1、考点考点 导数的概念及运算导数的概念及运算 1.(2019课标,7,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1 答案答案 D 本题考查导数的几何意义,常见函数的导数,导数的运算法则,通过对常见函数的导数的 求解考查学生对公式的运用能力.考查了数学运算的核心素养. y=aex+ln x+1,y|x=1=ae+1, 2=ae+1,a=e-1.切点为(1,1), 将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b,b=-1,故选D. 方法总结方法总结 求曲线在某点处(注意
2、:该点必为切点)切线方程的方法:求导函数;把该点横坐标代 入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;用点斜式写出切线方程. 2.(2019课标,10,5分)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0 C.2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0 答案答案 C 本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗透的 核心素养是数学运算. 由题意可知y=2cos x-sin x,则y|x=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为y+1=-2(x- ),即2x+y+1-2=0,故选
3、C. 小题速解小题速解 由题意得y=2cos x-sin x,则y|x=-2.计算A、B、C、D选项中直线的斜率,可知只有C符 合.故选C. 3.(2018课标,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方 程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 答案答案 D 解法一:f(x)=x3+(a-1)x2+ax, f (x)=3x2+2(a-1)x+a. 又f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)恒成立, 即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立, a=1,f (x)=3x2
4、+1,f (0)=1, 曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x. 故选D. 解法二:f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,f (x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数, a=1,即f (x)=3x2+1,f (0)=1,曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D. 方法点睛方法点睛 该题考查的是有关曲线y=f(x)在某个点(x0,f(x0)处的切线方程的问题,在求解的过程中, 首先需要确定函数解析式,此时利用到结论:多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇 次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得f (x),借助于导数的几何意义,结合直线方
5、程 的点斜式求得结果. 4.(2020课标,15,5分)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 . 答案答案 y=2x 解析解析 设该切线的切点坐标为(x0,y0),由y=ln x+x+1得y=+1,则在该切点处的切线斜率k=+1,即 +1=2,解得x0=1,y0=ln 1+1+1=2,即切点坐标为(1,2),该切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 1 x 0 1 x 0 1 x 5.(2020课标,15,5分)设函数f(x)=.若f (1)=,则a= . ex xa e 4 答案答案 1 解析解析 f (x)=,则f (1)=,解得a=1. 2 (-1)e
6、() x xa xa 2 e (1) a a e 4 6.(2018天津,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f (x)为f(x)的导函数,则f (1)的值为 . 答案答案 e 解析解析 本题主要考查导数的计算. f(x)=exln x,f (x)=ex, f (1)=e1(ln 1+1)=e. 1 ln x x 7.(2019课标,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 . 答案答案 y=3x 解析解析 本题考查导数的几何意义;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算. y=3(x2+3x+1)ex,曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y|x=0=
7、3,曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x. 8.(2018课标,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 . 答案答案 2x-y-2=0 解析解析 本题主要考查导数的几何意义. 由y=2ln x得y=.因为k=y|x=1=2,点(1,0)为切点, 所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0. 2 x 9.(2017课标,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 . 1 x 答案答案 x-y+1=0 解析解析 本题主要考查导数的几何意义. y=x2+,y=2x-,y|x=1=2-1=1, 所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 1 x 2 1
8、 x 10.(2017天津,10,5分)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截 距为 . 答案答案 1 解析解析 本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距. 由题意可知f (x)=a-,所以f (1)=a-1, 因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a), 所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1), 即y=(a-1)x+1. 令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1. 1 x 11.(2016课标,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方 程是 .
9、 答案答案 y=2x 解析解析 解法一:当x0时,-x0),点(1,2)在曲线y=f(x)上,易 知f (1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f (1) (x-1),即y=2x. 解法二:因为f(x)为偶函数,所以y=f(x)图象上的点A(1,2)关于y轴的对称点A(-1,2)也在函数y=f(x)的 图象上,且在A,A处的切线斜率互为相反数.又当x0时, f (x)=-e-x-1-1, f (-1)=-2,所以f (1)=2,则可求 得切线方程是y=2x. 易错警示易错警示 注意f (1)的求解方法,易因忽略x的取值范围,直接求f(x)=e-x-1-x的导数而致错.
10、 12.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过 点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 . 答案答案 (e,1) 解析解析 本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为数学运 算. 设A(x0,y0),由y=,得k=, 所以在点A处的切线方程为y-ln x0=(x-x0). 因为切线经过点(-e,-1), 所以-1-ln x0=(-e-x0),所以ln x0=. 令g(x)=ln x-(x0), 则g(x)=+,则g(x)0, g(x)在(0,+)上为增函数. 又g(e)=0,ln
11、 x=有唯一解x=e.x0=e.点A的坐标为(e,1). 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 e x e x 1 x 2 e x e x 13.(2019北京,20,14分)已知函数f(x)=x3-x2+x. (1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程; (2)当x-2,4时,求证:x-6f(x)x; (3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(aR),记F(x)在区间-2,4上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值. 1 4 解析解析 (1)由f(x)=x3-x2+x得f (x)=x2-2x+1. 令f (x)=1,即x2-2x+1=1,得x=0或x=. 又f(0)=0
12、, f=, 所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-=x-,即y=x与y=x-. (2)证明:令g(x)=f(x)-x,x-2,4.由g(x)=x3-x2得g(x)=x2-2x. 令g(x)=0,得x=0或x=. 1 4 3 4 3 4 8 3 8 3 8 27 8 27 8 3 64 27 1 4 3 4 8 3 g(x),g(x)的情况如下: x -2 (-2,0) 0 4 g(x) + - + g(x) -6 0 - 0 8 0, 3 8 3 8 ,4 3 64 27 所以g(x)的最小值为-6,最大值为0. 故-6g(x)0,即x-6f(x)x. (3)由(2)知, 当a
13、3; 当a-3时,M(a)F(-2)=|g(-2)-a|=6+a3; 当a=-3时,M(a)=3. 综上,当M(a)最小时,a=-3. 1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直, 则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 以下为教师用书专用 答案答案 A 设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1x2,由题意知只需函数y=f(x)满足f (x1) f (x2)=-1即可.y=f(x)=sin x的导函数为f (x)
14、=cos x,f (0) f ()=-1,故函数y=sin x具有T性质;y=f(x)= ln x的导函数为f (x)=,则f (x1) f (x2)=0,故函数y=ln x不具有T性质;y=f(x)=ex的导函数为f (x)= ex,则f (x1) f (x2)=0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f (x)=3x2,则f (x1)f (x2)=9 0,故函数y=x3不具有T性质.故选A. 1 x 12 1 x x 12 ex x2 1 x 2 2 x 疑难突破疑难突破 函数的图象在两点处的切线互相垂直等价于在这两点处的切线的斜率之积为-1,即相 应的导数之积为-1,
15、这是解决此题的关键. 2.(2016四川,10,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相 交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+) D.(1,+) -ln ,01, ln ,1 xx x x 答案答案 A 设P1(x1,y1),P2(x2,y2).不妨令0x11. 当0x1时, f (x)=, l1的斜率k1=-,l2的斜率k2=, l1与l2垂直,且x2x10, k1 k2=-=-1,即x1x2=1. 直线l1y=-(x-x1)-ln x1, 直线l2y=(x
16、-x2)+ln x2.取x=0,分别得到A(0,1-ln x1),B(0,-1+ln x2),则 |AB|=|1-ln x1-(-1+ln x2)|=|2-(ln x1+ln x2)|=|2-ln x1x2|=2. 联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=, SPAB=|AB| |xP|=2 1 x 1 x 1 1 x 2 1 x 1 1 x 2 1 x 1 1 x 2 1 x 12 12 2x x xx 1 2 1 2 12 12 2x x xx =, 函数y=x+在(0,1)上为减函数,且0x11+1=2,则0, 01,则当x时, f (x)0.所以f(x)在x=1处取得极小值. 若a1,则
17、当x(0,1)时,ax-1x-10.所以1不是f(x)的极小值点. 综上可知,a的取值范围是(1,+). 1 2 1 ,1 a 方法总结方法总结 函数极值问题的常见类型及解题策略 (1)已知导函数图象判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的 导数符号. (2)已知函数求极值.求f (x)求方程f (x)=0的根列表检验f (x)在f (x)=0的根的两侧的符号得 出结论. (3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f (x0)=0,且f(x)在该点左、右两侧的导数值 符号相反. 温馨提示温馨提示 解题时需要注意以下几个方面:在求解切线方程
18、问题时,注意区别在某一点和过某 一点解题步骤的不同;在研究单调性及极值、最值问题时常常会涉及分类讨论的思想,要做到 不重不漏;不等式恒成立问题属于高考中的难点,要注意问题转换的等价性. 8.(2018天津,20,14分)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列. (1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程; (2)若d=3,求f(x)的极值; (3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围. 3 解析解析 本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、
19、运用导数研究函数的性质等基础知识和方 法.考查函数思想和分类讨论思想.考查综合分析问题和解决问题的能力. (1)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f (x)=3x2-1.因此f(0)=0, f (0)=-1,又因为曲线y=f(x)在点(0, f (0)处的切线方程为y-f(0)=f (0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0. (2)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3-9)x-+9t2. 故f (x)=3x2-6t2x+3-9. 令f (x)=0,解得x=t2-或x=t2+. 2 2
20、 t 3 2 t 2 2 t 33 当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表: 所以函数f(x)的极大值为f(t2-)=(-)3-9(-)=6;函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3-9()=- 6. (3)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x-t2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t 2)+6=0有三个互异的实数解.令u=x-t2,可得u 3+(1-d2)u+6 =0. x (-,t2-) t2- (t2-,t2+) t2+ (t2+,+) f (x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 333333 3333
21、333 3 3 33 设函数g(x)=x3+(1-d2)x+6,则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于函数y=g (x)有三个零点. g(x)=3x2+(1-d2). 当d21时,g(x)0,这时g(x)在R上单调递增,不合题意. 当d21时,令g(x)=0,解得x1=-,x2=. 33 2-1 3 d 2-1 3 d 易得,g(x)在(-,x1)上单调递增,在x1,x2上单调递减,在(x2,+)上单调递增. g(x)的极大值g(x1)=g=+60. g(x)的极小值g(x2)=g=-+6. 若g(x2)0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,
22、不合题意. 若g(x2)27,也就是|d|,此时|d|x2,g(|d|)=|d|+60,且-2|d|x1,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+6 -62+60,则b=( ) A.aln a B.a2ln a C. D. 1 a lna a 答案答案 A 设切点为(x0,a(x0+1),f (x0)=a, x0=ln a.f(x0)=a(x0+1),+b=(x0+1), 即b=x0=ln a eln a=aln a.故选A. 0 ex 0 ex 0 ex 0 ex 2.(2020云南昆明一模,10)若直线y=ax与曲线y=ln x-1相切,则a=( ) A.e B.1 C. D. 1 e
23、2 1 e 答案答案 D 本题考查导数的几何意义和切线方程的求法,考查考生的数学运算能力和逻辑推理能 力.利用切点是公共点、切点处的导数是切线斜率构造方程组是解决此类问题的基本思路. 由y=ln x-1,得y=,设切点为(x,ln x-1), 则解得a=.故选D. 1 x ln -1, 1 , axx a x 2 1 e 3.(2020江西九江十校4月模拟,10)若曲线y=x4-x3+ax(x0)存在斜率小于1的切线,则a的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 3 - , 2 1 - , 2 5 - , 4 1 - , 4 答案答案 C 由题意得y=4x3-3x2+a0时有解. 设f(x
24、)=4x3-3x2+a(x0), f (x)=12x2-6x=6x(2x-1), 令f (x)0得0x0得x, f(x)min=f=a-1,则a0时,其解析式为f(x)=xex+x2,则 曲线f(x)在点(-1, f(-1)处的切线方程为( ) A.y=-(2e+1)x-e- B.y=(2e+1)x-e- C.y=-(2e+1)x+3e+ D.y=(2e+1)x+3e+ 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 答案答案 A 设x0,f(x)=f(-x)=-xe-x+x2, f (x)=-e-x+xe-x+x,则f (-1)=-e-e-1=-2e-1. 又f(-1)=e+,曲线f(x)在点(-1
25、, f(-1)处的切线方程为y-e-=-(2e+1)(x+1),即y=-(2e+1)x-e-.故 选A. 1 2 1 2 1 2 1 2 5.(2020河南新乡一中二模,12)已知函数f(x)=aex(a0)与g(x)=2x2-m(m0)的图象在第一象限有公共 点,且在该点处的切线相同,当实数m变化时,实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 2 4 , e 2 8 , e 2 4 0, e 2 8 0, e 答案答案 D 设切点为A(x0,y0), 所以整理得 由m=2-4x00和x00,解得x02. 由上可知a=,令h(x)=,x2,则h(x)=. 因为x2,所以h(x)=0,h(
26、x)=在(2,+)上单调递减,所以0h(x)0)有极大值9. (1)求m的值; (2)若斜率为-5的直线是曲线y=f(x)的切线,求此直线的方程. 解析解析 (1)f (x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0, 则x=-m或x=m, 当x变化时, f (x)与f(x)的变化情况如下表: 从而可知,当x=-m时,函数f(x)取得极大值9, 即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,所以m=2. (2)由(1)知, f(x)=x3+2x2-4x+1, 令f (x)=3x2+4x-4=-5, 解得x=-1或x=-, 又f(-1)=6, f=,所以切线方程为y-6=-5(x+1)或y-
27、=-5, x (-,-m) -m m f (x) + 0 - 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 1 3 1 -m, 3 m 1 3 1 , 3 m 1 3 1 - 3 68 27 68 27 1 3 x 即5x+y-1=0或135x+27y-23=0. (2020 5 3原创题)曲线y=f(x)在点P(-1, f(-1)处的切线l如图所示,则f (-1)+f(-1)=( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 答案答案 C 因为切线l过点(-2,0)和(0,-2), 所以f (-1)=-1, 所以切线l的方程为y=-x-2,取x=-1,则y=-1, 即f(-1)=-1, 所以f (-1)+f(-1)=-1-1=-2, 故选C. 02 -2-0 素养解读素养解读 本题通过图象来考查导数的几何意义,重点考查直观想象和数学运算的核心素养.
