1、2021 年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合 （考察证明、长度与面积、动点问题等）（二） 1如图 1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点， BAO的角平分线交y轴于点D点C为直线l上一点，以AC为直径的G经过点D，且 与x轴交于另一点E （1）求出G的半径r，并直接写出点C的坐标； （2）如图 2，若点F为G上的一点，连接AF，且满足FEA45，请求出EF的长？ 2如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4， 0），点C的坐标为（4，0），点P在AB上，连结CP与y轴交于点D，连结BD过P， D，B三点作Q与y轴的另一
2、个交点为E，延长DQ交Q于点F，连结EF，BF （1）求直线AB的函数解析式； （2）求证：BDEADP； （3）设DEx，DFy请求出y关于x的函数解析式 3如图，等边ABC内接于O，P是上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过 点C作CMBP交PA的延长线于点M （1）求APC和BPC的度数试； （2）探究PA、PB、PM之间的关系； （3）若PA1，PB2，求四边形PBCM的面积 4如图 1，已知A、B、D、E是O上四点，O的直径BE2，BAD60A为的 中点，延长BA到点P使BAAP，连接PE （1）求线段BD的长； （2）求证：直线PE是O的切线 （3） 如图 2， 连PO交
3、O于点F， 延长交O于另一点C， 连EF、EC， 求 tanECF的值 5如图所示，线段AC是O的直径，过A点作直线BF交O于A、B两点，过A点作FAC 的角平分线交O于D，过D作AF的垂线交AF于E （1）证明DE是O的切线； （2）证明AD22AEOA； （3）若O的直径为 10，DE+AE4，求AB 6如图 1，ABC内接于O，过C作射线CP与BA的延长线交于点P，BACP （1）求证：CP是O的切线； （2）若PC4，PA2，求AB的长； （3）如图 2，D是BC的中点，PD与AC交于点E，求证： 7 定义： 如果一个点能与另外两个点构成直角三角形， 则称这个点为另外两个点的勾股点 如
4、 矩形OBCD中，点C为O，B两点的勾股点，已知OD4，在DC上取点E，DE8 （1）如果点E是O，B两点的勾股点（点E不在点C），试求OB的长； （2）如果OB12，分别以OB，OD为坐标轴建立如图 2 的直角坐标系，在x轴上取点F （5，0）在线段DC上取点P，过点P的直线ly轴，交x轴于点Q设DPt 当点P在DE之间，以EF为直径的圆与直线l相切，试求t的值； 当直线l上恰好有 2 点是E，F两点的勾股点时，试求相应t的取值范围 8如图，AB是O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D， 使APDP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC （1）求证：AD； （2）
5、填空：若AB10cm，当AP cm时，四边形AOCP是菱形； 当四边形OBCP是正方形时，DPC 9如图，在矩形ABCD中，BC60cm动点P以 6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿AD 的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿ABC的方向匀速运动P、Q两点同时 出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动设运动的时间为t（s），PDQ的面 积为S（cm2），S与t的函数图象如图所示 （1）AB cm，点Q的运动速度为 cm/s； （2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以 4cm/s的速度沿CD的垂直平 分线向左匀速运动，以点O为圆心的O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点
6、D时， 运动同时停止 当点O在QD上时，求t的值； 当PQ与O有公共点时，求t的取值范围 10定义：已知点O是三角形的边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于 它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点O叫做该三角形的等距点 （1）如图 1，ABC中，ACB90，AC3，BC4，O在斜边AB上，且点O是ABC 的等距点，试求BO的长 （2）如图 2，ABC中，ACB90，点P在边AB上，AP2BP，D为AC中点，且CPD 90 求证：CPD的外接圆圆心是ABC的等距点； 求 tanPDC的值 参考答案 1解：（1）连接GD，EC OAB的角平分线交y轴于点D， GADDAO， GDGA
7、， GDAGAD， GDADAO， GDOA， BDGBOA90， GD为半径， y轴是G的切线； A（2，0），B（0，）， OA2，OB， 在 RtAOB中，由勾股定理可得：AB 设半径GDr，则BGr， GDOA， BDGBOA， ， r2（r）， r， AC是直径， AECAOB90， ECOB， ， ， EC2，AE， OE2， C的坐标为（，2）； （2）过点A作AHEF于H，连接CE、CF， AC是直径， AC2 AECAFC90 FEA45 FCA45 在 RtACF中， 由勾股定理可知：AFCF， 设OEa AE2a CEOB ACEABO ， ， CE2， CE2+AE2A
8、C2， 22+（2a）2 a或a（不合题意，舍去） AE 在 RtAEH中， 由勾股定理可得，AHEH， 在 RtAEH中， 由勾股定理可知：FH2AF2AH2（）2（）22， FH， EFEH+FH 2解：（1）设直线AB的函数解析式为ykx+4， 将点B（4，0）代入ykx+4， 得：4k+40， 解得：k1， 则直线AB的函数解析式为yx+4； （2）由已知得：OBOC，BODCOD90， 又ODOD， BODCOD（SAS）， BDOCDO， CDOADP， BDEADP； （3）如图 2，连结PE， ADP是DPE的一个外角， ADPDEP+DPE， BDE是ABD的一个外角， BD
9、EABD+OAB， ADPBDE，DEPABD， DPEOAB， OAOB4，AOB90， OAB45， DPE45， DFEDPE45， DF是Q的直径， DEF90， DEF是等腰直角三角形， DFDE， 即yx 3解：（1）ABC是等边三角形， ABCBACACB60， ， APCABC60，BPCBAC60； （2）CMBP， BPM+M180，PCMBPC60， M180BPM180（APC+BPC）18012060， MBPC60， PCMPCAACBPCA，即ACMBCP， 又BCAC， ACMBCP（AAS）， AMBP， PMPA+AM， PMPA+PB； （3）ACMBCP
10、， CMCP， 又M60， PCM为等边三角形， CMCPPM1+23， 如图，过点P作PHCM于H， 在 RtPMH中，MPH30， PH， S梯形PBCM（PB+CM）PH（2+3） 4解：（1）如图 1，连接DE， BE是直径， BDE90， ， BEDBAD60， 在 RtBDE中， sinBED， BD23； （2）A为的中点， ， ABAE， BE为O的直径， BAE90， ABE45， BAPA， AE垂直平分BP， EPEB， PABE45， PEB90， PE是O的切线； （3）由（2）知，EPEB2， OEBE， 在 RtOPE中， OP， PFPOOF， OFOE， OF
11、EOEF， CF为O直径， FEC90， C+OFE90， 又FEP+OEF90， CFEP， 又FPEEPC， FPEEPC， ， 在 RtCFE中，tanECF 5（1）证明：连接OD， DE为O切线； （2）证明：连接CD AC为O的直径，DEAF ADC90，DEA90， ADCAED， 在ACD和ADE中，DACEAD，ADCAED， ACDADE， AD2AEAC AC2OA， AD22AEOA； （3）解： 过点O作OMAB于点M， 则四边形ODEM为矩形， 设DEOMx，则AE4x， AM5（4x）1+x， 在 RtAMO中，OA2AM2+OM2，即：（1+x）2+x252 解
12、得：x13，x24（舍去） AM4 OMAB，由垂径定理得：AB2AM8 6 （1）证明：如图 1，连结OA、OC，则OAOC OACOCA AOC+2OCA180 由圆周角定理，得AOC2B 2B+2OCA180 B+OCA90 BACP ACP+OCA90，即OCP90 CP是O的切线； （2）BACP，ACPCPB， APCCPB ， PB8 ABPBPA826； （3）如图 2，延长ED至F，使DFED，连结BF， 易得BDFCDE， BFCE，CEDF BFEC， 由（2）得，PB， ， 7解：（1）如图 1，连接OE，BE， 若点E是O，B两点的勾股点， 则OEB90， OED+C
13、EB90， OED+DOE90， DOECEB， 又CODE， BCEEDO， ， 即， CE2， OBDE8+210； （2）如图 21，设以EF为直径的圆的圆心为Q，与直线l的切点为M，直线l与OB 的交点为H，连接QM， 则FME90，QMPH， HMF+PME90， PME+PEM90， HMFPEM， 又MHFEPM90， MHFEPM， ， QMPH，ly轴， HFMQPE， ， FQQE， HMMP2， 又DPOHt，DE8，OF5， HF5t，PE8t， ， 解得，t14，t29（点P在DE之间，舍去）， t4； 如图 22，当直线l在Q的右侧与Q相切时， 由知MHFEPM，
14、， 此时，HMMP2，HFt5，PEt8， ， 解得，t14，t29， 当t4 或 9 时直线l与Q相切， 点E，F以及直线l上的点均可为直角三角形的直角顶点， 当直线l上恰好有 2 点是E，F两点的勾股点时， 相应t的取值范围为 0t4 或t5 或t8 或 9t12 8（1）证明：如图，连接PB， AB是O的直径， BPAD， APPD， BP是线段AD的垂直平分线， BABD， AD； （2）解：APPD，BCDC， ， AB是O的直径， ， OAPC， 四边形AOCP是平行四边形， 当时，平行四边形AOCP是菱形， 故答案为：5； 当四边形OBCP是正方形时，POB90， OAOP， O
15、PAA45POB， PCAO， DPCA45， 故答案为：45 9解：（1）设点Q的运动速度为acm/s， 则由图可看出， 当运动时间为 5s时， PDQ有最大面积 450， 即此时点Q到达点B处， AP6t， SPDQ（6065）5a450， a6， AB5a30， 故答案为：30，6； （2）如图 1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时， QCAB+BC6t906t，OF4t， OFQC且点F是DC的中点， OFQC， 即 4t（906t）， 解得，t； 设AB，CD的中点分别为E，F，O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QHAD 于H， 如图 21，当O第一次与PQ相
16、切于点M时， AP6t，AB+BQ6t，且BQAH， HPQHAB30， QHP是等腰直角三角形， CGDNOF4t， QMQG904t6t9010t，PMPN604t6t6010t， QPQM+MP15020t， QPQH， 15020t30， t； 如图 22，当O第二次与PQ相切于点M时， AP6t，AB+BQ6t，且BQAH， HPQHAB30， QHP是等腰直角三角形， CGDNOF4t， QMQG4t（906t）10t90， PMPN4t（606t）10t60， QPQM+MP20t150， QPQH， 20t15030， t， 综上所述，当PQ与O有公共点时，t的取值范围为：t
17、10解：（1）CB4，AC3，则AB5， 当OHBC时， 只有OHOA一种情况，设OBx， 则OHOA5x， 则 sinB，解得：x； 当OHAC时， 同理可得：OHOB，解得：x， 综上，OB或； （2）设CPD的外接圆圆心为点O，连接OP、OB，则ODOPOC， 设圆的半径为R，AP2BP2a，则AD2R，ODR， 则，故PDOB， 故BOPDPO，COBODP， 而ODPOPD， POBCOB，而BOBO，OPOC， BCOBPO（SAS）， BPO90，即OPAB，且OPOC， 故：CPD的外接圆圆心是ABC的等距点； BCOBPO（SAS）， BCBPa，而AB3a，AC4R， 故（3a）2（4R）2+a2，解得：a， tanPDCtanCOB
