1、考点考点1 1 平面向量的数量积平面向量的数量积 1.(2020课标,6,5分)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a b=-6,则cos=( ) A.- B.- C. D. 31 35 19 35 17 35 19 35 答案答案 D 由题意得cos=.故选D. () | | aab a ab 2 22 | |2 aa b aaba b 25-6 52536-12 19 35 2.(2019课标,3,5分)已知=(2,3),=(3,t),|=1,则=( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 ABACBCABBC 答案答案 C 本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的
2、运算,考查了方程的 思想方法.考查的核心素养为数学运算. =-=(1,t-3),|=1,t=3, =(2,3) (1,0)=2. BCACABBC 22 1( -3)t ABBC 3.(2018课标,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a b=-1,则a (2a-b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 答案答案 B 本题考查平面向量的运算. 因为|a|=1,a b=-1,所以a (2a-b)=2|a|2-a b=212-(-1)=3.故选B. 4.(2020课标,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= . 答案答案 3 解析解析 由|a+b|=1,得|a+b
3、|2=1,即a2+b2+2a b=1,而|a|=|b|=1,故a b=-,|a-b|= =. 1 2 2 | - |a b 22 ab -2a b 1 1 1 3 5.(2020课标,13,5分)已知单位向量a,b的夹角为45,ka-b与a垂直,则k= . 答案答案 2 2 解析解析 因为(ka-b) a=ka2-a b=0,且单位向量a,b的夹角为45,所以k-=0,即k=. 2 2 2 2 6.(2019课标,13,5分)已知a,b为单位向量,且a b=0,若c=2a-b,则cos= . 5 答案答案 2 3 解析解析 |a|=|b|=1,a b=0,c=2a-b, a c=a (2a-b
4、)=2a2-a b=2, |c|=|2a-b|=3. cos=. 5 55 5 2 (2 - 5 )ab 22 4a5b -4 5a b | | | a c a c 2 3 小题巧解小题巧解 不妨设a=(1,0),b=(0,1),则c=2(1,0)-(0,1)=(2,-),cos=. 55 2 1 3 2 3 答案答案 2 3 解析解析 本题考查向量数量积的计算. 由题意知a b=|a| |b|cos 60=21=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a b=4+4+4=12. 所以|a+2b|=2. 1 2 3 8.(2016课标,13,5分)设向量a=(m,1),b
5、=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= . 答案答案 -2 解析解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,知ab,a b=m+2=0,m=-2. 7.(2017课标,13,5分)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= . 1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e b+3=0,则|a-b|的最小值是( ) A.-1 B.+1 C.2 D.2- 3 33 3 以下为教师用书专用 答案答案 A 本题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离. 设=a,=b,=
6、e,以O为原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨设A 点在第一象限,a与e的夹角为,点A在从原点出发,倾斜角为,且在第一象限内的射线上.设B (x,y),由b2-4e b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而=a-b,|a-b|的 最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y=x(x0)的距离减去圆的半 径,所以|a-b|min=-1.选A. OAOBOEOE 3 3 BA 3 3 一题多解一题多解 将b2-4e b+3=0转化为b2-4e b+3e2=0, 即(b-e) (b-
7、3e)=0,(b-e)(b-3e). 设=e,=a,=b,=3e,=2e,则, 点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图. |a-b|=|,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离减去 圆的半径. |=2,AOM=,|a-b|min=2sin-1=-1. OEOAOBONOMEBNB BA OM 3 3 3 2.(2017上海春,16,5分)如图所示,正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2,若P为该正八边形边上的动 点,则的取值范围为( ) A.0,8+6 B.-2,8+6 C.-8-6,2 D.-8-6,8+6 13 A A 1 AP 22
8、2 2222 答案答案 B 正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135,且|=|=2,|=|=2 ,|=|=2+2,|=2. 由向量数量积的几何意义可得,当P与A8重合时,取最小值,为22cos 112.5=22 =-2.当P与A4重合时,取最大值,为2(2+2)cos 22.5=8+6 . 故的取值范围为-2,8+6. 12 A A 18 A A 13 A A 17 A A 22 14 A A 16 A A2 15 A A42 2 13 A A 1 AP22 22 2- 2 - 2 2 13 A A 1 AP222 2 13 A A 1 AP22 3.(2017浙江,10,
9、4分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O. 记I1=,I2=,I3=,则( ) A.I1I2I3 B.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I10,nm. 从而DBC45,又BCO=45,BOC为锐角. 从而AOB为钝角.故I10,I30. 又OAOC,OB1),=-2(21), 从而I3=12=12I1, 又121,I10,I30,I3I1,I3I1I2.故选C. 5 4 ODOBOCOA OC ODOA OB 4.(2016课标,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=( ) A.-8 B.-6 C
10、.6 D.8 答案答案 D 由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)b,43-2(m-2)=0.m=8.故选D. 5.(2016课标,3,5分)已知向量=,=,则ABC=( ) A.30 B.45 C.60 D.120 BA 13 , 22 BC 3 1 , 22 答案答案 A cosABC=,所以ABC=30,故选A. | BA BC BA BC 3 2 6.(2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足|=|=|,=-2,动点 P,M满足|=1,=,则|2的最大值是( ) A. B. C. D. DADBDCDADBDBDCDCDA APPMMCBM 43 4 49 4
11、376 3 4 372 33 4 答案答案 B 由|=|=|及=DBCA,DCAB,DACB,且ADC= ADB=BDC=120,ABC为正三角形,设|=a,则a2cos 120=-2a=2AC=2OC=3,如 图建立平面直角坐标系xOy, 则A(-,0),B(,0),C(0,3).由=P,M,C三点共线且M为PC的中点,设P(x,y),由|=1(x+ )2+y2=1, 令则即P(sin -,cos ), M, |2=(sin -3)2+(3+cos )2=37-(6sin -6cos )=(37+12)=. |2的最大值为. DADBDCDADBDBDCDCDA DA3 33PMMCAP 3
12、 3sin , cos , x y sin - 3, cos , x y 3 sin - 3 3cos , 22 BM 1 4 3 1 4 3 1 4 37-12sin- 6 1 4 49 4 BM 49 4 一题多解一题多解 由|=|=|知D为ABC的外心.由=知D为ABC的内 心,所以ABC为正三角形,易知其边长为2, 取AC的中点E,因为=,所以M是PC的中点, 所以|=|=, 所以|max=|BE|+=,则|=.故选B. DADBDCDADBDBDCDCDA 3 PMMC EM 1 2 AP 1 2 BM 1 2 7 2 BM 2 max | 49 4 7.(2016山东,8,5分)已
13、知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=.若n(tm+n),则实数t的值为 ( ) A.4 B.-4 C. D.- 1 3 9 4 9 4 答案答案 B 因为n(tm+n),所以tm n+n2=0,所以m n=-,又4|m|=3|n|,所以cos=- =,所以t=-4.故选B. 2 n t| | | m n m n 2 4 3| | m n n 4 3t 1 3 考点考点2 2 平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用 1.(2020新高考,7,5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是 ( ) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4
14、,6) AP AB 答案答案 A 如图,过点P作PP1直线AB于P1,过点C作CC1直线AB于C1,过点F作FF1直线AB于F1,=| | | cosPAB,当PAB为锐角时,| cosPAB=|,当PAB为钝角时,| cosPAB=-| |,所以当点P与C重合时,最大,此时=|=6,当点P与F重合时,最小,此 时=-|=-2,又因为点P是正六边形ABCDEF内的一点,所以-20,则m+120,得m-12,当ab时,解得m=,即实数m的取值 范围是m-12且m,故选D. 4 3 4 3 6.(2020全国卷地区百校联盟百日冲刺金卷(三),13)已知向量a=(2,1),b=(m,-1)(mR),
15、且b(2a -b),则向量a在b方向上的投影为 . 答案答案 或 2 2 10 2 解析解析 根据题意,知2a-b=(4-m,3),b(2a-b), m (4-m)-3=0,m=1或m=3,向量a在b方向上的投影为=或=. | | a b b 1 2 2 2 5 10 10 2 解题关键解题关键 正确理解向量投影的定义,通过数量积进行合理转化是求解本题的关键,即a在b方向上 的投影为|a|cos=. | | a b b 考点考点2 2 平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用 1.(2020河南部分重点中学3月模拟,8)已知单位向量a,b的夹角为,且tan =,若向量m=a-3b,则| m|=
16、( ) A. B. C. D.或 1 2 5 2326226 答案答案 A 本题主要考查平面向量的夹角,向量的模长以及同角三角函数的基本关系,考查的核心 素养为数学运算,逻辑推理. a与b为单位向量,|a|=|b|=1,又为a与b的夹角,且tan =,为锐角,且cos =2sin ,又sin2+cos2 =1,cos =,又m=a-3b,|m|=, 故选A. 1 2 2 5 5 5 2 ( 5 -3 )a b 22 59-6 5aba b 2 5 59-6 5 1 1 5 2 2.(2019河南郑州二模,7)在RtABC中,BCA=90,CB=2,CA=4,P在边AC的中线BD上,则的 最小值
17、为( ) A.- B.0 C.4 D.-1 CPBP 1 2 答案答案 A 因为BC=2,AC=4,BCA=90,D为AC的中点,BD=2,且CBD=45.因为点P在边AC 的中线BD上,所以设=(01),所以=(+)=(+) =+2 =| | cos 135+2(2)2=82-4=8-,当=时,取得最小值-,故选A. 2 BPBDCPBPCBBPBPCBBDBDCBBD 2 BDCBBD2 2 1 - 4 1 2 1 4 CPBP 1 2 一题多解一题多解 依题意,以C为坐标原点,分别以AC,BC所在的直线为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B (0,2),D(2,0),所以直线B
18、D的方程为y=-x+2,因为点P在边AC的中线BD上,所以可设P(t,2-t)(0t2), 所以=(t,2-t),=(t,-t),所以=t2-t(2-t)=2t2-2t=-,当t=时,取得最小值-,故 选A. CPBPCPBP 2 1 2- 2 t 1 2 1 2 CPBP 1 2 3.(2018贵州遵义第二次适应性考试,10)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F 在边CD上,若=,则的值是( ) A.2- B.1 C. D.2 2 ABAF2AE BF 22 答案答案 C 解法一:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0)
19、,B(,0),E (,1),设F(x,2),0 x,则=(x,2),又=(,0),=x=,x=1,F(1,2),易知 =(,1),=(1-,2),=(1-)+2=. 解法二:=|cosBAF=,|=, |cosBAF=1,即|=1,|=-1, 2 22AFAB2ABAF22AE 2BF2AE BF222 ABAFABAF2AB2 AFDFCF 2 =(+) (+) =+ =+=(-1)(-1)+121=. AE BFABBEBCCF ABBCABCFBEBCBECF ABCFBEBC222 4.(2020全国卷24省4月联考,14)已知点O为坐标原点,向量=(1,2),=(x,y),且=10,
20、则| 的最小值为 . OAOBOA OBOB 答案答案 2 5 解析解析 本题主要考查平面向量的数量积运算,向量的模,点到直线的距离公式,考查转化与化归和 数形结合思想的应用. =(1,2),=(x,y),且=10,x+2y=10,而|=表示的几何意义是点(x,y)与原点(0, 0)的距离,即原点O与直线x+2y=10上的点的距离,|的最小值为点O到直线x+2y-10=0的距离, 即|min=2. OAOBOA OBOB 22 xy OB OB 22 |-10| 12 10 5 5 5.(2020河南郑州二模,15)已知四边形ABCD中,ADBC,BAD=90,AD=1,BC=2,M是AB边上
21、的动 点,则|+|的最小值为 . MCMD 答案答案 3 解析解析 本题主要考查模长的计算,借助平面多边形考查学生对向量工具作用的应用能力,体现了数 学运算,逻辑推理等核心素养. 以BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设A(0,a),M(0,b)且0b a,由于BC=2,AD=1,C(2,0),D(1,a),=(2,-b),=(1,a-b),+=(3,a-2b),|+|= ,当且仅当a-2b=0时,|+|取得最小值3,此时a=2b,即点M为AB的中点. MCMDMCMDMCMD 2 9( -2 )abMCMD 一、选择题(每小题5分,共40分) B B组组 专题
22、综合题组专题综合题组 (时间：30分钟 分值：60分) 1.(2020陕西安康一模,11)向量a,b满足|a+b|=|a-b|,且(a+b)(a-b),则b与2a+b所成角的余弦值是 ( ) A. B. C. D.0 3 21 7 2 7 7 3 2 答案答案 B |a+b|=|a-b|两边平方有(a+b)2=3(a-b)28a b=2a2+2b2a2+b2=4a b.由(a+b)(a-b)得(a +b) (a-b)=0|a|=|b|,设a,b的夹角为,则a2+b2=4a b2|a|2=4|a|2cos ,故cos =.因为0,故=. 不妨设a=(2,0),b=(1,).故2a+b=(4,0)
23、+(1,)=(5,),设b与2a+b所成的角为,则cos = =,故选B. 3 1 2 3 333 (2) | |2| bab bab (1, 3) (5, 3) 1 3253 8 22 7 2 7 7 2.(2020江西南昌一模,8)已知ABC的垂心为H,且AB=3,AC=5,M是BC的中点,则=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 AMBC 答案答案 D 因为H为ABC的垂心,所以AHBC,而=+,所以=(+)= ,因为M是BC的中点,所以=(+),所以=(+) (-)=(- )=(25-9)=8.故选D. HMHAAMHMBCHAAMBC AMBCAM 1 2 ABACAMBC 1 2
24、 ABACACAB 1 2 2 AC 2 AB 1 2 思路分析思路分析 将转化为+,然后得到=,再将和用,表示,从而 得到结果. HMHAAMHMBCAMBCAMBCABAC 3.(2020四川德阳二诊,9)平行四边形ABCD中,已知AB=4,AD=3,点E、F分别满足=2,=, 且=-6,则向量在上的投影为( ) A.2 B.-2 C. D.- AEEDDFFC AFBEADAB 3 2 3 2 答案答案 C 由已知得=,=,=+=+,=-=- ,=-,又知|=3,|=4,=-6, =6,在上的投影为| cosDAB=,故选C. AE 2 3 AD DF 1 2 DC 1 2 ABAFAD
25、DFAD 1 2 AB BEAEAB 2 3 AD ABAFBE 1 2 ADAB 2 - 3 AD AB 2 3 2 AD 1 2 2 AB 2 3 ABADADABAFBE ABADADABAD | AB AD AB 6 4 3 2 一题多解一题多解 以AB所在直线为x轴,点A为坐标原点,建立平面直角坐标系,设DAB=,AB=4,AD=3,F为DC中 点,=,B(4,0),D(3cos ,3sin ),E(2cos ,2sin ),C(3cos +4,3sin ),F(3cos +2,3sin ), =(3cos +2,3sin ),=(2cos -4,2sin ),=(3cos +2)
26、(2cos -4)+6sin2=-6,即6cos2-8cos - 8+6sin2=-6,cos =,在上的投影为|cos =3=,故选C. AE 2 3 ADAF BEAFBE 1 2 ADABAD 1 2 3 2 4.(2020河南天一大联考顶尖计划第二次联考,7)已知AM,BN分别为圆O1:(x+1)2+y2=1与圆O2:(x-2)2+ y2=4的直径,则的取值范围为( ) A.0,8 B.0,9 C.1,8 D.1,9 ABMN 答案答案 A 本题主要考查平面向量的分解,向量数量积的运算,以解析几何为背景考查数量积的范 围,旨在体现向量的工具性,考查的核心素养为数学运算,直观想象和逻辑推
27、理. 如图,=(+) (+)=+(+) -(+)=|2-| +|2=9-|+|2,其中|+|2-1,2+1=1,3,所以9-32,9-12,即 0,8. ABMN 1AO 12 OO 2 O B 1 MO 12 OO 2 O N 12 OO 1 AO 2 O B 12 OO 1 AO 2 O B 12 OO 1 AO 2 O B 1 AO 2 O B 1 AO 2 O BABMNABMN 5.(2020贵州遵义五校4月联考,8)已知腰长为2的等腰直角ABC中,M为斜边AB的中点,点P为该平 面内一动点,若|=2,则(+4) ()的最小值为( ) A.24-16 B.24+16 C.48-32
28、D.48+32 PCPA PBPCPM 22 22 答案答案 C 以CA,CB所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(2,0),B(0,2),M(1,1),设P(x,y),则= (2-x,-y),=(-x,2-y),=(-x,-y),=(1-x,1-y),=-x(2-x)-y(2-y)=x2-2x+y2-2y,=-x(1-x)- y(1-y)=x2-x+y2-y,|=2,x2+y2=4,设x=2cos ,y=2sin ,则x+y=2cos +2sin =2sin,-2 x+y2.(+4) ()=(4-2x-2y+4)(4-x-y)=2(x+y-4)2,x+y=2时,(+4
29、) ( PA PBPCPMPA PBPCPM PC2 4 22PA PBPCPM2PA PBPC 思路分析思路分析 以CA,CB所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,设出点P的坐标,写出相关向量的坐标, 求出(+4) (),由|=2得x2+y2=4,进而得-2x+y2,利用函数思想求得最小值. PA PBPCPMPC22 )取得最小值,为=48-32.故选C. PM 2 2 (2 2-4)2 6.(2020甘肃第二次诊断考试,12)如图,在ABC中,M是AC的中点,N在边BC上,且=3,BM与 AN交于点P.若=24,则的值是( ) A. B. C. D.3 BCBN ABBCBPPN | |
30、 AB BC 3 3 3 1 3 答案答案 A 本题主要考查平面向量的线性运算,平面向量的数量积以及平面向量基本定理的应用, 考查学生的逻辑思维能力,运算求解能力,考查的核心素养为逻辑推理,数学运算和直观想象. 过M作MQNC交AP于Q,设BC=6,=3,BN=2,NC=4,又M为AC的中点,MQNC,MQ= NC=2,易证MQPBNP,QP=NP,MP=BP,P为QN与BM的中点,=,=,又 =(+),=-=-,=(+)=-+ -,又=24,=24-,即= -,=3,即|=|,=,故选A. BCBN 1 2 BP 1 2 BMPN 1 4 AN BM 1 2 BABCANBNBA 1 3 B
31、CBABPPN 1 8 BMAN 1 16 BABC 1 - 3 BC BA 1 16 2 BA 1 3 2 BC 2 3 BABCABBCBPPNABBC 1 16 1 3 2 BC 2 BA 2 3 BABCABBC 1 2 2 BC 3 2 2 BABABC 2 BC 2 BABC3BA | | AB BC | | BA BC 3 3 7.(2020山西太原一模,11)设|AB|=10,若平面内点P满足对任意的R,都有|2-|8,则下列结 论一定正确的是( ) A.|5 B.|+|10 C.-9 D.APB90 APAB PAPAPB PA PB 答案答案 C 本题主要考查平面向量的坐标
32、表示,向量的模长,平面向量的数量积的运算等基本知识, 考查学生的运算求解能力和分析、解决问题的能力,考查的核心素养为数学运算和逻辑推理. 以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,过点A与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B(10,0). 设P(x,y),则=(10,0),=(x,y),=(10,0),=(-x,-y),=(10-x,-y),所以2-=(2x-10,2y), 所以|2-|=8,化简得(x-5)2+y216,即点P在以(5,0)为圆心,4为半径的圆 上或圆外,又对任意都成立,所以点P到x轴的距离|y|4,|=|y|4,所以|5不一定 正确,故排除选项A;|+|
33、=2|y|8,所以|+|10不一定正确,故排除选 项B;=x2-10 x+y2=(x-5)2+y2-25y2-25-9,故选项C正确;cosAPB=,因为=x2-10 x+y2,|y|4,所以当x=5,y=4时,0,则cosAPB0,即900, = =2,当且仅当t=1时取等号. 2 1 t ctab 2222 2 12 t22 tt cabta cb ca b 2 2 11 22 tt tt 2422 11.(2019河南、河北百校联盟4月联考,15)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADBD,BCD= 60,CB=CD=2,点M为BC边上一动点,则的取值范围为 . 3AMDM 答案答
34、案 45 ,18 4 解析解析 如图,以点B为坐标原点,BC,BA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(0,0),C(2, 0),由题意知BCD是等边三角形,得D(,3),BD=2,CBD=60.又ABC=90,则ABD=30,则 AB=4,A(0,4).又点M为BC边上的一动点,设M(x,0),x0,2,则=(x,-4) (x-,-3)=x2-x+1 2=+,所以当x=时,取得最小值,当x=2时,取得最大值18,故 的取值范围是. 3 33 3AMDM33 2 3 - 2 x 45 4 3 2 AMDM 45 4 3AMDMAM DM 45 ,18 4 12.(2018贵州遵义五校
35、联考,14)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,=2, 则的值是 . CPPDAPBP ABAD 答案答案 22 解析解析 =+=+=+, =+=-=-, 则= =-=13-, 又因为=2,所以=22. APADDPAD 1 4 DCAD 1 4 AB BPBCCPAD 3 4 DCAD 3 4 AB APBP 1 4 ADAB 3 - 4 ADAB 2 AD 1 2 ABAD 3 16 2 AB 1 2 ABAD APBPABAD 1.(2020 5 3原创题)如图,在四边形ABCD中,AB=BD=AD=2,BCCD,M为AB的中点,则的最 大值为 . CACM 答案
36、答案 + 5 2 7 解析解析 解法一:如图,分别取AM、BD的中点H,G,连接CH,CG,HG.=(+)2-(-)2= (2 )2-=-.在BHG中,易知BH=,BG=1,HBG=60,则HG2=BH2+BG2-2BH BG cos HBG=,所以HG=.又因为CHCG+HG=+1,所以=-+.故的最 大值为+. 解法二:如图,分别以CB,CD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设CBD=,则B(2cos ,0),D CACM 1 4 CACMCACM 1 4 CH 2 MA 2 CH 1 4 3 2 7 4 7 2 7 2 CACM 2 CH 1 4 5 2 7CACM 5 2 7 (
37、0,2sin ), 则A(2sin(+30),2sin +2cos(+30),即A(cos +sin ,sin +cos ).又M为AB的中点, 所以Mcos +sin ,sin +cos ,所以=2+cos2+sin 2=+(cos 2+3 sin 2)+=+.故的最大值是+. 33 3 2 3 2 1 2 3 2 CACM 3 3 2 5 2 1 2 3 5 2 1 2 127 5 2 7CACM 5 2 7 2.(2020 5 3原创题)设a=(3,m),b=(5,1).若向量a与a-b的夹角为钝角,则实数m的取值范围是 , |a|的取值范围是 . 答案答案 ;3,3) 3 -2, 5
38、3 ,3 5 2 解析解析 由题意可知a-b=(-2,m-1), 若a(a-b),则3(m-1)=-2m,解得m=,此时a-b=-a,a-b与a反向,令a (a-b)0,则-6+m(m-1)0,即m2-m-6 0,解得-2m3,所以当向量a与a-b的夹角为钝角时,m的取值范围是-2m或m3,即m .所以0m29,故|a|=3,3). 3 5 2 3 3 5 3 5 3 -2, 5 3 ,3 5 22 3m2 命题说明命题说明 本题重点考查平面向量的模、向量夹角等基本概念、平面向量数量积的坐标运算. 3.(2020 5 3原创题)在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若AMN是边
39、长为2的正三角 形,则= . ABAN 答案答案 0 解析解析 解法一:如图,设AC与MN交于点E, 易得=(+)=(+)=,故=,由等腰三角形三线合一的性质知AEMN, 及MAC=NAM=, 因为MNBD,所以ACBD,于是平行四边形ABCD为菱形,记其中心为点 O,由M是BC的中点,得=(+),进而=2-,所以=(2-)=2 -=2-=222-2=0. 解法二:设AC与MN交于点E,记平行四边形ABCD的中心为O. CE 1 2 CMCN 1 4 CBCD 1 4 CAAE 3 4 AC 1 2 6 AM 1 2 ABACABAMACABANAMACANAM AN AC ANAMAN 4 3 AEAN 1 2 4 3 3 3 2 同解法一可得平行四边形ABCD为菱形,=, 以菱形ABCD的中心O为原点,对角线所在直线为坐标轴,建系如图,易得BO=2ME=MN=2,及OE= EA=,OA=AE=,因此A,B(-2,0),N,进而=,=(1,-),故 =-2+2=0. CE 1 2 CO 1 4 CA 1 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 0, 3 3 1,- 3 AB 2 3 -2,- 3 AN3ABAN
