1、考点考点1 不等式的概念和性质不等式的概念和性质 1.(多选题)(2020新高考,11,5分)已知a0,b0,且a+b=1,则 ( ) A.a2+b2 B.2a-b C.log2a+log2b-2 D.+ 1 2 1 2 ab2 答案答案 ABD a0,b0,a+b=1,0a1,0b1,b=1-a.ab=. 对于A选项,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2+,当且仅当a=b=时,取等号,A正确; 对于B选项,a-b=a-(1-a)=2a-1, 0a1,-12a-11,22a-1成立,B正确; 对于C选项,00,b0, log2a+log2b=log2(ab)log2=-2,C不
2、正确; 对于D选项,(+)2=a+b+2=1+21+a+b=2,+成立,D正确. 2 2 ab 1 4 2 1 - 2 a 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 abababab2 2.(2018天津文,5,5分)已知a=log3,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为( ) A.abc B.bac C.cba D.cab 7 2 1 3 1 4 1 3 g 1 5 答案答案 D b=log33=1, c=lo=log35log3=a,cab.故选D. 1 3 1 4 0 1 4 7 2 1 3 g 1 5 7 2 方法总结方法总结 比较对数式大小的方法: 若底数为同一常数
3、,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需要对底数 进行分类讨论;若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;若底数与 真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 3.(2017山东理,7,5分)若ab0,且ab=1,则下列不等式成立的是 ( ) A.a+log2(a+b) B.log2(a+b)a+ C.a+log2(a+b) D.log2(a+b)a+b0,ab=1,所以a=且a1,0b1,所以2,又a+b=a+2,所以log2(a +b)1, 又a+a+blog2(a+b),所以log2(a+b)b0,且ab=1,可取a=2,b=. 则a+=4,=
4、,log2(a+b)=log2=log2(1,2),log2(a+b)a+.故选B. 1 2 1 b2a b 2 1 2 2 1 8 1 2 2 5 22a b1 b 4.(2019北京理,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促 销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支 付款的80%. 当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元; 在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总
5、价的七折,则x的最大值为 . 答案答案 130 15 解析解析 本题通过生活中常见的网络购物,考查函数的实际应用,利用促销返利考查学生应用数学知 识解决实际问题的能力.让学生通过分析,把实际问题模型化,构建不等式,体现了社会生活与学习 的密切联系. x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元. 设每笔订单金额为m元,当m120时,李明得到的金额为m80%元,符合要求. 当m120时,根据题意得(m-x)80%m70%, 所以x,而m120, 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x,而=15,x15. 所以x的最大值为15. 8
6、 m min 8 m min 8 m 解题关键解题关键 正确理解“每笔订单得到的金额”与“促销前总价的七折”是解题关键. (2016浙江理,8,5分)已知实数a,b,c.( ) A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|1,则a2+b2+c2100 B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|1,则a2+b2+c2100 C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|1,则a2+b2+c2100 D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|1,则a2+b2+c2100 以下为教师用书专用 答案答案 D 取a=10,b=10,c=-110,可排除选项A;取a=10,b=-100,c=0,可排除选项B;取a=10
7、,b=-10,c=0, 可排除选项C.故选D. 技巧点拨技巧点拨 本题给学生的感觉是选择题的压轴题,很难,但用举反例的方法,取特殊值排除错误选 项则较为便捷. 1.(2020浙江,9,4分)已知a,bR且ab0,对于任意x0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)0,则( ) A.a0 C.b0 考点考点2 不等式的解法不等式的解法 答案答案 C 令x=0,则ab(-2a-b)0,即ab(2a+b)0.若a0,则b(2a+b)0,即-2ab0;若a0,则b(2a+b) 0,即b0,所以(x-t+2a) (x-t)0,解得xt或xt-2a,即在(t,t-2a)上原不等式不成立,不符合题意.综上所
8、述,b0.故选C. 2.(2019天津文,10,5分)设xR,使不等式3x2+x-20成立的x的取值范围为 . 答案答案 2 -1, 3 解析解析 3x2+x-20(x+1)(3x-2)0,所以-1x. 2 3 方法总结方法总结 解一元二次不等式的步骤 (1)通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且不等号右边为0); (2)求出相应的一元二次方程的根(有三种情况:=0,0); (3)画出对应二次函数图象的草图; (4)结合图象求不等式的解集. 考点考点1 不等式的概念和性质不等式的概念和性质 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2018湖南衡阳一模,4)若a,b,c
9、为实数,且ab0,则下列结论正确的是( ) A.ac2bc2 B. D.a2abb2 1 a 1 b b a a b 答案答案 D 选项A,c为实数,取c=0,得ac2=0,bc2=0,此时ac2=bc2,故选项A不正确;选项B,-= ,ab0,ab0,0,即,故选项B不正确;选项C,ab0,取a=-2,b=-1,则= =,=2,此时,故选项C不正确;选项D,ab0,a2ab,又ab-b2=b(a -b)0,abb2,故选项D正确,故选D. 1 a 1 b -b a ab -b a ab 1 a 1 b b a -1 -2 1 2 a b b a a b 2.(2019福建厦门一模,4)已知a
10、b0,x=a+beb,y=b+aea,z=b+aeb,则( ) A.xzy B.zxy C.zyx D.yz1+2e2+e,即xzb0时,eaeb,aeaaebbeb,b+aeab+aebb+beb,yz,z-x=(b-a)+(a-b)eb=(a-b)(eb-1)0, zx.xz0且a+b0 B.ab0 C.ab0且a+b0 D.ab0且a+b1, ab0.故选B. 4.(多选题)(2020海南三模,9)设a,b,c为实数且ab,则下列不等式一定成立的是( ) A. B.2 020a-b1 C.ln aln b D.a(c2+1)b(c2+1) 1 a 1 b 答案答案 BD 本题考查不等式的
11、概念和函数的基本性质. 对于A,若ab0,则0,所以2 020a-b1,故B正确;对于C,函数y=ln x的 定义域为(0,+),而a,b不一定是正数,所以C错误;对于D,因为c2+10,所以a(c2+1)b(c2+1),所以D正 确. 1 a 1 b 1.(2020广东佛山质检一,2)已知集合A=x|x2-x-21,则AB=( ) A.(-2,-1) B.(-1,1) C.(0,1) D.(1,2) 考点考点2 不等式的解法不等式的解法 答案答案 D 本题考查了一元二次不等式和绝对值不等式的解法,以及集合交集的运算,考查学生的 数学运算的核心素养. 集合A=x|x2-x-20=x|-1x1=
12、x|x1,AB=(1,2).故选D. 2.(2020山东全真模拟,5)若不等式ax2+bx+c0的解集是(-4,1),则不等式b(x2-1)+a(x+3)+c0的解集为 ( ) A. B.(-,1) C.(-1,4) D.(-,-2)(1,+) 4 -,1 3 4 , 3 答案答案 A 根据题意,若不等式ax2+bx+c0的解集是(-4,1),则-4与1是方程ax2+bx+c=0的根,且a0可化为3(x2-1)+(x+3)-40,整理得3x2+x- 40,即(3x+4)(x-1)0,解得-x0的解集为.故选A. (-4)1-, (-4) 1, b a c a 4 3 4 -,1 3 3.(20
13、19广东梅州3月模拟,6)关于x的不等式x2-(m+2)x+2m0的解集中恰有3个正整数,则实数m的取 值范围为( ) A.(5,6 B.(5,6) C.(2,3 D.(2,3) 答案答案 A 关于x的不等式x2-(m+2)x+2m0可化为(x-m) (x-2)0,该不等式的解集中恰有3个正整 数,不等式的解集为x|2xm,且5y0,则( ) A.cos x-cos y0 B.cos x+cos y0 C.ln x-ln y0 D.ln x+ln y0 B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:20分钟 分值:35分) 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 答案答案 C 根据题意,依次分
14、析选项: 对于A,y=cos x在(0,+)上不是单调函数,故cos x-cos y0不一定成立,A错误; 对于B,当x=,y=时,cos x+cos y=-1y0,则ln xln y,必有ln x-ln y0,C正确; 对于D,当x=1,y=时,ln x+ln y=ln0的解集为R,则实数a的取值范围是( ) A.(-16,0) B.(-16,0 C.(-,0) D.(-8,8) 答案答案 D 不等式4x2+ax+40的解集为R,=a2-4440,解得-8ab0,则下列不等关系中错误的是( ) A. C.a+b+ D.- b a 4 4 b a 2 ab lglg 2 ab 1 b 1 a
15、ab-a b 答案答案 D ab0,-=0,A正确; lglg=(lg a+lg b),B正确; a+-=(a-b)0,C正确; 当a=4,b=1时,满足ab0,但-=-=11,0mn1 B. C.m-plognp p m n - - p m p n m n 答案答案 D 对于选项A,由0mn1可得01,所以00,p-n0, 所以等价于n(p-m)m(p-n), 可得nm,不合题意,故B不正确; 对于选项C,由于函数y=x-p在(0,+)上为减函数, 且0mnn-p,故C不正确; 对于选项D,结合对数函数的图象可得当p1,0mnlognp,故D正确.故选D. m n p m n - - p m
16、 p n m n 5.(2020山东泰安一中月考,6)设m为实数,若函数f(x)=x2-mx+2在区间(-,2)上是减函数,对任意的x1, x2,总有|f(x1)-f(x2)|4,则m的取值范围为( ) A.4,6 B.(4,6) C.(4,6 D.4,6) 1,1 2 m 答案答案 A 本题主要考查二次函数的单调性及函数的最值. 函数f(x)=x2-mx+2的对称轴为直线x=, 由其在区间(-,2)上是减函数,可得2,可得m4; 因为m4,且+1-1, 故当x1,x2时, f(x)max=f(1)=3-m, f(x)min=f=-+2, 由|f(x1)-f(x2)|4,可得3-m-4, 化简
17、可得m2-4m-120,可得-2m6, 综上可得4m6.故选A. 2 m 2 m 2 m 1,1 2 m 2 m 2 m 2 m 1,1 2 m 2 m 2 4 m 2 -2 4 m 思路分析思路分析 由函数f(x)=x2-mx+2在区间(-,2)上是减函数可得m4,由x1,x2,可得f(x)在此 区间的最大、最小值,解|f(x1)-f(x2)|4,即可得m的取值范围. 1,1 2 m 6.(2018湘东4月联考,11)若xR,函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1与g(x)=mx的值至少有一个为正数,则实 数m的取值范围为( ) A.(0,4 B.(0,8) C.(2,5) D.(-,0
18、) 答案答案 B 当m0.易知f(x)的图象的对称轴为直线x=, f(0)=10,当0,即0m4时,函数f(x)的图象与x轴 的交点都在y轴右侧,如图1所示,符合题意; 当0,即m4时,要满足题意,需f(x)的图象在x轴上方,如图2所示,则=4(4-m)2-8m=4(m-8)(m-2) 0,则4m8. 综上可得0m0时满足条件的范围,m0时,要讨论f(x)的图 象相对g(x)的图象的位置,此时应从f(x)图象的对称轴入手,结合具体图象求解. 7.(2020江苏扬州江都大桥高级中学月考,15)已知1+2x+4x a0对一切x(-,1恒成立,则实数a的取 值范围是 . 二、填空题(共5分) 答案答
19、案 3 -, 4 解析解析 本题考查二次函数的性质、不等式恒成立问题,考查转化思想,考查学生解决问题的能力. 1+2x+4x a0可化为a-=-2-2x-2-x,令t=2-x, 由x(-,1,得t, 则a-t2-t,-t2-t=-+在上单调递减, 当t=时,-t2-t取得最大值,为-, 所以a. 12 4 x x 1 , 2 2 1 2 t 1 4 1 , 2 1 2 3 4 3 -, 4 1.(2020 5 3原创题)已知ab,cd0,则下列不等式成立的是( ) A. B. D.acbd 1 a 1 b d c 4 4 d c a c b d 答案答案 B 由题意知:取a=1,b=-2,显然
20、满足ab,但,故A错误;-= 0,则有,故B正确;取a=2,b=1,c=2,d=1,满足ab,cd0,此时=1,故C错误;取a=- 1,b=-2,c=2,d=1,满足ab,cd0,此时ac=bd,故D错误.故选B. 1 a 1 b 4 4 d c d c (4)- (4) (4) c dd c c c 4( - ) (4) c d c c 4 4 d c d c a c b d 命题说明命题说明 本题主要考查不等式的性质,比较式子的大小,命题立足于基础,注重学生的基本技能, 注重贴近教材,注重基本的数学思想方法.本题解法较多,可以利用不等式的性质或者作差比较法 得出结论.因为是选择题,也可以取
21、特殊值排除,快速得出结论,考查基本分析判断能力,属于基础题. 素养解读素养解读 本题考查数学运算和逻辑推理的核心素养,以及转化与化归思想的应用. 2.(2020 5 3原创题)已知函数f(x)=则满足f(x)+f(x+1)1的x的取值范围为( ) A.x-2 C.x0 D.-2x1时, f(x)+f(x+1)=log2x+2+log2(x+1)+21恒成立; 当01恒成立; 当-1x0时, f(x)+f(x+1)=|x|-1+|x+1|-1=-x-1+x+1-1=-11,矛盾,舍去; 当x1,解得x-2. 综上所述,x的取值范围为x0.故选C. 命题说明命题说明 本题以分段函数为载体,考查了对
22、数不等式、绝对值不等式的解法,学生完成本题,需 要运用数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养. 思路点拨思路点拨 对于分段函数型不等式和绝对值不等式的求解,要运用分类讨论思想,分段转化为多个 普通的不等式求解,值得注意的是,最后解集要取并集. 3.(2020 5 3原创题)已知函数f(x)=xex+2,g(x)=2ex+x,则满足f(x)g(x)的x的取值范围为 . 答案答案 (-,02,+) 解析解析 由f(x)g(x)得xex+22ex+x,转化为xex+2-2ex-x0,即ex(x-2)+(2-x)0,即(ex-1)(x-2)0,解得x 0或x2. 命题说明命题说明 本题以两个非基本
23、初等函数为载体考查了不等式的解法,突出考查了将陌生复杂的数 学问题转化为熟悉简单的问题,完成本题,需要运用逻辑推理、数学运算等学科核心素养;通过本 题的训练,可以体会到化归与转化思想在解题中的应用. 思路点拨思路点拨 通过因式分解将陌生不等式转化为熟知的基本初等不等式,是解不等式最常见的思路, 本题还可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),观察得到零点0,2,再利用导数知识求解. 4.(2020 5 3原创题)若关于x的不等式3mx2-2|x|+m0的解集为R,则实数m的取值范围是 . 答案答案 3 , 3 解析解析 不等式3mx2-2|x|+m0的解集为R,即xR,3mx2-2|x|+m0
24、恒成立,m. 当x=0时,m0;当x0时,m,因为=,所以m. 2 2| | 31 x x 2 1 3| | | | x x 2 1 3| | | | x x 2 2 3 3 3 3 , 3 命题说明命题说明 本题是由较为熟悉的题型改编而来的,给学生似曾相识的感觉,以促进学生对数学学习 的领悟和活用,以及对知识的理解和内化.一元二次不等式的恒成立问题是高考考查的重点和热 点,命题注意体现主干知识,并将基本的数学思想和方法蕴含于数学基础知识中.解决不等式恒成 立问题优先考虑分离参数,转化为函数最值问题即可求出,属于中等难度. 素养解读素养解读 考查数学运算和逻辑推理的核心素养,以及转化与化归思想的应用.
