1、考点考点 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 1.(2020课标,6,5分)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案答案 B 由x2+y2-6x=0得圆心为(3,0),设此点为C,点(1,2)为A,当过点A的弦与AC垂直时,弦长最小, 易知|AC|=2,因为半径,半弦长,弦心距构成直角三角形,所以弦的长度的最小值为2 =2,故选B. 22 2(1-3)2 22 3 -(2 2) 2.(2016课标,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(
2、) A.- B.- C. D.2 4 3 3 4 3 答案答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为 =1,解得a=-.故选A. 2 |4-1| 1 a a 4 3 易错警示易错警示 (1)圆心坐标错写成(-1,-4);(2)把点到直线的距离公式记错或用错. 3.(2016山东,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x- 1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 2 答案答案 B 圆M的标准方程为x2+(y-a)2=a
3、2(a0),则圆心为(0,a),半径R=a,则圆心到直线x+y=0的距离 d=(a0). 因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2, 所以2=2=2(a0), 解得a=2,则圆心为M(0,2),半径R=2,又知圆N的圆心为N(1,1),半径r=1,所以|MN|=. 则R-r0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k= ,b= . 答案答案 ;- 3 3 2 3 3 解析解析 解法一:由直线与圆相切的充要条件知 解法二:如图所示. 由图易知,直线y=kx+b经过点(2,0),且倾斜角为30,从而k=,且0=+bb= -. 2 2 | | 1, 1 |4| 1 1 b k kb
4、 k 2 | |4|, | |1 bkb bk 3 (), 3 2 3 -. 3 k b 舍非正数 3 3 2 3 3 2 3 3 7.(2020天津,12,5分)已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为 . 3 答案答案 5 解析解析 设圆心(0,0)到直线x-y+8=0的距离为d,则d=4, r2=+d2=32+42=25,又r0,r=5. 3 22 |8| 1(- 3) 2 | 2 AB 8.(2018课标,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= . 答案答案 2 2 解析解析 将圆x2+y
5、2+2y-3=0化为标准方程为x2+(y+1)2=4,则圆心坐标为(0,-1),半径r=2, 圆心到直线x-y+1=0的距离d=, |AB|=2=2=2. 2 2 2 22 -rd 22 2 -( 2)2 方法归纳方法归纳 求解圆的弦长的常用方法: (1)几何法:l=2(其中l为圆的弦长,r为圆的半径,d为弦心距); (2)代数法:联立直线与圆的方程,结合根与系数的关系及弦长公式|AB|=|x1-x2|= 或|AB|=|y1-y2|=(k0)求解. 22 -rd 2 1k 2 1k 2 1212 () -4xxx x 2 1 1 k 2 1 1 k 2 1212 () -4yyy y 9.(2
6、019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,- 1),则m= ,r= . 答案答案 -2; 5 解析解析 设直线2x-y+3=0为l,则ACl,又kl=2, kAC=-,解得m=-2,C(0,-2), r=|AC|=. 1 02 m 1 2 22 (02)(-21)5 一题多解一题多解 由题知点C到直线的距离为,r=|AC|=.由直线与圆C相切得 =,解得m=-2,r=. |-3| 5 m 22 2(1)m 22 2(1)m |-3| 5 m 22 2(-21)5 10.(2016课标,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:
7、x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面 积为 . 3 答案答案 4 解析解析 把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r=.圆心到直线x-y+2a=0的距离d =.由r2=d2+,得a2+2=+3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=r2=4. 2 2a | | 2 a 2 | 2 AB 2 2 a 11.(2016课标,15,5分)已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴 交于C,D两点.则|CD|= . 3 答案答案 4 解析解析 圆心(0,0)到直线x-y+6=0的距离d
8、=3,|AB|=2=2,过C作CEBD于E,因为 直线l的倾斜角为30,所以|CD|=4. 3 6 13 2 12-33 | cos30? CE| cos30? AB2 3 3 2 12.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为 直径的圆C与直线l交于另一点D.若=0,则点A的横坐标为 . ABCD 答案答案 3 解析解析 本题考查直线与圆的位置关系. 设A(a,2a),a0,则C, 圆C的方程为+(y-a)2=+a2, 由得 =(5-a,-2a)=+2a2-4a=0,a=3或a=-1,又a0,a=3,点A的横坐标为3
9、. 5 , 2 a a 2 5 - 2 a x 2 ( -5) 4 a 2 2 22 5( -5) -( - ), 24 2 , aa xy aa yx 1, 2, D D x y ABCD - -3 ,2- 2 a a 2-2 -15 2 aa 一题多解一题多解 由题意易得BAD=45. 设直线DB的倾斜角为, 则tan =-, tanABO=-tan(-45)=3, kAB=-tanABO=-3. AB的方程为y=-3(x-5), 由得xA=3. 1 2 -3( -5), 2 , yx yx 13.(2017课标,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两
10、点,点C的坐标为(0,1). 当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现ACBC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 解析解析 (1)不能出现ACBC的情况,理由如下: 设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2. 又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为=-,所以不能出现ACBC的情况. (2)证明:BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2. 由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-. 联立又+mx2-2=0,可得 所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为, 半径r=.
11、 故圆在y轴上截得的弦长为2=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 1 -1 x 2 -1 x 1 2 2 1 , 2 2 x 1 2 2 - 2 x x 2 m 2 2 -, 2 1 -, 22 m x x yxx 2 2 x -, 2 1 -. 2 m x y 1 -,- 22 m 2 9 2 m 2 2- 2 m r 1.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( ) A.1 B.2 C. D.2 22 以下为教师用书专用 答案答案 C 由题意知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距离
12、 d=.故选C. 22 |-1-03| 1(-1) 2 易错警示易错警示 在应用点到直线的距离公式d=时,一定要将直线方程化成一般形式,正确 写出A,B,C的值,此处符号易出现错误. 00 22 |AxByC AB 2.(2014课标,12,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围 是( ) A.-1,1 B. C.-, D. 1 1 -, 2 2 22 22 -, 22 答案答案 A 解法一:过M作圆O的两条切线MA、MB,切点分别为A、B,若在圆O上存在点N,使 OMN=45,则OMBOMN=45,所以AMB90,所以-1x01,故选
13、A. 解法二:过O作OPMN于P, 则|OP|=|OM|sin 451, |OM|, 即, 1,即-1x01,故选A. 2 2 0 1x 2 2 0 x 思路分析思路分析 解法一:过M作出圆的两条切线,利用OMBOMN得出答案;解法二:判断出O到直 线MN的距离小于等于半径,得到|OM|,进而求出x0的范围. 2 3.(2019江苏,18,16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥 AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段 PB,QA上的所有点到点O的距离均圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分
14、别为AC和BD(C, D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米). (1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长; (2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由; (3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离. 不小于 解析解析 本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建 模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 解法一: (1)过A作AEBD,垂足为E. 由已知条件得,四边形ACDE为矩形, DE=BE=AC=6,AE=CD=8. 因为PBAB,所以cosPBD=si
15、nABE=. 所以PB=15. 因此道路PB的长为15百米. 8 10 4 5 cos BD PBD 12 4 5 (2)不能,理由如下: 若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选 在D处不满足规划要求. 若Q在D处,连接AD,由(1)知AD=10, 从而cosBAD=0,所以BAD为锐角. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求. 综上,P和Q均不能选在D处. (3)先讨论点P的位置. 当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15. 22 AEED 222 - 2 ADAB BD AD A
16、B 7 25 3 5 由上可知,d15. 再讨论点Q的位置. 由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ= =3. 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ= 17+3. 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米. 解法二: (1)如图,过O作OHl,垂足为H. 以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系. 因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3. 因为AB
17、为圆O的直径,AB=10, 所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为. 因为PBAB,所以直线PB的斜率为-, 22 -QA AC 22 15 -621 21 21 21 3 4 4 3 直线PB的方程为y=-x-. 所以P(-13,9),PB=15. 因此道路PB的长为15百米. (2)若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求. 若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3), 所以线段AD:y=-x+6(-4x4). 4 3 25 3 22 (-134)(93) 3 4 在线段AD
18、上取点M, 因为OM=5, 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处. (3)先讨论点P的位置. 当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15. 再讨论点Q的位置. 由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ= =15(a4),得a=4+3, 15 3, 4 2 2 15 3 4 22 34 22 ( -4)(9-3)a21 所以Q(4+3,9).此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上,当P(-13,9),Q(4+3,9
19、)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3-(-13)=17+3. 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米. 21 212121 21 4.(2015课标,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围; (2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|. OMON 解析解析 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1. 因为l与C交于两点, 所以1. 解得k. 所以k的取值范围为.(5分) 2 |2 -3 1| 1 k k 4- 7 3 47 3 4- 7 47 , 33 (2)设M(x1,y
20、1),N(x2,y2). 将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得 (1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 所以x1+x2=,x1x2=.(7分) =x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 =+8. 由题设可得+8=12,解得k=1, 所以l的方程为y=x+1. 2 4(1) 1 k k 2 7 1k OMON 2 4 (1) 1 kk k 2 4 (1) 1 kk k 故圆心C在l上,所以|MN|=2.(12分) 思路分析思路分析 (1)利用点斜式写出直线的方程,然后根据几何法求出k的范围;(2)根据数量积的坐标运 算结合根与系数的关系求出k
21、,然后求出弦长. 知识拓展知识拓展 解决与圆有关的弦长问题的常用方法: 一般方法联立方程,应用弦长公式;几何法应用垂径定理.先求圆心到l的距离d,则弦 长=2(R为圆的半径). 22 -R d 5.(2014课标,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB 的中点为M,O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积. 解析解析 (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4. 设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y). 由题设知=0
22、, 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点P在圆C的内部, 所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上, 又P在圆N上,从而ONPM. 因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-, 故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以POM的面积为. CMMP CMMP 2 1 3 1 3 8 3 2 4 10 5 4 10 5 16 5 考点考点 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置
23、关系 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020云南红河自治州二诊,5)已知圆C:x2+y2=2,直线l:x-y+m=0,则“l与C相交”是“m2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案答案 A “l与C相交”,解得-2m2. “l与C相交”是“m0,则+2=2,当且仅当b=a时等号成立, 故+3+2,即+的最小值为3+2,故选B. ababab ab 1 a 2 b 12 ab b a 2a b b a 2a b 2ba ab 22 1 a 2 b 2 1 a 2 b 2 审题指导审题指导 由两圆公切线的条数可得两圆内切,进
24、而可得=2-1=1,即a+b=1,然后利用“1”的 代换结合基本不等式可得+的最小值. ab 1 a 2 b 4.(2020山西吕梁一模,6)直线l:mx-y+1-4m=0(mR)与圆C:x2+(y-1)2=25交于两点P、Q,则弦长|PQ| 的取值范围是( ) A.6,10 B.6,10) C.(6,10 D.(6,10) 答案答案 C 本题考查直线和圆的位置关系,考查运算能力和推理能力,体现了直观想象、数学运算 的核心素养. 圆C:x2+(y-1)2=25的圆心为C(0,1),半径r=5, 直线l:mx-y+1-4m=0m(x-4)-y+1=0过定点M(4,1),且M在圆C内, 故|PQ|
25、最长为直径.|PQ|最短时,点M(4,1)为弦PQ的中点,即CMPQ,可求得|PQ|=2=6,但此时 直线斜率不存在,即|PQ|取不到6. 综上,|PQ|的范围是(6,10.故选C. 22 5 -4 5.(2020安徽黄山一模,11)已知直线l:x+ay-1=0是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴,过点A(-1,a)作圆C的 一条切线,切点为B,则|AB|=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案答案 C 已知直线l:x+ay-1=0是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴,圆心(3,1),半径r=3, 所以直线l过圆心C(3,1),故3+a-1=0,故a=-2, 所以点A
26、(-1,-2),|AC|=5, |AB|=4,故选C. 22 (3 1)(12) 22 5 -3 解题关键解题关键 利用直线l:x+ay-1=0是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴求出a,再利用几何法求出切线长 |AB|. 6.(2019江西上饶一模,6)直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 答案答案 B 将圆的方程化为标准方程得+=,圆心坐标为,半径r= .圆心到直线ax-by=0的距离d=r, 直线与圆相切.故选B. 2 - 2 a x 2 2 b y 22 4 ab ,- 22 ab 22 2 ab 22
27、 22 22 ab ab 22 2 ab 7.(2019四川联合诊断,7)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为( ) A.1 B.2 C. D.3 2 7 答案答案 C 切线长的最小值是在直线y=x+1上的点与圆心的距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距 离d=2,圆的半径为1,故切线长的最小值为=,故选C. |3-01| 2 2 22 -dr8-17 8.(2019四川仁寿高三开年摸底联考,15)若过点(2,1)总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相 切,则实数k的取值范围是 . 答案答案 8 3 -,-4 3 8 3 2, 3
28、 解析解析 圆的方程可化为+(y+1)2=16-k2. 由点(2,1)在圆外,得 解得-k-4或2k, 故实数k的取值范围是. 2 2 k x 3 4 2 222 3 16-0, 4 2122-150, k kk 8 3 3 8 3 3 8 3 -,-4 3 8 3 2, 3 9.(2019云南师范大学附属中学月考,15)已知动直线l:(m+1) x+(m+2)y-m-3=0与圆C1:(x-2)2+(y+1)2=3 6交于A、B两点,以弦AB为直径的圆为C2,则圆C2的面积的最小值是 . 答案答案 18 解析解析 由l:(m+1)x+(m+2)y-m-3=0,得(x+y-1)m+x+2y-3=
29、0,令x+y-1=0,x+2y-3=0,解得x=-1,y=2,所以动 直线l:(m+1)x+(m+2)y-m-3=0过定点M(-1,2).圆C1的圆心为C1(2,-1),半径r1=6,因为|MC1|=3 1)与x轴负半轴的交点为M,过点M且斜率为1的直 线l与圆C的另一个交点为N,若MN的中点P恰好落在y轴上,则|MN|=( ) A.2 B.2 C. D. 3232 答案答案 B 本题考查直线与圆的位置关系,考查数形结合的解题思想方法,考查直观想象、数学运 算的核心素养. 取y=0,可得x=1-r或x=1+r, 由题意可得,M(1-r,0), 设直线l的方程为y=x+r-1, 联立 得x2+(
30、r-2)x+1-r=0. 由1-r+xN=2-r,得xN=1. 由MN的中点P恰好落在y轴上,得1-r+1=0,即r=2. M(-1,0),N(1,2), 则|MN|=2.故选B. 222 -1, ( -1), yxr xyr 22 (-1-1)(0-2)2 3.(2020陕西榆林一模,9)若m0,n0,且直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则m+n的 取值范围是( ) A.2+,+) B.2+2,+) C.(0,2+ D.(0,2+2 22 22 答案答案 B 本题考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,基本不等式,以及一元二次不等式 的解法等基
31、础知识,考查的核心素养是数学运算,直观想象. 由圆x2+y2-2x-2y+1=0,得(x-1)2+(y-1)2=1,得到圆心坐标为(1,1),半径r=1. 直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆相切, 圆心到直线的距离d=1, 整理得m+n+1=mn. 设m+n=x(x0),则有x+1,即x2-4x-40, 解得x2+2或x2-2(舍去),则m+n的取值范围为2+2,+).故选B. 22 | (1)(1) mn mn 2 2 mn 2 4 x 2 22 思路分析思路分析 由圆的方程求出圆心坐标和半径r,由直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半 径,利用点到直线的距离公式列出关系式,整理
32、后利用基本不等式变形,设m+n=x,得到关于x的不等 式,求出不等式的解集得到x的范围,即为m+n的范围. 4.(2020全国3月模拟,9)某公园内有一个半径为60米的圆形池塘,池塘内有美丽的荷花与锦鲤,为了 方便游客观赏,公园负责人打算在池塘上搭建一个“工”字形的木桥(如图),其中AB=CD,E,F分别 为AB,CD的中点,圆心O为EF的中点,则木桥的长度最长可以为( ) A.120米 B.240米 C.120米 D.240米 25 52 答案答案 C 本题以实际问题为背景考查直线与圆相交的性质,解三角形,考查的核心素养是数学运 算,考查学生的应用意识. 连接OA,则OA=r=60米,设AO
33、E=,由题意可得AE=rsin =60sin ,OE=rcos =60cos , 而AB=CD=2AE,EF=2OE, 所以木桥的长度AB+CD+EF=4AE+2OE=240sin +120cos =120sin(+),tan =, 所以木桥的长度120米,当sin(+)=1时,取等号.故选C. 0, 2 5 1 2 5 5.(2020四川资阳二诊,10)圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+=0的距离为1的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2 答案答案 C 本题考查圆的方程、点到直线的距离以及直线与圆的位置关系,考查运算求解能力,考 查数形结合的解题思想方法
34、,考查的核心素养为直观想象、数据分析、数学运算. 化x2+y2+2x-2y-2=0为(x+1)2+(y-1)2=4, 得圆心坐标为(-1,1),半径为2. 由圆心到直线l:x+y+=0的距离d=10时,圆心C在x轴上方,若OA、OB为圆的切线且AOB=60,此时a取得最大值,AOC=3 0, 有|OC|=2|AC|=4,即(3-0)2+(a-0)2=16, 解得a=(负值舍去),故实数a的最大值是,故选C. 77 8.(2019黑龙江齐齐哈尔一模,10)已知半圆C:x2+y2=1(y0),A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点, 直线m过点B且与x轴垂直,点P在直线m上,纵坐标为t,若在半圆C上
35、存在点Q使BPQ=,则t的取值 范围是( ) A.(0, B.-,0) C. D. 3 2 3 -,0 3 33 2 3 0, 3 3 -,0 3 3 0, 3 2 3 -,0 3 2 3 0, 3 答案答案 A 根据题意知|PB|=|t|. 设PQ与x轴交于点T, 由于BP与x轴垂直, 且BPQ=, 则在RtPBT中, |BT|=|PB|=|t|. 若P在x轴上方, 易知当PT与半圆相切时,|BT|有最大值3, 此时t有最大值; 若P在x轴下方, 当Q与A重合时,|BT|有最大值2,|t|有最大值, 则t取得最小值-; 而当t=0时,P与B重合,不符合题意. 则t的取值范围为(0,.故选A.
36、 3 33 3 2 3 3 2 3 3 2 3 -,0 3 3 9.(2019安徽合肥二模,12)在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点(0,1),(0,3),且与x轴正半轴相切,若圆 C上存在点M,使得直线OM与直线y=kx(k0)关于y轴对称,则k的最小值为( ) A. B. C.2 D.4 2 3 3 333 答案答案 D 如图, 圆C经过点(0,1),(0,3),且与x轴正半轴相切, 圆心的纵坐标为2,半径为2,则圆心的横坐标为=,圆心坐标为(,2). 设过原点与圆相切的直线方程为y=k1x, 由圆心到直线的距离等于半径,得=2,解得k1=0(舍去)或k1=-4. 若圆C上存在点M,使得
37、直线OM与直线y=kx(k0)关于y轴对称,则k的最小值为4.故选D. 22 2 -133 1 2 1 | 3 -2| 1 k k 3 3 1.(2020 5 3原创题)已知A,B(-3,0),C(7,0),则ABC内切圆的方程为 . 17 24 , 55 答案答案 (x-3)2+(y-2)2=4 解析解析 易知直线AB的方程为3x-4y+9=0,直线AC的方程为4x+3y-28=0. 设内切圆圆心D的坐标为(a,b)(b0), 则圆的半径r=b, 所以=b. 又因为点D在直线AB的右边,在直线AC的左边, 所以=-=b,所以a=3,b=2, 所以ABC内切圆的方程为(x-3)2+(y-2)2
38、=4. |3 -49| 5 ab|43 -28| 5 ab 3 -49 5 ab43 -28 5 ab 一题多解一题多解 因为|AB|=8, |AC|=6, |BC|=|7-(-3)|=10, 所以ABC是以A为直角顶点的直角三角形. 所以内切圆半径为=2,圆心横坐标为7-(6-2)=3,纵坐标为2, 所以ABC内切圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=4. 22 1724 3 55 22 1724 -7 55 68-10 2 2.(2020 5 3原创题)已知圆O:x2+y2=4,若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦,则|OC|的最大值为 . 答案答案 2+2 2 解析解析 如图,不妨假
39、设A固定,B在圆上移动, 点A绕O逆时针旋转90到E,连接OA,OE,AE,CE,BE, 则ABE=AOE=45,所以ABECBE, 所以CE=AE=2,所以|OC|OE|+|EC|, 当B点移动到使O,E,C三点共线时|OC|取到最大值, 故|OC|的最大值为2+2. 1 2 2 2 疑难突破疑难突破 本题固定A点,C点看作由A点绕B点旋转90得到,因而想到将A点绕圆心O旋转90得到 E,得AE=CE,当B点在圆上移动时,C点的轨迹为以E为圆心,EA为半径的圆.若设出B点坐标,通过求 C点坐标求最值,看似思路简单,可是涉及旋转,或利用向量垂直,长度相等求解,运算较繁,容易出错. 一题多解一题
40、多解 要使|OC|最大,正方形ABCD在圆心O的同侧. 如图,设正方形ABCD的边长为a,ABO=. 在AOB中,|OA|=|OB|=2,所以a=|AB|=4cos . 在OBC中,|OB|=2,|BC|=4cos , 由余弦定理,得 |OC|2=|OB|2+|BC|2-2|OB| |BC|cos =4+16cos2-224cos (-sin ) =4+8(1+cos 2)+8sin 2=12+8sin. 当sin=1,即=时,|OC|max=2+2. 2 2 2 4 2 4 8 128 22 3.(2020 5 3原创题)某品牌的logo是用一系列以1,2,3,5,8,13,为半径的圆截得的
41、,如图所示,右上方 是三个半径为8的圆,自上而下依次为圆A,圆B,圆C,已知它们的圆心在斜率为-1的同一直线上,已知 圆A与x轴相切于坐标原点O,且圆A的圆心在x轴上方,圆B与y轴相切,且圆心在y轴右侧,圆C与圆B 外切. (1)求圆B的方程; (2)求圆A与圆B的公共弦所在直线方程; (3)已知点P是圆C上任意一点,求使取得最大值的P点坐标. PA PB 解析解析 由题意可得圆A,圆B,圆C如图所示. (1)圆A与x轴相切于坐标原点O,且圆A的圆心在x轴上方,半径为8, 圆心A(0,8),圆A的方程为x2+(y-8)2=82. 点A,B,C在斜率为-1的直线上, 即在x+y-8=0上, 又圆
42、B与y轴相切,且圆心在y轴右侧,半径为8, 圆心B在直线x=8上, 圆心B(8,0),圆B的方程为(x-8)2+y2=82. (2)由(1)得圆A的方程为x2+(y-8)2=82, 圆B的方程为(x-8)2+y2=82, -得两圆公共弦所在直线方程为16x-16y=0,化简得y=x. (3)圆C与圆B外切, 由几何关系可得圆心C(8+8,-8), 圆C的方程为x-(8+8)2+(y+8)2=82. 设P(x0,y0), 则=(-x0,8-y0) (8-x0,-y0)=-8x0+-8y0=(x0-4)2+(y0-4)2-32, 的最大值即圆C上的点P与点H(4,4)距离的最大值的平方减32. 使取得最大值的点P即为线段HC的延长线与圆C的交点,由图易知P(8+12,-12). 22 22 PA PB 2 0 x 2 0 y PA PB PA PB22
