1、1 江苏省扬州市 2021 届高三上学期期中检测 数学试题 202011 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知复数 z 满足(1i)z2，i 为虚数单位，则 z 等于 A1i B1i C 11 i 22 D 11 i 22 2已知集合 A(1)(2)0 x xx，B 2xx ，则 AB A1，0 B0，1 C(0，2 D0，2 3已知 a 1.1 log0.9，b 1.1 0.9，c 0.9 1.1，则 a，b，c 的大小关系为 Aabc Bacb Cbac Dbca
2、4已知函数 5, 6 ( ) (2) 1, 6 xx f x f xx ，则(5)f的值为 A2 B3 C4 D5 5函数( )cos() ln(ee ) 2 xx f xx 的图象大致为 6在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c根据下列条件解三角形，其中有 两个解的是 Aa8，b10，A45 Ba60，b81，B60 Ca7，b5，A80 Da14，b20，A45 7我国古代数学家刘徽在九章算术注中提出了割圆术： “割之弥 细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失 矣” 这可视为中国古代极限思想的佳作割圆术可以视为将一个 圆内接正 n 边形等分成 n 个等
3、腰三角形（如图所示） ，当 n 变得很大 时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积运用割圆术的思想， 可得到 sin2的近似值为（取近似值 3.14） 2 A0.035 B0.026 C0.018 D0.033 8已知一个球的半径为 3，则该球内接正六棱锥的体积的最大值为 A10 3 B 27 3 2 C16 3 D 35 3 2 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9下列命题中正确的是 A命题“xR，sinx1”的否定是“xR，sinx1” B “al”是“ 1
4、1 a ”的充分不必要条件 C在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2b2c2，则ABC 为锐 角三角形 D在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sin2Asin2B，则 AB 10若函数( )sin2f xx的图象向右平移 6 个单位得到的图象对应的函数为( )g x，则下 列说法中正确的是 A( )g x的图象关于 5 12 x 对称 B当 x0， 2 时，( )g x的值域为 3 2 ， 3 2 C( )g x在区间( 5 12 ，11 12 )上单调递减 D当 x0，时，方程( )g x0 有 3 个根 11已知函数( )f x的定义域
5、为 R，(1)f x为奇函数，且(2)(2)fxfx，则 A(1)0f B( )(4)f xf x C(1)(1)f xfx D( )yf x在区间0，50上至少有 25 个零点 12已知正数 x，y，z 满足346 xyz ，则下列说法中正确的是 A 111 2xyz B346xyz 3 C 3 (2) 2 xyz D 2 2xyz 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13已知幂函数( )yf x的图象过点(2， 1 4 )，则曲线( )yf x在点(1，1)处的切线方程为 14在ABC 中，BAC 3 ，AB2，AC3，BD2
6、DC，则AD BC 15黄金比例，用希腊字母表示，借用古希腊数学家欧几里德的话：当整条线段的长度 与线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时，就是根据黄金比例来分割一线 段从下图我们可以更直观地感受黄金比例： 用 A，B 分别表示较长段与较短段的线段长度，于是将欧几里德的描述用代数方法表示 出来： AAB BA ，从而可以解出的值类似地，可以定义其他金属比例假 设把线段分成 n1 段，其中有 n 段长度相等，记这 n 段的每一段长为 A，而剩下的一 段长为 B（长度较短的） 如果 A 与 B 之比等于整条线段的长与 A 之比，我们用 n 来 表示这个比例， 即 A B n 对于 n(nN)
7、的每个值对应一个 n ， 则称 n 为金属比例 当 n1 时，即为黄金比例，此时 51 2 ；当 n2 时，即为白银比例，我们用希腊 字母表示该比例，则 16 已知函数 2 4 , ( ) 4, xx xa f x x xa ， 其中 a0， 若函数( )( )3g xf xx有两个零点， 则实数 a 的取值范围是 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 在a2，S 2 c cosB，C 3 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并 对其进行求解 问题： 在ABC 中，内角 A， B，
8、 C 的对边分别为 a， b，c，面积为 S，3bcosAacosC 4 ccosA，b1， ，求 c 的值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 3 ( )3cossin()sin() 362 f xxxx （1）求( )f x的最小正周期及对称中心； （2）若 1 ( ) 6 f，且( 12 ， 3 )，求 cos2的值 19 （本小题满分 12 分） 已知函数( ) x kx f xaa (a0 且 a1)是定义在 R 上的奇函数 （1）求实数 k 的值； （2）若(1)0f，且不等式 2 (34)( 21)0ftxfx对任意 t1
9、，1成立，求 实数 x 的取值范围 20 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1和 AA1CC1均为菱形，平面 ABB1A1 平面 AA1C1C，A1AC 3 ，A1AB 4 ，E 为棱 AA1上一点，BEAA1 （1）求证：BEA1C1； （2）设 AB2，求二面角 BCC1A 的余弦值 5 21 （本小题满分 12 分） 某校从高二年级随机抽取了 20 名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第 i 位学生 的成绩为( i x， i y)(i1，2，3，20)，其中 i x， i y分别为第 i 位学生的数学总评成绩和 物理总评成绩抽取的数据列表
10、如下（按数学成绩降序整理） ： （1）根据统计学知识，当相关系数0.8r 时，可视为两个变量之间高度相关根据 抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关？请通过计算加以说明 参考数据： 20 1 ()()485 ii i xxyy ， 20 2 1 ()678 i i xx ， 20 2 1 ()476 i i yy 参考公式：相关系数 r 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy xxyy （2）规定：总评成绩大于等于 85 分者为优秀，小于 85 分者为不优秀，对优秀赋分 1， 对不优秀赋分 0，从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生，若用
11、 X 表示这 2 名学生两科赋分的 6 和，求 X 的分布列和数学期望 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )e2 x f xmx，( )esincos1 x g xxxx （1）当 x 2 时，若不等式( )f x0 恒成立，求正整数 m 的值； （2）当 x0 时，判断函数( )g x的零点个数，并证明你的结论 参考数据： 2 e 4.8 江苏省扬州市 2021 届高三上学期期中检测 数学试题 202011 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知复数 z 满足
12、(1i)z2，i 为虚数单位，则 z 等于 A1i B1i C 11 i 22 D 11 i 22 答案：B 解析： 2 1 i 1 i z 2已知集合 A(1)(2)0 x xx，B 2xx ，则 AB A1，0 B0，1 C(0，2 D0，2 答案：D 解析：集合 A (1)(2)012x xxxx ，B 204xxxx， 所以 AB0，2 3已知 a 1.1 log0.9，b 1.1 0.9，c 0.9 1.1，则 a，b，c 的大小关系为 7 Aabc Bacb Cbac Dbca 答案：A 解析：a 1.11.1 log0.9log 10，b 1.1 0.9(0，1)，c 0.9 1
13、.11， 所以 abc 4已知函数 5, 6 ( ) (2) 1, 6 xx f x f xx ，则(5)f的值为 A2 B3 C4 D5 答案：B 解析：(5)(7) 175 13ff 5函数( )cos() ln(ee ) 2 xx f xx 的图象大致为 答案：C 解析：首先原函数是奇函数排除 D，其次()0 2 f ，排除 A，最后 5 ()0 2 f ，排除 B， 选 C 6在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c根据下列条件解三角形，其中有 两个解的是 Aa8，b10，A45 Ba60，b81，B60 Ca7，b5，A80 Da14，b20，A45 答案：A 解析：
14、因为10sin458 10 ，故选项 A 的三角形有两解，选 A 7我国古代数学家刘徽在九章算术注中提出了割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又 割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣” 这可视为中国古代极限思想的佳作割 圆术可以视为将一个圆内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形 （如图所示） ， 当 n 变得很大 时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积运用割圆术的思想，可得到 sin2的近 似值为（取近似值 3.14） 8 A0.035 B0.026 C0.018 D0.033 答案：A 解析： 2 2 12 sin2 2360 r r ，sin20.035 90 ，选 A 8已知一个
15、球的半径为 3，则该球内接正六棱锥的体积的最大值为 A10 3 B 27 3 2 C16 3 D 35 3 2 答案：C 解析：设六棱锥为 PABCDEF，球心为 O，底面中心为 Q，则OAQ， 22 1327 3 69cos(33sin )cos(1 sin ) 342 V ， 设sint (0，1)，令 2 ( )(1)(1)f ttt，( )(1)(31)f ttt ， t 1 3 时， max 32 ( ) 27 f t，所以 Vmax16 3 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添
16、涂在答题卡相应位置上） 9下列命题中正确的是 A命题“xR，sinx1”的否定是“xR，sinx1” B “al”是“ 1 1 a ”的充分不必要条件 C在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2b2c2，则ABC 为锐 角三角形 D在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sin2Asin2B，则 AB 答案：AB 解析：选项 C 只能说明是C 是锐角，故 C 错误，选项 D 还有可能 AB 4 ，故选 AB 10若函数( )sin2f xx的图象向右平移 6 个单位得到的图象对应的函数为( )g x，则下 9 列说法中正确的是 A( )g x的图
17、象关于 5 12 x 对称 B当 x0， 2 时，( )g x的值域为 3 2 ， 3 2 C( )g x在区间( 5 12 ，11 12 )上单调递减 D当 x0，时，方程( )g x0 有 3 个根 答案：AC 解析：首先( )sin(2) 3 g xx ，当 5 12 x 时，2 32 x ，故 A 正确；当 x0， 2 时，( )g x的值域为 3 2 ，1，故 B 错误；当 x( 5 12 ，11 12 )时，2 3 x ( 2 ， 3 2 )，故 C 正确；当 x0，时，方程( )g x0 有 3 个根，故 D 错误故选 AC 11已知函数( )f x的定义域为 R，(1)f x为
18、奇函数，且(2)(2)fxfx，则 A(1)0f B( )(4)f xf x C(1)(1)f xfx D( )yf x在区间0，50上至少有 25 个零点 答案：ABD 解析：因为(1)f x为奇函数，所以( )f x关于点(1，0)对称，且(1)0f， 又因为(2)(2)fxfx，所以( )f x关于直线 x2 对称，故( )f x的周期是 4， 且(1)(3)(5)(49)0ffff， 即( )f x在区间0， 50上至少有 25 个零点 12已知正数 x，y，z 满足346 xyz ，则下列说法中正确的是 A 111 2xyz B346xyz C 3 (2) 2 xyz D 2 2xy
19、z 答案：ACD 10 解析：令346 xyz t，t1， 3 logxt， 4 logyt， 6 logzt， 6 1111 log 3log 2log 6 2log ttt xytz ，故 A 正确； 1 3 1 log 3 3 t x ， 1 4 1 log 4 4 t y ， 1 6 1 log 6 6 t z ，由 111 364 346，则 1 3x 1 4y 1 6z ， 所以346xyz，故 B 错； 因为 1113 ()()12 2222 xy xy xyyx ， 所以 3 (2) 2 xyz， C 正确； 因为 2 11 ()12 24 yx xy xyxy ，故 D 正确
20、综上，选 ACD 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13已知幂函数( )yf x的图象过点(2， 1 4 )，则曲线( )yf x在点(1，1)处的切线方程为 答案：23yx 解析：幂函数( )yf x的图象过点(2， 1 4 )，得 2 ( )f xx，所以 k(1)2 f ， 故切线方程为：23yx 14在ABC 中，BAC 3 ，AB2，AC3，BD2DC，则AD BC 答案：11 3 解析： 2212211 AD BC( ABAC) (ACAB)ACABAB AC 33333 22 21111 323 2 cos60 3
21、333 15黄金比例，用希腊字母表示，借用古希腊数学家欧几里德的话：当整条线段的长度 与线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时，就是根据黄金比例来分割一线 段从下图我们可以更直观地感受黄金比例： 11 用 A，B 分别表示较长段与较短段的线段长度，于是将欧几里德的描述用代数方法表示 出来： AAB BA ，从而可以解出的值类似地，可以定义其他金属比例假 设把线段分成 n1 段，其中有 n 段长度相等，记这 n 段的每一段长为 A，而剩下的一 段长为 B（长度较短的） 如果 A 与 B 之比等于整条线段的长与 A 之比，我们用 n 来 表示这个比例， 即 A B n 对于 n(nN)的每个
22、值对应一个 n ， 则称 n 为金属比例 当 n1 时，即为黄金比例，此时 51 2 ；当 n2 时，即为白银比例，我们用希腊 字母表示该比例，则 答案：21 解析：由题意知 A2AB BA ，解得2 1 16 已知函数 2 4 , ( ) 4, xx xa f x x xa ， 其中 a0， 若函数( )( )3g xf xx有两个零点， 则实数 a 的取值范围是 答案：0a1 或 a7 解析： 数形结合， 在同一直角坐标系中同时画出 2 4yxx，4yx，3yx的图像， 不难求得 a 的取值范围是 0a1 或 a7 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答
23、时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 在a2，S 2 c cosB，C 3 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并 对其进行求解 问题： 在ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c，面积为 S，3bcosAacosC ccosA，b1， ，求 c 的值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解：在ABC 中，因为， 所以根据正弦定理得， 12 所以，因为，所以 选择，由余弦定理得，解得， 选择，所以 所以，即，解得 选择，因为， 所以由得 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 3 ( )3cossin()sin()
24、362 f xxxx （1）求( )f x的最小正周期及对称中心； （2）若 1 ( ) 6 f，且( 12 ， 3 )，求 cos2的值 解： （1） 所以的最小正周期， 由，得， 所以的对称中心为， （2）由得，因为，所以， 所以， 所以 19 （本小题满分 12 分） 已知函数( ) x kx f xaa (a0 且 a1)是定义在 R 上的奇函数 （1）求实数 k 的值； 13 （2）若(1)0f，且不等式 2 (34)( 21)0ftxfx对任意 t1，1成立，求 实数 x 的取值范围 解： （1）方法 1：因为是 R 上的奇函数，所以，解得， 下面检验，此时，故，所以为奇函数 方法
25、 2：因为为奇函数，所以，即， 即，所以，解得 （2）由得，解得， 所以是 R 上的减函数， 因为为奇函数，所以由得 ， 因为是 R 上的减函数，所以对任意成立 令，则对任意成立， 等价于， 解得，所以 x 的取值范围是 20 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1和 AA1CC1均为菱形，平面 ABB1A1 平面 AA1C1C，A1AC 3 ，A1AB 4 ，E 为棱 AA1上一点，BEAA1 （1）求证：BEA1C1； （2）设 AB2，求二面角 BCC1A 的余弦值 解： （1）因为平面 ABB1A1平面 AA1C1C，BEAA1， BE平面
26、 ABB1A1，平面 ABB1A1平面 AA1C1CAA1， 14 所以 BE平面 AA1C1C， 又因为 C1A1平面 AA1C1C，所以 BEA1C1； （2）作 EFCC1于 F，因为 BECC1，BEEFE，BE平面 BEF， EF平面 BEF，所以 CC1平面 BEF，因为 BF平面 BEF，所以 BFCC1， 所以BFE 即为二面角 BCC1A 的平面角， 在菱形 ABB1A1中，由 AB2，BAA1 4 ，可求得 BE2， 在菱形 AA1C1C 中，由 AB2，A1AC 3 ，可求得 EF3， 所以在 RtBEF 中，EF3，BF5，故可求得 cosBFE， 所以二面角 BCC1
27、A 的余弦值为 21 （本小题满分 12 分） 某校从高二年级随机抽取了 20 名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第 i 位学生 的成绩为( i x， i y)(i1，2，3，20)，其中 i x， i y分别为第 i 位学生的数学总评成绩和 物理总评成绩抽取的数据列表如下（按数学成绩降序整理） ： （1）根据统计学知识，当相关系数0.8r 时，可视为两个变量之间高度相关根据 抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关？请通过计算加以说明 参考数据： 20 1 ()()485 ii i xxyy ， 20 2 1 ()678 i i xx ， 20 2 1 ()476 i i
28、yy 参考公式：相关系数 r 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy xxyy （2）规定：总评成绩大于等于 85 分者为优秀，小于 85 分者为不优秀，对优秀赋分 1， 对不优秀赋分 0，从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生，若用 X 表示这 2 名学生两科赋分的 和，求 X 的分布列和数学期望 15 解： （1） 所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关， （2）由题意得：X 的可能取值为 0，1，2，3，4 根据赋分规则可知，7 个人赋分为 2，4 个人赋分为 1，9 个人赋分为 0 所以， ， 所以 X 的分布列为： 所以 22
29、（本小题满分 12 分） 已知函数( )e2 x f xmx，( )esincos1 x g xxxx （1）当 x 2 时，若不等式( )f x0 恒成立，求正整数 m 的值； （2）当 x0 时，判断函数( )g x的零点个数，并证明你的结论 参考数据： 2 e 4.8 解： （1）分离参数得，当时，不等式恒成立， 令，则， 所以在上递增，所以， 因为，所以正整数 m 的值为 1， （2）当 x0 时，函数( )g x有 2 个零点 证明如下：显然，所以 0 是( )g x的一个零点， 当时，所以( )g x无零点； 16 当时，令， 则，所以在上递增 又，所以存在唯一使得 所以当时，故( )g x递减；当时，故( )g x 递增； 因为，所以，又， 所以存在唯一使得 综上得：当 x0 时，函数( )g x有 2 个零点
