1、考点考点1 1 万有引力定律及其应用万有引力定律及其应用 1.(2020课标,15,6分)火星的质量约为地球质量的1/10,半径约为地球半径的1/2,则同一物体在火 星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( ) A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5 答案答案 B 设物体的质量为m,地球的质量为M地,地球半径为R地,地球对该物体的引力大小为F地,火 星的质量为M火,火星半径为R火,火星对该物体的引力大小为F火,根据万有引力定律得F地=,F火 =,根据题意知,R地=2R火,M地=10M火,联立解得=0.4,故B正确,A、C、D项错误。 2 GM m R 地 地 2 GM m R 火 火
2、F F 火 地 2.(2016课标,14,6分)关于行星运动的规律,下列说法符合史实的是( ) A.开普勒在牛顿定律的基础上,导出了行星运动的规律 B.开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律 C.开普勒总结出了行星运动的规律,找出了行星按照这些规律运动的原因 D.开普勒总结出了行星运动的规律,发现了万有引力定律 答案答案 B 开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律,但并没有找出其中的原因, A、C错误,B正确;万有引力定律是牛顿发现的,D错误。 规律总结规律总结 开普勒三定律被称为行星运动的“宪法”,是行星运动的基本规律。开普勒虽然总结 出了这三条基本规律,但并没有
3、找出行星运动之所以遵守这些基本规律的原因。 3.(2018北京理综,17,6分)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的 规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证( ) A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602 B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602 C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6 D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60 答案答案 B 本题考查万有引力定律的应用。设地球半径为R,质量为M,月球绕地球公转轨道半径 为r。地球对地面附近的苹果的引力G=mg,所以g=G;地球对月球的引力提供月球公转的
4、 向心力,即G=m月a,所以a=G;比较可知a=g=g,故选项B正确。 2 Mm R 2 M R 2 Mm r 月 2 M r 2 R r 2 1 60 4.(2019课标,14,6分)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔 向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描述F随h变 化关系的图像是( ) 答案答案 D 由万有引力定律可知,探测器受到的万有引力F=,其中R为地球半径。在探测器 “奔向”月球的过程中,离地面距离h增大,其所受的万有引力非线性减小,故选项D正确。 2 () GMm Rh 储备知识储备知识 万有引力定律公式
5、,数学函数与图像的关联。 5.(2018课标,16,6分)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其 自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.6710-11 N m 2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为 ( ) A.5109 kg/m3 B.51012 kg/m3 C.51015 kg/m3 D.51018 kg/m3 答案答案 C 本题考查万有引力定律在天体中的应用。以周期T稳定自转的星体,当星体的密度最小 时,其表面物体受到的万有引力提供向心力,即=mR,星体的密度=,得其密度= =
6、kg/m3=51015 kg/m3,故选项C正确。 2 GMm R 2 2 4 T3 4 3 M R 2 3 GT -11-32 3 3.14 6.67 10(5.19 10 ) 方法技巧方法技巧 万有引力定律及天体质量和密度的求解方法 (1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 由于=mg,故天体质量M=,天体密度=。 (2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r。 由万有引力提供向心力,即G=mr,得出中心天体质量M=; 若已知天体半径R,则天体的平均密度=; 若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径r等于天体半径R,则天体密度 =。可见,只要测出卫星环绕
7、天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。 2 GMm R 2 gR G M V 3 4 3 M R 3 4 g GR 2 Mm r 2 2 4 T 23 2 4 r GT M V 3 4 3 M R 3 23 3r GT R 2 3 GT 6.(2019课标,15,6分)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速 度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金R地a地a火 B.a火a地a金 C.v地v火v金 D.v火v地v金 答案答案 A 行星绕太阳做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,即G=ma向=m,解得a向=G
8、,v= ,由于R金R地a地a火,v金v地v火,选项A正确。 2 Mm R 2 v R 2 M R GM R 解题关键解题关键 认识并掌握天体运动与万有引力的关系是解决这类问题的关键。 7.(2018课标,20,6分)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科 学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒 转动12圈。将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿 力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( ) A.质量之积 B.质量之和 C.速率之和 D.各自的自转角速度 答案答案 B
9、C 本题考查万有引力定律的应用等知识。双星系统由彼此间万有引力提供向心力,得 =m1r1,G=m2r2,且T=,两颗星的周期及角速度相同,即T1=T2=T,1=2=,两颗星的 轨道半径r1+r2=L,解得=,m1+m2=,因为未知,故m1与m2之积不能求出,则选项A错误,B正 确。各自的自转角速度不可求,选项D错误。速率之和v1+v2=r1+r2= L,故C项正确。 12 2 Gm m L 2 1 12 2 m m L 2 2 2 1 2 m m 2 1 r r 23 2 4 L GT 2 1 r r 8.(2019课标,21,6分)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻
10、放在弹簧 上端,P由静止向下运动,物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球 N上用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a-x关系如图中虚线所示。假设两星球均为 质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍,则 ( ) A.M与N的密度相等 B.Q的质量是P的3倍 C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍 D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍 答案答案 AC 本题考查了重力与万有引力的关系、密度、牛顿第二定律与图像的综合应用、机械 能守恒定律等,以及理解能力、推理能力、综合分析能力及应用数学知识处理物理问题的能力,难 度较大。本题体现了运动与相互作用观念、
11、能量观念、模型建构、科学推理和科学论证的核心 素养,加强了考生以科学态度探究科学本质的责任感。 对物体在弹簧上向下运动的过程应用牛顿第二定律得mg-kx=ma,则a=g-x,结合a-x图像可得,重 力加速度gM=3a0、gN=a0,=、=,联立可解得mQ=6mP,故B选项错。认为星球表面的重 力等于万有引力,即mg=G,则星球质量M=,星球的密度=,由此可知M星 球与N星球的密度之比为=1,故A选项正确。设弹簧的最大压缩量为xm,此时物 体动能为零,由机械能守恒定律有mgxm=k,则xm=,由此可得=6=2,故D选项 错。当物体加速度等于零时,速度最大,动能最大,由机械能守恒定律有,Ekm=m
12、gx-kx2,结合mg=kx 可得Ekm=kx2,此时P、Q对应的弹簧的压缩量分别为x0和2x0,故有=4,故C选项正确。 k m P k m 0 0 3a x Q k m 0 0 2 a x 2 Mm R 2 R g G M V 2 3 4 3 R g G R 3 4 g GR M N MN NM g R g R 0 0 3a a 1 3 1 2 2 m x 2mg k m m N M x x QN PM m g m g 0 0 3 a a 1 2 1 2 km km Q P E E 2 0 0 2x x 以下为教师用书专用 1.(2019天津理综,1,6分)2018年12月8日,肩负着亿万
13、中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成 功发射,“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测,率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的 质量为M、半径为R,探测器的质量为m,引力常量为G,嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速 圆周运动时,探测器的( ) A.周期为 B.动能为 C.角速度为 D.向心加速度为 23 4 r GM2 GMm R 3 Gm r 2 GM R 答案答案 A 本题为天体运动中的人造卫星运动问题,考查了考生应用万有引力定律和圆周运动知 识进行分析推理的能力。物理核心素养中的模型建构、运动与相互作用观念等要素在本题中均 有体现。题目以嫦娥四号探测器的发射与运行为背景,厚植着深深的
14、爱国情怀。 探测器围绕月球做匀速圆周运动,月球对探测器的引力充当向心力,则G=m=m2r=mr= ma向,解得a向=G,T=2,=,Ek=mv2=,故A项正确。 2 Mm r 2 v r 2 2 4 T 2 M r 3 r GM 3 GM r 1 22 GMm r 解题关键解题关键 准确掌握卫星做匀速圆周运动时万有引力提供向心力的规律,是解决这类问题的关 键。 2.(2018课标,15,6分)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P,其轨道半径约为地球 半径的16倍;另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( ) A.21 B.41 C.81 D.161 答案答案
15、 C 本题考查万有引力定律、向心力公式、周期公式。卫星P、Q围绕地球做匀速圆周运 动,万有引力提供向心力,即G=mR,则T=,=,选项C正确。 2 Mm R 2 2 4 T 23 4 R GM P Q T T 3 3 P Q R R 8 1 一题多解一题多解 卫星P、Q围绕地球做匀速圆周运动,满足开普勒第三定律,=,解得=, 选项C正确。 3 2 P P R T 3 2 Q Q R T P Q T T 3 3 P Q R R 8 1 3.(2017课标,19,6分)(多选)如图,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P为近日点,Q为远日点,M、N为 轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0。若只考虑海王星和
16、太阳之间的相互作用,则海王星在从P 经M、Q到N的运动过程中( ) A.从P到M所用的时间等于T0/4 B.从Q到N阶段,机械能逐渐变大 C.从P到Q阶段,速率逐渐变小 D.从M到N阶段,万有引力对它先做负功后做正功 答案答案 CD 本题考查开普勒行星运动定律、机械能守恒条件,考查学生的理解能力。海王星绕 太阳沿椭圆轨道运动,由开普勒第二定律可知,从PQ速度逐渐减小,故从P到M所用时间小于T0/4, 选项A错误,C正确;从Q到N阶段,只受太阳的引力,故机械能守恒,选项B错误;从M到N阶段经过Q点 时速度最小,故万有引力对它先做负功后做正功,选项D正确。 思路分析思路分析 天体绕太阳做椭圆运动时
17、,近日点速率最大,远日点速率最小,结合动能定理可以确定 出万有引力的做功情况,结合机械能守恒条件可知,机械能守恒。 4.(2017北京理综,17,6分)利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是( ) A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 答案答案 D 本题考查天体运动。已知地球半径R和重力加速度g,则mg=G,所以M地=,可求 M地;近地卫星做圆周运动,G=m,T=,可解得M地=,已知v、T可求M地;对于月球: G=m
18、r,则M地=,已知r、T月可求M地;同理,对地球绕太阳的圆周运动,只可求出太阳质 量M太,故此题符合题意的选项是D项。 2 M m R 地 2 gR G 2 M m R 地 2 v R 2R v 2 v R G 3 2 v T G 2 Mm r 地 2 2 4 T月 23 2 4 r GT月 方法技巧方法技巧 中心天体质量的求解途径 此题提示我们可以从两个方面求得中心天体质量:已知中心天体的半径和重力加速度。已知 中心天体的行星或卫星的运动参数。 5.(2018浙江4月选考,9,3分)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图),每16天绕土星一周,其公转轨道半 径约为1.2106 km。已知引力常量G=
19、6.6710-11 N m2/kg2,则土星的质量约为( ) A.51017 kg B.51026 kg C.71033 kg D.41036 kg 答案答案 B 卫星“泰坦”绕土星做圆周运动,万有引力提供向心力,有G=mr,得M=, 代入数据得土星质量约为 51026 kg,故B正确。 2 Mm r 2 2 T 23 2 4 r GT 6.2017天津理综,9(1)我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后,与已经在轨运行的“天 宫二号”成功对接形成组合体。假设组合体在距地面高为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动,已 知地球的半径为R,地球表面处重力加速度为g,且不考虑地球自转的影响。
20、则组合体运动的线速度大小 为 ,向心加速度大小为 。 答案答案 R g g Rh 2 2 () R Rh 解析解析 本题考查天体运动、万有引力定律的应用。 设组合体的质量为m、运转线速度为v、地球质量为M,则 G=ma向=m,又有G=mg,联立上述两式得a向=g,v=R。 2 () Mm Rh 2 v Rh 2 Mm R 2 2 () R Rh g Rh 试题评析试题评析 本题为万有引力定律在天体运动中的应用,考生只要应用天体运动中万有引力充当向 心力这一规律,就可顺利作答,本题难度为易。 考点考点2 2 人造卫星、宇宙航行人造卫星、宇宙航行 1.(2020课标,15,6分)若一均匀球形星体的
21、密度为,引力常量为G,则在该星体表面附近沿圆轨道 绕其运动的卫星的周期是 ( ) A. B. C. D. 3 G 4 G 1 3G 1 4G 答案答案 A 设星体半径为R,则其质量M=R3;在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星所受 万有引力提供向心力,有G=m R,联立解得T=,故A选项正确,B、C、D选项错误。 4 3 2 Mm R 2 2 4 T 3 G 2.(2020课标,16,6分)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆,着陆前曾绕月球飞 行,某段时间可认为绕月做匀速圆周运动,圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半 径的P倍,地球质量是月球质量的Q倍,地球表面
22、重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆 周运动的速率为( ) A. B. C. D. RKg QP RPKg Q RQg KP RPg QK 答案答案 D 设月球质量为m、半径为r 则地球质量为Qm、半径R=Pr 探测器绕月运动半径为Kr=K 地球表面重力加速度大小为g,则=m0g 探测器绕月运动,由牛顿第二定律得 =m 由式得v=,故D正确。 R P 0 2 GQmm R 2 () Gmm Kr 2 v Kr RPg QK 3.(2020天津,2,5分)北斗问天,国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星,其轨 道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比,地球静止轨道卫星
23、( ) A.周期大 B.线速度大 C.角速度大 D.加速度大 答案答案 A 本题通过北斗导航卫星考查万有引力定律、牛顿第二定律和向心力公式。 近地卫星的轨道半径近似等于地球半径,而地球静止轨道卫星的轨道半径约为地球半径的7倍,根 据万有引力提供向心力可得G=ma=m2r=mr,推导得a=、v=、=、T =2,可知卫星的轨道半径越大,其加速度越小、线速度越小、角速度越小、周期越大,故A 正确。 2 Mm r 2 mv r 2 2 4 T 2 GM r GM r 3 GM r 3 r GM 4.(2020山东,7,3分)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆 火星前,
24、会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地 球的0.1倍,半径约为地球的0.5倍,地球表面的重力加速度大小为g,忽略火星大气阻力。若该减速 过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动,此过程中着陆器受到的制动力大小约为( ) A.m B.m C.m D.m 0 0 0.4 - v g t 0 0 0.4 v g t 0 0 0.2 - v g t 0 0 0.2 v g t 答案答案 B 由星球表面物体重力近似等于万有引力,即mg=知=,g=0.4g,着陆器减 速下降时加速度大小为a=,由牛顿第二定律知F-mg=ma,F=mg+m=m,选项B正确。 2 GM
25、m R g g M M 火 地 2 R R 地 火 0 0 v t 0 0 v t 0 0 0.4 v g t 5.(2020浙江7月选考,7,3分)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动 均可视为匀速圆周运动,火星公转轨道半径与地球公转 轨道半径之比为32,则火星与地球绕太阳运动的( ) A.轨道周长之比为23 B.线速度大小之比为 C.角速度大小之比为23 D.向心加速度大小之比为94 32 23 答案答案 C 圆的周长与半径成正比,A错;由=,得线速度大小之比为,B错;由=, 得角速度大小之比为23,故C正确;由=man,得向心加速度大小之比为49,则D错。 2
26、 GMm r 2 mv r 23 v r 23 2 GMm r 6.(2020江苏单科,7,4分)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等,均绕地球做圆周运动,甲的轨道半径 是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( ) A.由v=可知,甲的速度是乙的倍 B.由a=2r可知,甲的向心加速度是乙的2倍 C.由F=G可知,甲的向心力是乙的 D.由=k可知,甲的周期是乙的2倍 gR2 2 Mm r 1 4 3 2 r T 2 答案答案 CD 由=mg可知,在离地不同高度处重力加速度不同,而A项推论误将g作为一个常量, 故A项所得结果错误。同理由=mr2可知卫星在不同轨道上运行的角速度不同,B项将作为 常
27、量得出的推论也是错误的。由万有引力定律可知C项正确。由=mr可得=,可 见k=是一个只与地球质量有关的物理量,故D项由此所得推论是正确的。 2 GMm r 2 GMm r 2 GMm r 2 2 T 3 2 r T 2 4 GM 2 4 GM 7.(2016江苏单科,7,4分)(多选)如图所示,两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动,用R、T、Ek、 S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的 有( ) A.TATB B.EkAEkB C.SA=SB D.= 3 2 A A R T 3 2 B B R T 答案答案 AD 卫星做匀速圆周运动时有
28、=m=mR2=mR,则T=2,故TATB, =,A、D皆正确;Ek=mv2=,故EkA天宫二号质量m1,则动能变大,C项正确。由=ma得 a=,可知向心加速度与m无关,故不变,D项错误。 2 Mm r 2 2 4 T 3 r GM 2 Mm r 2 v r GM r 2 GMm r 2 GM r 审题指导审题指导 隐含条件明显化 对接形成的组合体相比天宫二号质量增加,即公式中的m增大,仍沿天宫二号原来的轨道运行,意味 着轨道半径r不变。 11.(2016课标,17,6分)利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保持无 线电通信。目前,地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6
29、倍。假设地球的自转周期变小,若 仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约为( ) A.1 h B.4 h C.8 h D.16 h 答案答案 B 卫星围绕地球运转时, 万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,即=mr,解得周期T=2,由此可见,卫星的 轨道半径r越小,周期T就越小,周期最小时,三颗卫星连线构成的等边三角形与赤道圆相切,如图所 示,此时卫星轨道半径r=2R,T=2,又因为T0=2=24 h,所以T= T0= 24 h4 h,B正确。 2 GMm r 2 2 T 3 r GM 3 (2 )R GM 3 (6.6 )R GM 3 2 6.6 R R 3 1 3.3 解题
30、关键解题关键 地球同步卫星做圆周运动的周期与地球自转的周期相等。目前的三颗地球同步 卫星对地球赤道的扫描区域是有重叠的。地球自转周期的最小值对应地球同步卫星运动周期 的最小值,同时也对应地球同步卫星高度的最小值。地球同步卫星高度最小时三颗星连线构成 的等边三角形与赤道圆相切。 以下为教师用书专用 1.(2018江苏单科,1,3分)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的 “高分五号”轨道高度约为705 km,之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km,它们都 绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比,下列物理量中“高分五号”较小的是( ) A.周期 B.角速度
31、C.线速度 D.向心加速度 答案答案 A 本题考查万有引力定律及其应用、宇宙航行。设地球质量为M,卫星质量为m,轨道半 径为R,卫星绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,即G=,结合v=R,=,a=,解 得v=,=,T=,a=,可知v,T,a,由题知R四R五,结合 上面式子得v五v四,五四,a五a四,T五T四,故B、C、D三项均错,A项正确。 2 Mm R 2 mv R 2 T 2 v R GM R 3 GM R 23 4 R GM 2 GM R 1 R 3 1 R 3 R 2 1 R 2.(2018海南单科,2,4分)土星与太阳的距离是火星与太阳距离的6倍多。由此信息可知( ) A.土星
32、的质量比火星的小 B.土星运行的速率比火星的小 C.土星运行的周期比火星的小 D.土星运行的角速度大小比火星的大 答案答案 B 本题考查不同环绕天体的速率、周期、角速度与轨道半径的关系。根据万有引力提 供向心力,有G=m,得v=,即r越大,速率越小,但是不能比较土星与火星质量的大小,故A 错误,B正确;由G=mr,得T=2,即r越大,周期越大,故C错误;由G=m2r,得=, 即r越大,角速度越小,故D错误。 2 Mm r 2 v r GM r 2 Mm r 2 2 4 T 3 r GM 2 Mm r 3 GM r 方法技巧方法技巧 对于中心天体模型,只能求出中心天体的质量,无法求出环绕天体的质
33、量,明确了这一 点,可以快速判断A选项错误。 3.(2017江苏单科,6,4分)(多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功 发射升空。与“天宫二号”空间实验室对接前,“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞 行,则其( ) A.角速度小于地球自转角速度 B.线速度小于第一宇宙速度 C.周期小于地球自转周期 D.向心加速度小于地面的重力加速度 答案答案 BCD 本题考查万有引力定律、人造卫星的运行规律。由于地球自转的角速度、周期等 物理量与地球同步卫星一致,故“天舟一号”可与地球同步卫星比较。由于“天舟一号”的轨道 半径小于同步卫星的轨道半径,所以,角速度是“
34、天舟一号”大,周期是同步卫星大,选项A错,C对; 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度,故“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度,B对;对“天舟 一号”有G=ma向,所以a向=G,而地面重力加速度g=G,故a向a1a3 B.a3a2a1 C.a3a1a2 D.a1a2a3 答案答案 D 对于东方红一号与东方红二号,由G=ma得:a=,由此式可知a1a2。对于地球同 步卫星东方红二号和地球赤道上的物体,由a=2r=r可知,a2a3。综上可见,a1a2a3,故D正 确。 2 Mm r 2 GM r 2 2 T 易错点拨易错点拨 由a=比较加速度的大小,只适用于正常运行的卫星,对赤道上的物体是不成立的。
35、2 GM r 7.(2015天津理综,8,6分)(多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星,距各自表面相同高度处各有一颗卫 星s1、s2做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a,横坐 标表示物体到行星中心的距离r的平方,两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系,它们左 端点横坐标相同。则( ) A.P1的平均密度比P2的大 B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小 C.s1的向心加速度比s2的大 D.s1的公转周期比s2的大 答案答案 AC 设行星的半径为R、质量为M、卫星的质量为m,对于卫星有:G=ma,则a=。由 a-r2图像中两条曲线左端点横坐标相同可知
36、,r最小值相同,说明两卫星s1、s2在两行星表面运行,行 星P1、P2的半径R是相同的,而两颗卫星到各自行星表面的距离也相同,所以卫星s1、s2到各自行星 的距离r是相同的,由图像可知,s1的向心加速度比s2的大,即C正确。由a=可知,r相同时,a大说明 对应的M也大,故P1的平均密度比P2的大,即A正确。设在行星表面发射卫星的“第一宇宙速度” 为v,则有G=m,v=,可见R相同时M大的对应的v也大,即P1的“第一宇宙速度”大,故B 错。卫星的公转周期设为T,则有:G=mr,T=2,可见s1的公转周期小,故D错。 2 Mm r 2 GM r 2 GM r 2 Mm R 2 v R GM R 2
37、 Mm r 2 2 4 T 3 r GM 8.(2015山东理综,15,6分)如图,拉格朗日点L1位于地球和月球连线上,处在该点的物体在地球和月 球引力的共同作用下,可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此,科学家设想在拉格朗日点L1 建立空间站,使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大 小,a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是( ) A.a2a3a1 B.a2a1a3 C.a3a1a2 D.a3a2a1 答案答案 D 地球同步卫星受月球引力可以忽略不计,表明地球同步卫星距离月球要比空间站距离 月球更远,则地球同步卫星轨道半径r3、空间站轨
38、道半径r1、月球轨道半径r2之间的关系为r2r1r3, 由=ma知,a3=,a2=,所以a3a2;由题意知空间站与月球周期相等,由ma=m()2r知,a1= r1,a2=r2,所以a2a1。因此a3a2a1,D正确。 2 GMm r 2 3 GM r 2 2 GM r 2 T 2 2 T 2 2 T 9.(2015课标,16,6分)由于卫星的发射场不在赤道上,同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整 再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时,发动机点火,给卫星一附加速度,使 卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1103 m/s,某次发射卫星飞经赤道上空时 的速度为1.55
39、103 m/s,此时卫星的高度与同步轨道的高度相同,转移轨道和同步轨道的夹角为30, 如图所示。发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( ) A.西偏北方向,1.9103 m/s B.东偏南方向,1.9103 m/s C.西偏北方向,2.7103 m/s D.东偏南方向,2.7103 m/s 答案答案 B 同步卫星的速度 v方向为正东方向,设卫星在转移轨道的速度为v1,附加速度为v2,由速度的合成可知v2的方向为东偏 南方向,其大小为v2=1.9103 m/s,故B选项正确。 22 1 ( cos30?- )( sin30?)vvv 解题关键解题关键 当卫星运动到转移轨道和同步轨道交会处时,不
40、仅需要调整卫星的速度大小,而且还 需要调整卫星运动的方向。需要将此卫星在转移轨道的速度、附加速度和同步卫星的环绕速 度放在同一平面内考虑。正确画出如解析中的速度合成图是正确解答的关键。 考点考点1 1 万有引力定律及其应用万有引力定律及其应用 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020陕西3月联考,7)(多选)我国计划在2020年7月发射火星探测器,预计经过10个月的飞行,火星 探测器将于2021年到达火星,着陆火星表面并进行巡视探测。假设探测器在火星表面和地球表面 上时以相同的速度竖直上抛一物体,其在地球上落回抛出点的时间是火星上的a倍,已知地球半径 与火星半径之比为b1。不计地球
41、和火星的自转及其表面气体的阻力。下列说法正确的是( ) A.地球与火星绕太阳运动时,它们与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 B.地球与火星表面的重力加速度大小之比为1a C.地球与火星的质量之比为ab2 D.地球与火星的第一宇宙速度大小之比为 ba 答案答案 BD 由开普勒第二定律可知,地球与火星绕太阳运动的轨道不同,故它们与太阳的连线在 相等的时间内扫过的面积不相等,故A错误; 设竖直向上为正方向,根据竖直上抛的速度公式 -v0=v0-gt 可得:t= 地球上落回抛出点的时间是火星上的a倍,则地球与火星表面的重力加速度大小之比为1a,故B 正确; 在星球表面有G=mg,地球与火星表面的
42、重力加速度大小之比为1a,地球半径与火星半径之 比为b1,故地球与火星的质量之比为b2a,故C错误; 对近地卫星有G=m,v=,则地球与火星的第一宇宙速度大小之比为,故D正确。 0 2v g 2 Mm R 2 Mm R 2 v R gRba 解题指导解题指导 第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度,也是发射卫星的最小速度。 2.(2020安徽六校教育研究会第二次素质测试,16)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面的 高度相同处,以相同的速率平抛一物体,它们在水平方向运动的距离之比为23,已知该行星质量 约为地球的36倍,地球的半径为R。不计行星和地球的自转及其表面气体的阻力。由此可知,该行 星的
43、半径约为( ) A.3R B.4R C.5R D.6R 答案答案 B 本题以行星和地球上的平抛运动为情景,考查万有引力定律,通过对行星半径的求解,考 查学生的理解能力,体现运动与相互作用观念要素。 平抛运动在水平方向上为匀速直线运动,即x=v0t,在竖直方向上为自由落体运动,即h=gt2,所以x=v 0,两种情况下,抛出的速率相同,高度相同,所以=94,根据公式G=mg可得R 2= , 故=4,解得R行=4R,故B正确。 1 2 2h g g g 行 地 2 2 x x 地 行 2 Mm R GM g R R 行 地 M g M g 行地 地行 3.(2020河南郑州二测,4)宇宙中有一孤立星
44、系,中心天体周围有三颗行星,如图所示。中心天体质 量远大于行星质量,不考虑行星之间的万有引力,三颗行星的运行轨道中,有两个为圆轨道,半径分 别为r1、r3,一个为椭圆轨道,半长轴为a,a=r3。在t时间内,行星、行星与中心天体连线扫过的 面积分别为S2、S3;行星的速率为v1、行星在B点的速率为v2B、行星在E点的速率为v2E、行 星的速率为v3,下列说法正确的是( ) A.S2=S3 B.行星与行星的运行周期相等 C.行星与行星在P点时的向心加速度大小相等 D.v3v1v2Ev2B 答案答案 B 根据开普勒第二定律可知S2S3,故A错误。已知a=r3,据开普勒第三定律知行星、行 星的运行周期
45、相等,B正确;向心加速度为垂直于速度方向的加速度,行星与行星在P点时加 速度相等,但行星在该点的向心加速度为此加速度的分量,小于行星在P点时的向心加速度,故 C错误;r1v3=;考虑到从轨道到轨道的变轨过程,应该在B点加速,有v1v2E;考虑到v2E小于在E点能够绕中心天体做匀速圆周运动所 需的速度vE,而vEv3,所以有v2Ev3,综上所述v2Ev3v1m),它们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球A看过去,双星运动的平面 与AO垂直,A、O距离恒为L。观测发现质量较大的恒星P做圆周运动的周期为T,运动范围的最大 张角为(单位是弧度)。已知引力常量为G,很小,可认为sin =tan =,
46、忽略其他星体对双星系统的作用力。则( ) A.恒星Q的角速度大小为 B.恒星Q的轨道半径大小为 C.恒星Q的线速度大小为 D.两颗恒星的质量m和M满足关系式= 2 T M m 2 ML m ML mT 3 2 () m mM 23 2 ( ) 2 L GT 答案答案 BCD 本题以双星为情景,考查万有引力定律的应用,体现运动与相互作用观念要素。 恒星Q与P具有相同的角速度,则角速度大小为=,选项A错误;恒星P的轨道半径大小为R=L tan =L,对双星系统,m2r=M2R,解得恒星Q的轨道半径大小为r=,选项B正确;恒星Q的线 速度大小为v1=r=,选项C正确;对双星系统,G=m2r=M2R,
47、解得GM=2r (r+R)2,Gm=2R(r+R)2,相加得G(M+m)=2(R+r)3,联立可得,=,选项D正确。 2 T 2 1 2 2 ML m 2 T 2 ML m ML mT 2 () Mm rR 3 2 () m mM 23 2 ( ) 2 L GT 解题关键解题关键 双星问题,关键是知道双星做圆周运动的向心力由两者之间的万有引力来提供,知道两 者的角速度相同,周期相同。 7.(2020辽宁葫芦岛一模,5)(多选)我国自主建设、独立运行的北斗卫星导航系统由数十颗卫星构 成,目前已经向一些国家提供相关服务。设想其中一颗人造卫星在发射过程中,原来在椭圆轨道1 绕地球E运行,在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动,如图所示。下列说法正确的是( ) A.卫星在轨道1上的运行周期小于在轨道2上的运行周期 B.卫星在轨道1上P点的加速度等于在轨道2上P点的加速度 C.卫星在轨道1上的机械能大于在轨道2上的机械能 D.卫星在轨道1上的P点动量小于在轨道2上的P点动量 答案答案 ABD 本题考查万有引力、动量,考查学生的分析综合能力。
