1、考点考点1 1 两直线间的位置关系两直线间的位置关系 (2016上海,10,4分)设a0,b0.若关于x,y的方程组无解,则a+b的取值范围是 . 1, 1 axy xby 答案答案 (2,+) 解析解析 方程组无解等价于直线ax+y=1与直线x+by=1平行,所以ab=1且ab1.又a,b为正数,所以a +b2=2(ab1),即a+b的取值范围是(2,+). ab 名师点睛名师点睛 根据方程表示直线探讨得到方程组无解的条件,进一步应用基本不等式达到解题目的. 易错点在于忽视ab.本题能较好地考查学生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思 想等. (2018上海,12,5分)已知常数x1
2、、x2、y1、y2满足:+=1,+=1,x1x2+y1y2=,则+ 的最大值为 . 2 1 x 2 1 y 2 2 x 2 2 y 1 2 11 |-1| 2 xy 22 |-1| 2 xy 以下为教师用书专用 答案答案 + 23 解析解析 构造单位圆如图所示,点A(x1,y1),B(x2,y2), cosAOB=x1x2+y1y2=,AOB=, +的几何意义即A、B两点到直线x+y-1=0的距离之和,设A(cos ,sin ), 则B, +1-cos -sin +1-cos-sin=2-cos - sin =2+sin(+)(2+)=+, | OA OB OA OB 1 2 3 11 |-1
3、| 2 xy 22 |-1| 2 xy cos,sin 33 11 |-1| 2 xy 22 |-1| 2 xy1 2 3 3 1 2 33 22 33 - 22 1 2 6 1 2 623 最大值为+. 23 考点考点2 2 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 1.(2020课标,11,5分)已知M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作M的切 线PA,PB,切点为A,B,当|PM| |AB|最小时,直线AB的方程为( ) A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0 答案答案 D (x-
4、1)2+(y-1)2=4,r=2,M(1,1),如图,由题可知,ABPM,|PM| |AB|=2S四边形APBM=2(SPAM+SPBM)=2(|PA|+|PB |),|PA|=|PB|,|PM| |AB|=4|PA|=4=4, 当|PM|最小时,|PM| |AB|最小,易知|PM|min=, 22 | -|PMAM 2 | -4PM 5 4 1 5 此时|PA|=1,ABl,设直线AB的方程为y=-2x+b(b-2), 圆心M到直线AB的距离为d=, |AB|=,d2+=|MA|2, 即+=4,解得b=-1或b=7(舍). 综上,直线AB的方程为y=-2x-1,即2x+y+1=0,故选D.
5、|3- | 5 b 4| | PA PM 4 5 2 2 AB 2 (3- ) 5 b4 5 2.(2020课标,10,5分)若直线l与曲线y=和圆x2+y2=都相切,则l的方程为( ) A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+ x 1 5 1 2 1 2 1 2 1 2 答案答案 D 由题可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l为y=kx+m,直线l与曲线y=的切点为A(x0,y 0).由导数的几何意义可知 =k,即=,点A既在直线l上,又在曲线y=上, kx0+m=,即k+m=,化简可得m=,又直线l与圆x2+y2=相切,=,将m= 代入化简得16k4+16k2-5=0
6、,解得k2=或k2=-(舍去).y=的图象在第一象限,k0,k=,m= ,l的方程为y=x+.故选D. x 0 1 2 x 0 x 1 2k x 00 00 , . ykxm yx 0 x 2 1 2k 1 2k 1 4k 1 5 2 | | 1 m k 5 5 1 4k 1 4 5 4 x 1 2 1 2 1 2 1 2 3.(2016课标,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ) A.- B.- C. D.2 4 3 3 4 3 答案答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1
7、=0的距离为 =1,解得a=-.故选A. 2 |4-1| 1 a a 4 3 易错警示易错警示 (1)圆心坐标错写成(-1,-4);(2)把点到直线的距离公式记错或用错. 4.(2018课标,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面 积的取值范围是( ) A.2,6 B.4,8 C.,3 D.2,3 2222 答案答案 A 本题考查直线与圆的位置关系. 由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r=,ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为d,则 有S=|AB| d.易知|AB|=2,dmax=+=3,dmin=
8、-=,所以2S6,故选A. 2 1 2 2 22 |202| 11 22 22 |202| 11 22 方法总结方法总结 与圆有关的最值问题的解题方法 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题,一般利用圆的几何性质数形结合求解. (2)与圆上点(x,y)有关的代数式的最值的常见类型及解法.形如u=的最值问题,可转化为过点 (a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最 值问题;形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. - - y b x a 5.(2020浙江,15,6分)已知直线y=kx+b(k0
9、)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k= ,b= . 答案答案 ;- 3 3 2 3 3 解析解析 解法一:由直线与圆相切的充要条件知 解法二:如图所示. 由图易知,直线y=kx+b经过点(2,0),且倾斜角为30,从而k=,且0=+bb=-. 2 2 | | 1, 1 |4| 1 1 b k kb k 2 | |4|, | |1 bkb bk 3 (), 3 2 3 -. 3 k b 舍非正数 3 3 2 3 3 2 3 3 6.(2020天津,12,5分)已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为 . 3 答案答案 5
10、 解析解析 设圆心(0,0)到直线x-y+8=0的距离为d,则d=4,r2=+d2=32+42=25,又r 0, r=5. 3 22 |8| 1(- 3) 2 | 2 AB 7.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2, -1),则m= ,r= . 答案答案 -2; 5 解析解析 本题考查直线与圆的位置关系,两条直线的垂直关系等知识点.通过圆的切线的性质考查学 生的直观想象能力,考查数学运算的核心素养. 设直线2x-y+3=0为l,则ACl,又kl=2, kAC=-,解得m=-2,C(0,-2), r=|AC|=. 1
11、 02 m 1 2 22 (02)(-21)5 一题多解一题多解 由题知点C到直线的距离为, r=|AC|=. 由直线与圆C相切得=,解得m=-2, r=. |-3| 5 m 22 2(1)m 22 2(1)m |-3| 5 m 22 2(-21)5 8.(2016课标,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与 x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|= . 3 3 答案答案 4 解析解析 由题意可知直线l过定点(-3,),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,),由于|AB|=2,圆的半径 r=2,所以圆心到直线
12、AB的距离为d=3,又由点到直线的距离公式可得d= 3,解得m=-,所以直线l的斜率k=-m=,即直线l的倾斜角为30.如图,过点C作CHBD,垂足为H, 所以|CH|=|AB|=2,在RtCHD中,HCD=30,所以|CD|=4. 333 3 22 (2 3) -( 3) 2 |3 - 3| 1 m m 3 3 3 3 3 2 3 cos30? 9.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为 直径的圆C与直线l交于另一点D.若=0,则点A的横坐标为 . ABCD 答案答案 3 解析解析 本题考查直线与圆的位置关系. 设
13、A(a,2a),a0,则C, 圆C的方程为+(y-a)2=+a2, 由得 =(5-a,-2a)=+2a2-4a=0,a=3或a=-1,又a0,a=3,点A的横坐标为3. 5 , 2 a a 2 5 - 2 a x 2 ( -5) 4 a 2 2 22 5( -5) -( - ), 24 2 , aa xy aa yx 1, 2, D D x y ABCD - -3 ,2- 2 a a 2-2 -15 2 aa 一题多解一题多解 由题意易得BAD=45. 设直线DB的倾斜角为,则tan =-,tanABO=-tan(-45)=3,kAB=-tanABO=-3.AB的方程为 y=-3(x-5),
14、由得xA=3. 1 2 -3( -5), 2 , yx yx 1.(2015课标,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( ) A.2 B.8 C.4 D.10 66 以下为教师用书专用 答案答案 C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),| PA|=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-22,则|MN|=|(-2+2)-(-2 -2)|=4. 3-7 2 22 (1-1)(32)66 66 思路分析思路分析 根据圆的
15、几何性质及已知条件求得圆心,从而求得半径,写出圆的标准方程,令x=0,求出 y,进而可得|MN|的值. 导师点睛导师点睛 在解决有关圆的问题时,注意多考虑圆的几何性质的应用,从而简化运算过程. 2.(2018天津,12,5分)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线(t为参数)与该圆相交于A,B两 点,则ABC的面积为 . 2 -1, 2 2 3- 2 xt yt 答案答案 1 2 解析解析 本题考查直线的参数方程和直线与圆的位置关系. 圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,消去参数t得直线的普通方程为x+y-2=0.圆心C(1,0)到直线的距离d= =,|AB|=2=, 所以ABC的面积
16、为|AB| d=. |10-2| 2 2 2 2 2 2 1 - 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 方法总结方法总结 有关直线与圆相交的计算问题,通常利用点到直线的距离和勾股定理求解. 考点考点1 1 两直线间的位置关系两直线间的位置关系 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020安徽江南十校4月联考,5)已知直线l1:mx-3y+6=0,l2:4x-3my+12=0,若l1l2,则l1,l2之间的距离为 ( ) A. B. C. D. 12 13 13 8 13 13 9 13 13 13 答案答案 A 由于两条直线平行,所以m (-3m)-(-3)4=0,解得m=2,当
17、m=2时,两直线方程都是2x-3y+6 =0,故两直线重合,不符合题意;当m=-2时,l1:2x+3y-6=0,l2:2x+3y+6=0,故l1,l2之间的距离d= ,故选A. 22 |6-(-6)| 23 12 13 13 2.(2020甘肃兰州一中月考,5)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实 数m的取值集合为( ) A. B. C. D. 4 2 -, 3 3 42 ,- 33 4 2 4 -, 3 3 3 42 2 -,-, 33 3 答案答案 D 三条直线不能构成三角形,第一种情况是有两条直线平行: 若2x-3y+1=0与mx-y-
18、1=0平行,则m=; 若4x+3y+5=0与mx-y-1=0平行,则m=-; 第二种情况是三条直线交于一点,由得代入mx-y-1=0,得-m+-1=0,解得m= -. 实数m的取值集合为,故选D. 2 3 4 3 2 -310, 4350 xy xy -1, 1 - , 3 x y 1 3 2 3 42 2 -,-, 33 3 3.(2020吉林梅河口五中开学测试,7)已知b0,直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0互相垂直,则ab 的最小值为( ) A.1 B.2 C.2 D.2 23 答案答案 B b0,直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0互相垂直,(
19、b2+1)-ab2=0,ab=b+ 2,当且仅当b=1时取等号,则ab的最小值为2,故选B. 2 1b b 1 b 4.(2020河南天一大联考期中联考,7)已知ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在直线的方程 为2x-y-5=0,边AC上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0,则直线BC的方程为( ) A.2x+y-11=0 B.6x-5y-10=0 C.5x-6y-9=0 D.6x-5y-9=0 答案答案 D 由题意可知ACBH,kAC=-2,又点A(5,1),直线AC的方程为y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0, 由得即点C(4,3). 设B(x0,y0),则AB的中
20、点为M, 代入2x-y-5=0得2x0-y0-1=0, 由得即点B(-1,-3), kBC=,直线BC的方程为y-3=(x-4),即6x-5y-9=0. 2-110, 2 - -50 xy x y 4, 3, x y 00 51 , 22 xy 00 00 2-10, -2-50 x y xy 0 0 -1, -3, x y 3-(-3) 4-(-1) 6 5 6 5 5.(2019广西梧州二模,6)设R,则“=-3”是“直线2x+(-1)y=1与直线6x+(1-)y=4平行”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案答案 A 当=-3时,
21、两条直线的方程分别为6x+4y+1=0,3x+2y-2=0,此时两条直线平行; 若两条直线平行,则2(1-)-6(-1)=0,所以=-3或=1,经检验,两者均符合题意. 综上,“=-3”是“直线2x+(-1)y=1与直线6x+(1-)y=4平行”的充分不必要条件.故选A. 考点考点2 2 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 1.(2020四川南充一模,7)过点A(4,0)的直线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 ( ) A.(-,) B.-, C. D. 3333 33 -, 33 33 -, 33 答案答案 D 设直线l的方程为y=k(x-4)
22、,即kx-y-4k=0,则圆心到直线l的距离d=,因为直 线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点,所以d1,即1,解得k2,即-k,故选D. 2 |2 -4 | 1 kk k 2 |2 | 1 k k 2 |2 | 1 k k 1 3 3 3 3 3 2.(2020四川成都三模,4)已知直线x+7y=10把圆x2+y2=4分成两段弧,这两段弧长之差的绝对值等于 ( ) A. B. C. D.2 2 2 3 答案答案 D 圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,设直线x+7y=10与圆x2+y2=4交于M、N两点.圆心O到 直线x+7y=10即x+7y-10=0的距离d=,过O作OPM
23、N于P,则|MN|=2=2,在 MNO中,|OM|2+|ON|2=2r2=8=|MN|2,则MON=90,所以这两段弧长之差的绝对值等于 =2,故选D. |-10| 149 2 22 -rd2 (360-90)2 902 - 180180 3.(2020河南名校联盟5月联考,8)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长为2,则圆 M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的公切线条数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2 答案答案 C 圆M的标准方程为x2+(y-a)2=a2(a0),则圆心为(0,a),半径R=a,圆心到直线x+y=0的距离d= ,因为圆M:x
24、2+y2=2ay(a0)截直线x+y=0所得线段的长为2,所以2=2=2=2 ,解得a2=4,a=2,则圆心为M(0,2),半径R=2.圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为N(1,1),半径为r=1,则|MN |=,又R+r=3,R-r=1,R-r|MN|0)相交所得的弦长为2,则圆 C的半径r=( ) A. B.2 C.2 D.4 2 2 2 答案答案 B 解法一:圆C的圆心为(2,1),圆心到直线l的距离d=,又弦长为2,所以2 =2,所以r=2,故选B. 解法二:联立得消去y整理得2x2-12x+20-r2=0,设直线与圆的两交点分别为A(x1,y1), B(x2,y2),所以x
25、1+x2=6,x1 x2=,所以|AB|=|x1-x2|=2, 解得r=2. 22 |2 1-5| 11 22 22 -rd2 222 -50, ( -2)( -1), xy xyr 2 20- 2 r 2 1k2 2 1212 () -4xxx x2 2 36-2(20-)r2 5.(2019宁夏六盘山中学二模,9)已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒 过点P(a,b),且点P在直线mx-ny-2=0上,则mn的取值范围是( ) A. B. C. D. 1 0, 4 1 0, 4 1 - , 4 1 - , 4 答案答案 D 将圆C1与圆
26、C2的方程相减得公共弦所在直线的方程为kx+(k-2)y-4=0,即k(x+y)-(2y+4)=0, 由得x=2,y=-2,即P(2,-2),因此2m+2n-2=0,m+n=1,则mn=,当且仅当m=n= 时取等号,mn的取值范围是,故选D. 240, 0 y xy 2 2 mn 1 4 1 2 1 - , 4 6.(2020吉林三调,14)已知两圆相交于两点A(a,3),B(-1,1),若两圆圆心都在直线x+y+b=0上,则a+b的 值是 . 答案答案 -1 解析解析 由题意可知,直线x+y+b=0是线段AB的垂直平分线,又直线x+y+b=0的斜率为-1,则kAB=1,即 =1,解得a=1,
27、线段AB的中点为(0,2).又(0,2)在直线x+y+b=0上,0+2+b=0,解得b=-2,a+b=-1. 3-1 1a 7.(2018山西晋中二模,14)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为 . 答案答案 7 解析解析 设直线上一点为P,切点为Q,圆心为M,则|PQ|即切线长,|MQ|为圆M的半径,所以|PQ|= =.要使|PQ|最小,需|PM|最小,设圆心M到直线y=x+1的距离为d,则d= 2,所以|PM|的最小值为2.所以|PQ|=.则切线长的最小值为. 22 | -|PMMQ 2 | -1PM 22 |3-0 1| 1(-1) 22 2 |
28、-1PM 2 (2 2) -177 一、选择题(每小题5分,共15分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：25分钟 分值：40分) 1.(2020安徽江南十校4月联考,10)已知点A(1,1)和点B,直线l:ax+by-7=0,若直线l与线段AB有 公共点,则a2+b2的最小值为( ) A.24 B. C.25 D. 7 7 , 6 9 49 2 324 13 答案答案 B 当直线l过点A(1,1)时,a+b-7=0,当直线l过点B时,3a+2b-18=0,a2+b2表示点(a,b)到原 点O(0,0)的距离的平方,O(0,0)到直线a+b-7=0的距离d1=,O(0,0)到直线3
29、a+2b-18=0的距离 d2=,又-=-=-0,所以k,所以所求概率为. 37 37 , 22 1 2 37 2 |17| 1k 22 1( 3) 22 1( 7)715 15- 7 3 方法点拨方法点拨 设圆外一点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,则由点P所作切线的长l=.利用几 何关系将切线长的问题转化为圆心到定点(定直线)的距离问题. 22 -dr 6.(2020黑龙江顶级名校4月联考,16)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:x2+y2=9,圆O2:x2+(y-6)2=16, 在圆O2内存在一定点M,过点M的直线l被圆O1,圆O2截得的弦长分别为AB,CD,且=,则定点M 的坐标为
30、 . | | AB CD 3 4 答案答案 18 0, 7 解析解析 本题主要考查直线与圆的位置关系,圆的弦长公式,以及定点问题.考查的核心素养为数学 运算,逻辑推理. 由已知得圆O1的圆心坐标为O1(0,0),半径为r1=3, 圆O2的圆心坐标为O2(0,6),半径为r2=4, 当直线l的斜率不存在时,圆O1,圆O2的半径之比恰为,此时直线l的方程为x=0,故定点M在y轴上,当 直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,则|AB|=2=2;|CD|=2 =2,由=,得=,即7b2+108b-324=0,解得b=或b=-18,又 点M在圆O2内,定点M为.综上可知,
31、定点M的坐标为. 3 4 2 2 | | 9- 1 b k 2 2 9- 1 b k 2 2 | -6| 16- 1 b k 2 2 ( -6) 16- 1 b k | | AB CD 3 4 2 2 2 2 9- 1 ( -6) 16- 1 b k b k 2 3 4 18 7 18 0, 7 18 0, 7 7.(2020河南四名校3月线上联考,16)在ABC中,已知顶点A(0,1),顶点B、C在x轴上移动,且|BC|=2, 设点M为ABC的外接圆圆心,则点M到直线l:2x-2y-5=0的距离的最小值为 . 答案答案 2 解析解析 本题主要考查点的轨迹方程,点到直线的距离公式,以及求二次函
32、数最值等知识点,考查学 生分析问题和解决问题的能力,考查的核心素养为数学运算,逻辑推理和直观想象. 设点M(x,y),取BC的中点D,连接MD,则MDBC,且|BD|=1,|MD|=|y|, 因为|MA|=|MB|,所以x2+(y-1)2=y2+1,即x2=2y. 设点M到直线l的距离为d,则d=,所以当x=1时,d取最小值. |2 -2 -5| 2 2 xy 2 |2 -5| 2 2 x x 2 ( -1)4 2 2 x 2 8.(2020四川成都树德中学二模,15)直线l是圆C1:(x+1)2+y2=1与圆C2:(x+4)2+y2=4的公切线,并且l分别 与x轴正半轴,y轴正半轴相交于A,
33、B两点,则AOB的面积为 . 答案答案 2 2 解析解析 由题意知C1(-1,0),C2(-4,0),C1的半径为r1=1,C2的半径为r2=2,|C1C2|=r1+r2,两圆相外 切, 由题意知直线l一定为两圆的外公切线,根据对称性不妨取l的斜率为负.设直线l与圆C1,C2的切点分 别为M,N,连接C1M,C2N,则C1Ml,C2Nl,过M作MEC1C2交C2N于点E,则四边形C1C2EM是平行四 边形,则|ME|=|C1C2|=3,|C2E|=|C1M|=1,则|EN|=1, 在RtENM中,|MN|=2, tanEMN=,直线l的斜率为-, 易知AMC1ANC2,=,即=, 解得|AC1
34、|=3,|OA|=2,即A(2,0), 直线l的方程为y=-(x-2),令x=0,得y=,即B. AOB的面积为2=. 22 | -|MENE 22 3 -12 1 2 2 2 4 2 4 1 2 | | AC AC 1 2 1 1 | |3 AC AC 1 2 2 4 2 2 2 0, 2 1 2 2 2 2 2 一题多解一题多解 由题意知两圆相外切,且直线l为两圆的外公切线,根据对称性不妨取l的斜率为负,设直 线l与C1,C2的切点分别为M、N,连接C1M,C2N,则C1Ml,C2Nl,AMC1ANC2,= ,即=,解得|OA|=2,又AOBAMC1,=,即=,解得|OB|= ,AOB的面
35、积为2=. 1 2 | | AC AC 1 2 | | C M C N | 1 |4 OA OA 1 2 1 | | OB C M 1 | | AB AC | 1 OB 2 |4 3 OB 2 2 1 2 2 2 2 2 1.(2020 5 3原创题)已知A,B(-3,0),C(7,0),则ABC内切圆的方程为 . 17 24 , 55 答案答案 (x-3)2+(y-2)2=4 解析解析 易知直线AB的方程为3x-4y+9=0,直线AC的方程为4x+3y-28=0,设内切圆圆心为D,且坐标为 (a,b)(b0),则圆的半径r=b, =b, 因为点D在直线AB的右边,在直线AC的左边, 所以=-
36、=b,所以a=3,b=2, 所以ABC内切圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=4. |3 -49| 5 ab|43 -28| 5 ab 3 -49 5 ab43 -28 5 ab 一题多解一题多解 因为|AB|=8, |AC|=6, |BC|=|7-(-3)|=10, 所以ABC是以A为直角顶点的直角三角形. 所以内切圆半径为=2,圆心横坐标为7-(6-2)=3, 易知圆心的纵坐标为2, 所以ABC内切圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=4. 22 1724 3 55 22 1724 -7 55 68-10 2 2.(2020 5 3原创题)已知圆O:x2+y2=4,若正方形ABCD的一边
37、AB为圆O的一条弦,则|OC|的最大值为 . 答案答案 2+2 2 解析解析 如图,不妨假设A固定,B在圆上移动, 点A绕O逆时针旋转90到E,连接OA,OE,AE,CE,BE, 则ABE=AOE=45,易知ABECBE, 所以|CE|=|AE|=2,所以|OC|OE|+|EC|, 当B点移动到使O,E,C三点共线时取到最大值, 即|OC|2+2. 1 2 2 2 疑难突破疑难突破 本题固定A点,C点看作由A点绕B点旋转90得到,因而想到将A点绕圆心O逆时针旋转9 0得到E,通过三角形全等得|AE|=|CE|,当B点在圆上移动时,C点的轨迹是以E为圆心,EA为半径的 圆.若设出B点坐标,通过求
38、C点坐标求最值,看似思路简单,可是涉及旋转,或利用向量垂直,长度相 等求解,运算较繁,容易出错. 3.(2020 5 3原创题)某品牌的logo是用一系列1,2,3,5,8,13,为半径的圆截得的,如图所示,右上方是 三个半径为8的圆,自上而下依次为圆A,圆B,圆C,已知它们的圆心在斜率为-1的同一直线上,已知圆 A与x轴相切于坐标原点O,且圆A的圆心在x轴上方,圆B与y轴相切,且圆心在y轴右侧,圆C与圆B外 切. (1)求圆B的方程; (2)求圆A与圆B的公共弦所在直线方程; (3)已知点P是圆C上任意一点,求使取得最大值的P点坐标. PA PB 解析解析 由题意可得圆A,圆B,圆C如图所示
39、. (1)圆A与x轴相切于坐标原点O,且圆A的圆心在x轴上方,半径为8, 圆心A(0,8),圆A的方程为x2+(y-8)2=82. 点A,B,C在斜率为-1的同一条直线上,即在直线x+y-8=0上,又圆B与y轴相切,且圆心在y轴右侧, 半径为8, 圆心B在直线x=8上, 圆心B(8,0),圆B的方程为(x-8)2+y2=82. (2)由(1)得圆A的方程为x2+(y-8)2=82, 圆B的方程为(x-8)2+y2=82, -得两圆公共弦所在直线方程为16x-16y=0,化简得y=x. (3)圆C与圆B外切,由几何关系可得圆心C(8+8,-8),圆C的方程为x-(8+8)2+(y+8 )2=82. 设P(x0,y0), 则=(-x0,8-y0) (8-x0,-y0)=-8x0+-8y0=(x0-4)2+(y0-4)2-32, 的最大值即圆C上的点P与点H(4,4)距离的平方减32. 使取得最大值的点P即为线段HC的延长线与圆C的交点,由图易知P(8+12,-12). 222 2 PA PB 2 0 x 2 0 y PA PB PA PB22
