1、考点考点1 函数的有关概念函数的有关概念 1.(2018上海,16,5分)设D是含数1的有限实数集, f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时 针旋转后与原图象重合,则在以下各项中, f(1)的可能取值只能是( ) A. B. C. D.0 6 3 3 2 3 3 答案答案 B A选项,若f(1)=,将点(1,)依次旋转后可得到函数图象上的一些点,由图可知,当x= 1、0时,对应了两个y值,不符合函数定义,f(1).同理,结合图象分析B、C、D选项,只 有B选项符合函数定义,故选B. 33 6 33 2.(2017山东理,1,5分)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的
2、定义域为B,则AB=( ) A.(1,2) B.(1,2 C.(-2,1) D.-2,1) 2 4-x 答案答案 D 由4-x20,解得-2x2,由1-x0,解得x1,AB=x|-2x0, 因此函数f(x)的定义域为(0,+). 10, 0, x x 4.(2018江苏,5,5分)函数f(x)=的定义域为 . 2 log-1x 答案答案 2,+) 解析解析 本题考查函数定义域的求法及对数不等式. 由题意可得log2x-10,即log2x1,x2.函数f(x)的定义域为2,+). 5.(2018课标文,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a= . 答案答案 -7
3、 解析解析 本题主要考查函数的解析式及对数的运算. f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,f(3)=log2(9+a)=1, a+9=2,a=-7. 1.(2016课标文,10,5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 ( ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= 1 x 以下为教师用书专用 答案答案 D 函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x的值 域为R,排除B,故选D. 易错警示易错警示 利用对数恒等式将函数y=10lg x化为y=x,将其值域认为是R是失分
4、的主要原因. 2.(2016江苏,5,5分)函数y=的定义域是 . 2 3-2 - x x 答案答案 -3,1 解析解析 若函数有意义,则3-2x-x20,即x2+2x-30,解得-3x1. 3.(2016浙江文,12,6分)设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,xR,则实数a= ,b= . 答案答案 -2;1 解析解析 f(x)-f(a)=x3+3x2+1-(a3+3a2+1)=x3-a3+3(x2-a2)=(x-a)(x2+ax+a2)+3(x-a)(x+a)=(x-a)x2+(a+3)x+a2+ 3a=(x-b)(x-a)2,即x2+(
5、a+3)x+a2+3a=0的两个根分别为a,b,由a2+(a+3)a+a2+3a=0,得a=0(舍去)或a=-2. 当a=-2时,方程为x2+x-2=0,则b=1. 1.(2019天津理,8,5分)已知aR.设函数f(x)=若关于x的不等式f(x)0在R上恒成 立,则a的取值范围为( ) A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e 2-2 2 ,1, - ln ,1. xaxa x x axx 考点考点2 分段函数分段函数 答案答案 C 本题主要考查分段函数及不等式恒成立问题,考查学生推理论证能力及运算求解能力, 将恒成立问题转化为求最值问题,考查了学生化归与转化思想及分类讨论思想. (1
6、)当x1时, f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2, 若a1,则f(x)在(-,1上是减函数,所以f(x)f(1)=10恒成立;若a1,则f(x)f(a)=2a-a2,要使f (x)0在(-,1上恒成立,只需2a-a20,得0a2,0a1,综合可知,a0时, f(x)0在(-, 1上恒成立. (2)当x1时,ln x0, f(x)=x-aln x0恒成立,即a恒成立.令g(x)=,g(x)=,令g(x)=0,得x= e,当x(1,e)时,g(x)0,g(x)为增函数,g(x)min=g(e)=e,ae. 综合(1)(2)可知,a的取值范围是0ae,故选C. ln x xln
7、x x 2 ln -1 (ln ) x x 解后反思解后反思 求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)a在R上恒成 立f(x)mina, f(x)a在R上恒成立f(x)maxa;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行分类讨论, 从而确定参数的取值范围. 2.(2018课标文,12,5分)设函数f(x)=则满足f(x+1)f(2x)的x的取值范围是( ) A.(-,-1 B.(0,+) C.(-1,0) D.(-,0) - 2 ,0, 1,0, x x x 答案 D 本题主要考查分段函数及不等式的解法. 函数f(x)=的图象如图所示:由f(x+1)f(2x)得得x0,故
8、选D. - 2 ,0, 1,0 x x x 20, 21, x xx 0, 1. x x 解题关键解题关键 解本题的关键是利用数形结合思想,准确画出图象,利用图象的直观性来求解,这样可 避免分类讨论. 3.(2017山东文,9,5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 ,01, 2( -1),1. xx xx 1 a 答案答案 C 本题考查分段函数与函数值的计算. 解法一:当0a1,f(a)=, f(a+1)=2(a+1-1)=2a.由f(a)=f(a+1)得 =2a,a=.此时f =f(4)=2(4-1)=6.当a1时,a+11,f(a)=2(
9、a-1), f(a+1)=2(a+1-1)=2a.由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2a,无 解.综上, f=6,故选C.解法二:当0x1的x的取值范围是 . 1,0, 2 ,0, x xx x 1 - 2 x 答案答案 1 -, 4 解析解析 当x时,f(x)+f =2x+2x1; 当02x1;当x0时, f(x)+f =x+1+1=2x+, f(x)+f 12x+1x-,即-0,当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1| =(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a. (2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=
10、x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知 m(a)=minf(1),g(a),即m(a)= (ii)当0 x2时,F(x)f(x)maxf(0), f(2)=2=F(2),当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max 2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)= 2 0,322, -4 -2,22. a aaa 34-8 ,34, 2,4. aa a 思路分析思路分析 (1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值的方法是分别 求出各段上的最值,较大(小)的
11、值就是这个函数的最大(小)值. 考点考点1 函数的有关概念函数的有关概念 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2019山东菏泽模拟,5)已知函数f(x)=log2x的值域是1,2,则函数(x)=f(2x)+f(x2)的定义域为( ) A.,2 B.2,4 C.4,8 D.1,2 2 答案答案 A f(x)的值域为1,2,1log2x2,2x4,f(x)的定义域为2,4,(x)=f(2x)+f(x2) 满足解得x2.(x)的定义域为,2,故选A. 2 224, 24, x x 22 思路分析思路分析 根据f(x)的值域为1,2即可求出f(x)的定义域为2,4,从而得出(x)需满足解 出x
12、的范围即可. 2 224, 24, x x 2.(2020湘赣皖十五校第一次联考)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=2的定义域和值 域相同的是( ) A.y=3x B.y=ln x C.y= D.y=2x 1 -2 x 2 log 2 x 答案答案 C 函数y=2的定义域为(0,+),值域为(0,+).A中,y=3x的定义域为R;B中,y=ln x的值域 为R;D中,y=2x的定义域为R,排除A,B,D.C中函数可化为y=x(x0),其定义域和值域都为(0,+). 1 -2 x 3.(多选题)(2020山东枣庄、滕州期末)如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2 km, 从P点
13、沿海岸正东12 km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h,步行的速度为 5 km/h,时间t(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,x(单位:km)表示此人将船停在海岸处距P点的距 离.设u=+x,v=-x,则( ) A.函数v=f(u)为减函数 B.15t-u-4v=32 C.当x=1.5时,此人从小岛到城镇花费的时间最少 2 4x 2 4x D.当x=4时,此人从小岛到城镇花费的时间不超过3 h 答案答案 AC A.u=+x,v=-x,=,x=,uv=4,易知v=在(0,+)上是减函 数,A正确. B.t=+=+-,整理得15t=u+4v+36,B错误; C.由A、B得
14、15t=u+362+36=44,当且仅当u=,即u=4时取等号,由+x=4,解得x= =1.5,C正确; D.x=4时,t=+,t-3=-=0,t3,D错误.故选AC. 2 4x 2 4x 2 4x 2 uv- 2 u v4 u 2 4 3 x 12- 5 x 6 uv12 5 - 10 u v 16 u 16 u u 16 u 2 4x 3 2 2 5 3 8 5 2 5 3 7 5 10 5-21 15 500- 441 15 1.(2018福建福州模拟,6)设函数f(x)=则满足f(x2-2)f(x)的x的取值范围是( ) A.(-,-1)(2,+) B.(-,-)(,+) C.(-,-
15、)(2,+) D.(-,-1)(,+) - 0,0, 2 -2 ,0, xx x x 22 22 考点考点2 分段函数分段函数 答案答案 C 由题意知,x0时, f(x)递增,故f(x)f(0)=0,又x0时, f(x)=0,故若f(x2-2)f(x),则x2-2x,且x2- 20,解得x2或x0, 所以f(f(-2)=f=9. 1 9 1 9 B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:25分钟 分值:40分) 一、单项选择题(每小题5分,共15分) 1.(2019湖南顶级名校模拟,11)已知函数f(x)=若存在实数k,使得函数f(x)的值域 为-1,1,则实数a的取值范围是( ) A.
16、B.2,1+ C.1,3 D.2,3 2 32 log (2- ),0, -33, xxk xxkxa 3 ,13 2 3 答案答案 B y=log2(2-x)在0,k)上是单调递减函数, 当x=0时,y=1;当x=时,y=-1,所以0k. 令g(x)=x3-3x2+3,则g(x)=3x2-6x,令g(x)=0, 解得x=0或x=2,当x=2时,函数取得极小值-1, 当x3-3x2+3=1时,解得x1=1,x2=1+,x3=1-0(舍),所以10且1-x 1,解得x0)的值域与函数f(f(x)的 值域相同,则a的取值范围为( ) A.(0,1 B.(1,+) C. D. 1 2 4 0, 3
17、4 , 3 答案答案 D f (x)=-ax+a-1=,x1时, f (x)0;0x0,f(x)在(0,1)上递增,在(1,+ )上递减,f(x)max=f(1)=a-1,即f(x)的值域为.令f(x)=t,则y=f(f(x)=f(t),f(x)在 (0,1)上递增,在(1,+)上递减,要使y=f(t)的值域为,则a-11,a,a的取值范围是 ,故选D. 1 x (1)(1- )axx x 3 2 3 - ,-1 2 a 3 -1 2 ta 3 - ,-1 2 a 3 2 4 3 4 , 3 4.(2018衡水金卷调研卷五,13)已知函数f(x)=则f(f(f(-3)的值为 . 2 log,2
18、, |2|,2, x x xx 二、填空题(每小题5分,共25分) 答案答案 log23 解析解析 f(-3)=|-3+2|=1, f(f(-3)=f(1)=|1+2|=3,所以f(f(f(-3)=f(3)=log23. 5.(2020江苏仿真模拟)已知P(s,t)在函数f(x)=的图象上运动,则+的最小值 为 . 2 1-x 22 ( -2)st 22 ( -1)st 答案答案 5 解析解析 函数f(x)=的图象为圆x2+y2=1在x轴上方的部分(包含x轴上的点),+ 表示点P到点M(0,2)的距离与点P到点N(1,0)的距离之和,即+=PM+PNMN= . 2 1-x 22 ( -2)st
19、 22 ( -1)st 22 ( -2)st 22 ( -1)st 5 6.(2020苏锡常镇四市调研(一),13)若函数f(x)ax(a0且a1)在定义域m,n上的值域是m2,n2(1m 0且a1)与y=x2的图象在(1,+)上恰有两个交点,考虑临界情形:y=与 y=x2的图象在x=x0处相切,则有a0=a(1,). 0 x a 0 0 2 00 000 , ln2 x x ax aax 2 e e 2 e e 思路分析思路分析 f(x)=ax(a0且a1)在定义域m,n上的值域是m2,n2,等价转化为f(x)=ax(a0且a1)与y =x2的图象在(1,+)上恰有两个交点,考虑相切状态可求
20、a的取值范围. 7.(2020江苏仿真模拟)函数f(x)=的定义域为 . 1ln 1-ln x x 答案答案 1 ,e e 解析解析 要使函数f(x)=有意义,则0即解得-1 ln x1x0时, f(x)=x+2 =2,当且仅当x=1时取等号,则函数f(x)的最小值为. (2)由(1)知,当x0时, f(x)2,此时最小值为2.若a0,下列与不相等的函数值是( ) A.f(ln t-t) f(t-3ln t) B.f2(t-ln t) C.f(t) f(t-2ln t) D.f(t-ln t)2 2 2 e t t 答案答案 A 由f(x)=ex得f2(t-ln t)=f(2t-2ln t)=
21、e2t-2ln t=, f(2t-2ln t)=f(t) f(t-2ln t)=f(t-ln t)2, 故B、C、D中的函数值均与相等;而f(ln t-t) f(t-3ln t)=f(-2ln t)=t-2,与不相等.故选A. 2 2ln e e t t 2 2 e t t 2 2 e t t 2 2 e t t 命题说明命题说明 本题以自然对数函数为载体考查了函数三要素的关系、指、对数运算性质.引导学生 从“解题”向“解决问题”转变.学生完成本题,需要运用数学建模、数学运算等核心素养;通过 本题训练,学生可以更加清楚地认识函数概念的抽象与形象的互动. 小题巧解小题巧解 用特殊值检验,令t=1
22、,对于A, f(-1)f(1)=e-1e1=1;对于B, f(2)=e2;对于C, f(1) f(1)=e2;对于D, f(1)2=e2,而当t=1时,=e2,故选A. 2 2 e t t 2.(2020 5 3原创题)如下折线图统计了2020年2月27日至2020年3月11日共14天全国(不含湖北)新 冠肺炎新增确诊人数和新增疑似人数. 记2020年2月27日至2020年3月11日的日期为t(tN*),t的取值如下表. 日期 2.27 2.28 2.29 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11 t 1 2 3 4 5 6
23、7 8 9 10 11 12 13 14 新增确诊人数记为f(t)(图中粗线),新增疑似人数记为g(t)(图中细线),则下列结论正确的是( ) A.f(t)与g(t)的值域相同 B.f(9)g(10) C.t0N*,使f(t0)=g(t0) D.tN*, f(t)g(t) 答案答案 D 由题图纵轴可知f(t)与g(t)的值域不相同;f(9)=30g(10);函数f(t)的图象在函数g(t)的图象 的下方,所以不存在t0,使f(t0)=g(t0);由题图可以看出tN*, f(t)g(t). 命题说明命题说明 本题以社会热点“新冠肺炎”为背景,引导学生从数学角度认识现象,分析问题,学有 所用.学生
24、完成本题需要掌握函数概念、图象等学科知识,需要读懂文字与图形等数学语言;通过 本题训练,学生能够清楚地理解数学来源于生活. 3.(2020 5 3原创题)集合A是函数y=+(tR)的定义域,集合B是由函数f(x)=-x2在区间t,t+ 1上的最大值组成的,aA,bB,g(t)=a+b.试写出函数y=g(t)关于t的解析式,并求函数y=g(t)的值域. 2 - t x-2xt 解析解析 集合A=2t, 当t0时,函数f(x)=-x2在区间t,t+1上单调递减,集合B=-t2; 当-1t0时,函数f(x)=-x2在区间t,t+1上先增后减,集合B=0; 当t-1时,函数f(x)=-x2在区间t,t+1上单调递增,集合B=-(t+1)2, g(t)= 当t0时,g(t)=-(t-1)2+11,g(t)(-,1; 当-1t0时,g(t)=2t在定义域内单调递增, g(t)(-2,0); 当t-1时,g(t)=-t2-1,g(t)(-,-2. 综上,y=g(t)的值域为(-,1. 2 2 2 - ,0, 2 ,-10, 2 -(1) ,-1. t t t tt t tt
