1、专题突破练专题突破练 11 专题二专题二 函数与导数过关检测函数与导数过关检测 一、单项选择题 1.(2020 广东江门 4月模拟,理 2)若函数 f(x)是幂函数,且满足 =3,则 f( )的值为( ) A.-3 B.- C.3 D. 2.(2019 全国,理 5)函数 f(x)= 在-,的图像大致为( ) 3.(2020 山东青岛二模,4)已知函数 f(x)= 且 f* (- )+=1,则 a=( ) A. B.2 C.3 D.ln 2 4.(2020 山西太原二模,理 8)设奇函数 f(x)在(0,+)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 - - 0 的解集 是( ) A.(-1,0)
2、(1,+) B.(-1,0)(0,1) C.(-,-1)(1,+) D.(-,-1)(0,1) 5.(2020 山东青岛二模,7)已知非零实数 a,x,y 满足 lo xlo y C.( ) ( ) D.yxxy 6.(2020 山东潍坊一模,7)定义在 R 上的偶函数 f(x)=2|x-m|-1,记 a=f(-ln 3),b=f(-log25),c=f(2m),则 ( ) A.abc B.acb C.cab D.cba 7.(2020 河南实验中学 4月模拟,11)已知函数 f(x)=x+ ,g(x)=2 x+a,若x 1* +,x22,3,使得 f(x1)g(x2),则实数 a的取值范围是
3、( ) A.a1 B.a1 C.a0 D.a0 8.(2020 河南驻马店二模,文 11)已知函数 f(x)= - 则函数 y=f(f(x)的零点所在区间 为( ) A.( ) B.(-1,0) C.( ) D.(4,5) 二、多项选择题 9.(2020 山东烟台模拟,9)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+)上单调递增的是( ) A.y=ln( -3x) B.y=ex+e-x C.y=x2+1 D.y=cos x+3 10.(2020 山东潍坊一模,11)已知函数 f(x)对xR,满足 f(x)=-f(6-x),f(x+1)=f(-x+1),若 f(a)=-f(2 020),a 5,9且 f
4、(x)在5,9上为单调函数,则下列结论正确的是( ) A.f(3)=0 B.a=8 C.f(x)是周期为 4的周期函数 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 11.下列四个命题中,不正确的是( ) A.函数 f(x)在(0,+)上单调递增,在(-,0上单调递增,则 f(x)在 R 上是增函数 B.若函数 f(x)=ax2+bx+2与 x轴没有交点,则 b2-8a0 C.当 abc时,则有 abac成立 D.y=1+x 和 y= 表示同一个函数 12.(2020 山东烟台一模,12)关于函数 f(x)=ex+asin x,x(-,+),下列说法正确的是( ) A.当 a=1时,f(x)在(
5、0,f(0)处的切线方程为 2x-y+1=0 B.当 a=1时,f(x)存在唯一极小值点 x0且-1f(x0)0,f(x)在(-,+)上均存在零点 D.存在 a0时,f(x)= ,则曲线 y=f(x)在点(-1,0)处的切线 方程是 . 15.(2020 广东茂名一模,理 15)点 P 为曲线 y=2x2+ln(4x+1)( - )图象上的一个动点,为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则当 取最小值时 x 的值为 . 16.(2020 山西太原三模,文 16)对任意正整数 n,函数 f(n)=2n3-7n2cos n-n-1,若 f(2)0,则 的取值范 围是 ;若不等式 f(n)0 恒成立,则
6、 的最大值为 . 四、解答题 17.(2020 河南郑州质量预测二,理 21)已知函数 f(x)= ,g(x)= (x0). (1)当 a=1时,求曲线 y= 在 x=1 处的切线方程; (2)讨论函数 F(x)=f(x)- 在(0,+)上的单调性. 18.已知函数 f(x)=(a+1)ln x+ax2+1. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)设 ax2+m 对任意 x(0,+)恒成立,求实数 m的取值范围; (3)若对任意实数 a,函数 F(x)=f(x)-g(x)在(0,+)上总有零点,求实数 b的取值范围. 20.(2019 山东济宁二模,理 21)已知函数 f(x)=x-a(l
7、n x)2,aR. (1)当 a=1,x1 时,试比较 f(x)与 1的大小,并说明理由; (2)若 f(x)有极大值,求实数 a 的取值范围; (3)若 f(x)在 x=x0处有极大值,证明 1f(x0) . 21.(2020 山西太原二模,理 21)已知函数 f(x)=ln x+ax+1. (1)若函数 f(x)有两个零点,求 a的取值范围; (2)f(x)xex恒成立,求 a 的取值范围. 22.(2020 浙江,22)已知 11,f()= - 0,排除 B,C.故选 D. 3.A 解析 因 f(- )=sin(- )=-sin( )=sin , 所以 f* (- )+=f( )=log
8、2( )=1,所以 a+ =2,a= 4.B 解析 f(x)为奇函数,f(1)=0, f(1)=-f(-1)=0,即 f(-1)=0. - - 1 且 lo xlo y0,所以 0xy1,令 x= ,y= ,将 x= ,y= 代入选项,得 A,B,C 不成立,D成立,故选 D. 6.C 解析 根据题意,定义在 R 上的偶函数 f(x)=2|x-m|-1,则有 f(-x)=f(x), 即 2|x-m|-1=2|-x-m|-1,可得 m=0, 则 f(x)=2|x|-1= - - - 则 f(x)在(0,+)上为增函数, a=f(-ln 3)=f(ln 3),b=f(log25),c=f(20)=
9、f(1),又由 01ln 32log25,则有 cab,故选 C. 7.C 解析 由题意知,当 x1 * +时, 由 f(x)=x+ 2 =4,当且仅当 x= 时, 即 x=2 时等号成立,所以函数 f(x)的最小值为 4, 当 x22,3时,g(x)为单调递增函数,所以 g(x)min=g(2)=a+4, 由x1 * +,x22,3,使得 f(x1)g(x2),即 f(x)在* +的最小值不小于 g(x)在2,3 上的最小值, 即 a+44,解得 a0,故选 C. 8.A 解析 当 x0时,30 时,f(x)为增函数,且 f(3)=0,所以 x=3 是 f(x)在 R 上的唯一零点. 所以令
10、 f(f(x)=0,得 f(x)=2x+log9x2-9=2x+log3x-9=3, 因为 f(3)=081.414+log33-9=3.3123,所以函数 y=f(f(x)的 零点所在区间为( ) 故选 A. 9.BC 解析 由题,易知 A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为 R, 对于 A,f(-x)+f(x)=ln( +3x)+ln( -3x)=0,则 f(x)为奇函数,故选项 A不 符合题意; 对于选项 B,f(-x)=e-x+ex=f(x),即 f(x)为偶函数,当 x(0,+)时,设 t=ex(t1),则 y=t+ , 由对勾函数性质可得,当 t(1,+)时是增函数,又 t=e
11、x单调递增,所以 f(x)=ex+e-x在(0,+) 上单调递增,故选项 B 符合题意; 对于 C,易知 f(x)=x2+1 为偶函数,由其图象知 f(x)在(0,+)上单调递增,故选项 C 符 合题意; 对于 D,易知 y=cos x+3 是偶函数,但在(0,+)不单调,故选项 D不符合题意.故选 BC. 10.AB 解析 f(x)对xR,满足 f(x)=-f(6-x),f(x+1)=f(-x+1), f(x)=-f(6-x)=-f(-(x-5)+1)=-f(x-5+1)=-f(x-4), f(x-4)=-f(x),f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x+4+4)=-f(x+4)=f
12、(x),故 f(x)的周期为 T=8, 故 C 错; f(a)=-f(2 020)=-f(2528+4)=-f(4)=-f(3+1)=-f(-2)=-f(6-(-2)=f(8),又 a5,9且 f(x) 在5,9上单调,易得 a=8.故 B对; f(x)=-f(6-x),f(3)=-f(6-3)=-f(3),f(3)=0,故 A对. f(x+1)=f(-x+1),x=1 为对称轴,故 D错.故选 AB. 11.ABCD 解析 f(x)= 满足在(0,+)上单调递增,在(-,0上单调递增,但 f(x)在 R 上不是增函数,A错;a=b=0 时,f(x)=2,它的图象与 x轴无交点,不满足 b2-
13、8a0,B 错;当 abc,但 c=0 时,ac=bc,不等式 abac不成立,C 错;y= =|x+1|,与 y=x+1 的对应法则不相同,值域也不相同,不是同一函数,D错.故选 ABCD. 12.ABD 解析 选项 A,当 a=1时,f(x)=ex+sin x,x(-,+),f(0)=1,f(x)=ex+cos x,k=f(0)=2, 故直线方程为 y-1=2(x-0),即切线方程为 2x-y+1=0,选项 A正确. 选项 B,当 a=1 时,f(x)=ex+cos x,f(x)=ex-sin x0恒成立,f(x)为(-,+)上的增函数, 又 f(- ) - +cos(- )0,故 f(x
14、)存在唯一极值点,不妨设 x0 (- - ),则 f(x0)=0,即 +cos x0=0. f(x0)= +sin x0=sin x0-cos x0= sin( - ) (-1,0),选项 B正确. 对于选项 C,D,f(x)=ex+asin x,x(-,+),令 f(x)=0,即 ex+asin x=0. x=k,k-1且 kZ 显然不是零点,故 xk,k-1 且 kZ, 所以 a=- ,令 F(x)=- , F(x)= - ,令 F(x)=0,解得 x=k+ ,k-1,kZ, 当 2k+ x2k+2,kZ,k-1时,F(x)单调递增, 当 2k+x2k+ ,kZ,k-1时,F(x)单调递减
15、, 所以当 x=2k+ ,kZ,k-1 时,F(x)有极小值,为 F 2k+ =- ( ) - 当 2kx2k+ ,kZ,k0 时,F(x)单调递增, 当 2k+ x0 均有零点,不符合题意, 选项 D,存在 a0,有且只有唯一零点,此时 a=- 故选 ABD. 13.-4 解析 本题考查奇函数的定义和性质.y=f(x)是奇函数, f(-8)=-f(8)=- =-4. 14.x-y+1=0 解析 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 当 x0,所以 f(x)=-f(-x)=- - - - ,所以 f(x)= - - - - - - , 所以曲线 y=f(x)在点(-1,0)处
16、的切线的斜率 k=f(-1)=1, 所以切线方程是 y-0=x+1,即 x-y+1=0. 15 解析 设切点 P(x0,y0)( - ) y=4x+ , x0- ,4x0+10, 则 tan =4x0+ =4x0+1+ -12 -1=4-1=3. 当且仅当 4x0+1= ,即 x0= 时,等号成立. 即 x0= 时,tan 最小,取最小值. 16 (- - ) - 解析 由函数 f(n)=2n3-7n2cos n-n-1,若 f(2)0, 则 16-28cos 2-2-10,即 15-28-20,解得 - 不等式 f(n)0恒成立,即 2n3-7n2cos n-n-10恒成立, 当 n 为奇数
17、时,2n3+7n2-n-10, 即 2n2+7n- 恒成立,等价于 ( - ) ,设 g(n)=2n 2+7n- ,g(n)=4n+7+ 0,可得 g(n)在正奇数集上递增,可得 g(n)的最小值为 g(1)=8,可得 8. 当 n 为偶数时,2n3-7n2-n-10,即 2n2-7n- 恒成立,等价于 ( - - ) ,设 h(n)=2n2-7n- ,h(n)=4n-7+ 0,可得 h(n)在正偶数集上递增,可得 h(n)的最小值为 h(2)=- 可得 - 由可得不等式 f(n)0恒成立,可得 - ,即 的最大值为- 17.解 (1)当 a=1 时,y= ,y= - ,所以 y|x=1= ,
18、 即 x=1 时,切线的斜率为 ,又切线过点(1,0), 所以切线方程为 x-2y-1=0. (2)f(x)= ( )= , F(x)=f(x)-( )= - , 当 a0 时,F(x)0 时,令 h(x)= x 2+( - )x+ ,=1- , 当 0,即 00时,即 a4,方程 x 2+( - )x+ =0有两个不等实根 x1,x2,设 x1x2,则 x1= - - - ,x2= - - ,所以 0x11x2, 此时,函数 F(x)在(0,x1),(x2,+)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减. 综上所述,当 a4 时,F(x)的单调递减区间是( - - - - - ),单调递增区间是
19、 0, - - - , - - ,+ . 当 00,所以 f(x)在(0,+)上单调递增; 当 a-1 时,f(x)0,所以 f(x)在(0,+)上单调递减; 当-1a0 可得 0x- ,由 f(x)- , 所以 f(x)在( - )上单调递增,在(- )上单调递减. (2)不妨设 x1x2,因为 a0 可得 x ,由 h(x)0 可得 0x 所以 h(x)在( )上单调递减,在( )上单调递增, 所以当 x= 时,h(x)有最小值 h( )=-2,于是 a 的取值范围是(-,-2. 19.解 (1)由 g(-1)=0,知 g(x)的图象直线过点(-1,0),设切点坐标为 T(x0,y0).
20、由 f(x)=ex,则切线方程是 y- (x-x0),此直线过点(-1,0),故 0- (-1-x0),解 得 x0=0, 所以 a=f(0)=1. (2)由题意得 mex-x2,x(0,+)恒成立, 令 m(x)=ex-x2,x(0,+),则 m(x)=ex-2x, 再令 n(x)=m(x)=ex-2x,则 n(x)=ex-2, 所以当 x(0,ln 2)时,n(x)0,所以 n(x)在(ln 2,+)上单调递增, 所以 n(x)在(0,+)上有最小值 n(ln 2)=2-2ln 20,即在(0,+)上,m(x)0. 所以 m(x)在(0,+)上单调递增, 所以 mm(0),即 m1,所以实
21、数 m的取值范围为(-,1. (3)由题意,知 F(x)=ex-ax-b,所以 F(x)=ex-a(x0), 由(2)知 exx2+1 在(0,+)上恒成立,所以当 x0 时,F(x)x2-ax+1-b. 当 a1,F(x)0 在(0,+)上恒成立,所以 F(x)在(0,+)上单调递增,且当 x+时 F(x)+, 故 F(x)的值域为(1-b,+). 所以 F(x)在(0,+)上有零点的充要条件为 1-b1. 当 a1 时,令 F(x)0,得 xln a,令 F(x)0 得 0xx2-ax+1-b, 故当 x+时,F(x)+,所以 F(x)的值域为a-aln a-b,+). 故 F(x)在(0
22、,+)上有零点的充要条件为 a-aln a-b0. 令 h(a)=a-aln a-b(a1),则 h(a)=-ln a0. 故 h(a)在(1,+)上单调递减, 所以 h(a)1时,f(x)=x-(ln x)2,x1. f(x)=1-2(ln x) - 令 g(x)=x-2ln x,x1, 则 g(x)=1- - 当 x(1,2)时,g(x)0,g(x)单调递增, g(x)g(2)=2-2ln 20,即 f(x)0. f(x)在(1,+)上单调递增. f(x)f(1)=1. 故当 a=1,x1时 f(x)1. (2)解 f(x)=1- - (x0),令 h(x)=x-2aln x(x0),则
23、h(x)=1- - 当 a=0 时,f(x)=x无极大值. 当 a0, h(x)在(0,+)上单调递增, h(1)=10,h( )= -10, x1( ,1),使得 h(x1)=0. 当 x(0,x1)时,f(x)0,f(x)单调递增. f(x)在 x=x1处有极小值,f(x)无极大值. 当 a0 时,h(x)在(0,2a)上单调递减,h(x)在(2a,+)上单调递增, f(x)有极大值,h(2a)=2a-2aln(2a)=2a(1-ln 2a) 又 h(1)=10,h(e)=e-2a0,f(x)单调递增,当 x(x0,e)时,f(x) (3)证明 由(2)可知,aln x0= , f(x0)
24、=x0-a(ln x0)2=x0- (1x0e). 设 p(x)=x- (1x0. p(x)在(1,e)上单调递增, p(1)p(x)p(e),即 1p(x) ,故 1f(x0)0,f(x)在定义域上单调递增,不可能有两个零点; 当 a0, 当 x ( - )时,f(x)0,f(x)在定义域上单调递增, 当 x (- )时,f(x)0,解得-1a0. f( ) - , 则 f(x0)=1+2ln(- ) +12+2(- - ) - 0, h(x)在(0,+)上单调递增, 而 h(1)=e0,h( ) -10,(x)在(0,+)上单调递增,x0=ln ,而在(0,x0) 上,h(x)0,即 g(
25、x)0,即 g(x)0, g(x)在(x0,+)上单调递增, g(x)min=g(x0)= - =1,a1. a 的取值范围是(-,1. 22.证明 (1)因为 f(0)=1-a0,所以 y=f(x)在(0,+)上存在零点. 因为 f(x)=ex-1,所以当 x0时,f(x)0,故函数 f(x)在0,+)上单调递增,所以函数 y=f(x)在(0,+)上有唯一零点. (2)令 g(x)=ex- x 2-x-1(x0),g(x)=ex-x-1=f(x)+a-1,由知函数 g(x)在0,+)上单调 递增,故当 x0 时,g(x)g(0)=0,所以函数 g(x)在0,+)上单调递增,故 g(x)g(0
26、)=0.由 g( - )0,得 f( - )= - - -a0=f(x0),因为 f(x)在0,+)单调递增, 故 - x0. 令 h(x)=ex-x2-x-1(0 x1),h(x)=ex-2x-1, 令 h1(x)=ex-2x-1(0 x1),h1(x)=ex-2,所以 x 0 (0,ln 2) ln 2 (ln 2,1) 1 h1(x) - 1 - 0 + e- 2 h1(x) 0 e- 3 故当 0x1时,h1(x)0,即 h(x)1 时,u(x)0,故函数 u(x)在区间1,+)上单调递增, 因此 u(x)u(1)=0. 由 =x0+a 可得 x0f( )=x0f(x0+a)=(ea-1) +a(ea-2)x0(e-1)a ,由 x0 - ,得 x0f( )(e-1)(a-1)a.
