1、考点考点 函数模型及应用函数模型及应用 1.(2020课标,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布 数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K 为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 193)( ) A.60 B.63 C.66 D.69 -0.23( -53) 1e t K 答案答案 C I(t*)=0.95K,整理可得=19,两边取自然对数得0.23(t*-53)=ln 193,解 得t*66,故选C. * -0.23( -53) 1e
2、 t K * 0.23(-53) e t 2.(2020新高考,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数 指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始 阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与 R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累 计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)( ) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 答案答案 B 因为R0=3
3、.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r=0.38,设累计感染病例增加1倍需要 的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 20.69, 所以t=1.8.故选B. 0-1 R T ln2 0.38 0.69 0.38 3.(2020北京,10,4分)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day).历史上,求圆周率的方法有 多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔 卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算 单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的
4、正6n边形)的周长,将它们的算 术平均数作为2的近似值.按照阿尔 卡西的方法,的近似值的表达式是( ) A.3n B.6n C.3n D.6n 30?30? sintan nn 30?30? sintan nn 60?60? sintan nn 60?60? sintan nn 答案答案 A 如图所示,设单位圆O的一个内接正6n边形的一边为AB,一个外切正6n边形的一边为A B,并与圆O切于点R, 在AOB中,AB的中点为S,OA=1,AOB=, AB=2AS=2AO sinAOS=2AO sin=2sin,O的内接正6n边形的周长为6n AB=12 nsin,在AOB中,OR=1,AOB=,
5、 AB=2AR=2OR tanAOR=2OR tan=2tan,O的外切正6n边形的周长为6n A 360? 6n 60? n 1 2 AOB 30? n 30? n 360? 6n 60? n 1 2 AOB 30? n B=12ntan,单位圆的内接与外切正6n边形的周长的算术平均数为=6n , 故的近似值的表达式为3n,故选A. 30? n 30?30? 12 sin12 tan 2 nn nn 30?30? sintan nn 30?30? sintan nn 4.(2019课标,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我 国航天事业取得又一重大
6、成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测 器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2 点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离 为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程: +=(R+r). 设=.由于的值很小,因此在近似计算中33,则r的近似值为( ) A.R B.R C.R D.R 1 2 () M Rr 2 2 M r 1 3 M R r R 345 2 33 (1) 2 1 M M 2 1 2 M M 2 3 1 3M M 2 3 1
7、 3 M M 答案答案 D 本题考查数学应用意识、运算求解能力以及方程思想;通过物理背景旨在考查数学建 模、逻辑推理和数学运算的核心素养.体现了试题的创新意识,激发了学生的爱国情怀以及正确的 国家观. 将r= R代入方程可得+=(1+),即+=(1+)M1, =,即=, 33, r=R R.故选D. 1 2 () M RR 2 22 M R 1 2 M R 1 2 (1) M 2 2 M 232 2 (33 ) (1) 2 1 M M 2 1 M M 543 2 33 (1) 2 1 M M 2 3 1 3 M M 2 3 1 3 M M 解后反思解后反思 题中内容丰富、字母较多,需要冷静、沉
8、思,抓住题目的实质,进而转化成数学运算问 题.平时一定要注重培养良好的解题习惯. 5.(2019北京,6,5分)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满 足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1. 45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 ( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1 5 2 1 2 E E 答案答案 A 本题考查对数与对数函数;考查学生的数据处理能力和应用意识;考查的核心素养是数 学建模和数学运算. 依题意,得m1=-26.7,m2=-1.45,
9、所以lg=-1.45-(-26.7)=25.25, 所以lg=25.25=10.1, 所以=1010.1.故选A. 5 2 1 2 E E 1 2 E E 2 5 1 2 E E 审题指导审题指导 星等和亮度都可以描述天体的明暗程度,本题需要求的是两个天体的亮度的比值.题中 给出了两个天体的星等及星等与亮度比值的关系,代入数据即可求解. 6.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治,排放未达 标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用- 的大小评价在 a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的
10、污水排放量与时间的关 系如图所示. 给出下列四个结论: 在t1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强; 在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ( )- ( ) - f b f a b a 在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标; 甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,在0,t1的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是 . 答案答案 解析解析 设y=-,由已知条件可得甲、乙两个企业在t1,t2这段时间内污水治理能力强弱的数 值计算式为-,由题图易知y甲y乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以对; 由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的
11、切线的斜率的绝对值表示,所以 对; 在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以对; 由计算式-可知,甲企业在0,t1这段时间内污水治理能力最弱,所以错. ( )- ( ) - f b f a b a 21 21 ( )- ( ) - f tf t t t ( )- ( ) - f b f a b a 解后反思解后反思 本题以环保部门要求相关企业加强污水处,排放未达标的企业要限期整改这个情境为 载体,贴近生活,要求考生能够在短时间内审清题意,理清解决问题的思路,建立适当的数学模型来 解决问题,体现试题的教育价值.通过企业污水治理能力的强弱的计算式,考查学生的抽象概
12、括、 直观想象、分析和解决具有实际意义问题的能力,同时考查了数形结合的思想. 思路分析思路分析 与函数和导数有关的实际应用问题,先把实际问题翻译成数学问题,再逐步对四个结论 去伪存真. 7.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡 母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分 别为x,y,z,则当z=81时,x= ,y= . 100, 1 53100, 3 xyz xyz 答案答案 8;11 解析解析 本题考查二元一次方程组的实际应用. 把z=81代入方程组,化简得解得 19, 5373,
13、 xy xy 8, 11. x y 8.(2018上海,19,14分)某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均 用时,某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当S中有x%(0x40, (2分) 当0x30时, f(x)=3040,不满足题意; (3分) 当30x40,化简得x2-65x+9000,即(x-20)(x-45)0,x45或x20(舍),45x1 00. (5分) 综上,当45x100时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间. (6分) 1 800 x (2)由题意得,g(x)=x% f(x)+(1-x%) 40,(7分) 当0x30
14、时,g(x)=x% 30+(1-x%) 40=40-x, 由一次函数图象的性质可知,当0x30时,g(x)单调递减;(9分) 当30x1,则f(x)在(-,1上是减函数,所以f(x)f(1)=10恒成立;若a1,则f(x)f(a)=2a-a2,要使f (x)0在(-,1上恒成立,只需2a-a20,解得0a2,0a1,综合可知,a0时, f(x)0在(- ,1上恒成立. (2)当x1时,ln x0, f(x)=x-aln x0恒成立,即a恒成立.令g(x)=,则g(x)=,令g(x)=0,得 x=e,当x(1,e)时,g(x)0,g(x)为增函数,g(x)min=g(e)=e,a e. 综合(1
15、)(2)可知,a的取值范围是0,e,故选C. ln x xln x x 2 ln -1 (ln ) x x 解后反思解后反思 求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)a在R上恒成 立f(x)mina, f(x)a在R上恒成立f(x)maxa;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行分类讨论, 从而确定参数的取值范围. 2.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)=设aR,若关于x的不等式f(x)在R上恒成立, 则a的取值范围是( ) A. B. C.-2,2 D. 2- 3,1, 2 ,1. x xx xx x 2 x a 47 -,2 16 47 39 -, 16
16、16 3 39 -2 3, 16 答案答案 A 当x1时,关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价于-x2+x-3+ax2-x+3在R 上恒成立,即有-x2+x-3ax2-x+3在R上恒成立.由y=-x2+x-3图象的对称轴为直线x=, 可得在x=处取得最大值-;由y=x2-x+3图象的对称轴为直线x=,可得在x=处取得最 小值,则-a. 当x1时,关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价于-+ax+在R上恒成立,即有 -a+在R上恒成立,因为x1,所以-2=-2,当且仅当x=时取得 最大值-2;因为x1,所以x+2=2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2a2. 由可得-a2,故选A. 2 x
17、a 2 x 1 2 3 2 1 2 1 4 1 1 4 1 4 47 16 3 2 3 4 3 1 4 3 4 39 16 47 16 39 16 2 x a 2 x x 2 x2 x 32 2 x x 2 x2 x 32 2 x x 32 2 x x 3 2 3 3 1 2 2 x 12 2 x x 3 47 16 思路分析思路分析 当x1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+x-3ax2-x+3,再由二次 函数的最值求法,可得a的取值范围;当x1时,同样可得-a+,再利用基本不等式可 得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围. 1 2 3 2 32 2 x x 2
18、x2 x 3.(2020江苏,17,14分)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水 平线MN上,桥AB与MN平行,OO为铅垂线(O在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 h1(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与 F到OO的距离b(米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO的距离为40米. (1)求桥AB的长度; (2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥 墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k0
19、),问OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价 最低? 1 40 1 800 3 2 解析解析 本题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识,考查直观想象和数学建模 及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. (1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足. 由条件知,当OB=40时, BB1=-403+640=160,则AA1=160. 由OA2=160,得OA=80. 所以AB=OA+OB=80+40=120(米). 1 800 1 40 (2)以O为原点,OO所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示). 设F(x,y2),x(0,40)
20、,则y2=-x3+6x, EF=160-y2=160+x3-6x. 因为CE=80,所以OC=80-x. 设D(x-80,y1),则y1=(80-x)2, 所以CD=160-y1=160-(80-x)2=-x2+4x. 记桥墩CD和EF的总造价为f(x)万元, 则f(x)=k+k =k(0x0). 则年总产值为4k800(4sin cos +cos )+3k1 600(cos -sin cos )=8 000k(sin cos +cos ), . 设f()=sin cos +cos ,. 则f ()=cos2-sin2-sin =-(2sin2+sin -1)=-(2sin -1)(sin +
21、1), 令f ()=0,得=, 当时, f ()0,所以f()为增函数; 当时, f ()0, 当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a). 所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a. (2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则 f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2, 所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即 m(a)= 2 0,322, -4 -2,22. a aaa 思路分析思路分析 (1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解
22、;(2)分段函数求最值的方法是分别 求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值. (ii)当0 x2时,F(x)f(x)maxf(0), f(2)=2=F(2), 当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6). 所以,M(a)= 34-8 ,34, 2,4. aa a 考点考点 函数模型及应用函数模型及应用 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020四川绵阳模拟,8)2020年3月,国内新冠肺炎疫情得到有效控制,人们开始走出家门享受春光. 某旅游景点为吸引游客,推出团体购票优惠方案如表: 两个旅游团队计划游览该景
23、点,若分别购票,则共需支付门票费1 290元;若合并成一个团队购票,则 需支付门票费990元,那么这两个旅游团队的人数之差为( ) A.20 B.30 C.35 D.40 购票人数 150 51100 100以上 门票价格 13元/人 11元/人 9元/人 答案答案 B 设两个旅游团队的人数分别为a,b,且a,bN*,不妨令ab.1 290不能被13整除,a+b 51. 若51a+b100,则11(a+b)=990,得a+b=90, 由共需支付门票费为1 290元可知,11a+13b=1 290, 联立解得b=150,a=-60,不符合题意; 若a+b100,则9(a+b)=990,得a+b=
24、110, 由共需支付门票费为1 290元可知,1b50,51a100, 得11a+13b=1 290,联立解得a=70,b=40. 这两个旅游团队的人数之差为70-40=30.故选B. 2.(2020江西南昌模拟,7)衡东土菜辣美鲜香,享誉三湘.某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目 标,拟制订员工的奖励方案:在经营利润超过6万元的前提下奖励,且奖金y(单位:万元)随经营利润x (单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型 中,符合该要求的是( ) (参考数据:1.0151004.432,lg 111.041) A.y=0.04x B.y=1
25、.015x-1 C.y=tan D.y=log11(3x-10) -1 19 x 答案答案 D 本题结合现实生活情境,考查了函数模型的应用,考查了数学建模的核心素养. 对于函数y=0.04x,当x=100时,y=43,不符合题意; 对于函数y=1.015x-1,当x=100时,y=3.4323,不符合题意;对于函数y=tan,不满足在x(6,100 上递增,不符合题意;对于函数y=log11(3x-10),满足在x(6,100上是增函数,且ylog11(3100-10)= log112902的解集为( ) A. B. C.(-,-1)(17,+) D.(-1,17) 1 5 , 4 4 1 -
26、 , 4 5 , 4 答案答案 A 本题考查函数的对称性与单调性的综合运用,体现的核心素养是逻辑推理. 依题意,函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(4)=f(0)=2,故f(4x-1)204x-14x.故选A. 1 4 5 4 4.(2019四川广元一中3月月考,7)产品生产件数x与生产总成本y(万元)之间有函数关系y=0.1x2-6x+3 00,若每件产品成本平均不超过7万元,且每件产品用料6吨.现有库存原料30吨,旺季可进料900吨, 则旺季最高产量是( ) A.150件 B.155件 C.200件 D.100件 答案答案 D 产品生产件数x与生产总成本y(万元)之间有函数关系y=
27、0.1x2-6x+300, 若每件产品成本均不超过7万元,则y=0.1x2-6x+3007x, 即x2-130 x+3 0000,30 x100, 又每件产品用料6吨,现有库存原料30吨,旺季可进料900吨,6x900+30,解得x155, 综上,30 x100,旺季最高产量是100件. 5.(2020吉林梅河口五中模拟,15)已知定义在R上的函数f(x)的周期为2,且xR, f(x)-f(-x)=0恒成 立,当x-1,0时, f(x)=x2,若g(x)=f(x)-log2 020 x在(0,m上恰有2 019个零点,则整数m的最小值为 . 答案答案 2 020 解析解析 因为xR, f(x)
28、-f(-x)=0恒成立,所以函数f(x)是周期为2的偶函数,根据其奇偶性和周期性, 可作出函数f(x)的图象如图.函数g(x)在(0,m上恰有2 019个零点等价于函数f(x)与函数h(x)=log2 020 x 的图象在(0,m上恰有2 019个交点,log2 0202 020=1,作出h(x)的图象,根据图象可知整数m的最小值为 2 020. 6.(2019陕西第一次模拟联考,16)定义在实数集R上的奇函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且当x(0,1时, f(x)=x,则下列四个命题中,正确的是 (填序号). f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)=0; 方程f(x)=l
29、og5|x|有5个根; f(x)= 函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. -4 (4 -141,Z), -42(4143,Z); xkkxkk xkkxkk 答案答案 解析解析 定义在实数集R上的奇函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,可得f(x+2)=-f(x)=f(-x),即有函数f(x)的图 象关于直线x=1对称,故正确; 又f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故可得f(x)的周期为4, 由x(0,1时, f(x)=x,可得f(1)=1,又f(0)=0, f(2)=0, f(3)=-f(1)=-1, f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(2 01 9)=50
30、4(1+0-1+0)+1+0-1=0,故正确;当x-1,0)时,-x(0,1,所以f(-x)=-x=-f(x),故f(x)=x(-1xlog32时,h(x)0,h(x)递增,当xlog32时,h(x)0,所以当t=3.75时,p取最大值,故3.75分钟为最佳加工时间,故选B. 930.7, 1640.8, 2550.5, abc abc abc 2 15 - 4 t 13 16 15 4 5.(2019陕西渭南模拟,11)记maxx,y,z表示x,y,z中的最大者,设函数f(x)=max-x2+4x-2,-x,x-3,若f (m)1,则实数m的取值范围是( ) A.(-,-1)(4,+) B.
31、(1,3) C.(-1,4) D.(-1,1)(3,4) 答案答案 D 函数f(x)的图象如图, 直线y=1与f(x)图象的交点A(-1,1),B(1,1),C(3,1),D(4,1),故f(m)1时,实数m的取值范围是-1m1或3 m4.故选D. 6.(2019四川绵阳涪城模拟,12)已知函数f(x)=若存在实数x1,x2,x3,x4,满足x1x2x3x4, 且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则的取值范围是( ) A.(0,12) B.(0,16) C.(9,21) D.(15,25) 2 |log|,02, sin,210, 4 xx xx 34 12 ( -2)(-2)x
32、x x x 答案答案 A 作出函数f(x)=的图象,如图,由存在实数x1,x2,x3,x4,满足x1x2x3x4,且f(x 1)=f(x2)=f(x3)=f(x4), 可得-log2x1=log2x2,即有x1x2=1,且x3+x4=26=12,即x4=12-x3,2x3x,满足题意. 注意到f(0)=g(0)=2,因此如果存在直线y=kx+b,只有可能是曲线f(x)(或g(x)在x=0处的切线, f (x)= 2x, f (0)=0,因此切线方程为y=2,易知g(x)2=2, f(x)2,因此不存在直线y=kx+b满足题意. x(0,+)时,注意到f(1)=g(1)=0,因此如果存在直线y=
33、kx+b,只有可能是曲线g(x)(或f(x)在x=1处 的切线,g(x)=2ln x+2,则g(1)=2,因此切线方程为y=2x-2. 令f0(x)=x-(2x-2),则f 0(x)=-1,易知f0(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,所以f0(x)f0(1) =0,即x-2x-2.令g0(x)=2xln x-(2x-2),则g0(x)=2ln x,易知g0(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调 递增,所以g0(x)g0(1)=0,即2xln x2x-2.因此x-2x-22xln x,满足题意. 0, 2 2 1 cos x 2 1x 2-1 x - ee xx 1
34、x 2 1 x 1 x 1 x 答案答案 9.(2020陕西咸阳二模,15)为了抗击新型冠状病毒肺炎,某医药公司研究出一种消毒剂,据实验表明, 该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系为y=(如图所示)实验表明,当药物释放量y 0.75(mg/m3)时对人体无害. (1)k= ; (2)为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过 分钟人方可进入房间. 1 ,0, 2 11 , 2 ktt t kt 答案答案 (1)2 (2)40 解析解析 本题主要考查了函数的实际运用,体现了数学建模的核心素养. (1)由题图可知,当t=时,y=1,=1,k=2.
35、(2)由(1)可知:y= 当t时,y=,令y, 在消毒后至少经过小时,即40分钟人方可进入房间. 1 2 2 k 1 2 ,0, 2 11 , 22 tt t t 1 2 1 2t 2 3 2 3 1.(2020 5 3原创题)人们用分贝(dB)来划分声音的等级,声音的等级d(x)(单位:dB)与声音强度x(单 位:W/m2)满足d(x)=9lg.一般两人小声交谈时,声音的等级约为54 dB,在有50人的课堂上课 时,老师声音的等级约为63 dB,那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的 ( ) A.1倍 B.10倍 C.100倍 D.1 000倍 -13 1 10 x 答案答案
36、 B 设老师上课时声音强度,一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2,x2 W/m2, 根据题意得d(x1)=9lg=63,解得x1=10-6, d(x2)=9lg=54,解得x2=10-7,所以,=10, 因此,老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍,故选B. 1 -13 1 10 x 2 -13 1 10 x 1 2 x x 命题说明命题说明 本题以声音强度与声音等级的函数关系为背景,考查对数函数、指数与对数运算.同时 也涉及了指数式与对数式的互化,引导学生学会用数学知识解释生活现象、自觉把数学运用到实 际生活中去,考查数学运算、数学建模的素养. 2.(2020 5
37、 3原创题)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律,统计显示,生 长4年的树高为米,如图所示的散点图记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请 你据此判断,在下列函数模型:y=2t-a;y=a+log2t;y=t+a;y=+a中(其中a为正的常实数),拟 合生长年数与树高的关系最好的是 (填写序号),估计该树生长8年后的树高为 . 7 3 1 2 t 答案答案 ;米 10 3 解析解析 由散点图的走势,知模型不合适.曲线过点,则后三个模型的解析式分别为y=+ log2t;y=t+;y=+,易知拟合最好的是.将t=8代入得8年后的树高为米. 7 4, 3 1
38、3 1 2 1 3 t 1 3 10 3 命题意图命题意图 在选择函数模型,解决实际问题的试题中,既要关注问题本身的属性,又要满足潜在的 数学属性. 树木生长有的先慢后快,有的先快后慢,但在一定年限之后几乎都是“蜗牛式增长”;高寒山区树 木普遍不高,生长也较缓慢;散点图走势既像直线,也不能排除对数型和抛物线型.单纯考虑其中一 个方面,不能对四个函数模型直接选定或排除. 素养解读素养解读 重点考核数学建模、数据分析与逻辑推理的核心素养. 3.(2020 5 3原创题)为了调控过高的猪肉价格,在春节前,某市从2020年1月1日起一直从外地引进生 猪进入本市市场销售,过了一段时间,通过市场调查,发现
39、近期猪肉的价格f(t)(单位:元/kg)与时间t(t 表示距春节的天数,单位:天,t(0,9)的数据如下表: (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述猪肉价格f(t)与时间t的变化关系:f(t)=at+b, f(t)= , f(t)=at2+bt+c, f(t)=a+b, f(t)=aet+b, f(t)=aln t+b,其中a0,并求出此函数; (2)为了控制猪肉的价格,不使猪肉的价格过高,经过市场调研,引入一控制函数h(t)=et-(8-2)t+60,t 0,称为控制系数,求证:当-1+ln 2时, f(t)-1+ln 2知g(ln 2)0, g(t)0,则g(t)在区间(0,9上为增函数, 于是有g(t)g(0),而g(0)=0,故g(t)0, 即当-1+ln 2且t0时,ett2-2t+1,即f(t)h(t). 命题说明命题说明 本题主要考查数学在生活中的应用,涉及二次函数的性质、指数函数性质、导数等,考 查转化与化归、函数与方程的数学思想.培养了学生数学建模的能力.
