1、考点考点1 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理 1.(2020课标理,7,5分)在ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=( ) A. B. C. D. 2 3 1 9 1 3 1 2 2 3 答案答案 A 由cos C=得=,AB=3,cos B=,故 选A. 222 - 2 ACBCAB AC BC 2 3 2 169- 2 4 3 AB 222 - 2 BABCAC BA BC 99-16 2 3 3 1 9 2.(2020课标文,11,5分)在ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则tan B=( ) A. B.2 C.4 D.8 2 3 5555 答案答案
2、C 解法一:由余弦定理及cos C=,AC=4,BC=3,知AB=3,于是cos B=0,所以sin B =,所以tan B=4,故选C. 解法二:作BDAC于D,由cos C=,BC=3,知CD=2,即D为边AC的中点,所以三角形ABC是等腰三角 形,且BD=, 于是tan=,故tan B=4,故选C. 2 3 99-16 2 3 3 1 9 4 5 9 5 2 3 5 2 B2 5 2 2 5 4 1- 5 5 3.(2019课标文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=- ,则=( ) A.6 B.5 C.4
3、 D.3 1 4 b c 答案答案 A 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用;考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力; 考查的核心素养是数学运算与逻辑推理. 由正弦定理及asin A-bsin B=4csin C得a2-b2=4c2,由余弦定理可得cos A=-.所以= 6.故选A. 222 - 2 bc a bc 2 -3 2 c bc 1 4 b c 4.(2018课标,文7,理7,5分)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4 B. C. D.2 2 C5 5 230295 答案答案 A cos C=2cos2-1=2-1=-,BC=1,AC=5,AB= =4.故选
4、A. 2 C1 5 3 5 22-2 cosBCACBC ACC 3 125-2 1 5- 5 2 5.(2017山东理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B (1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案答案 A 解法一:因为sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C), 所以sin B+2sin Bcos C=s
5、in Acos C+sin B, 即cos C(2sin B-sin A)=0, 所以cos C=0或2sin B=sin A,即C=90或2b=a, 又ABC为锐角三角形,所以0Cc2,故2b=a,故选A. 222 - 1 ab c ab 222 - 2 ab c ab 222 - 2 bc a bc 222 - 1 ab c ab 2b a 2 -1 b a 6.(2018课标文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2 +c2-a2=8,则ABC的面积为 . 答案答案 2 3 3 解析解析 由已知条件及正弦定
6、理可得2sin Bsin C=4sin A sin Bsin C,易知sin Bsin C0,sin A=,又b 2+c2-a2=8,cos A= =,cos A0,cos A=,即=,bc=,ABC的面积S= bcsin A=. 1 2 222 - 2 bc a bc 4 bc 3 2 4 bc 3 2 8 3 3 1 2 1 2 8 3 3 1 2 2 3 3 7.(2019上海春,8,5分)在ABC中,AC=3,3sin A=2sin B,且cos C=,则AB= . 1 4 答案答案 10 解析解析 由正弦定理可知=,又3sin A=2sin B,AC=3,BC=AC=2.由余弦定理可
7、 知AB2=AC2+BC2-2AC BCcos C=9+4-232=10,AB=. sin AC Bsin BC A sin sin ACA B 2 3 1 4 10 8.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60,则sin B= ,c= . 7 答案答案 ;3 21 7 解析解析 本题考查正弦定理、余弦定理. 由=得sin B=sin A=, 由a2=b2+c2-2bccos A结合已知得c2-2c-3=0, 解得c=3(舍负). sin a Asin b B b a 21 7 9.(2020北京,17,13分)在ABC中,a+b=
8、11,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知, 求: (1)a的值; (2)sin C和ABC的面积. 条件:c=7,cos A=-; 条件:cos A=,cos B=. 注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分. 1 7 1 8 9 16 解析解析 若选条件: (1)a+b=11,b=11-a,已知c=7,cos A=-, 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=(11-a)2+72-2(11-a)7,解得a=8. (2)cos A=-,sin A=. =,sin C=. 又b=11-a=11-8=3, SABC=bcsin A=37=6. 若选条件: (1)cos
9、 A=,sin A=. cos B=,sin B=. 由正弦定理=,得=,5a=6b, 又a+b=11,a=6. 1 7 1 - 7 1 7 2 1-cos A 4 3 7 sin a Asin c C sincA a 3 2 1 2 1 2 4 3 7 3 1 8 2 1-cos A 3 7 8 9 16 2 1-cos B 5 7 16 sin a Asin b B 3 7 8 a 5 7 16 b (2)由(1)可得b=11-a=5. sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=+=, SABC=absin C=65=. 3 7 8 9
10、16 1 8 5 7 16 7 4 1 2 1 2 7 4 15 7 4 10.(2020天津,16,14分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,b=5,c=. (1)求角C的大小; (2)求sin A的值; (3)求sin的值. 213 2 4 A 解析解析 (1)在ABC中,由余弦定理及a=2,b=5,c=,有cos C=.又因为C(0,),所 以C=. (2)在ABC中,由正弦定理及C=,a=2,c=,可得sin A=. (3)由ac及sin A=,可得cos A=,进而sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1= .所以, sin=
11、sin 2Acos +cos 2Asin=+=. 213 222 - 2 ab c ab 2 2 4 4 213 sinaC c 2 13 13 2 13 13 2 1-sin A 3 13 13 12 13 5 13 2 4 A 4 4 12 13 2 2 5 13 2 2 17 2 26 11.(2019课标理,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin=bsin A. (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围. 2 AC 解析解析 (1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A. 因为sin A0,所以sin
12、=sin B. 由A+B+C=180,可得sin=cos, 故cos=2sincos. 因为cos0,故sin=,因此B=60. (2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a. 由正弦定理得a=+. 由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90. 由(1)知A+C=120,所以30C90,故a2, 从而SABC.因此,ABC面积的取值范围是. 2 AC 2 AC 2 AC 2 B 2 B 2 B 2 B 2 B 2 B1 2 3 4 sin sin cA C sin(120?- ) sin C C 3 2tanC 1 2 1 2 3 8 3 2 33 , 82 思路分析思路分析 (1)用正弦
13、定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B. (2)用正弦定理先表示出a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C的范围,进而求出ABC面 积的取值范围. 12.(2018课标理,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5. (1)求cosADB; (2)若DC=2,求BC. 2 解析解析 (1)在ABD中,由正弦定理得=. 由题设知,=,所以sinADB=. 由题设知,ADB0,所以cos B=2sin B0,从而cos B=.因此sin=cos B=. 2 2 3 222 - 2 ac b ac 2 3 222 (3 )-( 2) 2 3 cc cc 1
14、 3 3 3 sin A a cos 2 B b cos 2 B b sinB b 4 5 2 5 5 2 B 2 5 5 15.(2019北京理,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-. (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值. 1 2 解析解析 本题主要考查正、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考 查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心素养. (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B及已知,得 b2=32+c2-23c. 因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c. 解
15、得c=5.所以b=7. (2)由cos B=-得sin B=. 由正弦定理得sin C=sin B=. 在ABC中,B是钝角,所以C为锐角. 所以cos C=. 所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=. 1 - 2 1 - 2 1 2 3 2 c b 5 3 14 2 1-sin C 11 14 4 3 7 16.(2016课标理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长. 7 3 3 2 解析解析 (1)由已知及正弦定理得, 2cos
16、 C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=,所以C=.(6分) (2)由已知,得absin C=. 又C=,所以ab=6.(8分) 由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7. 故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.a+b=5.(10分) 所以ABC的周长为5+.(12分) 1 2 3 1 2 3 3 2 3 7 1.(2016天津理,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 13
17、以下为教师用书专用 答案答案 A 在ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcos C,得13=9+b2-23b ,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A. 1 - 2 2.(2016课标文,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=( ) A. B. C.2 D.3 5 2 3 23 答案答案 D 由余弦定理得5=22+b2-22bcos A,cos A=,3b2-8b-3=0,b=3.故选D. 2 3 1 - 3 b 舍去 3.(2016山东文,8,5分)ABC中,角A,B,C
18、的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=( ) A. B. C. D. 3 4 3 4 6 答案答案 C 在ABC中,由b=c,得cos A=,又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,即tan A =1,又知A(0,),所以A=,故选C. 222 - 2 bc a bc 22 2 2- 2 b a b 4 4.(2018课标,文11,理9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为, 则C=( ) A. B. C. D. 222 - 4 ab c 2 3 4 6 答案答案 C 本题考查解三角形及其综合应用. 根据
19、余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因为SABC=,所以SABC=,又SABC=absin C,所 以tan C=1,因为C(0,),所以C=.故选C. 222 - 4 ab c2cos 4 abC1 2 4 5.(2019课标文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= . 答案答案 3 4 解析解析 本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算. 在ABC中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0, sin A0,sin B+cos B=0,即tan B=-1, 又B(0,),B=.
20、 3 4 答案答案 75 6.(2017课标文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则A= . 6 解析解析 由正弦定理得=,sin B=, 又cb,B=45,A=75. 3 sin60? 6 sinB 2 2 易错警示易错警示 本题求得sin B=后,要注意利用bc确定B=45,从而求得A=75. 2 2 7.(2016课标,文15,理13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则 b= . 4 5 5 13 答案答案 21 13 解析解析 由cos C=,0C,得sin C=. 由cos
21、A=,0A,得sin A=. 所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C) =sin Acos C+sin Ccos A=, 根据正弦定理得b=. 5 13 12 13 4 5 3 5 63 65 sin sin aB A 21 13 解后反思解后反思 在解三角形的问题中,给出边长及角的正弦或余弦值时,往往要用到两角和或差的正、 余弦公式及正、余弦定理. 8.(2016上海理,9,4分)已知ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 . 答案答案 7 3 3 解析解析 由已知可设a=3,b=5,c=7.cos C=-,又0C0,sin C=, ABC的外接圆半径R=.
22、222 - 2 ab c ab 1 2 3 2 2sin c C 7 3 3 9.(2017课标文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= . 答案答案 60 解析解析 解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin C cos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(1 80-B),可得B=60. 解法二:由余弦定理得2b=a+c,即b=b,所以a2+c2-b2=ac,所以 cos B=,又0B0),有2=t2+t,即t2+t-2=0, 解得t=1或t=-2(舍去),故=1
23、. 2 3 33 1 - 2 2 2 b c 2 bc c 2 b c b c b c b c 思路分析思路分析 本题先由余弦定理列出关于b、c的方程,再将方程转化为以为变元的方程求解. b c 11.(2018北京文,14,5分)若ABC的面积为(a2+c2-b2),且C为钝角,则B= ;的取值范 围是 . 3 4 c a 答案答案 ;(2,+) 3 解析解析 本题主要考查正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,三角恒等变换. 依题意有acsin B=(a2+c2-b2)=2accos B, 则tan B=,0B,又A0,0A, 则0tan A,故+=2.故的取值范围为(2,+). 1 2 3
24、4 3 4 3 3 c a sin sin C A 2 sin- 3 sin A A 1 2 3cos 2sin A A 1 2 3 2 1 tan A 2 3 2 6 3 3 1 tan A 3 c a 1 2 3 2 3 c a 12.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求ABC的面积. 3 7 解析解析 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式. (1)在ABC中,因为A=60,c=a, 所以由正弦定理及已知得sin C=. (2)因为a=7,所以c=7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72
25、=b2+32-2b3, 解得b=8或b=-5(舍). 所以ABC的面积S=bcsin A=83=6. 3 7 sincA a 3 7 3 2 3 3 14 3 7 1 2 1 2 1 2 3 2 3 解后反思解后反思 根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在 求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积. 13.(2019天津,文16,理15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4 asin C. (1)求cos B的值; (2)求sin的值. 2 6 B 解析解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角
26、和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以 及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养的重视. (1)在ABC中,由正弦定理得bsin C=csin B, 又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a,所以b=a.又因为b+c=2a,所以c=a. 由余弦定理可得cos B=-. (2)由(1)可得sin B=,从而sin 2B=2sin Bcos B=-,cos 2B=cos2B-sin2B=-,故sin2B+ =sin 2Bcos+cos 2Bsin=-=-. 4 3 2 3 222 - 2 ac b ac 222 41
27、6 - 99 2 2 3 aaa aa 1 4 2 1-cos B 15 4 15 8 7 8 6 6 6 15 8 3 2 7 8 1 2 3 57 16 思路分析思路分析 (1)由已知边角关系:3csin B=4asin C利用正弦定理及b+c=2a得三边比例关系,根据余弦 定理即可求出cos B. (2)由(1)利用同角三角函数基本关系式求出sin B,再由二倍角公式求出sin 2B、cos 2B,代入两角和 的正弦公式即可求出sin的值. 2 6 B 易错警示易错警示 角B为三角形内角,故sin B0,由cos B求sin B仅有一正解. 14.(2016山东理,16,12分)在ABC
28、中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+. (1)证明:a+b=2c; (2)求cos C的最小值. tan cos A B tan cos B A 解析解析 (1)证明:由题意知2=+, 化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B. 因为A+B+C=,所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C. 从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c. (2)由(1)知c=, 所以cos C= =-,当且仅当a=b时,等号成立. 故cos C的最小值为.
29、sinsin coscos AB AB sin coscos A AB sin coscos B AB 2 ab 222 - 2 ab c ab 2 22- 2 2 ab ab ab 3 8 ab ba 1 4 1 2 1 2 疑难突破疑难突破 利用切化弦将已知等式等价转化,最终转化为三角正弦之间的关系,从而结合正弦定理 得出三角形三边之间的关系. 15.(2018天津,文16,理15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos. (1)求角B的大小; (2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值. - 6 B 解析解析 本题主要考查同角三角
30、函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公 式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在ABC中,由正弦定理得bsin A=asin B,又由bsin A=acos,得asin B=acos,即sin B= cos,可得tan B=.又因为B(0,),所以B=. (2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,得b2=a2+c2-2accos B=7,故b=. 由bsin A=acos,可得sin A=. 因为ac,故cos A=. 因此sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1=. 所以,sin(2A-B)=sin 2A
31、cos B-cos 2Asin B=-=. - 6 B - 6 B - 6 B 3 3 3 7 - 6 B 3 7 2 7 4 3 7 1 7 4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 解题关键解题关键 (1)利用正弦定理合理转化bsin A=acos是求解第(1)问的关键; (2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a0是求解第(2)问的关键. - 6 B 失分警示失分警示 (1)忽略ac这一条件,从而导致cos A有两个值,最终结果出现增解; (2)不能熟记二倍角公式以及两角差的正弦公式,从而导致结果出错. 16.(2016浙江理,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的
32、边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若ABC的面积S=,求角A的大小. 2 4 a 解析解析 (1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 又A,B(0,),故0A-B0). 则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入+=中,有+=,变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B). 在ABC中,由A+B+C=,
33、得sin(A+B)=sin(-C)=sin C, 所以sin Asin B=sin C. (2)由已知b2+c2-a2=bc, 根据余弦定理的推论,有cos A=. 所以sin A=. 由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4. sin a Asin b Bsin c C cos A a cosB b sinC c cos sin A kA cos sin B kB sin sin C kC 6 5 222 - 2 bc a bc 3 5 2 1-cos A 4 5 4 5 4 5 3 5 sin
34、cos B B 解后反思解后反思 通过本题发现:在等式中既有边长又有角的正、余弦时,往往想到应用正弦定理;出现 含有边长的平方及两边之积的等式,往往想到应用余弦定理. 1.(2017课标文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a= 2,c=,则C=( ) A. B. C. D. 2 12 6 4 3 考点考点2 解三角形及其综合应用解三角形及其综合应用 答案答案 B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式. 在ABC中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+
35、sin A(sin C-cos C)=0, 即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, cos Asin C+sin Asin C=0,sin C0,cos A+sin A=0, 即tan A=-1,即A=. 由=及已知得=,sin C=, 又0C0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D为原点,DC,DA 所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以=(-a,-a),=(2a,-a), 1 3 2 3 2 3 5 3 222 - 2 ABACBC AB AC 222 25 - 99
36、25 2 33 BCBCBC BCBC 10 10 1 3 2 3 5 3 2 5 5 5 5 4 4 DAC 4 4 5 5 2 2 2 5 5 2 2 10 10 1 3 2 3 2 3 5 3 AB ACADDBADDC 2 ADADDCADDBDBDC 1 9 2 9 1 9 | AB AC AB AC 2 1 - 9 25 33 BC BCBC 10 10 ABAC 所以|=a,|=a,所以cosBAC=-,故选C. AB2AC5 | AB AC AB AC 22 -2 25 aa aa 10 10 3.(2020课标理,16,5分)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,
37、AB=AD=,ABAC,AB AD,CAE=30,则cosFCB= . 3 答案答案 - 1 4 解析解析 将平面图形还原成三棱锥P-ABC(如图), 在PAB中,PAB=90,PA=,AB=,PB=, 在PAC中,PA=,AC=1,PAC=30,由余弦定理得PC2=3+1-2 cos 30,PC=1, 在RtBAC中,易知BC=2, 在PCB中,由余弦定理的推论得cosPCB=-,即cosFCB=-. 336 33 14-6 2 1 2 1 4 1 4 4.(2019课标理,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则ABC的面积 为 . 3 答案答
38、案 6 3 解析解析 本题考查解三角形,余弦定理,三角形面积公式;通过余弦定理和三角形面积公式的运用考 查推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养为逻辑推理和数学运算. 由b2=a2+c2-2accos B及已知得62=(2c)2+c2-22cc, c=2(c=-2舍去). a=2c=4,ABC的面积S=acsin B=42=6. 1 2 33 3 1 2 1 2 33 3 2 3 5.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD= ,cosABD= . 答案答案 ; 12 2 5 7 2 10 解析解析 本题考查了两角差
39、的余弦公式和正弦定理,通过解三角形考查了运算求解能力,通过长度和 角度的计算体现了数学运算的核心素养. 在BDC中,BC=3,sinBCD=,BDC=45, 由正弦定理得=,则BD=, 在ABD中,sinBAD=,cosBAD=,ADB=135, cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos 45cosBAD+sin 45sinBAD= =. 4 5 sin BD BCDsin BC BDC 4 3 5 2 2 12 2 5 3 5 4 5 2 2 43 55 7 2 10 思路分析思路分析 在BCD中,由正弦定理求BD的长;cosABD的值可通过两角差的余弦
40、公式求解. 6.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 . 答案答案 8 解析解析 sin A=2sin Bsin C, sin(B+C)=2sin Bsin C, 即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 亦即tan B+tan C=2tan Btan C, tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C) =-=, 又ABC为锐角三角形, tan A=0,tan B+tan C0,tan Btan C1, tan Atan Btan C= tan B tan C =,
41、 令tan Btan C-1=t,则t0,tan Atan Btan C=22(2+2)=8,当且仅当t=,即tan Btan C=2时,取“=”. tan Atan Btan C的最小值为8. tantan 1-tantan BC BC tantan tantan-1 BC BC tantan tantan-1 BC BC tantan tantan-1 BC BC 2 2(tantan) tantan-1 BC BC 2 2(1)t t 1 2t t 1 t 7.(2020新高考,15,5分)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔 及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A
42、是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形 DEFG为矩形,BCDG,垂足为C,tanODC=,BHDG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的 距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2. 3 5 答案答案 4+ 5 2 解析解析 如图,连接OA,过点A分别作AQDE,AKEF,垂足为Q,K,设AK与BH,DG分别交于点M,N,作 OPDG于点P,则AQ=AK=7 cm,DN=7 cm,DG=EF=12 cm,NG=5 cm,NK=DE=2 cm,AN= 5 cm,ANG为等腰直角三角形,GAN=45,OAG=90,OAM=45
43、, 设AM=OM=x cm,则PN=x cm,DP=(7-x)cm,tanODG=,OP=cm,AM+MN+NK=7 cm,即x+(7-x)+2=7,解得x=2,OA=2 cm,S阴影=(2)2+(2)2-=3+4-= cm2. 3 5 3 (7- ) 5 x 3 5 22 3 8 2 1 2 2 1 2 2 5 4 2 8.(2020课标理,17,12分)ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求A; (2)若BC=3,求ABC周长的最大值. 解析解析 (1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC AB. 由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2
44、AC ABcos A. 由得cos A=-.因为0A,所以A=. (2)由正弦定理及(1)得=2,从而AC=2sin B,AB=2sin(-A-B)=3cos B-sin B. 故BC+AC+AB=3+sin B+3cos B=3+2sin. 又0B,所以当B=时,ABC周长取得最大值3+2. 1 2 2 3 sin AC Bsin AB Csin BC A 3333 33 3 B 3 6 3 9.(2020新高考,17,10分)在ac=,csin A=3,c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问 题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题:是否存在ABC,
45、它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=, ? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 33 3 6 解析解析 方案一:选条件. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=,由此可得b=c. 由ac=,解得a=,b=c=1. 因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=1. 方案二:选条件. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=,由此可得b=c,B=C=,A=. 由csin A=3,所以c=b=2,a=6. 因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=2. 方案三:选条件. 由C=和
46、余弦定理得=. 6 222 - 2 ab c ab 3 2 33 222 2 3- 2 3 bb c b 3 2 33 6 222 - 2 ab c ab 3 2 33 222 2 3- 2 3 bb c b 3 2 6 2 3 3 3 6 222 - 2 ab c ab 3 2 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=,由此可得b=c. 由c=b,与b=c矛盾. 因此,选条件时问题中的三角形不存在. 33 222 2 3- 2 3 bb c b 3 2 3 10.(2020浙江,18,14分)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2bsin A-a=0. (1
47、)求角B的大小; (2)求cos A+cos B+cos C的取值范围. 3 解析解析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查数学运算等素养. (1)由正弦定理得2sin Bsin A=sin A, 故sin B=,由题意得B=. (2)由A+B+C=得C=-A, 由ABC是锐角三角形得A. 由cos C=cos=-cos A+sin A得cos A+cos B+cos C=sin A+cos A+=sin+ ,.故cos A+cos B+cos C的取值范围是. 3 3 2 3 2 3 , 6 2 2 - 3 A 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 6 A 1 2 31 2 3 2 31 3 , 22
