1、考点考点 基本不等式基本不等式 1.(2020江苏,12,5分)已知5x2y2+y4=1(x,yR),则x2+y2的最小值是 . 答案答案 4 5 解析解析 由5x2y2+y4=1知y0,x2=,x2+y2=+y2=+2=,当且仅当= ,即y2=,x2=时取“=”.故x2+y2的最小值为. 4 2 1- 5 y y 4 2 1- 5 y y 4 2 14 5 y y 2 1 5y 2 4 5 y4 25 4 5 2 1 5y 2 4 5 y1 2 3 10 4 5 解题关键解题关键 由已知条件,把其中的一个字母用另一个字母表示出来,再代入所求最值的式子中,达 到消元的目的,这是解本题的第一个关
2、键;把所求的式子整理成能用基本不等式求最值的形式是 第二个关键;最后要检验一下是否满足等号成立的条件,这是第三个关键. 2.(2020天津,14,5分)已知a0,b0,且ab=1,则+的最小值为 . 1 2a 1 2b 8 ab 答案答案 4 解析解析 +=+=+2=4, 当且仅当=,即(a+b)2=16,也即a+b=4时取等号. 又ab=1,或时取等号, +的最小值为4. 1 2a 1 2b 8 ab2 ab ab 8 ab2 ab8 ab 8 2 ab ab 2 ab8 ab 23, 2- 3 a b 2- 3, 23 a b 1 2a 1 2b 8 ab 3.(2017江苏,10,5分)
3、某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储 费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 . 答案答案 30 解析解析 本题考查基本不等式及其应用. 设总费用为y万元, 则y=6+4x=4240. 当且仅当x=, 即x=30时,等号成立. 600 x 900 x x 900 x 4.(2018天津,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为 . 1 8b 答案答案 1 4 解析解析 本题主要考查运用基本不等式求最值. a-3b+6=0,a-3b=-6, 2a+=2a+2-3b2=2=2=. 当且仅当2a=2-3b,即a
4、=-3,b=1时,2a+取得最小值,为. 1 8b -3 22 ab -3 2a b-6 2 1 4 1 8b 1 4 5.(2019天津,13,5分)设x0,y0,x+2y=5,则的最小值为 . (1)(21)xy xy 答案答案 4 3 解析解析 本题主要考查利用基本不等式求最值;通过不等式的应用考查学生推理论证能力及运算求 解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养. x+2y=5,x0,y0, =2+2=4, 当且仅当即或时,原式取得最小值4. (1)(21)xy xy 221xyxy xy 26xy xy xy 6 xy 6 2 xy xy 3 25, 6 2, xy xy xy 3
5、, 1 x y 2, 3 2 x y 3 6.(2017天津,12,5分)若a,bR,ab0,则的最小值为 . 44 41ab ab 答案答案 4 解析解析 本题考查基本不等式的应用. a4+4b42a2 2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),=4ab+, ab0,4ab+2=4当且仅当4ab=时“=”成立,故当且仅当时, 的最小值为4. 44 41ab ab 22 41a b ab 1 ab 1 ab 1 4ab ab 1 ab 22 2, 1 4 ab ab ab 44 41ab ab 7.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x0)上的
6、一个动点,则点P到直线x+y =0的距离的最小值是 . 4 x 答案答案 4 解析解析 本题通过曲线y=x+(x0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式、基本不 等式等有关知识,利用点到直线的距离公式考查学生的运算求解能力,体现了从几何关系到代数关 系的直观想象和数学运算的核心素养. 设P,x00,则点P到直线x+y=0的距离d=4,当且仅当x0=,即x0 =时取“=”.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4. 4 x 00 0 4 ,x x x 00 0 4 2 xx x 2 0 0 2 x x 0 2 x 2 一题多解一题多解 当点P到直线x+y=0的距离最小时,曲线在点P处的
7、切线与直线x+y=0平行. 设P,x00,易知y=1-, 令1-=-1,得=2.x00,x0=,P(,3). 此时点P到直线x+y=0的距离为=4. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4. 00 0 4 ,x x x 2 4 x 2 0 4 x 2 0 x222 | 23 2| 2 考点考点 基本不等式基本不等式 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020河南平顶山一模,6)若直线+=1(a0,b0)过点(2,1),则2a+b的最小值为( ) A.10 B.9 C.8 D.6 x a y b 答案答案 B 由题意可得,+=1,因为a0,b0,所以2a+b=(2a+b)=5+5+4
8、=9,当且仅 当=,即a=b=3时取等号,所以2a+b的最小值为9.故选B. 2 a 1 b 21 ab 2b a 2a b 2b a 2a b 2.(2020新疆昌吉期中,6)若a0,b0,a+2b=3,则+的最小值为( ) A.5 B.6 C.8 D.9 3 a 6 b 答案答案 D 本题考查基本不等式在求最值中的应用,考查了数学运算的核心素养. a0,b0,a+2b=3,+=(a+2b) =9, 当且仅当=,即a=b=1时取等号, 所以+的最小值为9.故选D. 3 a 6 b 1 3 36 ab 1 3 66 312 ba ab 1 3 66 152 ba ab 6b a 6a b 3
9、a 6 b 3.(2020四川模拟,7)已知实数a0,b1,a+b=5,则+的最小值为( ) A. B. C. D. 2 a 1 -1b 32 2 4 34 2 4 32 2 6 34 2 6 答案答案 A 因为a0,b1,a+b=5, 所以+=a+(b-1) =(3+2),当且仅当=时取等号,所以+的最小值为.故选 A. 2 a 1 -1b 21 -1ab 1 4 1 4 2( -1) 3 -1 ba ab 1 4 2 2( -1)b a-1 a b 2 a 1 -1b 32 2 4 4.(2020安徽合肥二模,11)九章算术中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方 几何?”魏
10、晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解 法:如图1,用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个 内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图2所示的矩 形,该矩形的长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论.如图 3,设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE,过点A作AFBC于点F,则下列 推断正确的是( ) 由图1和图2面积相等可得d=; 由AEAF可得; 由ADAE可得; 由ADAF可得a2+b22ab. A. B. C. D. ab
11、 ab 22 2 ab 2 ab 22 2 ab 2 11 ab 答案答案 A 由题图1和题图2面积相等得ab=(a+b)d,可得d=,对;由题意知题图3的面积为ab = AF,则AF=,AD=BC=,设题图3中正方形的边长为x,由三角形相似,得 =,解得x=,则AE=,可以化简判断对,故选A. ab ab 1 2 1 2 22 ab 22 ab ab 1 2 1 2 22 ab -a x x- x b x ab ab 2ab ab 5.(2019河南信阳一模,8)已知正项等比数列an满足:a2a8=16a5,a3+a5=20,若存在两项am,an,使得 =32,则+的最小值为( ) A. B
12、. C. D. mn a a 1 m 4 n 3 4 9 10 3 2 9 5 答案答案 A 由等比数列的性质得=a2a8=16a5.因为a50,所以a5=16,又因为a3+a5=20,所以a3=4,所以a 1=1,公比q=2,因为 =32,所以=32=25,所以m+n=12,则+=(m+n)= 当且仅当=,即m=4,n=8时,取等号,则+的最小值为,故选A. 2 5 a mn a a -2m n q 1 m 4 n 1 12 14 mn 1 12 4 5 mn nm 3 4 4m n n m 1 m 4 n 3 4 6.(2019新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n-2)个数,
13、使这n个数成等差数列,若这(n-2) 个数中第一个为a,第(n-2)个为b,当+取最小值时,n的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 1 a 25 b 答案答案 D 由已知得a+b=18,则+=(26+10)=2,当且仅 当b=5a时取等号,此时a=3,b=15,可得n=9.故选D. 1 a 25 b 125 ab 18 ab1 18 25 125 ba ab 1 18 7.(2018东北三校联考,11)设正实数a,b,c满足a2-3ab+4b2-c=0,则当取得最大值时,+-的最大 值为( ) A.0 B.1 C. D.3 ab c 2 a 1 b 2 c 9 4 答案答案 B 正实数
14、a,b,c满足a2-3ab+4b2-c=0, c=a2-3ab+4b2,=, 由+2=4,当且仅当a=2b时取得等号, 当a=2b时,取得最大值,且c=2b2, +-=-=-+1, 当b=1时,+-取得最大值,最大值为1.故选B. ab c 22 -34 ab aabb 1 4 -3 ab ba a b 4b a 4ab ba ab c 2 a 1 b 2 c 2 b 2 1 b 2 1 -1 b 2 a 1 b 2 c 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.(2020安徽安庆大观模拟,8)如图所示,矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上,另外三边是由篱笆围成的. 若该矩形的面积为4,则围成矩形A
15、BCD所需要篱笆的( ) A.最小长度为8 B.最小长度为4 C.最大长度为8 D.最大长度为4 2 2 B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：25分钟 分值：40分) 答案答案 B 考查利用基本不等式求解最值,体现了逻辑推理的核心素养. 设BC=a,a0,CD=b,b0,则ab=4,所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a+b=2a+2=4 ,当且仅当2a=,即a=时取等号,此时长度取得最小值4.故选B. 4 a 4 2a a 2 4 a 22 思路分析思路分析 设BC=a,a0,CD=b,b0,则ab=4,因此围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a+b=2a+, 然后利用基本不等
16、式求得答案. 4 a 2.(2020陕西汉中二模,7)已知直线2ax-by+2=0(a0,b0)平分圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,则+的最小值 为( ) A.4 B.3+2 C.4 D.6 1 a 2 b 22 答案答案 B 本题考查圆的对称性,基本不等式的运用,考查学生分析、解决问题的能力,体现了逻辑 推理和数学运算的核心素养. 由题意,圆的圆心(-1,2)在直线2ax-by+2=0(a0,b0)上,-2a-2b+2=0(a0,b0),a+b=1,+=(a +b)=3+3+2=3+2,当且仅当=,即a=-1,b=2-时取等号,故+的 最小值为3+2.故选B. 1 a 2 b 12 a
17、b b a 2a b 2ba ab 2 b a 2a b 22 1 a 2 b 2 思路分析思路分析 利用直线2ax-by+2=0(a0,b0)平分圆x2+y2+2x-4y+1=0,可得圆的圆心(-1,2)在直线2ax- by+2=0(a0,b0)上,再利用“1”的代换及基本不等式求出+的最小值. 1 a 2 b 3.(2020云南曲靖麒麟模拟,8)已知y=log2(x2-2x+17)的值域为m,+),当正数a,b满足+=m 时,7a+4b的最小值为( ) A. B.5 C. D.9 2 3ab 1 2ab 9 4 52 2 4 答案答案 A 本题考查函数的值域,基本不等式的运用,考查学生分析
18、、解决问题的能力,体现了逻辑 推理和数学运算的核心素养. y=log2(x2-2x+17)=log2(x-1)2+16的值域为m,+), m=4,+=4, 7a+4b=(6a+2b)+(a+2b)=5+(5+4)=, 当且仅当=时取等号, 7a+4b的最小值为.故选A. 4 62ab 1 2ab 1 4 41 622abab 1 4 62 2 ab ab 4(2 ) 62 ab ab 1 4 9 4 62 2 ab ab 4(2 ) 62 ab ab 9 4 4.(2020吉林通钢一中等三校第五次联考,10)在RtABC中,已知C=90,CA=3,CB=4,P为线段AB 上的一点,且=x+y,
19、则+的最小值为( ) A. B. C.+ D.+ CP | CA CA| CB CB 1 x 1 y 7 6 7 12 7 12 3 3 7 6 3 3 答案答案 C 本题主要考查平面向量共线的充要条件,基本不等式,考查学生的运算求解能力和转化 与化归思想的应用,考查的核心素养为数学运算和逻辑推理. CA=3,CB=4,即|=3,|=4, =x+y=+, P为线段AB上的一点,即P,A,B三点共线, +=1(x0,y0), +=+2=+, 当且仅当=时,等号成立,+的最小值为+,故选C. CACB CP | CA CA| CB CB3 x CA 4 y CB 3 x 4 y 1 x 1 y 1
20、1 xy 34 xy 7 123 x y4 y x 7 12 1 12 7 12 3 3 3 x y4 y x 1 x 1 y 7 12 3 3 5.(2019河南信阳模拟,9)已知角,的顶点都为坐标原点,始边都与x轴的非负半轴重合,且都为第一 象限的角,的终边上分别有点A(1,a),B(2,b),且=2,则+b的最小值为( ) A.1 B. C. D.2 1 a 23 答案答案 C 由已知可得tan =a,tan =, =2,tan =tan 2,a=,即a=,由a0,b0得0,则0b0,b0求取等号的条件. 2 4 4- b b 1 a 1 b 3 4 b1 a 6.(2019新疆第一次毕
21、业诊断,10)函数y=loga(x-1)+1(a0,且a1)的图象恒过定点A,若点A在一次函 数y=mx+n的图象上,其中m0,n0,则+的最小值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 1 m 2 n 答案答案 C 对于函数y=loga(x-1)+1(a0,且a1),令x-1=1,求得x=2,y=1,可得函数的图象恒过定点A (2,1), 因为点A在一次函数y=mx+n的图象上, 所以有1=2m+n,因为m0,n0, 则+=+=4+4+2=8, 当且仅当=时,取等号,故+的最小值是8,故选C. 1 m 2 n 2mn m 42mn n n m 4m n 4nm mn n m 4m n 1 m
22、 2 n 7.(2019陕西汉中重点中学3月联考,8)已知x0,函数f(x)=的最小值为6,则a= ( ) A.-2 B.-1或7 C.1或-7 D.2 2-2 - (e - )(e) e -e xx xx aa 答案答案 B x0,ex-e-x0,f(x)= =ex-e-x+-2a2-2a=6(当且仅当ex-e-x=时等号成立),由a2-6a-7=0,解得a=-1或7. 故选B. 2-2-2 - ee-2 (e -e )2 e -e xxxx xx aa -2-2 - (e -e ) -2 (e -e )22 e -e xxxx xx aa 2 - 22 e -e xx a 2 22a 2
23、22a 二、填空题(共5分) 8.(2019西藏拉萨中学高三月考,14)设a、b、c均为正实数,若a+b+c=1,则+ . 1 a 1 b 1 c 答案答案 9 解析解析 a、b、c均为正实数,a+b+c=1, +=(a+b+c)=3+3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时,取 等号. 1 a 1 b 1 c 111 abc ba ab ac ca cb bc 1 3 1.(2020 5 3原创题)已知二次不等式ax2+2x+b0的解集为,则s=a2+b2-2(a+b)的最小值 为( ) A.2-4 B.2+4 C.4-4 D.4+4 2 2 |-x x a 22 22 答案答案 C 由于
24、二次不等式ax2+2x+b0的解集为,则 得ab=2,且a0,b0. s=a2+b2-2(a+b)=(a+b)2-2(a+b)-2ab=(a+b-1)2-5. 因为a+b2=2,所以s4-4, 当且仅当a=b=时,等号成立.故选C. 2 2 |-x x a 2 0, (2 2) -40, a ab ab22 2 素养解读素养解读 本题通过不等式的性质、解法及求最值考查数学运算和逻辑推理的核心素养,渗透了 化归思想、变式思想. 命题说明命题说明 本题考查不等式的解集与对应方程根的关系,同时也考查了利用基本不等式求最值.本 题设计重点是将不等式的解法与基本不等式求最值结合,三个“二次”有机结合,考
25、查运算求解能 力及转化与化归的数学思想方法,属于中等题. 2.(2020 5 3原创题)已知函数f(x)=, f+f+f=(a+b)(a,b均为正实 数),则ab的最大值为 . 21 2 -1 x x 1 2 019 2 2 019 2 018 2 019 1 009 2 答案答案 4 解析解析 f(x)=, f(x)+f(1-x)=+=2, f+f+f =+=1 0092=(a+b), a+b=4,又a,b均为正实数,ab=4, 当且仅当a=b=2时取等号.故ab的最大值为4. 21 2 -1 x x 21 2 -1 x x 2(1- )1 2(1- )-1 x x 1 2 019 2 2
26、019 2 018 2 019 12 018 2 0192 019 ff 22 017 2 0192 019 ff 1 0091 010 2 0192 019 ff 1 009 2 2 2 ab 命题说明命题说明 本题主要考查利用基本不等式求最值.本题将基本不等式与函数结合,综合性较强. 素养解读素养解读 本题通过基本不等式及其应用考查数学运算和逻辑推理的核心素养. 3.(2020 5 3原创题)已知正实数a,b满足a+2b=1,且ab2a+b+2恒成立,则的取值范围为 . 答案答案 (-,13+4 10 解析解析 由题意可得恒成立,故的最小值,因为= =+=(a+2b)=5+8+13+2=1
27、3+4(当且仅当=时等号成 立), 故的取值范围为(-,13+4. 22ab ab 22ab ab 22ab ab 224abab ab 45ab ab 4 b 5 a 45 ba 4a b 10b a 410ab ba 10 4a b 10b a 10 命题说明命题说明 本题以不等式恒成立问题为载体,着重考查利用基本不等式求最值,学生完成本题,需 要运用逻辑推理、数学运算等核心素养;通过本题的训练,学生可以体会到转化与化归思想在解 题中的应用. 方法技巧方法技巧 在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中 “一正、二定、三相等”的条件. 4.(2020 5
28、3原创题)已知实数x,y满足4x2+y2+xy=1,则4x2+y2的最大值为 . 答案答案 4 3 解析解析 由题意可得4x2+y2=. (1)当x=0时,4x2+y2=1. (2)当x0时,4x2+y2=1-. 设=k,则4x2+y2=1-. 当k=0时,1-=1;当k0时,1-1; 当k0时,1-=1-=1+1+=(当且仅当k=-2时等号成立). 综上可得,4x2+y2的最大值为. 22 22 4 4 xy xyxy 22 22 4 4 xy xyxy 2 2 y y 22 22 4 4 xy xyxy 2 2 2 2 4 4 y x yy xx 2 2 2 2 4- 4 yyy xxx
29、yy xx 2 2 4 y x yy xx y x 2 4 k kk 2 4 k kk 2 4 k kk 2 4 k kk 1 4 1k k 1 4 -(- )-1k k 1 4 2-(- )-1k k 4 3 4 3 方法点拨方法点拨 1.掌握a2+b22ab(a,bR)的重要变形:+2(a,b同号),ab(a,bR); (a,bR)等. b a a b 2 2 ab 2 2 ab 22 2 ab 命题说明命题说明 本题是利用基本不等式求最值的问题,需要学生通过代换的思想转化所求式子,在转化 中要注意变量的范围,运用基本不等式求最值时,一定要注意“一正、二定、三相等”,考查了逻 辑推理、数学运算等核心素养;通过本题的训练,学生可以体会到转化与化归思想在解题中的应用. 2.为满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件,往往需要“拆”“拼”“凑”.
