1、2021 届高三上学期第二次月考 理科数学 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。) 1 已知集合 Ax|1x3， Bx|2mx 8 75 Bd 3 25 C. 8 75d 3 25 D. 8 750， 则不等式 f(x)x2的解集为( ) A1,1 B2,2 C2,1 D1,2 8.函数 yx 2ln|x| |x| 的图象大致是( ) 9已知函数 f(x)2cos(x)b 对任意实数 x 有 f x 4 f(x)恒成立，且 f 8 1，则 实数 b 的值为( ) A1 B3 C
2、1 或 3 D3 10.设 a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则 a，b，c 的大小关系是( ) Aabc Bcba Ccab Dbca 11函数 f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意 x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数 t 的最小值是( ) A20 B18 C3 D0 12若 2， ，且 3cos 2sin 4 ，则 sin 2 的值为( ) A 1 18 B. 1 18 C 17 18 D. 17 18 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13已知命题 p：axa1，命题 q：x2
3、4x0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取 值范围是_ 14已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：对于任意的实数 x，y，都有 f(xy)f(x)y(y2x 1)，且 f(1)3，则函数 f(x)的解析式为_ 15若 0a0 的解集是_ 16函数 yln|x1|的图象与函数 y2cos x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和为 _ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。) 17. （本小题满分（本小题满分 1212 分分） 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bc2acos B. (1)证明：A2B；
4、 (2)若ABC 的面积 Sa 2 4 ，求角 A 的大小 18 （本小题满分（本小题满分 1212 分分） 已知函数 f(x)lg xa x2 ，其中 a 是大于 0 的常数 (1)求函数 f(x)的定义域； (2)当 a(1,4)时，求函数 f(x)在2，)上的最小值； (3)若对任意 x2，)恒有 f(x)0，试确定 a 的取值范围 19. （本小题满分（本小题满分 1212 分分） 已知首项为3 2的等比数列an不是递减数列， 其前 n 项和为 Sn(nN *)， 且 S 3a3， S5a5， S4a4成等差数列 (1)求数列an的通项公式； (2)设 TnSn 1 Sn(nN *)，
5、求数列T n的最大项的值与最小项的值 20. （本小题满分（本小题满分 1212 分分） 设 f(x)xln xax2(2a1)x，aR. (1)令 g(x)f(x)，求 g(x)的单调区间； (2)已知 f(x)在 x1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围 21. （本小题满分（本小题满分 1212 分分） 已知函数 f(x)a 2cos2x 2sin x b. (1)若 a1，求函数 f(x)的单调增区间； (2)当 x0，时，函数 f(x)的值域是5,8，求 a，b 的值 22 （本小题满分（本小题满分 1010 分分） 某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会据市场调查，当每
6、套丛书售价 定为 x 元时，销售量可达到 150.1x 万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格 改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为 30 元，浮 动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为 10.假设不计其他成本，即销售 每套丛书的利润售价供货价格，问： (1)每套丛书售价定为 100 元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？ 理科数学 一、选择题 1 D 2 A 3 D 4 D 5. D 6 D 7 A 8. D 9 C 10. B 11 A 12 C 二、填空题 13 (0,3) 1
7、4 f(x)x2x1 15 x ax0，得 x22xa x 0， 当 a1 时，x22xa0 恒成立， 定义域为(0，)； 当 a1 时，定义域为x|x0 且 x1； 当 0a1 时，定义域为x|0x1 1a (2)设 g(x)xa x2， 当 a(1,4)，x2，)时， g(x)1 a x2 x2a x2 0 恒成立， 所以 g(x)xa x2 在2，)上是增函数 所以 f(x)lg xa x2 在2，)上是增函数 所以 f(x)lg xa x2 在2，)上的最小值为 f(2)lg a 2. (3)对任意 x2，)恒有 f(x)0，即 xa x21 对 x2，)恒成立 所以 a3xx2， 令
8、 h(x)3xx2， 而 h(x)3xx2 x3 2 29 4在2，)上是减函数， 所以 h(x)maxh(2)2， 所以 a2. 19. 解 (1)设等比数列an的公比为 q， 因为 S3a3，S5a5，S4a4成等差数列， 所以 S5a5S3a3S4a4S5a5，即 4a5a3， 于是 q2a5 a3 1 4. 又an不是递减数列且 a13 2，所以 q 1 2. 故等比数列an的通项公式为 an3 2 1 2 n1 (1)n 13 2n. (2)由(1)得 Sn1 1 2 n 1 1 2n，n为奇数， 1 1 2n，n为偶数. 当 n 为奇数时，Sn随 n 的增大而减小， 所以 1SnS
9、13 2， 故 0Sn 1 SnS1 1 S1 3 2 2 3 5 6. 当 n 为偶数时，Sn随 n 的增大而增大， 所以3 4S2SnSn 1 SnS2 1 S2 3 4 4 3 7 12. 综上，对于 nN*，总有 7 12Sn 1 Sn 5 6. 所以数列Tn的最大项的值为5 6，最小项的值为 7 12. 20. 解 (1)由 f(x)ln x2ax2a， 可得 g(x)ln x2ax2a，x(0，)， 所以 g(x)1 x2a 12ax x . 当 a0，x(0，)时，g(x)0，函数 g(x)单调递增； 当 a0，x 0， 1 2a 时，g(x)0，函数 g(x)单调递增，x 1
10、2a， 时，g(x)0，函 数 g(x)单调递减 所以当 a0 时，函数 g(x)的单调递增区间为(0，)； 当 a0 时，函数 g(x)的单调递增区间为 0， 1 2a ， 单调递减区间为 1 2a， . (2)由(1)知，f(1)0. 当 a0 时，f(x)单调递增， 所以当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减， 当 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增， 所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不符合题意； 当 0a1 2，即 1 2a1 时，由(1)知 f(x)在 0， 1 2a 上单调递增 可得当 x(0,1)时，f(x)0， 当 x 1， 1 2a 时，f(x)0.
11、所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在 1， 1 2a 上单调递增 所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不符合题意； 当 a1 2，即 1 2a1 时，f(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，)上单调递减， 所以当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不符合题意； 当 a1 2，即 0 1 2a1 时， 当 x 1 2a，1 时，f(x)0，f(x)单调递增， 当 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减 所以 f(x)在 x1 处取得极大值，符合题意 . 综上可知，实数 a 的取值范围为 a a1 2 . 21. 解 f(x)a(1cos xsin x)b 2asin x 4
12、 ab. (1)当 a1 时，f(x) 2sin x 4 b1， 由 2k 2x 42k 3 2 (kZ)， 得 2k 4x2k 5 4 (kZ)， f(x)的单调增区间为 2k 4，2k 5 4 (kZ) (2)0 x， 4x 4 5 4 ， 2 2 sin x 4 1.依题意知 a0， 当 a0 时， 2aab8， b5， a3 23，b5； 当 a0， x0， 解得 0x150. 依题意，单套丛书利润 Px 30 10 150.1x x 100 150 x30， 所以 P 150 x 100 150 x 120. 因为 0x0， 则(150 x) 100 150 x 2 150 x 100 150 x 21020， 当且仅当 150 x 100 150 x， 即 x140 时等号成立， 此时，Pmax20120100. 所以每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，最大值为 100 元
