1、考点考点1 1 复数的概念复数的概念 1.(2020课标,2,5分)复数的虚部是( ) A.- B.- C. D. 1 1-3i 3 10 1 10 1 10 3 10 答案答案 D 利用复数除法法则得=,所以虚部为,选D. 1 1-3i 13i (1-3i)(13i) 1 3i 10 3 10 2.(2020浙江,2,4分)已知aR,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案答案 C 因为a-1+(a-2)i为实数,aR,所以a-2=0,解得a=2,故选C. 3.(2020北京,2,4分)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),
2、则i z=( ) A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i 答案答案 B 由复数的几何意义可知,z=1+2i,所以i z=i (1+2i)=-2+i,故选B. 4.(2019课标,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 z 答案答案 C z=-3+2i,=-3-2i,在复平面内,对应的点的坐标为(-3,-2),此点在第三象限. zz 一题多解一题多解 因为复数z=a+bi(b0)与其共轭复数对应的点关于x轴对称,而复数z对应的点Z(-3,2) 在第二象限,故其共轭复数对应的点必在第三象限. z z 5.(
3、2019课标,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 答案答案 C 本题主要考查复数的概念及几何意义;考查学生的运算求解能力,以及数形结合思想;考 查的核心素养是数学运算. 设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P,则P(0,1),且|z-i|表示复平面内点Z与点P之间的距离,所 以点Z(x,y)到点P(0,1)的距离为定值1,所以Z的轨迹是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,故选C. 6.(2016课标,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1
4、)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+) D.(-,-3) 答案答案 A 由已知可得-3m1),则z在复平面内对应 的点所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 B 当a1时,1-a0,所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限,故选B. 2.(2020安徽合肥模拟,2)设复数z满足|z-3|=2,z在复平面内对应的点为M(a,b)(a,bR),则M不可能为 ( ) A.(2,) B.(3,2) C.(5,0) D.(4,1) 3 答案答案 D 依题意知z=a+bi,a,bR,
5、由|z-3|=2,可得(a-3)2+b2=4(*),把各选项代入验证知只有(4,1)不满足(*)式,故选D. 3.(2020云南玉溪二模,3)复平面内表示复数z=(1+i)(-2+i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 C 本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,体现了数学运算 的核心素养. z=(1+i)(-2+i)=-3-i对应的点(-3,-1)位于第三象限.故选C. 4.(2019青海西宁二模,2)已知z的共轭复数是,且|z|=+1-2i(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应 的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限
6、 C.第三象限 D.第四象限 zz 答案答案 D 设z=x+yi(x,yR), |z|=+1-2i, =x-yi+1-2i=(x+1)-(y+2)i, 解得 故复数z在复平面内对应的点为,此点位于第四象限.故选D. z 22 xy 22 1, 20, xyx y 3 , 2 -2, x y 3 ,-2 2 5.(2019山西太原模拟,3)设复数z=1-i(i是虚数单位),则的虚部为( ) A.i B.- C. D.-i 3 z z 3 2 3 2 3 2 3 2 答案答案 C z=1-i, =-+i. 的虚部为.故选C. 3 z z 2 z z z 2 2 (13i) | | z 12 3i-
7、3 4 1 2 3 2 z z 3 2 考点考点2 2 复数的四则运算复数的四则运算 1.(2020江西南昌四校联考,2)设复数z=a+bi(a,bR),定义 =b+ai,若=,则复数z=( ) A.+i B.-i C.-+i D.-i 1i z i 2-i 1 5 3 5 1 5 3 5 3 5 1 5 3 5 1 5 答案答案 B =, = -+i,则z=-i. 1i z i 2-i i(1 i) 2-i 22 (-1 i)(2i) 21 3 5 1 5 1 5 3 5 2.(2020江西南昌模拟,2)复数z满足=1-i,则|z|=( ) A.2i B.2 C.i D.1 1 i z 答案
8、答案 D 本题主要考查了复数的运算,以及复数的模的求解,体现了数学运算的核心素养. 由=1-i,解得z=i,所以|z|=1,故选D. 1 i z 1 i 1-i (1i)(1i) (1-i)(1i) 4.(2019吉林长春二模,2)已知复数z满足z(1-i)2=3-4i,其中i是虚数单位,则|z|=( ) A. B. C. D. 5 2 2 5 2 5 2 5 4 答案答案 C 由z(1-i)2=3-4i,得-2iz=3-4i,两边同时乘i得2z=(3-4i)i=4+3i,即z=2+i,则|z|= =,故选C. 43i 2 3 2 2 2 3 2 2 9 4 4 25 4 5 2 3.(202
9、0吉林梅河口五中模拟,2)若复数z=1-2i,则=( ) A.-i B.i C.-1 D.1 4i -1z z 答案答案 B z=1-2i的共轭复数=1+2i,所以=i,故选B. z 4i -1z z 4i (1-2i)(12i)-1 4i 5-1 选择题(每小题5分,共35分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：20分钟 分值：35分) 1.(2020陕西教学质量检测,1)已知复数z=(i为虚数单位),则z的虚部为( ) A.2 B.2i C.-2 D.-2i 4 1 i 答案答案 C 本题考查复数的运算. 由题意得z=2-2i,z的虚部为-2,故选C. 4 1 i 4(1-i)
10、 (1i)(1-i) 4(1-i) 2 2.(2020甘肃、青海、宁夏联考,1)在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 (1-2i) i 答案答案 B =-4+3i在复平面内对应的点(-4,3)在第二象限,故选B. 2 (1-2i) i -3-4i i (-3-4i)(-i) i(-i) 3.(2020河南部分重点高中联考,2)若复数a+(aR)是纯虚数,则a=( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 |3-4i| 2i 答案答案 B 因为a+=a+=a+2-i是纯虚数,所以a+2=0,则a=-2. |3-4i| 2i 22 5(2-i) 2
11、1 4.(2020安徽池州模拟,2)已知复数z=,则在复平面内对应的点所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 2i (1-i) z 答案答案 B z=-,则=-+,在复平面内对应的点位于第二象限.故选B. 3 2i (1-i) 1 2 i 2 z 1 2 i 2 z 1 1 -, 2 2 5.(2020广西柳州模拟,3)已知z=(其中i为虚数单位),则z的共轭复数的虚部是( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 3-i 1-i z 答案答案 A 本题考查复数的运算,考查复数的基本概念,体现了数学运算的核心素养. z=2+i, =2-i, 故的虚部为-1
12、.故选A. 3-i 1-i (3-i)(1i) (1-i)(1i) 42i 2 z z 6.(2019广西百色一模,2)若1+ai=(b+i)(1+i)(a,bR,i为虚数单位),则复数(a+1)+(b-4)i在复平面内对 应的点所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 D 由1+ai=(b+i)(1+i)得1+ai=(b-1)+(b+1)i, 于是解得因此(a+1)+(b-4)i=4-2i在复平面内对应的点的坐标为(4,-2),该点在第四象 限,故选D. 1-1, 1, b ab 3, 2, a b 7.(2019安徽铜陵模拟,2)已知复数z满足z
13、 i=z-i(i为虚数单位),则|z|=( ) A. B.2 C. D. 1 2 2 2 2 答案答案 C 由z i=z-i,得z=-+i, |z|=.故选C. i 1-i i(1i) (1-i)(1i) 1 2 1 2 22 11 - 22 2 2 1.(2020 5 3原创题)设复数z1=-1+i,z2=1-i(i是虚数单位),若复数z满足|z-z1|-|z-z2|=2,则|z|的最小值是 ( ) A.1 B.2 C. D. 23 答案答案 A 解法一:设复数z=a+bi(a,bR), 将z1=-1+i,z2=1-i,z=a+bi代入|z-z1|-|z-z2|=2,得 -=2,化简得ab=
14、-.所以|z|=1(当且仅当|a|=|b|时取 “=”),即|z|min=1.故选A. 解法二:设复数z在复平面内对应的点为Z, 因为z1=-1+i,z2=1-i, 所以z1,z2在复平面内所对应的点Z1、Z2之间的距离为|Z1Z2|=22, 由|z-z1|-|z-z2|=2,可得Z的轨迹是以点Z1,Z2为焦点,实半轴长a=1,半焦距c=的双曲线的一支,由于该 双曲线的中心是坐标原点,实半轴长a=1,故该双曲线这一支上的一点到坐标原点的最小距离为1, 即|z|min=1.故选A. 22 (1)( -1)ab 22 ( -1)(1)ab 1 2 22 ab2|ab 2 2 命题说明命题说明 选择
15、复数的模构建问题,考查答题者对复数概念的理解.两个模的差是常数,可以构建 代数方程,也可以构建几何曲线,不同的选择后续难度有一定的差别,但均在可接受范围内.试题难 度略高于高考的要求. 素养解读素养解读 利用复数的模、基本不等式和双曲线等常见的背景构建问题,要求答题者将抽象的变 量间的关系具体化,重点考查数学抽象、数学运算与逻辑推理的核心素养. 思路分析思路分析 思路一:设复数z=a+bi(a,bR),代入|z-z1|-|z-z2|=2,可得关于a,b的一个等式,化简后分析 其与|z|=的联系,再利用基本不等式,即可求得最小值. 思路二:复数z在复平面内对应的点Z的轨迹是以Z1,Z2为焦点,实
16、轴长为2的双曲线的一支,而|z|的几 何意义是该双曲线这一支上的点到坐标原点的距离,利用双曲线的性质可得其最小值. 22 ab 2.(2020 5 3原创题)设复数z1,z2分别对应复平面上的点A,B,且AOB=60,若|z1-z2|=1,则|z1|的最大值 为 . 答案答案 2 3 3 解析解析 解法一:依题意,不妨设复数z1=a,z2=b(1+i)(a,b为正实数), 代入|z1-z2|=1,并化简得4b2-2ab+a2-1=0, 关于b的方程显然有实根,=(-2a)2-44(a2-1)0, 解得a2,即|a|,故|z1|max=. 解法二:AOB=60,且|AB|=|z1-z2|=1,即
17、点O对定长的线段AB张一定角60,可知点O在以AB为弦的 圆M的优弧上,如图所示. 3 4 3 2 3 3 2 3 3 命题说明命题说明 选择复数的模作为问题的载体,增加一个复平面上的夹角,有意扰乱答题者的思维方 向.考查答题者对复数模的概念及其几何意义的理解.本题的解题思路很开阔,可以从多个角度转 化,这也从侧面考查了答题者思维的灵活性和方向性. 素养解读素养解读 重点考查数学抽象、数学运算与逻辑推理的核心素养. 显然线段AO长度(即|z1|)的最大值为圆M的直径.由平面几何知识,易知该圆直径为2R= = ,所 以|z1|max= . 1 3 2 2 3 3 2 3 3 3.(2020 5
18、3原创题)在复数列an中,已知a1=-i,an=+i(n2,nN*),则= . 2 -1n a 132 019 242 020 aaa aaa 答案答案 -+ 1 2 i 2 解析解析 因为a1=-i,所以 a2=+i=(-i)2+i=i-1; a3=(i-1)2+i=-i; a4=(-i)2+i=i-1; a5=(i-1)2+i=-i; a2 019=-i; a2 020=i-1. 则=-+. 2 1 a 132 019 242 020 aaa aaa -1 010i 1 010(i-1) -i i-1 1 2 i 2 解题关键解题关键 复数是高中数学中涉及面广、知识跨度比较大的内容之一,是
19、研究图形变换和轨迹的 有力工具,应用十分广泛.所以除掌握好复数的有关概念、四则运算外,还要熟练地掌握复数解题 的常用技巧.解决本题的关键在于学生要在复数运算的基础上归纳计算方法,找出规律,提高运算 能力、归纳概括能力,避免大量重复计算. 命题说明命题说明 本题结合数列来考查复数的四则运算,紧贴高考复数命题的热点.要注意复数的运算法 则和性质与实数的比较,通过类比让学生体会实数与复数的运算的共性,培养学生的创新能力和运 算能力. 4.(2020 5 3原创题)在数学中,记表达式ad-bc为由所确定的二阶行列式.若在复数域内,z1=1+i,z2 =,z3=,则当=-i时,z4的虚部为 . ab cd 2i 1-i 2z 12 34 zz zz 1 2 答案答案 -2 解析解析 根据题意有=z1z4-z2z3,因为z3=,z2=,所以z2z3=z2=, 因此有(1+i)z4-=-i,即(1+i)z4=3-i, 整理得z4=1-2i.所以z4的虚部是-2. 12 34 zz zz 2z 2i 1-i 2z 5 2 5 2 1 2 3-i 1 i (3-i)(1-i) 2 命题说明命题说明 利用题意转化为熟悉的复数运算,最终解出答案.要求学生具有较好的思维转化能力与 运算求解能力,将实数的运算通性、通法拓展到复数,是对学生数学知识的一种创新,有利于培养 学生的学习兴趣和创新精神.
