1、专题突破练专题突破练 6 热点小专题一、函数的零点及函数热点小专题一、函数的零点及函数 的应用的应用 一、单项选择 1.(2020 山东济南三模,2)函数 f(x)=x3+x-4 的零点所在的区间为( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 2.(2019 山东莱芜模拟)函数 f(x)=ex+ln x 的零点所在的大致区间是( ) A.(-1,0) B. 0, C. ,1 D. 1, 3.(2020 山东烟台模拟,6)函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,
2、2) 4.已知 f(x)=|ex-1|+1,若函数 g(x)=f(x)2+(a-2)f(x)-2a 有三个零点,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 5.若 x1是方程 xex=1 的解,x2是方程 xln x=1 的解,则 x1x2等于( ) A.e B.1 C. D.-1 6.(2020 河南实验中学 4月模拟,12)已知函数 f(x)=- - 若关于 x 的不等式f(x)2+af(x)0时,f(x)= - - - 则函数 g(x)=xf(x)-1 在(- 6,+)上的所有零点之和为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 二
3、、多项选择题 8.已知函数 f(x)=2x+log2x,且实数 abc0,满足 f(a)f(b)f(c)0,若实数 x0是函数 y=f(x)的一个零点,那 么下列不等式中可能成立的是( ) A.x0a C.x0b D.x00时,f(x)= - - - 以下说法正确 的是( ) A.当 20,给出下列命题,其中所有正确命题为( ) A.f(3)=0 B.直线 x=-3 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴 C.函数 y=f(x)在-9,-6上为增函数 D.函数 y=f(x)在-9,9上有四个零点 三、填空题 12.已知函数 f(x)= - 有且只有一个零点,则实数 a的取值范围是 . 13.(
4、2020 江苏泰州中学三月模拟,8)已知函数 f(x)= 若对任意实数 k1,g(x)=f(x)-kx 都有 零点,则实数 a的取值范围是 . 14.(2020 山东济宁 5 月模拟,16)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,xR 都有 f(2-x)=f(2+x),且当 x0,2 时,f(x)=2x-2.若函数 g(x)=f(x)-loga(x+1)(a0,a1)在区间(-1,9内恰有三个不同零点,则实数 a 的取值范 围是 . 15.(2020 天津和平区一模,15)已知函数 f(x)= - - - 则 = .若方程 f(x)=x+a 在区间-2,4恰有三个不等实根,则实数 的取值范围为
5、. 专题突破练 6 热点小专题一、函数 的零点及函数的应用 1.C 解析 因为 f(x)=x3+x-4 是 R 上的增函数,f(1)=-20,故函数 f(x)的零点在区 间(1,2)内. 2.B 解析 因为 f = -ln 20,而 f = -ln 80,所以必在 内有一零点.故选 B. 3.C 解析 显然函数 f(x)=2x- -a在区间(1,2)内连续,因为 f(x)的一个零点在区间(1,2)内,所 以 f(1)f(2)0,即(2-2-a)(4-1-a)0,解得 0a3,故选 C. 4.A 解析 g(x)=(f(x)-2)(f(x)+a)=0有三个零点,由 f(x)-2=0,得|ex-1|
6、=1,由函数 h(x)=|ex-1| 的图象易知 f(x)-2=0 有一个根, 故 f(x)+a=0有两个根,代入 f(x)的解析式,得到|ex-1|=-a-1, 设 m(x)=-a-1,如图可知,当 0-a-11时,h(x)与 m(x)的图象有两个交点,满足题意,解 得 a 的范围为(-2,-1),故选 A. 5.B 解析 考虑到 x1,x2是函数 y=ex、函数 y=ln x与函数 y= 的图象的公共点 A,B的横 坐标,而 A x1, ,B x2, 两点关于 y=x对称,所以 kAB=-1, - - =-1,化简得 x1x2=1. 6.D 解析 函数 f(x)的图象如图所示, 由f(x)
7、2+af(x)0,得 f(x)f(x)+a0时,-af(x)0, 由于关于 x的不等式f(x)2+af(x)0恰有 1个整数解,因此其整数解为 3, 又 f(3)=-9+6=-3,-a-3,-af(4)=-8,则 3a8. 当 a=0 时,f(x)20,则 a=0 不满足题意; 当 a0 时,0f(x)-a,当 0-a1时,0f(x)1 时,0f(x)-a,至少有一个整数解, 综上,实数 a的最大值为 8,故选 D. 7.B 解析 f(x)是奇函数,g(-x)=(-x)f(-x)-1=(-x)-f(x)-1=xf(x)-1=g(x),g(x)是偶函数, g(x)的零点都是以相反数的形式成对出现
8、的,g(x)在-6,6上所有的零点的和为 0, 函数 g(x)在-6,+)上所有的零点的和,即函数 g(x)在(6,+)上所有的零点之和. 由 02 时,f(x)= f(x-2), 函数 f(x)在(2,4上的值域为* +,当且仅当 x=4 时,f(x)= ,函数 f(x)在(4,6上的值 域为* +, 当且仅当 x=6 时,f(x)= ,函数 f(x)在(6,8上的值域为* +, 当且仅当 x=8 时,f(x)= , 函数 f(x)在(8,10上的值域为* +,当且仅当 x=10时,f(x)= ,故 f(x) 在(8,10上 恒成立,g(x)=xf(x)-1在(8,10上无零点, 同理 g(
9、x)=xf(x)-1在(10,12上无零点,依此类推,函数 g(x)在(8,+)无零点, 综上函数 g(x)=xf(x)-1 在-6,+)上的所有零点之和为 8,故选 B. 8.ABC 解析 由函数的单调性可得,函数 f(x)=2x+log2x在(0,+)上为增函数, 由 f(a)f(b)f(c)0,则 f(a),f(b),f(c)为负数的个数为奇数,对于 A,B,C 选项可能成立, 对于 D,当 x00,f(b)0,f(c)0,不合题意,故选 ABC. 9.AD 解析 对 A,当 2x4时,00 时,有 5个交点,根据对称性可得 x0 成立,故 f(x)在0,3上为增函数,又 f(x)为 偶
10、函数,故在-3,0上为减函数,又周期为 6.故在-9,-6上为减函数,C错误; 函数 f(x)周期为 6,故 f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,故 y=f(x)在-9,9上有四个零点,D正确. 故选 ABD. 12.a=0 或 a1 解析 当 a0时,函数 y=ax-3(x0)必有一个零点,又因为 x=- 0,解得 a1;若 a=0时,f(x)= - 恰有一个零点;当 a0 时, 则 f(x)=ax-30无零点,若 x0,则 f(x)=ax2+2x+a,此时,f(x)恒小于 0,所以当 a1. 13 ( - 解析 如下图所示,点 M的坐标为(a,a+2),直线 OM的斜率为 令
11、g(x)=0,得 f(x)=kx, 原问题等价于过原点斜率大于 1 的任意直线与图象有交点. 设过原点与 y=3x的图象相切的直线的切点为(x0,y0), 则切线的斜率为 ln 3.由 (ln 3)x0,得 x0= , 即切线的斜率为 ln 3= ln 3= ln 3=eln 3. 讨论:对于 k ( +,一定与射线 y=x+2,xa 相交,即对 k ( +,g(x)恒有零点; 对于 k ( ),必须与曲线段 y=3x,0xa 相交,所以 eln 3,解得 01 时, 解得 a ; 当 0a1时, - - 解得 a 15.81 (- - ) 1 解析 f(x)= - - - f(3)=2f(1
12、)=4f(-1)=41-|-1+1|=4; logf(3)256=log444=4, =34=81. 若 x(0,2,则-2x-20, f(x)=2f(x-2)=2(1-|x-2+1|)=2(1-|x-1|),x(0,2. 若 x(2,4,则 0x-22, f(x)=2f(x-2)=4(1-|x-2-1|)=4(1-|x-3|),x(2,4. f(1)=2,f(2)=0,f(3)=4. 设 y=f(x)和 y=x+a,则方程 f(x)=x+a 在区间-2,4内有 3个不等实根,等价于函数 y=f(x)和 y=x+a 在区间-2,4内有 3 个不同的交点, 作出函数 f(x)和 y=x+a 的图象,如图所示. 当直线经过点 A(2,0)时,两个图象有 2个交点,此时直线 y=x+a 为 y=x-2,当直线经过 点 O(0,0)时,两个图象有 4 个交点,此时直线 y=x+a 为 y=x, 当直线经过点 B(3,4)和 C(1,2)时,两个图象有 3个交点,此时直线 y=x+a 为 y=x+1, 要使方程 f(x)=x+a 在区间-2,4内恰有 3个不等实根,则 a=1或-2a0.故实数 的取值范 围为1 (- - )
