1、 1 常州市教育学会学业水平监测常州市教育学会学业水平监测 高三数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1已知集合2, 1,0,1,2A ， 2 |By yx，则()AB R C（ ） A2, 1 B2, 1,0 C0,1,2 D1,2 2i是虚数单位，复数 13i i （ ） A3i B3i C3i D3i 3tan15（ ） A31 B23 C31 D23 4函数sin2yx的图象可由函数cos(2) 6 yx 的图象（
2、） A向左平移 12 个单位得到 B向右平移 6 个单位得到 C向左平移 4 个单位得到 D向右平移 3 个单位得到 5已知函数 2 ( )lnf xxax，0a ，若曲线( )yf x在点(1,1)处的切线是曲线( )yf x的所 有切线中斜率最小的，则a（ ） A 1 2 B1 C2 D2 6某校全体学生参加物理实验、化学实验两项操作比赛，所有学生都成功完成了至少一项实 验，其中成功完成物理实验的学生占 62%，成功完成化学实验的学生占 56%，则既成功完成 物理实验又成功完成化学实验的学生占该校学生的比例是（ ） A44% B38% C18% D6% 7声强是表示声波强度的物理量，记作I
3、.由于声强I的变化范围非常大，为方便起见，引入 声强级的概念，规定声强级 0 lg I L I ，其中 202 0 10W/mI ，声强级的单位是贝尔， 1 10 贝尔又 称为 1 分贝.生活在 30 分贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在 90 分贝以上的噪 声环境中会严重影响人的健康.根据所给信息，可得 90 分贝声强级的声强是 30 分贝声强级的 2 声强的（ ） A3 倍 B 3 10倍 C 6 10倍 D 9 10倍 8 已知奇函数( )f x在(,) 上单调递减， 且(1)1f ， 则 “1x” 是 “() 1x f x” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C
4、充要条件 D既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9已知0ab，cR，则下列不等式组正确的有（ ） A 22 ab B 22 acbc C 11 ab D 11 abab 10i是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A若复数z满足0z z ，则0z B若复数 12 ,z z满足 1212 zzzz，则 1 2 0z z C
5、若复数izaa()aR，则z可能是纯虚数 D若复数z满足 2 34iz ，则z对应的点在第一象限或第三象限 11 已知等差数列 n a的公差0d ， 前n项和为 n S， 若 412 SS， 则下列结论中正确的有 （ ） A 1: 17:2ad B 18 0S C当0d 时， 614 0aa D当0d 时， 614 aa 12 对于定义域为D的函数( )f x， 若存在区间,m nD满足： ( )f x在,m n上是单调函数， 当,xm n时，函数( )f x的值域也是,m n，则称,m n为函数( )f x的“不动区间”.则下 列函数中存在“不动区间”的有（ ） A( )2f xx B 2
6、( )1f x x C 2 ( )2f xxx D( )32 x f x 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13平面内，不共线的向量, a b满足2abab，且2aab，则, a b的夹角的余弦值为 _. 3 14函数yxb的图象与函数 1 2 2yx的图象有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围为 _. 15欧几里得在几何原本中，以基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点.其中第 卷命题 47 是著名的毕达哥拉斯定理（勾股定理） ，书中给出了一种证明思路：如图，RT ABC 中，90BAC，四边形ABHL、ACFG、BCDE都是
7、正方形，ANDE于点N，交BC于 点M.先证明ABE与HBC全等，继而得到矩形BENM与正方形ABHL面积相等；同理可得 到矩形CDNM与正方形ACFG面积相等；进一步定理可得证.在该图中，若 1 tan 3 BAE，则 sinBEA_. 16已知数列 n a中， 1 1 2 a ，且对任意正整数,m n，mn，都有等式2 mnm nm n a aaa 成 立，那么 2020 a_. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在4bc ，cos1aB，sin2sinA
8、B这三个条件中任选一个，补充在下面 问题中，若问题中的三角形存在，求C的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题： 是否存在ABC， 它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 且c o s1bC ，sin2sincAC， _？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18 （12 分）已知平面向量a是单位向量，向量(1, 3)b， （1）若ab，求a的坐标； （2）若()aba，求a的坐标. 4 19 （12 分）已知公差为整数的等差数列 n a满足 23 15a a ，且 4 7a . （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）求数列3n n a 的前n项和
9、 n S. 20 （12 分）已知函数( ) ex a f xx，其中aR，e是自然对数的底数. （1）当1a时，求函数( )f x在区间0,)上的零点个数； （2）若 e ( ) 2 x f x 对任意 1,)x 恒成立，求实数a的取值范围. 21 （12 分）已知集合 * |21,Ax xnnN， * |2 , n Bx xnN，将AB中的所有元 素按从小到大的顺序排列构成数列 n a，设数列 n a的前n项和为 n S. （1）求 7 S的值； （2）若2k m a （其中 * kN） ，试用k表示m和 m S； （3）求使得2020 n S 成立的最大的n的值，并求此时的 n S的值. 22 （12 分）已知函数 2 ( )(41)92lnf xaxaxax，其中0a. （1）若 1 2 a ，求函数( )f x的单调区间； （2）e是自然对数的底数，若对任意的4b，当 1 ( , e xb时，( )( )f xf b恒成立，求实数a 的取值范围.
