1、考点考点1 1 抛物线的定义和标准方程抛物线的定义和标准方程 1.(2020课标,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距 离为9,则p=( ) A.2 B.3 C.6 D.9 答案答案 C 设焦点为F,点A的坐标为(x0,y0),由抛物线定义得|AF|=x0+,点A到y轴的距离为9,x0= 9,9+=12,p=6.故选C. 2 p 2 p 2.(2020北京,7,4分)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQl 于Q,则线段FQ的垂直平分线( ) A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直
2、于直线OP 答案答案 B 不妨设抛物线的方程为y2=2px(p0),P(x0,y0)(x00),则Q,F,直线FQ的斜率为 ,从而线段FQ的垂直平分线的斜率为,又线段FQ的中点为,所以线段FQ的垂直平分线 的方程为y-=(x-0),即2px-2y0y+=0,将点P的横坐标代入,得2px0-2y0y+=0,又2px0=,所以y= y0,所以点P在线段FQ的垂直平分线上,故选B. 0 -, 2 p y ,0 2 p 0 -y p 0 p y 0 0, 2 y 0 2 y 0 p y 2 0 y 2 0 y 2 0 y 小题巧解小题巧解 由已知及抛物线的定义得|PQ|=|PF|,所以PQF是等腰三角
3、形,所以底边FQ的垂直平 分线经过顶点P,故选B. 3.(2016课标,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB |=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 25 答案答案 B 本题考查抛物线的基础知识;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. 不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2),则x1=,由题意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p= 4.故选B. 2 2 (2 2) 2p 4 p 2 4 p 2 2 p 4.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10
4、,则M到y轴的距离是 . 答案答案 9 解析解析 本题考查抛物线的定义. 设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,x0=9,即点M到y轴的距 离为9. 5.(2017课标,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M 为FN的中点,则|FN|= . 答案答案 6 解析解析 本题考查抛物线的定义,考查运算求解能力和方程的思想方法. 如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则| NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所
5、以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2 |FM|=6. 思路分析思路分析 过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解. 6.(2019北京,18,14分)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1). (1)求抛物线C的方程及其准线方程; (2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线 OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. 解析解析 (1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2. 所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1. (2
6、)证明:抛物线C的焦点为F(0,-1). 设直线l的方程为y=kx-1(k0). 由得x2+4kx-4=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4, 直线OM的方程为y=x. 令y=-1,得点A的横坐标xA=-. 同理得点B的横坐标xB=-. 设点D(0,n),则=,=, =+(n+1)2=+(n+1)2=+(n+1)2=-4+(n+1)2. 2 -1, -4 ykx xy 1 1 y x 1 1 x y 2 2 x y DA 1 1 -,-1- x n y DB 2 2 -,-1- x n y DADB 12 12 x x y y 12 22 12 - 44 x x xx
7、12 16 x x 令=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3. 综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3). DADB 1.(2014课标,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个 交点.若=4,则|QF|=( ) A. B.3 C. D.2 FPFQ 7 2 5 2 答案答案 B =4,点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QMl,垂足为M,由抛物线定义 知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知PQMPFN,则=,即 =.|QM|=3,即|QF|=3.故选B. FPF
8、Q | | QM FN | | PQ PF | 4 QM3 4 2.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p0). (1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程; (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. 求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p); 求p的取值范围. 解析解析 本题考查抛物线的定义与方程,直线与抛物线的位置关系. (1)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为, 由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4. 所以抛物线C的方程为y2=8x. (2)设P(x1,y1),Q
9、(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0). 因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ, 于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b. 证明:由消去x得y2+2py-2pb=0.(*) 因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1y2, 从而=(2p)2-4(-2pb)0,化简得p+2b0. 方程(*)的两根为y1,2=-p,从而y0=-p. ,0 2 p ,0 2 p 2 p 2 2, - ypx yxb 2 2ppb 12 2 yy 所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p. 由知p+2b0,于是p+2(2-2p)0,所以p0)交于D,E两点,若ODOE,则 C
10、的焦点坐标为( ) A. B. C.(1,0) D.(2,0) 1 ,0 4 1 ,0 2 答案答案 B 由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方.由得D(2,2),E(2,-2 ),ODOE,=4-4p=0,p=1,C的焦点坐标为,故选B. 2 2, 2 x ypx p pODOE 1 ,0 2 2.(2019课标,8,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=( ) A.2 B.3 C.4 D.8 2 3 x p 2 y p 答案答案 D 本题考查椭圆与抛物线的几何性质;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. 抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为
11、, 由已知得椭圆+=1的一个焦点为, 3p-p=,又p0,p=8. ,0 2 p 2 3 x p 2 y p ,0 2 p 2 4 p 思路分析思路分析 利用抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,建立关于p的方程,解方程得p的值. 3.(2017课标,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交 于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案答案 A 本题考查抛物线的几何性质. 如图所示,设直线AB的倾斜角为,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A1,B1, 则|AF|=|A
12、A1|,|BF|=|BB1|,过点F向AA1引垂线FG,得=cos , 则|AF|=, 同理,|BF|=, 则|AB|=|AF|+|BF|=,即|AB|=,因l1与l2垂直,故直线DE的倾斜角为+或-, 则|DE|=,则|AB|+|DE|=+=,则易知|AB|+|DE|的最小值 | | AG AF |- | AF p AF 1-cos p 1cos p 2 2 sin p 2 4 sin 2 2 2 4 cos 2 4 sin 2 4 cos 22 4 sincos 2 4 1 sin2 2 2 16 sin 2 为16.故选A. 方法总结方法总结 利用几何方法求抛物线的焦半径. 如图,在抛物
13、线y2=2px(p0)中,AB为焦点弦,若AF与抛物线对称轴的夹角为, 则在FEA中,cos =cosEAF=,则可得到焦半径|AF|=,同理,|BF|=, | | AE AF |- | AF p AF1-cos p 1cos p 4.(2019课标,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的 交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程; (2)若=3,求|AB|. 3 2 APPB 解析解析 本题主要考查抛物线的定义、几何性质、直线与抛物线相交的综合问题等内容,考查学生 运算求解的能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力,
14、体现了直观想象与数学运算的 核心素养. 设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2). (1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+, 由题设可得x1+x2=. 由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0, 则x1+x2=-. 从而-=,得t=-. 所以l的方程为y=x-. (2)由=3可得y1=-3y2. 由可得y2-2y+2t=0. 3 2 3 ,0 4 3 2 5 2 2 3 , 2 3 yxt yx 12( -1) 9 t 12( -1) 9 t5 2 7 8 3 2 7 8 APPB 2 3 , 2 3 yxt yx 所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故
15、y2=-1,y1=3. 代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=. 1 3 4 13 3 思路分析思路分析 (1)由|AF|+|BF|=4确定A、B两点横坐标之和,联立直线l的方程(含参)与抛物线方程,由 根与系数的关系得A、B两点横坐标之和的含参表达式.两者相等,列方程求出参数. (2)P点在x轴上,由=3知A、B两点纵坐标的关系,由根与系数的关系得A、B两点纵坐标之和, 二者联立,确定A、B的纵坐标,进而确定A、B的坐标,从而求得|AB|. APPB (2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点 M,N,过点M作x轴的垂
16、线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点. (1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A为线段BM的中点. 1 0, 2 以下为教师用书专用 解析解析 本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系. (1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=. 所以抛物线C的方程为y2=x. 抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-. (2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+(k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2). 由得4k2x2+(4k-4)x+1=0. 则x1+x2=,x1x2=. 因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为
17、y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B 的坐标为. 因为y1+-2x1= = 1 2 1 ,0 4 1 4 1 2 2 1 , 2 ykx yx 2 1-k k 2 1 4k 2 2 y x 21 1 2 , y x x x 21 2 y x x 122112 2 -2y xy xx x x 122112 2 11 -2 22 kxxkxxx x x =0, 所以y1+=2x1. 故A为线段BM的中点. 1221 2 1 (2 -2)() 2 kx xxx x 22 2 11- (2 -2) 42 k k kk x 21 2 y x x 方法总结方法总结 在研究直线与
18、圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方 程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解. 易错警示易错警示 在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n 的形式,注意先讨论斜率是不是0. 考点考点1 1 抛物线的定义和标准方程抛物线的定义和标准方程 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020赣湘皖三省4月联考,6)设抛物线y2=2px上的三个点A,B(1,y2),C到该抛物线的焦 点的距离分别为d1,d2,d3,若d1,d2,d3的最大值为3,则p的值为( ) A. B.2 C.3 D. 1 2 , 3
19、 y 3 3 , 2 y 3 2 14 3 答案答案 C 因为点A在抛物线y2=2px上,所以p0,根据抛物线定义知d1=+,d2=1+,d3=+ ,d3d2d1,依题意得+=3,解得p=3,故选C. 1 2 , 3 y 2 32 p 2 p3 2 2 p3 22 p 2.(2020江西南昌重点中学4月模拟,10)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A 作l的垂线,垂足为B,设C,AF与BC相交于点E,若|CF|=2|AF|,且ACE的面积为3,则p的值 为( ) A.3 B.2 C. D. 7 ,0 2 p 2 62 答案答案 C 根据对称性设点A(x0,y0),
20、y00,因为|CF|=3p,|CF|=2|AF|,所以|AF|=.由抛物线的定义可 得:|AF|=|AB|=,即x0+=,所以x0=p,y0=p,易证BAECFE,所以=,因为 AFC的面积为3pp=p2,所以ACE的面积为p2=p2=3,所以p2=6,即p= (舍负),故选C. 3 2 p 3 2 p 2 p3 2 p 2 | | AE FE | | AB FC 3 2 3 p p 1 2 1 2 2 3 2 2 1 3 3 2 2 2 2 26 3.(2019黑龙江佳木斯二模,4)已知抛物线y2=4x的焦点为F,抛物线上一点P满足|PF|=4,则OPF的 面积为( ) A.1 B. C.2
21、 D.2 33 答案答案 B 由y2=4x,得F(1,0),=1, 由|PF|=4,知P点的横坐标为3,代入y2=4x,得|y|=2. SPOF=12=.故选B. 2 p 3 1 2 33 4.(2019课标卷地区大联考,9)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,ABC的三个顶点都在抛 物线上,且ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在的直线方程为x+4y-20=0,则抛物线方程为 ( ) A.y2=16x B.y2=8x C.x2=16y D.x2=8y 答案答案 C 由题意,设抛物线的方程为x2=2py(p0). 由消去y得2x2+px-20p=0. 由p2+160p0,得p0或p0)过点
22、(1,-2),经过焦点F的直线l与抛物线 C交于A,B两点,A在x轴的上方,Q(-1,0),若以QF为直径的圆经过点B,则|AF|-|BF|=( ) A.2 B.2 C.2 D.4 35 答案答案 D 依题意,将(1,-2)代入抛物线方程中,可得p=2,则y2=4x,如图,设直线l的倾斜角为,|AF|= ,|BF|=,|AF|-|BF|=-=. 以QF为直径的圆经过点B,BQBF,|BF|=2cos ,即cos =1-cos2,|AF|-|BF|= =4, 故选D. 2 1-cos 2 1cos 2 1-cos 2 1cos 2 4cos 1-cos 2 1cos 4cos cos 4.(20
23、19广西南宁二中4月月考,10)若直线l过抛物线的焦点并与抛物线交于A、B两点,O是抛物线 的顶点,则ABO的形状是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 答案答案 C 不妨设此抛物线的方程为y2=2px(p0),过焦点的直线l:x=my+,代入抛物线方程得y2-2 pmy-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2,则x1x2=. 因为=x1x2+y1y2=-p20)的焦点,直线l与抛物 线C交于A,B两点,则AB的中点到抛物线C的准线的距离为( ) A.8 B.6 C.5 D.4 答案答案 A 本题主要考查抛物线的定义与方程,抛物线的几何
24、性质,考查学生的逻辑思维能力,运算 求解能力,体现了数学运算,逻辑推理的核心素养. 过A,B分别作准线的垂线AA1与BB1,垂足分别为A1与B1,设AB的中点为M,过M作MM1准线于点M1, 直线y=x-2与x轴的交点为抛物线y2=2px(p0)的焦点,=2,即p=4. 由抛物线的定义知|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又知M为AB的中点,且MM1AA1BB1, |MM1|=(|AA1|+|BB1|)=|AB|, 由抛物线焦点弦的性质可知|AB|=(为直线l的倾斜角),又知直线l的斜率k=1,=45,|AB|= =4p=16,|
25、MM1|=|AB|=8.即AB的中点到抛物线C的准线的距离为8. 2 p 1 2 1 2 2 2 sin p 1 2 一题多解一题多解 直线l:y=x-2与x轴的交点为(2,0),所以抛物线C的焦点为(2,0),所以=2,p=4,所以抛物线 C的方程为y2=8x.设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,并化简得x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,x1 x2=4,所以| AB|=16.根据抛物线的定义及平面几何知识可知,AB的中点 到抛物线C的准线的距离为=8,故选A. 2 p 2 -2, 8 yx yx 2 1 1 2 1212 () -4xxx x2 2 12 -4 4 |
26、2 AB16 2 2.(2020吉林长春第二次质量检测,11)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M为该抛物线上 一点,以M为圆心的圆与C的准线相切于点A,AMF=120,则抛物线C的方程为( ) A.y2=2x B.y2=4x C.y2=6x D.y2=8x 0 1 , 2 y 答案答案 C 连接AF.依题意得=p,由抛物线的对称性,不妨设点M,易知AM与抛物线的准线 垂直,因此AMx轴,又AMF=120,因此直线FM的倾斜角为120,又焦点F,因此tan 120= =-(p0),解得p=3,抛物线C的方程为y2=6x,故选C. 2 0 y 1 , 2 p ,0 2 p 1 - 2
27、 2 p p 3 一题多解一题多解 依题意得=p,由抛物线的对称性,不妨设点M,易知AM与抛物线的准线垂直, 因此点A,又AMF=120,|MA|=|MF|,MAF=30,记抛物线的准线与x轴的交点为N,则N ,FAN=90-30=60,在RtAFN中,tanFAN=,p=3,抛物线C的方程为y2 =6x,故选C. 2 0 y 1 , 2 p - , 2 p p -,0 2 p | | NF AN p p 3 3.(2020河南、江西、湖南三省5月联考,10)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点P满足= (O为坐标原点),若过点O作互相垂直的两弦OA,OB,则当弦AB过点P时,的所
28、有可能取值的集合为 ( ) A.4 B.3 C. D. OPOF 1 ,4,3 4 1 ,3,4 3 答案答案 A 由=得O,P,F三点共线,即点P在x轴上,设直线AB的方程为x=my+a(a0),代入抛 物线方程y2=2px可得,y2-2pmy-2pa=0,直线与抛物线有两个不同交点,=4p2m2+8pa0,设A(x1,y1), B(x2,y2),则y1y2=-2pa,则x1x2=a2,OAOB,x1x2+y1y2=0,即a2-2pa=0,解得a=2p或a=0(舍),则直 线AB的方程为x=my+2p,则直线AB恒过定点(2p,0),即点P(2p,0),=(2p,0),又=,= ,=4,故选
29、A. OPOF 2 12 2 () 4 y y p OPOF,0 2 p OP OF 小题巧解小题巧解 由=,得O、P、F三点共线,即点P在x轴上,又OAOB,直线AB恒过定点(2p,0), 即P(2p,0),则=(2p,0),又=,=,=4,故选A. OPOF OPOF,0 2 p OPOF 4.(2020河南“顶尖计划”第三次(5月)联考,12)抛物线C:x2=2py(0p3)在点A(3,y1)处的切线交准线 于B,且与y轴交于点D,F为C的焦点,若BDF的面积为p,则p=( ) A. B.2 C.4 D.2 7 15 535 答案答案 A 本题主要考查抛物线的标准方程,抛物线的几何性质以
30、及直线与抛物线的位置关系,考 查学生的运算求解能力和方程思想的应用,体现了数学运算,逻辑推理等核心素养. 因为x2=2py(0p3),所以y=,则A,又y|x=3=,所以在点A处的切线方程为y-=(x-3),令y =-,得x=,即B,令x=0,得y=-,即D,因为SBDF=p,所以= p,因为0p0)的直线经过抛物线y2=2px(p0)的焦点,与抛物线交于 A、B两点,与抛物线的准线交于C点,当B为AC的中点时,k的值为( ) A. B. C.2 D.3 2 4 222 答案答案 C 不妨设直线AB的倾斜角为, 则|AF|=,|BF|=, 分别过A,B作AA1,BB1垂直于准线,垂足分别为A1
31、,B1,易知|BB1|=|AA1|, 结合抛物线定义得|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|, =cos =,tan =2. 斜率k=2,故选C. 0 2 1-cos p 1cos p 1 2 1 21-cos p 1cos p 1 3 2 2 二、填空题(共5分) 8.(2019内蒙古呼和浩特一模,15)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为 垂足.如果直线AF的斜率为-,那么以PF为直径的圆的标准方程为 . 3 答案答案 (x-2)2+(y-)2=4 3 解析解析 抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,|PF|=|PA|,F(1,0),
32、准线l的方程为x=- 1, 设F在l上的射影为F, 依题意,知AFF=60,|FF|=2,|AF|=2,PAl,PAx轴, 点P的纵坐标为2,设点P的横坐标为x0,则(2)2=4x0,x0=3,|PF|=|PA|=x0-(-1)=3-(-1)=4. 3 33 故以PF为直径的圆的圆心为(2,),半径为2, 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-)2=4. 3 3 三、解答题(共10分) 9.(2020安徽六校教育研究会第二次联考,19)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A(a,3),点P为抛物线 C上的动点. (1)若|PA|+|PF|的最小值为5,求实数a的值; (2)设线段OP的中点
33、为M,其中O为坐标原点,若MOA=MAO=AOF,求OPA的面积. 解析解析 本题主要考查抛物线的标准方程,抛物线的定义以及与抛物线有关的最值,考查数形结合思 想,函数与方程思想,分类讨论思想的应用,考查的核心素养为数学运算,逻辑推理. (1)由题意知F(1,0),当线段AF与抛物线C没有公共点,即a时,设点P在抛物线准线x=-1上的射影 为D,则D,P,A三点共线时,|PA|+|PF|有最小值,为|AD|=a-(-1)=5,此时a=4;当线段AF与抛物线C有公共 点,即a时, 则A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|有最小值,为|AF|=5,此时a=-3.综上,实数a的值为-3或4. (2
34、)因为MOA=MAO=AOF,所以MAx轴且|MO|=|MA|=|MP|,设M(t,3),则P(2t,6),代入抛物线C 的方程得2t=9,于是|MO|=|MA|=|MP|=,所以SOPA=|MA| |yP|=. 9 4 9 4 22 ( -1)3a 3 13 2 1 2 9 13 2 1.(2020 5 3原创题)已知正ABC的顶点A,B在抛物线:y2=4x上,C在直线l:x=-1上,且直线OA,OB的 斜率之积为-4,则|AB|= . 答案答案 12 解析解析 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则-4=,所以y1y2=-4. 直线AB:y-y1=, 化简得y=(x-1), 所以直线A
35、B过抛物线的焦点F. 设直线AB的倾斜角为,根据对称性,不妨设0,易知直线l为抛物线的准线. 取线段AB的中点M,分别过点A,B,M作准线l的垂线,垂足分别为A,B,M,连接CM. 设|AM|=|BM|=t, 则|MM|=t,|CM|=t. 由平面几何知识易得,MCM=, 在RtMCM中,sin =, 所以|AB|=12. 1 1 y x 2 2 y x 1 2 1 4y y 2 2 2 4y y 12 16 y y 21 22 21 - - 44 y y yy 2 1 - 4 y x 12 4 yy 2 | | 2 AABB| | 2 AFBF| | 2 AMBM 3 | | MM CM 1
36、 3 2 2 sin p 2.(2020 5 3原创题)已知直线l:y=k(x+3)与抛物线C:y2=x交于A,B两点,过线段AB的中点作直线l平行 于x轴,交C于点M,若ABM的面积为1,则实数k= . 答案答案 1 4 解析解析 设A(,y1),B(,y2), 则AB的中点坐标为, 故M, 所以SABM= |y1-y2|=1,所以|y1-y2|=2, 联立得消去x,可知ky2-y+3k=0, 所以y1y2=3, 所以(y1+y2)2=(y1-y2)2+4y1y2=16, 所以y1+y2=4, 所以k=. 2 1 y 2 2 y 22 1212 , 22 yyyy 2 1212 () , 4
37、2 yyyy 1 2 222 1212 () - 42 yyyy1 8 3 12 | - |y y 2 (3), , yk x yx 12 22 12 - - y y y y 12 1 yy 1 4 3.(2020 5 3原创题)已知A(1,0),C(5,0),|CN|=2,点M在抛物线y2=4x上,则|MN|+|NA|的最小值为 . 1 2 答案答案 2 3 解析解析 设N(x,y),M(x0,y0), 则(x-5)2+y2=4,=4x0, |NA|= = =. 设B(4,0),因为|MN|+|BN|MB|, 所以|MN|+|NA|=+=2, 当且仅当M,N,B三点共线时,取到最小值. 2
38、0 y 1 2 1 2 22 ( -1)xy 2222 113 ( -1)( -5)-4 444 xyxy 22 ( -4)xy 1 2 22 00 ( -)( -)x xy y 22 ( -4)xy 22 00 (-4)xy 2 0 (-2)12x 3 解题关键解题关键 将|NA|=,利用|CN|=2转化成|NA|=是解答本题的关键. 1 2 1 2 22 ( -1)xy 1 2 22 ( -4)xy 命题说明命题说明 本题是圆和抛物线的综合应用,求线段和的最值问题,考查数形结合能力,逻辑推理能 力,综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. 4.(2020 5 3原创题)过点D(2,0)的
39、任一直线l与抛物线C:y2=4x交于两点A,B,P为直线l外一点,若直线 PA,PD,PB的斜率依次成等差数列,则P点的轨迹方程为 . 答案答案 x=-2 解析解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),直线l的方程为x=ny+2,将直线l的方程与抛物线方程联立消x得y2-4 ny-8=0, 所以y1+y2=4n,y1y2=-8, 由已知得+=, 即=, =, =, (x+2+ny)(x-2)=2nxy,(x+2)(x-ny-2)=0, 因为P为直线l外一点,所以x-ny-20,所以x=-2, 所以P点的轨迹方程为x=-2. 1 1 - - y y x x 2 2 - - y y x x 2 -2 y x 1221 12 ( - )(2- )(- )(2- ) (2- )(2- ) y y nyxy y nyx nyx nyx 2 -2 y x 1212 22 1212 2-( -2)()2 ( -2) - ()( -2)( -2) ny yxny yyy x n y y n yyxx 2 -2 y x 22 -4 (2)2 ( -2) -4( -2) n xnyy x n xx 2 -2 y x
