1、题型强化练题型强化练 7 模拟综合练模拟综合练(B) 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.(2020 山东淄博二模,1)已知集合 A=, -,B= - ,则 AB=( ) A.(-1,3) B.(-1,1) C.(-1,0)(0,1) D.(-1,0)(1,3) 2.(2020 山东聊城一模,3)“a2”是“xR,ax2+1 为真命题”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2020 山东德州二模,3)欧拉公式 ei=cos +isin ,把自然对数的底数 e,
2、虚数单位 i,三角函数 cos 和 sin 联系在一起,被誉为“数学的天桥”,若复数 z 满足(ei-z) i=1+i,则|z|=( ) A. B. C.2 D.3 4.已知x表示不超过实数 x 的最大整数,g(x)=x为取整函数,x0是函数 f(x)=ln x+x-4 的零点,则 g(x0)= ( ) A.4 B.5 C.2 D.3 5.(2020 福建南平三模,8)“一世”又叫“一代”.东汉 王充论衡 宜汉篇:“且孔子所谓一世,三十年也”, 清代 段玉裁说文解字注:“三十年为一世,按父子相继曰世”.而当代中国学者测算“一代”平均为 25 年.另根据某研究机构的研究报告显示,全球家族企业的平
3、均寿命其实只有 26年,约占总量的 28% 的家族企业只能传到第二代,约占总量的 14%的家族企业只能传到第三代,约占总量 4%的家族企业 可以传到第四代甚至更久远(为了研究方便,超过四代的可忽略不计).根据该研究机构的研究报告,可 以估计该机构所认为的“一代”大约为( ) A.23 年 B.22 年 C.21 年 D.20 年 6.(2020 山东、海南新高考联盟,6)设函数 f(x)= 则当 0xf(a)f(c) B.f(b)f(c)f(a) C.f(a)f(b)f(c) D.f(a)f(c)f(b) 二、选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合
4、 题目要求,全部选对的得 5分,部分选对的得 3分,有选错的得 0分. 9.(2020 海南海口高三模拟,11)小张上班从家到公司开车有两条线路,所需时间(分钟)随交通堵塞状况 有所变化,其概率分布如下表所示: 所需时间(分 钟) 30 40 50 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是( ) A.任选一条线路,“所需时间小于 50分钟”与“所需时间为 60 分钟”是对立事件 B.从所需的平均时间看,线路一比线路二更节省时间 C.如果要求在 45分钟以内从家赶到公司,小张应该走线路一 D.若小张上、下班走不同线路,则所需时间之和
5、大于 100分钟的概率为 0.04 10.定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的 a=(m,n),b=(p,q),令 ab=mq-np.下面说法正确 的是 ( ) A.若 a 与 b 共线,则 ab=0 B.ab=ba C.对任意的 R,有(a)b=(ab) D.(ab)2+(a b)2= 11.(2020 山东聊城一模,11)已知直线 l:2kx-2y-kp=0与抛物线 C:y2=2px(p0)相交于 A,B两点,点 M(-1,- 1)是抛物线 C的准线与以 AB 为直径的圆的公共点,则下列结论正确的是( ) A.p=2 B.k=-2 C.|AB|=5 D.MAB的面积为 5 12.已
6、知函数 f(x)=x2-2xcos x,则下列关于 f(x)的表述不正确的是( ) A.f(x)的图象关于 y 轴对称 B.f(x)的最小值为-1 C.f(x)有 4 个零点 D.f(x)有无数个极值点 三、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分. 13.(2020 北京东城二模,12)已知 cos 2= ,则 cos 2( )-2cos2(-)的值为 . 14.(2020 天津和平一模,13)函数 f(x)=xln x+a 的图象在 x=1处的切线被圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0截得弦 长为 2,则实数 a 的值为 . 15.(2020 山东聊城一模,14)若函数 f(x)
7、=sin x+cos x在0,a上单调递增,则实数 a的取值范围 为 . 16.(2020 山东潍坊三模,16)如图 1,四边形 ABCD是边长为 10的菱形,其对角线 AC=12,现将ABC沿 对角线 AC折起,连接 BD,形成如图 2 所示的四面体 ABCD,在图 2中,设棱 AC的中点为 M,BD的中点 为 N,若四面体 ABCD的外接球的球心在四面体的内部,则线段 MN长度的取值范围为 . 四、解答题:本题共 6小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知函数 f(x)= x 2+mx(m0),数列a n的前 n项和为 Sn.点(n,Sn)在 f(
8、x)图象上,且 f(x)的最小 值为- . (1)求数列an的通项公式; (2)数列bn满足 bn= - - ,记数列bn的前 n项和为 Tn,求证:Tn0时,g(x)1- - 2. 题型强化练 7 模拟综合练(B) 1.D 解析 0,解得 x1, 则 A=(-,0)(1,+). |x-1|2,-2x-12, 解得-1x3, 则 B=(-1,3). AB=(-1,0)(1,3). 2.B 解析 因为xR,ax2+1为真命题,又 x2+11对xR 恒成立, 所以“xR,ax2+1为真命题”等价于“a1”, 则“a2”不能推出“a1”,反之,“a1”能推出“a2”, 所以“a0恒成立,所以函数 f
9、(x)=ln x+x-4 在(0,+)内单调递增,又 f(2)=ln 2-20,且函数 f(x)图象连续不断, 所以函数 f(x)存在唯一的零点 x0(2,3),故 g(x0)=2. 5.B 解析 设“一代”为 x年,由题意得企业寿命的频率分布表为 家族企业寿 命 (0,x (x,2x (2x,3x (3x,4x 频率 54% 28% 14% 4% 又因为全球家族企业的平均寿命其实只有 26年,所以家族企业的平均寿命为 0.540.5x+0.281.5x+0.142.5x+0.043.5x=26,解得 x22. 6.D 解析 因为 f(x)= 则当 0x1, 故 f(f(x)=f( +1)=(
10、 +2)4,而( +2)4的展开式共有 5项, 故其中二项式系数最大值为 =6. 7.A 解析 设蒲的长度组成等比数列an,其中 a1=3,公比为 ,其前 n项和为 An. 莞的长度组成等比数列bn,其中 b1=1,公比为 2,其前 n项和为 Bn.则 An= . - / - ,Bn= - - 由题意可得 . - / - - - ,化为 2n+ =7,解得 2 n=6,2n=1(舍去). n= =1+ 2.6.估计 2.6 天蒲、莞长度相等. 8.A 解析 f(x)是 R 上的奇函数,满足 f(x+2e)=-f(x), f(x+2e)=f(-x). f(x)的图象关于直线 x=e对称. f(x
11、)在区间e,2e上单调递减, f(x)在区间0,e上单调递增. 令 y= ,则 y= - , y= 在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减. b= =c0, a-b= - - 0,a0,ac.即 0cabf(a)f(c). 9.BD 解析 对于选项 A,“所需时间小于 50分钟”与“所需时间为 60 分钟”是互斥而不对 立事件,故 A错误; 对于选项 B,线路一所需的平均时间为 300.5+400.2+500.2+600.1=39分钟, 线路二所需的平均时间为 300.3+400.5+500.1+600.1=40分钟, 所以线路一比线路二更节省时间,故 B正确; 对于选项 C,线路一所
12、需时间小于 45分钟的概率为 0.7,线路二所需时间小于 45分 钟的概率为 0.8,小张应该选线路二,故 C 错误; 对于选项 D,所需时间之和大于 100分钟,则线路一、线路二的时间可以为 (50,60),(60,50)和(60,60)三种情况,概率为 0.20.1+0.10.1+0.10.1=0.04,故 D正确. 10.ACD 解析 若 a 与 b 共线,则 ab,即 mq-np=0,则 ab=0,故 A正确; 由于 ab=mq-np,又 ba=np-mq,因此 ab=-ba,故 B不正确; 对于 C,因为 a=(m,n),所以(a)b=mq-np,又 (ab)=(mq-np)=mq-
13、np,所以 (a)b=(ab). 故 C 正确; 对于 D,(ab)2+(a b)2=m2q2-2mnpq+n2p2+(mp+nq)2=m2(p2+q2)+n2(p2+q2) =(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故 D正确. 11.ABC 解析 由题意知,抛物线 C 的准线为 x=-1,即 =1,解得 p=2,故选项 A正确; 因为 p=2,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x,其焦点为 F(1,0), 又直线 l:2kx-2y-kp=0,即 y=k(x-1),所以直线 l 恒过抛物线的焦点 F(1,0), 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),因为 A,B两点在抛物线 C
14、上, 联立方程 两式相减可得, - - =k, 设 AB的中点为 Q(x0,y0),且 2y0=y1+y2,则 y0= ,因为点 Q(x0,y0)在直线 l 上. 可得 x0= +1,所以点 Q( )是以 AB为直径的圆的圆心. 由抛物线的定义知,圆 Q的半径 r= +2, 因为|QM|2=( ) ( ) =r2,所以( ) ( ) ( ) , 解得 k=-2,故选项 B正确; 因为 k=-2,所以弦长|AB|=2r=2( )=2( )=5,故选项 C 正确; 因为 k=-2,所以直线 l 为 2x+y-2=0,由点到直线的距离公式可得, 点 M到直线 l 的距离为 d= - - - ,所以
15、SMAB= d |AB|= 5= , 故选项 D错误. 12.ABC 解析 对于 A,因为 f(x)=x2-2xcos x,f(-x)=x2+2xcos x,所以 f(-x)f(x),故 A错误;对 于 B,问题转化为 x2+1=2xcos x有解,即 x+ =2cos x(x0)有解,当 x0时, x+ min=2,当 x=1 时,2cos 12,同理,当 x0时,也不满足,故方程无解,故 B错误;对于 C,问题等价于 x=2cos x有三个解,画出 y=x,y=2cos x的图象(图略)可知,两图象只有一个交点,故 C 错误; 对于 D,f(x)=2x-2(cos x-xsin x)=2x
16、(1+sin x)-2cos x,结合题意 2x(1+sin x)-2cos x=0,即 x= ,而 - =tan ,所以 f(x)有无数个极值点,故选 ABC. 13.-1 解析 由 cos 2= ,得 2cos 2-1= ,即 cos 2= 所以 cos2( )-2cos2(-)=sin 2-2cos2=1-3cos2=1-3 =-1. 14.-6 或 2 解析 因为 f(x)=xln x+a,所以 f(x)=1+ln x, 代入切点横坐标 x=1,可知切线的斜率 k=f(1)=1. 又 f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以函数 f(x)=xln x+a的图象在 x=1 处的切线方
17、程 为 y=x+a-1.由圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0 可得圆心坐标为(1,-2),半径为 3, 所以圆心到切线的距离 d= 因为切线被圆 C 截得的弦长为 2,则( ) +12=32, 解得 a=-6或 a=2. 15 ( + 解析 由题意知,f(x)=sin x+cos x= sin( ), 所以- +2kx+ +2k,kZ,解得- +2kx +2k,kZ. 令 k=0,可得- x 所以*- +为函数 f(x)的一个单调递增区间, 因为函数 f(x)在0,a上单调递增,所以实数 a 的取值范围为( + 16. ( ,8) 解析 由四边形 ABCD 是边长为 10的菱形,其对角线
18、AC=12,可得 MA=6,MB=8. 设 O1是ABC 的外心,在中线 BM中,设过点 O1的直线 l1平面 ABC,易知 l1平面 BMD. 同理 O2是ACD的外心,在中线 DM上. 设过点 O2的直线 l2平面 ABC,易知 l2平面 BMD,由对称性易知 l1、l2的交点 O 在直线 MN 上, 根据外接球的性质,点 O为四面体 ABCD的外接球的球心, 则 O1A2=O1M2+MA2,且 O1A+O1M=BM=8, - =O 1M2+36,解得 O1M= 令BMN=,根据题意可知 BDCN,BDAN,且 CNAN=N, 则 BD平面 ACN,MN平面 ACN,则 BDMN, 0 ,
19、MN=BMcos =8cos 8. cos = ,OM MN=O1M BM= 8=14.又 OM14, 即 MN 综上可得, MN0,所以 m= ,即 Sn= n 2+ n,所以 当 n2 时,an=Sn-Sn-1=n;当 n=1 时,a1=1也符合上式,所以数列an的通项公式为 an=n. (2)证明 由(1)知 bn= - - - - , 所以 Tn=1- + - - =1- - , 由题知, - 0, 所以 Tn1. 18.解 (1)依题设易知APB 为以APB为直角的直角三角形,又已知,AB=2,PAB=, ( ), 所以 PA=2cos . 在PAC 中,AC=3,PAC=, 由余弦
20、定理得,PC2=PA2+AC2-2PA ACcos =4cos2+9-12cos2=9-8cos2. 所以 PC= - , ( ) (2)设四边形 ACDP 的面积为 S,S=SAPC+SPCD= AP AC sin + PC 2 = 2cos 3 sin + (9-8cos2) = sin 2+ (5-4cos 2) = sin 2-2cos 2+ (方法一)S= sin 2-2cos 2+ = sin(2-)+ = sin(2-)+ , 其中 cos = ,sin = ,为锐角.因为 sin = ,所以 0 又因为 0 ,所以- 2-,所以当 2-= 时,S最大值为 =5. (方法二)设
21、f()= sin 2-2cos 2+ ,00; 当 ( )时,2 ( ),tan 2-3cos 2,f()0, 又因为 f()在(0,0)上的图象是连续不断的,所以,函数 f()在(0,0)上单调递增.当 ( )时,2(20,),tan 2- ,所以 4sin 2-3cos 2,f()AB,得 0a ,PA= - ,所以 A(0,0,0),C(a,3- a,0),P(0,0, - ),D(0,3,0), 所以 =(a,-a,0), =(0,-3, - ). 设平面 PCD的一个法向量为 n=(x,y,z),则 - - - 设 y=1, 则 n=( - ), 又平面 CDE的一个法向量 m=(0
22、,0,1), 依题意,得 =|cos|= , 所以 - - ,解得 a=1,即 AB的长为 1. 故存在点 B,且 AB 的长为 1. 20.解 (1)由题知 y= - - (2)由题知 10 户家庭中年用气量超过 228立方米而不超过 348立方米的用户有 3户, 设取到年用气量超过 228 立方米而不超过 348立方米的用户数为 ,则 可取 0,1,2,3, 则 P(=0)= , P(=1)= , P(=2)= , P(=3)= 故的分布列为 0 1 2 3 P 所以 E()=0 +1 +2 +3 (3)由题知 P(k)= ( ) ( ) - (k=0,1,2,3,10). 由 - - -
23、 - - ( ) - ( ) - 解得 k ,kN*, 所以当 k=6 时,概率 P(k)最大, 所以 k=6. 21.解 (1)若选,设 P(x,y),根据题意, - - , 整理得 +y2=1,所以动点 P的轨迹方程为 +y2=1. 若选,设 P(x,y),直线 l 与圆相切于点 H,则|PA|+|PB|=d1+d2=2|OH|=42 =|AB|, 由椭圆定义知,点 P的轨迹是以 A,B为焦点的椭圆, 所以 2a=4,2c=|AB|=2 , 故 a=2,c= ,b=1,所以动点 P的轨迹方程为 +y2=1. 若选, 设 P(x,y),S(x,0),T(0,y),则 =3(*), 因为 ,所
24、以 整理得 代入(*)得 +y2=1, 所以动点 P的轨迹方程为 +y2=1. (2)(方法一)设 Q(0,y0),当 l斜率不存在时,y0=0; 当 l斜率存在时,设直线 l的方程为 y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2). 由 - 消去 y并整理得(1+4k 2)x2-8k2x+4(k2-1)=0. =(8k2)2-4(1+4k2) 4(k2-1)=48k2+160 恒成立,x1+x2= , 设线段 MN 的中点为 G(x3,y3),则 x3= ,y3=k(x3-1)=- 所以线段 MN 的垂直平分线的方程为 y+ =- ( - ) 令 x=0,得 y0= 当 k0
25、时, +4k-4,当且仅当 k=- 时取等号,所以- y00 时, +4k4,当且仅当 k= 时取等号,所以 00恒成立,y1+y2=- 设线段 MN 的中点为 G(x3,y3),则 y3= =- ,x3=my3+1= 所以线段 MN 的垂直平分线的方程为 y+ =-m( - ) 令 x=0,得 y0= 当 m0 时,m+ -4,当且仅当 m=-2时取等号,所以- y00 时,m+ 4,当且仅当 m=2 时取等号,所以 0y0 ; 综上,点 Q纵坐标的取值范围是*- + (方法三)设 Q(0,y0),当 l斜率不存在时,y0=0. 当 l斜率存在时,设 l斜率为 k,M(x1,y1),N(x2
26、,y2),线段 MN 的中点为 G(x3,y3), 由 得 - +(y1+y2)(y1-y2)=0. 所以 k= - - =- =- =- , 线段 MN 的垂直平分线的方程为 y-y3= (x-x3), 令 x=0,得 y0=-3y3. 由 k=- - ,得 =- x3=- ( - ) , 因为 0x31,所以 0 ,则- y30或 0y3 , 所以- y00 或 00恒成立, 函数 h(x)=(x+x2)ex-1在(1,+)上单调递增. ah(1)=2. 实数 a的取值范围是(-,2. (2)证明 当 a=0 时,g(x)= f(x)-x2-x=ex-x2-x. g(x)=ex-2x-1. 令 u(x)=g(x)=ex-2x-1, 则 u(x)=ex-2,可得 x=ln 2时,函数 u(x)取得极小值, g(ln 2)=u(ln 2)=1-2ln 20. 存在 x0 ln 2,1+ ln 2 ,使得 g(x0)= -2x0-1=0, =2x0+1. 由单调性可得,当 x=x0时,函数 g(x)取得极小值,即最小值, g(x)g(x0)= -x0=2x0+1- -x0=- +x0+1=- x0- 2+ 由 x0 ln 2,1+ ln 2 ,可得函数 y=g(x0)单调递减, 故 g(x)g(x0)- 1+ ln 2- 2+ 1- - 2. 当 x0 时,g(x)1- - 2.
