1、题型强化练题型强化练 4 解答题组合练解答题组合练(B) 1.(2020 山东泰安三模,18)ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2A+cos 2B+2sin Asin B=1+cos 2C. (1)求角 C. (2)设 D 为边 AB的中点,ABC 的面积为 2,求 CD2的最小值. 2.(2020 山东烟台一模,18)已知等差数列an的前 n项和为 Sn,bn是各项均为正数的等比数 列,a1=b4,b2=8,b1-3b3=4,是否存在正整数 k,使得数列 的前 k 项和 Tk ,若存在,求出 k的最小值;若 不存在,说明理由. 从S4=20,S3=2a3,3a
2、3-a4=b2这三个条件中任选一个,补充到上面问题中并作答. 3. (2020山东德州一模,19)如图,在四棱锥 P-ABCD中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD= AD,E,M 分别为棱 AD,PD的中点,PACD. (1)证明:平面 MCE平面 PAB; (2)若二面角 P-CD-A 的大小为 45,求直线 PA与平面 PCE 所成角的正弦值. 4.(2020 山东济南三模,20)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会购买一个面包.面包师 声称自己出售的每个面包的平均质量是 1 000 g,上下浮动不超过 50 g.这句话用数学语言来表达就是: 每个面包的质量服从期望为
3、1 000 g,标准差为 50 g的正态分布. (1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于 1 000 g 的个数为 ,求 的分布列和数学期望; (2)作为一个善于思考的数学家,庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25 天后,得到数据如下表, 经计算 25 个面包总质量为 24 468 g. 庞加莱购买的 25个面包质量的统计数据(单位:g) 981 972 966 992 1 010 1 008 954 952 969 978 989 1 001 1 006 957 952 969 981 984 952 959 987 1 006 1 000
4、 977 966 尽管上述数据都落在(950,1 050)上,但庞加莱还是认为面包师撒谎,根据所附信息,从概率角度说明理 由. 附:若 XN(,2),从 X的取值中随机抽取 25 个数据,记这 25个数据的平均值为 Y,则由统计学知识 可知:随机变量 YN , ; 若 N(,2),则 P(-+)=0.682 7,P(-2+2)=0.954 5,P(-30),则 b1= ,b3=8q, 于是 -38q=4,即 6q 2+q-2=0,解得 q= ,q=- (舍去). 若选:因为 b2=8,q= ,则 a1=b4=2.又 S4=4a1+ d=20,解得 d=2.所以 Sn=2n+ - 2=n2+n,
5、 则 于是 Tk= + ( - ) ( - )+( - )=1- , 令 1- ,解得 k15.因为 k 为正整数,所以 k的最小值为 16. 若选:因为 b2=8,q= ,则 a1=b4=2.又 3a1+ d=2(a1+2d),解得 d=2. 所以 Sn=2n+ - 2=n2+n, 则 于是 Tk= + = 1- + + =1- , 令 1- ,解得 k15. 因为 k为正整数,所以 k 的最小值为 16. 若选:因为 b2=8,q= ,则 a1=b4=2.又 3(a1+2d)-(a1+3d)=8,解得 d= 于是 Sn=2n+ - n 2+ n, , 于是 Tk= 1- + + - + =
6、 ( - - ) ( ), 令 Tk ,得 , 整理得 k2-5k-100,解得 k 或 k - , 因为 k为正整数,所以 k7,即 k的最小值为 7. 3.(1)证明 因为点 E为 AD 的中点,BC= AD=AE,ADBC, 所以四边形 ABCE 为平行四边形,即 ECAB. 因为 E,M分别为棱 AD,PD的中点,所以 EMAP. 又 EMEC=E,APAP=A,所以平面 MCE平面 PAB. (2) 解 如图所示. 因为 PAAB,PACD,AB与 CD为相交直线,所以 AP平面 ABCD,不妨设 AD=2, 则 BC=CD= AD=1. 以与 AD垂直的直线为 x轴,AD所在直线为
7、 y 轴,AP所在直线为 z 轴建立空间直角 坐标系,设 AP=h,A(0,0,0),D(0,2,0),C(-1,2,0),P(0,0,h),E(0,1,0), 从而 =(0,2,-h), =(1,0,0). 设平面 PCD的法向量记为 m=(x1,y1,z1), 则 可得 - 令 y1=1,则 z1= ,所以 m=( ) 又平面 ACD的法向量为(0,0,1),二面角 P-CD-A的大小为 45, 所以 ,解得 h=2,则 P(0,0,2), 所以 =(-1,1,0), =(0,1,-2), =(0,0,2). 设平面 PCE 的法向量为 n=(x2,y2,z2),则 可得 - - 令 y2
8、=2,则 x2=2,z2=1,所以 n=(2,2,1). 设直线 PA与平面 PCE 所成角为 ,则 sin =|cos |= 4.解 (1)由题意知, 的所有可能取值为 0,1,2. P(=0)= 0 2= ; P(=1)= ; P(=2)= 2 0= 所以 的分布列为: 0 1 2 P 所以 E()=0 +1 +2 =1(个). (2)记面包师制作的每个面包的质量为随机变量 X. 假设面包师没有撒谎,则 XN(1 000,502). 根据附,从 X的取值中随机抽取 25 个数据,记这 25个数据的平均值为 Y, 则 YN(1 000,102). 庞加莱记录的 25个面包质量,相当于从 X的取值中随机抽取了 25个数据,这 25个 数据的平均值为 Y= =978.721 000-210=980, 由附数据知,P(Y980)= - =0.022 750.05, 由附知,事件“Y980”为小概率事件,所以“假设面包师没有撒谎”有误, 所以庞加莱认为面包师撒谎.
