1、20202020-20212021 学年度第一学期本部高三（文）数学期中试题及答案学年度第一学期本部高三（文）数学期中试题及答案 一一选选择择题题( (本大题共本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选分，在每小题给出的四个选 项中项中，只有一个是符合题目要求的只有一个是符合题目要求的) ) 1已知集合 Ax|x10，B0,1,2，则 AB( C ) A0 B1 C1,2 D0,1,2 解析 本题考查集合的运算Ax|x10 x|x1，B0,1,2， AB1,2，故选 C. 2.命题“xR，x33x0”的否定为( C ) A“xR，
2、x33x0” B“xR，x33x0” C“x0R，x303x00” D“x0R，x303x00”故选 C. 3.命题“若 a2b20，则 a0 且 b0”的逆否命题是( D ) A若 a2b20，则 a0 且 b0 B若 a2b20，则 a0 或 b0 C若 a0 且 b0，则 a2b20 D若 a0 或 b0，则 a2b20 解析 命题“若 a2b20，则 a0 且 b0”的逆否命题是“若 a0 或 b0，则 a2 b20”，故选 D. 4.设 a，bR，则“2a b1”是“ln aln b”的( B ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 由 2a
3、 b1 得 ab， 由 ln aln b 得 0ab， “2ab1”是“ln a1， 则 ff(5 2)( A ) A1 2 B1 C5 D1 2 解析 由题意知 f(5 2)log2 3 2，ff( 5 2)2log2 3 22 1 2.故选 A 7.已知 5 log 2a ， 0.5 og2 .l0b ， 0.2 0.5c ，则, ,a b c的大小关系为（ A ） A.acb B.abc C.bca D.cab 解析解析 由题意，可知 5 log 21a ， 1 1 5122 2 2 1 log 0.2loglog5log 5log 42 5 b 0.2 0.51c ，所以b最大，a，c
4、都小于 1 因为 5 2 1 log 2 log 5 a ， 1 5 0.2 5 5 111 0.5 222 c ，而 5 22 log 5log 422， 所以 1 5 2 11 log 52 ，即ac，所以acb 故选 A 8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 361 3，而可观测宇宙中普通物 质的原子总数N约为 80 10则下列各数中与 M N 最接近的是 （参考数据：lg3048） A 33 10 B 53 10 C 73 10 D 93 10 解析 设 361 80 3 10 M x N ，两边取对数得， 361 36180 80 3 lglglg3lg10361 lg3
5、 8093.28 10 x ， 所以 93.28 10 x ，即 M N 最接近 93 10，选 D 9.已知函数( )21 x f xx，则不等式 ( )0f x 的解集是（ ） A. ( 1,1) B. (, 1)(1,) C. (0,1) D. (,0)(1,) 【答案】D 【解析】作出函数2xy 和 1yx 的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为 21 x f xx ，所以 0f x 等价于2 1 x x， 在同一直角坐标系中作出2xy 和 1yx 的图象如图： 两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21 x x的解为0 x或1x . 所以不等式 0f x 的解集为：,
6、01,.故选：D. 10.若 tan 3 4，则 cos 22sin 2( A ) A64 25 B48 25 C1 D16 25 解析 cos22sin 2cos 24sin cos sin2cos2 4tan 1 tan21 64 25，故选 A. 11.已知函数f(x)的导函数是f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln 1 x，则 f(1) ( B ) Ae B2 C2 De 解析 由已知得f(x)2f(1)1 x，令 x1，得f(1)2f(1)1，解得 f(1)1，则f(1)2f(1)2. 12.函数 y=xcosx+sinx在区间，+的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案
7、】A 【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x处的函数值排除错误选项即可确定函 数的图象. 【详解】因为 cossinf xxxx，则 cossinfxxxxf x， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项 CD错误； 且x时，cossin0y ，据此可知选项 B错误.故选：A. 二二、填空题、填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分) ) 13函数 2 ( )log1f xx的定义域为 2,)【解析】要使函数( )f x有意义，则 2 log10 x ，即2x，则函数 ( )f x的定义域是2,) 1
8、4.曲线 2 3()exyxx在点(0 )0，处的切线方程为_ 解析：解析：因为 2 3exyxx（），所以 2 3e31 x yxx（）， 所以当0 x时， 3y ，所以 2 3exyxx（）在点00（ ， ）处的切线斜率3k ， 又 00y 所以切线方程为 030yx ，即 3yx 15.若函数f(x)x 24ax 在1,3内不单调，则实数a的取值范围是 ），（ 2 3 2 1 解析 由题意得：12a3，得1 2a 3 2. 16.函数 f(x)xsinxcosx 在 6，上的最大值为 2 . 解析 因为 f(x)sinxxcosxsinxxcosx， 当 x 6， 2时， f(x)0，
9、函数 f(x)递增， 当 x( 2，时，f(x)0，函数 f(x)递减，所以 f(x)maxf( 2) 2. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70 70 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤. .） 17.(本小题满分 10 分)已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边 过点 P(3 5， 4 5 ) (1)求 sin ()的值； (2)若角 满足 sin () 5 13，求 cos 的值 解析 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力 (1)由角 的终
10、边过点 P(3 5， 4 5)得 sin 4 5，所以 sin ()sin 4 5. (2)由角 的终边过点 P(3 5， 4 5)得 cos 3 5， 由 sin () 5 13得 cos () 12 13. 由 () 得 cos cos ()cos sin ()sin ， 所以 cos 56 65或 cos 16 65. 18.(本小题满分 12 分).已知函数 f(x)x22ax2，x5,5， (1)当 a1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值； (2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间5,5上是单调函数 解析 (1)a1，f(x)x22x2(x1)21， 因为 x5,5，所
11、以 x1 时，f(x)取最小值 1， x5 时，f(x)取最大值 37. (2)f(x)的对称轴为 xa；因为 f(x)在5,5上是单调函数， 所以a5，或a5，所以实数 a 的取值范围为(，55，) 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) x2 x3. (1)试判断 f(x)在1,2上的单调性； (2)求函数 f(x)在1,2上的最值 解析 (1)解法一：任取 x1，x21,2，且 x1x2， 则 f(x2)f(x1) x22 x23 x21 x13 x22x13x21x23 x23x13 x2x1x1x23x1x2 x23x13 ， x2x1x13x239 x23x13 x1，x
12、21,2，2x231，2x131， 1(x23)(x13)4，(x13)(x23)90，(x23)(x13)0， x2x1x13x239 x23x13 0，即 f(x2)f(x1) f(x)在1,2上为减函数 解法二：f(x) x2 x3， f(x)2xx3x 2 x32 xx6 x32， 1x2，f(x)0，f(x)在1,2上为减函数 (2)由(1)知 f(x)在1,2上为减函数， f(x)minf(2) 4 234，f(x)maxf(1) 1 13 1 2. 20.(本小题满分 12 分)已知 0 2，且 sin () 5 13，tan 2 1 2. (1)求 cos 的值； (2）求 s
13、in 解析 (1)因为 tan 2 1 2，所以 tan 2tan 2 1tan2 2 4 3，所以 sin cos 4 3 sin2cos21 ，(0， 2)， 解得 cos 3 5. 另解：cos cos2 2sin 2 2 cos2 2sin 2 2 cos2 2sin 2 2 1tan2 2 1tan2 2 11 2 2 11 2 2 3 5. (2)由已知得 2 3 2 ，又 sin () 5 13， 所以 cos () 1sin212 13， 又 sin 1cos24 5， sin sin () sin ()cos cos()sin 5 13 3 5 (12 15) 4 5 63
14、65 21.(本小题满分 12 分)某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为 120 6t 吨(0t24) (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的 24 小时内， 有几小时出现供水紧张现象 解析 (1)设 t 小时后蓄水池中的存水量为 y 吨， 则 y40060t120 6t， 令 6tx，则 x26t，即 tx 2 6， 所以 y40010 x2120 x10(x6)240，(构建二次函数) 所
15、以当 x6，即 t6 时，ymin40， 即从供水开始到第 6 小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是 40 吨 (2)由(1)及题意得 40010 x2120 x80，即 x212x320， 解得 4x8，即 4 6t8，8 3t 32 3 . 因为32 3 8 38，所以每天约有 8 小时出现供水紧张现象 22.(本小题满分 12 分）设函数( ) a x f xxebx ，曲线( )yf x在点(2,(2)f处的切线方程 为(1)4yex， （I）求a，b的值； （II）求( )f x的单调区间. 【解析】 （I）( )ea xf xxbx ，( )ee(1)e a xa xa x
16、fxxbxb 曲线 ( )yf x 在点(2, (2)f 处的切线方程为 (e1)4yx (2)2(e1)4f ， (2)e1 f 即 2 (2)2e22(e1)4 a fb 2 (2)(12)ee1 a fb 由解得：2a ，eb （II）由（I）可知： 2 ( )ee x f xxx ， 2 ( )(1)ee x fxx 令 2 ( )(1)e x g xx ， 222 ( )e(1)e(2)e xxx g xxx x ,2 2 2, ( )g x 0 ( )g x 极小值 ( )g x的最小值是 2 2 (2)(12)e1g ( )fx 的最小值为 (2)(2)ee10fg 即 ( )0fx 对x R恒成立 ( )f x在, 上单调递增，无减区间
