1、题型强化练题型强化练 5 解答题组合练解答题组合练(C) 1.(2020 山东潍坊三模,17)已知函数 f(x)=Asin(x+)( )的图象如图所示. (1)求 f(x)的解析式; (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到函数 y=g(x),设 h(x)=g(x)+f(x),求函数 h(x)在* +上 的最大值. 2. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面 ABC 为等腰直角三角形,CB=CA=2,CC1=4; 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,CB=CC1=2; 在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AC平面 ABB1A1,BCAA1,AC=1,AA1=2,ACB=60.
2、从以上三个条件中任选一个补充在下面题干中,并解决两个问题. 如图, ,D,E分别为棱 C1C,B1C1的中点. (1)求二面角 B-A1D-A的余弦值; (2)在线段 AC上是否存在一点 F,使得 EF平面 A1BD?若存在,确定点 F的位置并证明结论;若不存 在,请说明理由. 3.(2020 广东东莞一模,18)已知函数 f(x)满足 f(1+x)=1+ ,数列an满足 a1=2,an+1=f( )(nN *). (1)求证:数列 是等差数列,并求出数列 的通项公式; (2)若 bn=an 2n-1,Tn=b1+b2+bn,求 Tn以及当 Tn100时 n的最小值. 4.(2020 山东省实
3、验中学信息考试,20)某公司为研究某种图书每册的成本费 y(单位:元)与印刷数量 x(单位:千册)的关系,收集了一些数据并进行了初步处理,得到了下面的散点图及一些统计量的值. (xi- )2 (xi- ) (yi- ) (ui- )2 (ui- ) (yi- ) 15.25 3.63 0.269 2 085.5 -230.3 0.787 7.049 表中 ui= ui. (1)根据散点图判断:y=a+bx 与 y=c+ 哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费 y与印刷数量 x的 回归方程?(只要求给出判断,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y关于 x 的回归方程(结果
4、精确到 0.01); (3)若该图书每册的定价为 9.22元,则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于 80 000元?(假设能 够全部售出,结果精确到 1) 附:对于一组数据(1,v1),(2,v2),(n,vn),其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别 为 - - - . 题型强化练 5 解答题组合练(C) 1.解 (1)f(x)min=-2,且 A0,A=2. 由图象可知,最小正周期 T=4 ( - )=,= =2. 又 f( )=2sin( )=-2, +=- +2k(kZ), 解得 =- +2k(kZ).又| ,= f(x)的解析式为 f(x)=2sin( ) (2)由题意得,g
5、(x)=f( - )=2sin * ( - ) +=2sin 2x, h(x)=g(x)+f(x)=2sin 2x+ +2sin 2x=2sin 2xcos +2cos 2xsin +2sin 2x=sin 2x+ cos 2x+2sin 2x=3sin 2x+ cos 2x=2 sin( ) x * +,2x+ * + 当 2x+ 时,h(x)取得最大值,最大值为 2 2.解 当选在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面 ABC 为等腰直角三角形,CB=CA=2,CC1=4 时, 图 1 (1)如图 1,以 C 为原点,以 CB,CA,CC1所在的直线分别为 x轴、y轴、z 轴建立空间 直角
6、坐标系,则 C(0,0,0),A(0,2,0),D(0,0,2),A1(0,2,4),B(2,0,0),所以 =(0,2,2), =(- 2,0,2), =(0,0,4).设平面 A1BD的一个法向量为 m=(x,y,z),则 即 - 令 z=1,m=(1,-1,1).又平面 A1DA的一个法向量为 =(0,0,2),所以二面角 B-A1D-A的余弦值为 (2)假设存在 F(x1,y1,z1),由 = ,可得 F(0,2,0).又 E(1,0,4),且 EF平面 A1BD,所 以 m,即(1,-2,4)=(1,-1,1).此时 无解,故不存在点 F,使 EF平面 A1BD. 当选在正三棱柱 A
7、BC-A1B1C1中,CB=CC1=2时, (1)如图 2,以 BC 中点 O 为原点,以 OB,OA,OE 所在的直线分别为 x轴、y轴、z 轴建 立空间直角坐标系,则 O(0,0,0),A(0, ,0),D(-1,0,1),A1(0, ,2),B(1,0,0).所以 =(1, ,1), =(-2,0,1), =(0,0,2). 图 2 设平面 A1BD的一个法向量为 m=(x,y,z),则 即 - 令 x=1,可得 m=(1,- ,2).同理可得平面 A1DA的一个法向量为 n=( ,-1,0),所以二面角 B- A1D-A的余弦值为 = (2)假设存在 F(x1,y1,z1),由 = ,
8、可得 F(-1, ,0).又 E(0,0,2),且 EF平面 A1BD,所以 m,即(1-,- ,2)=(1,- ,2).此时 无解,故不存在点 F,使 EF平面 A1BD. 当选在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AC平面 ABB1A1,BCAA1,AC=1,AA1=2, ACB=60时, 因为 AC平面 ABB1A1,AA1,AB平面 ABB1A1,所以 AA1AC,ABAC.又因为 AA1 BC,ACBC=C,AC,BC平面 ABC,所以 AA1平面 ABC.所以三棱柱 ABC-A1B1C1为直三 棱柱. 因为 AC=1,ACB=60,所以 AB= ,BC=2. (1)如图 3,以 A为原
9、点,以 AC,AB,AA1所在直线分别为 x轴、y轴、z 轴建立空间直角 坐标系,则 A(0,0,0),D(1,0,1),A1(0,0,2),B(0, ,0).所以 =(-1,0,1), =(1,- ,1), =(0,0,2).设平面 A1BD的一个法向量为 m=(x,y,z),则 则- - 图 3 令 x= ,可得 m=( ,2, ).同理可得平面 A1DA的一个法向量为 n=(0,1,0).所以二 面角 B-A1D-A的余弦值为 (2)假设存在 F(x1,y1,z1),由 = ,可得 F(1-,0,0).又 E ,2 ,且 EF平面 A1BD, 所以 m,即 - ,2 =( ,2, ),此
10、时 无解.故不存在点 F,使 EF平面 A1BD. 3.(1)证明 令 t=1+x,则 f(1+x)=1+ 可化简为 f(t)=1+ ,所以 f(x)=1+ , 所以 f( )=1+ =1+an.又 an+1=f( ), 所以 an+1=1+an,即 an+1-an=1.又 a1=2, 所以an是以 2 为首项,1为公差的等差数列, 所以 an=2+(n-1)1=n+1(nN*). (2)解 由(1)得 an=n+1(nN*),则 bn=(n+1) 2n-1(nN*), 所以 Tn=2 20+3 21+(n+1) 2n-1, 2Tn=2 21+3 22+(n+1) 2n, -得,-Tn=2+2
11、1+22+2n-1-(n+1) 2n=2+ - - - -(n+1) 2n =2-2+2n-n 2n-2n=-n 2n, 所以 Tn=n 2n(nN*). 通过计算可得,当 1n4时,Tn100. 所以,综上所述,当 Tn100时,n 的最小值为 5. 4.解 (1)由散点图判断,y=c+ 更适合作为该图书每册的成本费 y(单位:元)与印刷数量 x(单位:千册)的回归方程. (2)令 u= ,先建立 y关于 u 的线性回归方程,由于 - - - 8.96, 所以 =3.63-8.960.2691.22, 所以 y关于 u 的线性回归方程为 =1.22+8.96u, 则 y关于 x的回归方程为 =1.22+ (3)假设印刷 x千册,依题意得 9.22x- 1.22+ x80, 解得 x11.12, 所以至少印刷 11 120 册才能使销售利润不低于 80 000元.
