点 C 作 CEAD 于 E，连接 BE在点 D 移动的过程中，BE 的最小值为 H G A BC D EF H G A BC D EF O FE D CB A G H
30、 H A BC D O 【解析】E 是动点，E 点由点 C 向 AD 作垂线得来，AEC=90 ，且 AC 是一条定线段，所以 E 点轨迹是以 AC 为直径的圆弧 当 B、E、M 共线时，BE 取到最小值连接 BC，勾股定理求 BM，再减去 EM 即可 19.如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_ 【解析】连接 CE，由于 CD 为直径，故CED=90 ，考虑到 CD 是动线段，故可以将此题看成定线段 CB 对直角CEB O E D C BA M O E D
31、 C BA AB C E O M O E D C B A 取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧 连接 AM，与圆弧交点即为所求 E 点，此时 AE 值最小， 22 10222 262AEAMEM 20.（2019 苏州园区一模）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，以相 O E D C B A M A B C D E O M E C B A 同的速度分别沿 AB、 CD 向终点 B、 D 移动， 当点 E 到达点 B 时， 运动停止， 过点 B 作直线 EF 的垂线 BG， 垂足为点 G，连接 AG，则 AG 长的最
32、小值为 【解析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有 AE=CF，BGEF，但BGE 所对的 BE 边是不确定的 重点放在 AE=CF，可得 EF 必过正方形中心 O 点，连接 BD，与 EF 交点即为 O 点 BGO 为直角且 BO 边为定直线，故 G 点轨迹是以 BO 为直径的圆 记 BO 中点为 M 点，当 A、G、M 共线时，AG 取到最小值，利用 RtAOM 勾股定理先求 AM，再减去 GM 即可 G F E D CB A A BC D E F G O A BC D E F G M O A BC D E F G M O A BC D E F G 21.如图，正方形 ABCD 的边长是 4
33、，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE，过点 A 作 AFBE 于点 F，点 P 是 AD 边上另一动点，则 PC+PF 的最小值为_ 【解析】AFB=90 且 AB 是定线段，故 F 点轨迹是以 AB 中点 O 为圆心、AB 为直径的圆 考虑 PC+PF 是折线段，作点 C 关于 AD 的对称点 C，化 PC+PF 为 PC+PF，当 C、P、F、O 共线时，取 到最小值 22.如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，B=30 ，AB=4，D 是 BC 上一动点，CEAD 于 E，EFAB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_ AB CD E F P O P F E DC BA
34、C AB CD F P O 【解析】AEC=90 且 AC 为定值，故 E 点轨迹是以 AC 为直径的圆弧 考虑 EFAB，且 E 点在圆上，故当 EF 与圆相切的时候，CF 取到最大值 连接 OF，易证OCFOEF，COF=30 ，故 CF 可求 23.如图，等边ABC 边长为 2，E、F 分别是 BC、CA 上两个动点，且 BE=CF，连接 AE、BF，交点为 P 点，则 CP 的最小值为_ F E D C B A O F E D C B A O F E C B A O F E C B A 【解析】由 BE=CF 可推得ABEBCF，所以APF=60 ，但APF 所对的边 AF 是变化的 所以考虑APB=120 ，其对边 AB 是定值 所以如图所示，P 点轨迹是以点 O 为圆心的圆弧 （构造 OA=OB 且AOB=120 ） E F CB A P 60 E F CB A P 120 E F CB A P 120 M O P A BC F E 120 当 O、P、C 共线时，可得 CP 的最小值，利用 RtOBC 勾股定理求得 OC，再减去 OP 即可 CB A P O 120
