1、考点考点 三角恒等变换三角恒等变换 1.(2020课标,9,5分)已知(0,),且3cos 2-8cos =5,则sin =( ) A. B. C. D. 5 3 2 3 1 3 5 9 答案答案 A 由3cos 2-8cos =5,得3cos2-4cos -4=0,所以cos =-或cos =2(舍去),因为(0,),所 以sin =,故选A. 2 3 5 3 2.(2020课标,9,5分)已知2tan -tan=7,则tan =( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 4 答案答案 D 2tan -tan=2tan -=7,整理可得tan2-4tan +4=0,tan =2.故选D. 4
2、 tan1 1-tan 3.(2019课标,10,5分)已知,2sin 2=cos 2+1,则sin =( ) A. B. C. D. 0, 2 1 5 5 5 3 3 2 5 5 答案答案 B 由二倍角公式及已知可知4sin cos =2cos2. ,cos 0,2sin =cos ,tan =, sin =.故选B. 0, 2 1 2 5 5 4.(2018课标,4,5分)若sin =,则cos 2=( ) A. B. C.- D.- 1 3 8 9 7 9 7 9 8 9 答案答案 B 本题考查三角恒等变换. 由sin =,得cos 2=1-2sin2=1-2=1-=.故选B. 1 3
3、2 1 3 2 9 7 9 5.(2016课标,9,5分)若cos=,则sin 2=( ) A. B. C.- D.- - 4 3 5 7 25 1 5 1 5 7 25 答案答案 D 解法一:因为cos=,所以sin 2=cos=cos=2cos2-1=2-1 =-.故选D. 解法二:cos=(cos +sin )=cos +sin =1+sin 2=,sin 2=-.故选D. - 4 3 5 -2 2 2- 4 - 4 2 3 5 7 25 - 4 2 2 3 5 3 2 5 18 25 7 25 6.(2020江苏,8,5分)已知sin2=,则sin 2的值是 . 4 2 3 答案答案
4、1 3 解析解析 sin2=, sin 2=. 4 1-cos2 2 2 1 sin2 2 2 3 1 3 7.(2020浙江,13,6分)已知tan =2,则cos 2= ,tan= . - 4 答案答案 -; 3 5 1 3 解析解析 因为tan =2,所以cos 2=cos2-sin2=-,tan= =. 22 22 cos-sin cossin 2 2 1-tan 1tan 1-4 14 3 5 - 4 tan -tan 4 1tantan 4 2-1 12 1 3 8.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tan = . - 4 1 6 答案答案 7 5 解析解析 本题考查两角和的
5、正切公式. 因为tan=,所以tan =tan=. - 4 1 6 - 44 tan-tan 44 1-tan-tan 44 1 1 6 1 1-1 6 7 5 9.(2018课标,15,5分)已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)= . 答案答案 - 1 2 解析解析 由sin +cos =1,cos +sin =0, 两式平方相加,得2+2sin cos +2cos sin =1, 整理得sin(+)=-. 1 2 10.(2019江苏,13,5分)已知=-,则sin的值是 . tan tan 4 2 3 2 4 答案答案 2 10 解析解析 本题考查同角三角函
6、数的基本关系式、两角和的正弦公式等知识,考查学生的运算求解能 力,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算. =-, tan =-tan=-, 整理得3tan2-5tan -2=0,tan =-或tan =2. sin=(sin 2+cos 2) =. 当tan =-时,sin=; 当tan =2时,sin=.所以答案为. tan tan 4 2 3 2 3 4 2 3 1tan 1-tan 1 3 2 4 2 2 2 2 22 22 2sincoscos-sin cossin 2 2 2 2 2tan1-tan 1tan 1 3 2 4 2 10 2 4 2 10 2 10 一题多解一题多解 =-
7、,=-. =-. =-.sin=. tan tan 4 2 3 sincos 4 cos sin 4 2 3 1 sinsin- 244 1 sin-sin- 244 2 3 2 sin 2- 42 2 sin 2 42 2 3 2 4 2 10 11.(2018江苏,16,14分)已知,为锐角,tan =,cos(+)=-. (1)求cos 2的值; (2)求tan(-)的值. 4 3 5 5 解析解析 (1)因为tan =,tan =,所以sin =cos .因为sin2+cos2=1,所以cos2=,所以cos 2 =2cos2-1=-. (2)因为,为锐角,所以+(0,).又因为cos
8、(+)=-,所以sin(+)=,因此tan (+)=-2.因为tan =,所以tan 2=-.因此tan(-)=tan2-(+)=-. 4 3 sin cos 4 3 9 25 7 25 5 5 2 1-cos () 2 5 5 4 3 2 2tan 1-tan 24 7 tan2 -tan() 1tan2 tan() 2 11 1.(2016四川,11,5分)cos2-sin2= . 8 8 以下为教师用书专用 答案答案 2 2 解析解析 由二倍角公式易得cos2-sin2=cos=. 8 8 4 2 2 2.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(
9、A0),则A= ,b= . 答案答案 ;1 2 解析解析 2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x= sin+1,A=,b=1. 2 2 4 x 2 3.(2016上海,7,4分)方程3sin x=1+cos 2x在区间0,2上的解为 . 答案答案 , 6 5 6 解析解析 化简3sin x=1+cos 2x得3sin x=2-2sin2x,所以2sin2x+3sin x-2=0,解得sin x=或sin x=-2(舍去), 又x0,2,所以x=或. 1 2 6 5 6 4.(2016上海,13,4分)设a,bR,c0,2).若对任意实数x都有2sin=asin(bx+c),
10、则满足条件的 有序实数组(a,b,c)的组数为 . 3 - 3 x 答案答案 4 解析解析 当a=2时,sin=sin=sin,则(b,c)=, 又sin=sin=sin,则(b,c)=,注意到c0,2),所以当a=2时,满足条件 的有序实数组(a,b,c)只有2组:,;当a=-2时,同理可得满足题意的有序实数组(a,b,c) 也有2组:,.综上,共有4组. 3 - 3 x 3 -2 3 x 5 3 3 x 5 3, 3 3 - 3 x - 3 - 3 x 4 -3 3 x 4 -3, 3 5 2,3, 3 4 2,-3, 3 -2,-3, 3 2 -2,3, 3 考点考点 三角恒等变换三角恒
11、等变换 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020黑龙江大庆实验中学4月模拟,6)设a=(sin 56-cos 56),b=cos 50cos 128+cos 40cos 38 ,c=cos 80,则a,b,c的大小关系是( ) A.abc B.bac C.cab D.acb 2 2 答案答案 B 本题主要考查诱导公式、两角和与差的正弦、余弦公式,通过灵活应用三角函数公式 考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为数学运算、逻辑推理. 由题意可知a=(sin 56-cos 56)=sin(56-45)=sin 11,b=cos(90-40)cos(90+38)+cos 40cos 38
12、 =-sin 40sin 38+cos 40cos 38=cos 78=sin 12,c=cos 80=sin 10,sin 12sin 11sin 10,b ac,故选B. 2 2 2.(2020陕西汉中第六次模拟,5)化简:=( ) A. B. C.1 D.- sin10? 1- 3tan10? 1 4 1 2 3 3 答案答案 A 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式以及辅助角公式的应用,通过代 数式的化简考查学生的运算求解能力. = =,故选A. sin10? 1- 3tan10? sin10?cos10? cos10?- 3sin10? 2sin10?cos10? 13 4
13、cos10?-sin10? 22 sin20? 4sin(30?-10?) 1 4 方法点拨方法点拨 三角函数式化简的步骤:(1)差异分析:观察角、函数名称间的差异;(2)探寻联系:运用相 关公式,找出差异之间的内在联系;(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异转化,即“变角变名变结 构”. 3.(2020全国卷24省4月联考,5)已知sin(+15)=,则cos(-30)=( ) A. B.- C.或 D.或- 3 5 7 2 10 2 10 7 2 10 2 10 7 2 10 2 10 答案答案 D sin(+15)=,cos(+15)=或-.当cos(+15)=时,cos(-30)=c
14、os(+15)-45= cos(+15)cos 45+sin(+15)sin 45=;当cos(+15)=-时,cos(-30)=cos(+15) -45=cos(+15) cos 45+sin(+15)sin 45=-,cos(-30)=或-,故选D. 3 5 4 5 4 5 4 5 2 2 43 55 7 2 10 4 5 2 2 43 - 55 2 10 7 2 10 2 10 4.(2019陕西榆林三模,5)已知tan=-2,则tan=( ) A.- B. C.-3 D.3 12 3 1 3 1 3 答案答案 A tan=-2,tan=tan=-,故选A. 12 3 124 tanta
15、n 124 1-tantan 124 -2 1 1-(-2) 1 1 3 5.(2018四川成都石室中学1月月考,8)当x=时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最大值,则sin 2=( ) A. B. C.- D.- 4 5 3 5 3 5 4 5 答案答案 D f(x)=2sin x-cos x=sin(x+),其中cos =,sin =-,当x=时, f(x)取得最大值, +=2k+,kZ,即=2k+-,kZ, sin =sin=cos =, cos =cos=sin =-, sin 2=2sin cos =2=-,故选D. 5 2 5 1 5 2 2 2 - 2 k 2 5 2
16、 - 2 k 1 5 2 5 1 - 5 4 5 6.(2020百师联盟第五次联考,13)已知sinsin=,则sin= . 6 - 3 15 8 2 3 答案答案 15 4 解析解析 sinsin=sinsin-=sincos=sin=,所 以sin=. 6 - 3 6 2 6 6 6 1 2 2 3 15 8 2 3 15 4 7.(2020安徽六安一中3月周考(二),13)若sin =,tan(+)=1,且是第二象限角,则tan 2的值为 . 3 5 答案答案 - 7 24 解析解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式以及二倍角公式的应用,考查 的核心素养为数学运算、逻
17、辑推理. 由sin =,且是第二象限角,可得cos =-,所以tan =-,所以tan =tan(+)-= =7,所以tan 2=-. 3 5 4 5 3 4 tan()-tan 1tan()tan 3 1- - 4 3 1 1- 4 2 2tan 1-tan 7 24 8.(2019安徽江南十校3月联考,14)已知=,且tan(+)=,则tan 的值为 . 2 sincos 1 3cos 1 4 1 3 答案答案 -1 解析解析 sin2+cos2=1,=,利用tan =可得,=,即tan2-4 tan +4=0,解得tan =2.tan =tan(+)-=-1. 2 sincos 1 3c
18、os 22 sincos sin4cos 1 4 sin cos 2 tan tan4 1 4 tan()-tan 1tantan() 1 -2 3 1 12 3 9.(2019河南郑州二模,24)已知cos+cos =,则cos= . - 3 4 3 5 - 6 答案答案 4 5 解析解析 由于cos=cos +sin ,所以cos+cos =sin +cos =,即sin =,sin=,又知+=,cos=cos=sin=. - 3 1 2 3 2 - 3 3 2 3 2 4 3 5 3 3 4 3 5 3 4 5 3 - 6 2 - 6 - 23 3 4 5 一、选择题(每小题5分,共30
19、分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：25分钟 分值：45分) 1.(2020山西临汾3月模拟,7)已知满足sin=,则=( ) A. B.- C.3 D.-3 4 2 6 2 tan1 2tan 9 8 9 8 答案答案 B 由sin=可得(sin +cos )=,故sin +cos =,两边平方可得,1+2sin cos =,从而sin 2=-,故=-. 4 2 6 2 2 2 6 1 3 1 9 8 9 2 tan1 2tan 2 2 sin 1 cos 2sin cos 1 2sincos 1 sin2 9 8 2.(2020河南、江西、湖南三省部分重点中学4月联考,7)
20、 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方 一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈 见方(即CD=10尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐 接(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少?”设=BAC,现有下述四个结论: 水深为12尺;芦苇长为15尺; tan=;tan=-. 2 2 3 4 17 7 其中所有正确结论的编号是( ) A. B. C. D. 答案答案 B 本题以数学文化为背景考查二倍角公式,两角和的正切公式,考查的核心素养为逻辑推 理和数学运算.
21、 设BC=x尺,则AC=(x+1)尺,在RtABC中, AB=5, 52+x2=(x+1)2,x=12. tan =,tan =,解得tan=(负根舍去).tan =,tan=-,故 正确结论的编号为. 12 52 2tan 2 1-tan 2 12 52 2 3 12 5 4 1tan 1-tan 17 7 思路分析思路分析 利用勾股定理求出BC的长,从而在直角三角形ABC中求得tan ,再利用二倍角的正切 公式求得tan,最后利用两角和的正切公式求得tan的值,进而得出结论. 2 4 3.(2020安徽黄山二模,11)已知函数f(x)=3sin xcos x-4cos2x(0)的最小正周期
22、为,且f()=,则f +f=( ) A.- B.- C.- D.- 1 2 2 - 4 5 2 9 2 11 2 13 2 答案答案 D f(x)=3sin xcos x-4cos2x=sin 2x-2cos 2x-2=sin(2x-)-2,其中sin =,cos =, 由f()=可得sin(2-)=1,即f(x)的图象关于直线x=对称,而直线x=+与直线x=的距离为个 周期,故sin2-=-1,所以f=-2=-,同理,由直线x=-与直线x=的距离为个 周期可得sin=0,所以f=-2,所以f+f=-.故选D. 3 2 5 2 4 5 3 5 1 2 2 1 2 2 2 5 2 9 2 4 1
23、 4 2- 4 - 4 2 - 4 13 2 一题多解一题多解 f(x)=3sin xcos x-4cos2x=sin 2x-2(1+cos 2x)=sin 2x-2cos 2x-2=sin(2x-) -2,其中tan =,f(x)的最小正周期为,=,=1, f(x)=sin(2x-)-2,f()=,sin(2-)-2=, 即sin(2-)=1,2-=2k+(kZ),f+f=sin(2+-)-2+sin-2=sin +sin-4=-+0-4=-,故选D. 3 2 3 2 5 2 4 3 2 2 5 2 1 2 5 2 1 2 2 2 - 4 5 2 5 2 2 - 2 5 2 2 2 k 5
24、2 2 - 2 2 k 5 2 13 2 4.(2020陕西汉中第五次模拟,10)已知函数f(x)=sin2x-,若方程f(x)=在区间(0,)内的解为x1,x2 (x1x2),则sin(x1-x2)=( ) A.- B.- C.- D.- 4 1 3 1 3 1 2 3 2 2 2 3 答案答案 D 令2x-=+k(kZ),则x=+(kZ), 即函数f(x)的图象的对称轴方程为x=+(kZ). 又方程f(x)=在区间(0,)内的解为x1,x2(x1x2), =,x2=-x1,sin(x1-x2)=sin=-cos.又x1x2,x2=-x1,x1,2x1- ,又sin=,cos=, sin(x
25、1-x2)=-. 4 2 3 8 2 k 3 8 2 k 1 3 12 2 xx3 8 3 4 1 3 2 - 4 x 1 2 - 4 x 3 4 8 3 8 4 0, 2 1 2 - 4 x 1 3 1 2 - 4 x 2 2 3 2 2 3 5.(2019云南师大附中4月联考,4)已知sin(+2)=,cos =,为锐角,则sin(+)的值为( ) A. B. C. D. 3 4 1 3 3 7-2 2 12 3-2 14 12 3 72 2 12 32 14 12 答案答案 D 由cos =,为锐角,得,sin =,又为锐角,+20,+2,cos(+2)=-, sin(+)=sin(+2
26、)- =sin(+2)cos -cos(+2)sin =-=,故选D. 1 3 1 2 3 2 2 2 3 2 3 3 2 3 4 2 3 7 4 3 4 1 3 7 - 4 2 2 3 32 14 12 6.(2019河南顶级名校3月联考,11)若=2 018,则+tan 2=( ) A.2 017 B.2 018 C.2 019 D.1 004 1tan 1-tan 1 cos2 答案答案 B +tan 2=+= =2 018,故选B. 1 cos2 1 cos2 sin2 cos2 1 sin2 cos2 2 (sincos ) cos2 2 22 (sincos ) cos-sin s
27、incos cos -sin 1tan 1-tan 解题关键解题关键 本题主要考查三角函数的化简和求值,利用同角三角函数的基本关系进行化简是解答 本题的关键. 二、填空题(每小题5分,共15分) 7.(2020全国百强校4月联考,14)已知0,点P(1,4)为角的终边上一点,且sin sin+ cos cos=,则角= . 2 3 - 2 2 3 3 14 答案答案 3 解析解析 本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的正余弦公式,通过角的范围的细化考 查学生严谨的逻辑推理和思维习惯,考查的核心素养为数学运算、逻辑推理. 点P(1,4)是角终边上一点, sin =,cos =, sin=
28、cos ,cos=-sin , sin sin+cos cos=sin cos -cos sin =sin(-),即sin(-)=. 0,0-,又sin(-)=, cos(-)=,cos =cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=+=,又00,所以2tan +2,得tan =当且仅当tan =时等号成立.tan 的最大值为. sin sin sin sin 2 sincos 1sin 22 sincos 2sincos 2 tan 2tan1 1 1 2tan tan 1 tan 2 1 2 2 2 4 2 2 2 4 1.(2020 5 3原创题)已知0,cos(-)=,
29、sin(+)=,则log5tan2-lotan = . 2 2 2 3 1 2 5 g 答案答案 -2 解析解析 log5tan2-lotan =2log5tan -2log5tan =2log5.0,0-0, 所以+,将cos(+)-sin(+)=两边平方并整理得sin(2+2)=,所以2+2=,所以+ =. 所以原式= =tan=tan=. 0, 2 2 2 0, 4 2 2 1 2 6 12 tantan 1- 1-tantan tantan 1 1-tantan 1-tan() 1tan() 1-tan 12 1tan 12 - 4 12 6 3 3 易错警示易错警示 “目标意识”“整
30、体意识”是解题的切入点,如果不把“+”当作整体解答,就会走 进死胡同. 3.(2020 5 3原创题)已知sin-cos=,则= . 2 2 2 2 1 sincos 1 sin -cos 答案答案 0或-2 2 解析解析 (1)若cos=0,则由sin-cos=得sin=1,所以cos =-1,sin =0,所以=0. (2)若cos0,则由sin-cos=两边同除以cos并整理得tan-1= =,解得tan=-.又因为tan=-. 所以=-2. 2 2 2 2 2 2 1 sincos 1 sin -cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 22 2 2sin2cos 2
31、2 cos 2 2 2tan2 2 2 2 42 sin 1cos 1-cos sin 1-cossin 1cossin 2 4 1 sincos 1 sin -cos 2 命题说明命题说明 本题以二倍角和同角三角函数之间的关系为背景,要求学生熟练掌握并能准确运用三 角恒等变换,考查学生逻辑思维能力及运算能力. 4.(2020 5 3原创题)若cos +2sin =-,求tan 的值.(你能想出几种解法呢?) 5 解析解析 解法一:(用同角三角函数基本关系式sin2+cos2=1求解) 由cos +2sin =-得cos =-2sin -,代入sin2+cos2=1,得5sin2+4sin +
32、4=0,即(sin +2)2= 0, 得sin =-,则cos =-,故tan =2. 解法二:(转化为齐次式) 将cos +2sin =-两边平方得cos2+4sin cos +4sin2=5,即=5, 分子、分母同时除以cos2得=5, 整理得tan2-4tan +4=0,得tan =2. 解法三:(用辅助角公式求解) 由cos +2sin =-得sin(+)=-,其中tan =,所以sin(+)=-1,则+=2k-,kZ, 所以=2k-,kZ. 所以tan =tan=2.故tan =2. 5555 2 5 5 5 5 5 22 22 cos4sincos4sin sincos 2 2 14tan4tan tan1 555 1 2 2 2 2 - 2 k sin - 2 cos - 2 cos sin 1 tan 解法四:(构造方程组求解) 设sin -2cos =t,联立得 两式平方相加得5+t2=5,得t=0, 即sin -2cos =0,得tan =2. 解法五:(数形结合) 由cos +2sin =-可以认为点M(cos ,sin )在直线x+2y=-上, 而点M又在单位圆x2+y2=1上. 解方程组可得从而tan =2. cos2sin- 5, sin -2cos, t 55 22 2- 5, 1, xy xy 5 -, 5 2 5 -, 5 x y y x
