1、福清西山学校高中部 20192020 学年期中考试 数学试卷（文科） 一、一、 选择题选择题 （本题共计（本题共计 12 小题小题 ，每题，每题 5 分分 ，共计，共计 60 分）分） 1. 已知 NM, 为集合I的非空真子集，且 NM, 不相等，若 )(MCN I ，则 NM ( ) MA. NB. IC. .D 2. 已知复数 )(1 (iaiz 在复平面内对应的点位于第四象限， 则实数a的取值范 围是( ) ), 1.( A ) 1,.(B ) 1 ,. ( C ) 1 , 1. ( D 3. 已知命题 xxxpcossin), 4 , 0(: ，则( ) xxxpAcossin), 4
2、 , 0(:. 000 c o ss in), 4 , 0(:.xxxpB 000 cossin), 4 , 0(:.xxxpC xxxpDc o ss in), 4 , 0(:. 4. 函数 xxxf4)( 2 的递增区间为（ ） ), 2. A ), 4. B 2 ,. ( C 4 ,. ( D 5. 在等差数列 n a 中， 3 6 a ，则该数列的前11项和 11 S 等于( ) 33. A 44.B 55.C 66.D 6. 已知是第二象限的角， 2 1 tan ，则 cos 等于（ ） 5 5 .A 5 1 .B 5 52 .C 5 4 .D 7. 函数 ) 1(log)( 5 .
3、 0 xxf 的定义域是（ ） )2 , 1.(A 2 , 1.(B 2 , 1.C ), 1. ( D 8. 将曲线 ) 2 |)(2sin( xy 向右平移6 个单位长度后得到曲线 )(xfy ，若 函数 )(xf 的图象关于 y 轴对称，则 ( ) 3 .A 6 .B 3 . C 6 . D 9. 设数列 n a 的通项公式 109 2 nnan ，若使得 n S 取得最小值， n ( ) 8 . A 98 . 或B 9 .C 109 . 或D 10. 已知函数 )0 , 0)(sin()(AxAxf 的部分图象如图所示，则下列判 断错误的是（ ） 2. AA 2.B 1)0(.fC 6
4、 5 . D 11. 设数列 , nn ba 满足 * 1 , 5 2 10 7 ,700Nnbaaba nnnnn 若 400 6 a ，则（ ） 34 .aaA 34 .bbB 33 .baC 44 .baD 12. 已知函数 cbxax x xf2 2 1 3 )( 2 3 的两个极值分别为 )( 1 xf 和 )( 2 xf ，若 1 x 和 2 x 分别在区间 ) 1 , 0( 与 )2 , 1 ( 内，则 1 2 a b 的取值范围是( ) ) 1 , 4 1 .(A 1 , 4 1 .B ), 1 () 4 1 ,.(C ), 1 4 1 ,.(D 二、二、 填空题填空题 （本题
5、共计（本题共计 4 小题小题 ，每题，每题 5 分分 ，共计，共计 20 分）分） 13. 已知函数 )(xfy 的图象在点 )2(, 2(fM 处的切线方程是 4 xy ，则 )2()2( ff _ 14. 已 知 函 数 )(xf 是 定 义 在R上 的 奇 函 数， 且 0) 1(f ， 若 对 任 意 的 )0 ,(, 21 xx ，当 21 xx 时，都有 21 2211 )()( xx xfxxfx 成立，则不等式 0)(xf 的解集为_ 15. 设 n a 是公比不为1的等比数列，其前n项和为 n S ，若 534 ,aaa 成等差数列，则 2 4 S S _ 16. 若函数 1
6、 2 3 )( 23 xaxxf 存在唯一的零点 0 x ，且 0 0 x ，则实数a的取值范围是 _. 三、三、 解答题解答题 （本题共计（本题共计 5 小题小题 ，共计，共计 60 分）分） 17. 数列 n a 中， n S 为前n项和，且 )(32 * NnnnaS nn . (1)求证： n a 是等差数列； (2)若 nn n aa ba 1 2 1 , 5 ， n T 是 n b 的前n项和，求 n T . 18. 已知 Rx ,向量 0,)(),2sin3, 2(),1 ,cos( 2 aOBOAxfaxaOBxaOA . (1)求当 0a 时， )(xf 的单调递增区间； (
7、2)当 2 , 0 x 时， )(xf 的最大值为5，求a的值. 19. 已知数列 n a 的前n项和为 n S ，且有 )2(3453 , 2 111 nSaaSa nnnn （1）求数列 n a 的通项公式； （2）若 nn anb ，求数列 n b 的前n项和 n T 20. 在 ABC 中 ， 角 CBA, 的 对 边 分 别 是 cba, ， 点 ),(ba 在 直 线 0s i n)s i n( s i nByBAx 上， （1）求角C的值； （2）若 018)(6 22 baba ，求 ABC 的面积 21. 已知函数 )( 2 1 )(Ra e axxf x (1)讨论函数 )
8、(xf 的极值； (2)若关于x的不等式 1 1 2 x e xax 在 0 ,( 上恒成立，求实数a的取值范围. 四四选做题（选做题（10 分）分）请考生用 2B 铅笔将所选题目对应题号涂黑，答题区域只允 许选择一题，如果多做，则按所选做的前一题计分。 四. 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线C的参数方程为 ,sin23 cos21 y x (为参数)，以 坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 1 l 的极坐标方程为 ) 2 0( ，将直线 1 l 绕极点O逆时针旋转3 个单位得到直线 2 l . (1)求C和 2 l 的极坐标方程； (2)设直线 1 l 和曲线C交于 A
9、O, 两点，直线 2 l 和曲线C交于 BO, 两点，求 |OBOA 的最大值. 23. 设函数 |2|)(|,3|)(xxgxxf ； （1）解不等式 2)()(xgxf （2）对任意的实数 yx, ，若 1)(, 1)(ygxf ，求证： 3| 12| yx 福清西山学校高中部 20192020 学年期中考试数学 参考答案（文科） 一、一、 选择题选择题 （本题共计（本题共计 12 小题小题 ，每题，每题 5 分分 ，共计，共计 60 分分 ） 1.A 【考点】 子集与交集、并集运算的转换 交、并、补集的混合运算 2.D 【考点】 复数代数形式的混合运算 复数的代数表示法及其几何意义 3.
10、B 【考点】 全称命题与特称命题 命题的否定 4.B 【考点】 函数的单调性及单调区间 函数单调性的性质 5.A 【考点】 等差数列的前 n 项和 等差数列的通项公式 6.C 【考点】 三角函数的恒等变换及化简求值 同角三角函数间的基本关系 7.B【考点】函数的定义域及其求法 8.D【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换 9.D【考点】数列递推式 10.D【考点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 11.C【考点】数列递推式 12.A【考点】函数在某点取得极值的条件，简单线性规划 二、二、 填空题填空题 （本题共计（本题共计 4 小题小题 ，每题，每题 5 分分 ，共计，共计
11、 20 分分 ） 13.7【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，导数的运算 14.(,1) (0,1)【考点】奇偶性与单调性的综合 15.5【考点】等比数列的前 n 项和，等比数列的通项公式 16.(, 2 2 )【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题，由函数零点求参数的取值范围 三、三、 解答题解答题 （本题共计（本题共计 7 小题小题 ，共计，共计 80 分分 ） 17.(1)证明：因为2= + 3( )， 所以21= ( 1)1+ 3( 1)( 2)，2 分 所以2= ( 1)1+ 3， 3 分 即( 2) ( 1)1= 3， 所以( 1)+1 = 3， 4 分 所以( 1)+1 =
12、 ( 2) ( 1)1， 整理得+1= 2 1，即2= +1+ 1， 所以*+是等差数列.6 分 (2)解：由2= + 3， 得21= 1+ 3，即1= 3，8 分 由2= 5，得 = 2， 所以= 3 + ( 1) 2 = 2 + 1，9 分 所以= 1 +1+ = 1 2+3+2+1 = 2+32+1 2 ，10 分 所以= 1 2,(5 3) + (7 5) + (9 7) + + (2 + 3 2 + 1)- = 1 2(2 + 3 3).12 分 【考点】数列的求和，等差关系的确定 18. 【答案】 解：(1)() = 2cos2 + 3sin2 = 3sin2 + cos2 = 2
13、sin(2 + 6)，3 分 当2 2 2 + 6 2 + 2 ( ) 时， 即 3 + 6 ( ) 时， ()为增函数， 5 分 即()的增区间为, 3 , + 6-( ). 6 分 (2)() = 2sin(2 + 6)，当 ,0, 2-时，2 + 6 , 6 , 7 6 -，8 分 若 0，当2 + 6 = 2时，()最大值为2 = 5，则 = 5 2； 10 分 若 0,()在(,+)上单调递增， 故()无极值；2 分 当 0，得 ln( 1 2)， 令() ln( 1 2)，3 分 故()在 = ln( 1 2)时取得极大值， 且极大值为(ln( 1 2) = ln( 1 2) +
14、.4 分 综上所述，当 0时，()无极值； 当 0时，()的极大值为ln( 1 2) + ， 无极小值.5 分 (2) 由题得，2+ + 1 1 2+ 1 + 1 0， 设() = 2+ 1 + 1 ， 则() = 2 + 1 1 = 2( 1 2 + 1 2) = 2,() + 1 2-，6 分 当 0时，()在(,+)上单调递增， ()在(,0-上单调递增. 当 1 2 0时，ln( 1 2) ln, 1 2(1 2) - = 0, 由(1)知，()在(,0-上单调递增， 即当 1 2时，()在(,0-上单调递增. (0) = 0，从而当 0时，() 0， () = 2+ 1 + 1 在(
15、,0-上单调递 减，8 分 又 (0) = 0， 从而当 0时，() 0， 即2+ + 1 1. 当 1 2时，ln( 1 2) ln, 1 2(1 2) - = 0， 由(1)知，当 (ln( 1 2),0-时， ()在(ln( 1 2),0-上单调递减,9 分 (0) = 0， 当 (ln( 1 2),0-时，() 0， () = 2+ 1 + 1 在(ln( 1 2),0- 上单调递 增，10 分 又 (0) = 0， 从而当 (ln( 1 2),0)时，() 0， 即2+ 1 + 1 0. 于是当 (ln( 1 2),0)时， 2+ + 1 1，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为,
16、 1 2,+).12 分 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数研究函数的极值 22.【答案】 解：(1)将的参数方程化为普通方程得( 1)2+ ( 3)2 = 4， 将 = cos, = sin代入，2 分 并化简得的极坐标方程为 = 2cos + 23sin，4 分 2的极坐标方程为 = + 3 ( ).5 分 (2)依题意可得(2cos + 23sin,)， 即(4sin( + 6),)， (2cos( + 3) + 23sin( + 3), + 3 )， 即(4cos, + 3)，7 分 | + | = 4sin( + 6) + 4cos = 43sin( + 3 )， 因为0
17、 2，所以 3 + 3 5 6 ，8 分 当 + 3 = 2，即 = 6时， | + |取得最大值43.10 分 【考点】圆的极坐标方程，参数方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程，求两角和与差 的正弦，两角和与差的余弦公式 23.【答案】 当 2时，原不等式可化为3 + 2 3 2，所以 3 2 2 当2 3时，原不等式可化为3 + 2 3 时 ， 原 不 等 式 可 化 为 3 + 2 2 ， 可 得 7 2 ， 所 以 3 7 24 分 综上，不等式的解集为(3 2, 7 2)6 分 证明：| 2 + 1| = |( 3) 2( 2)| | 3| + 2| 2| 1 + 2 = 310 分 【考点】绝对值不等式的解法与证明，不等式的证明
