1、 1 河北衡水中学河北衡水中学 2021 届全国高三第一次联合考试届全国高三第一次联合考试 数数 学学 本试卷 4 页，总分 150 分考试时间 120 分钟。 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改 液不按以
2、上要求作答的答案无效 4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题一、单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一只有一项项是符合题目要求的是符合题目要求的。 1设集合 A 2 430 x xx ，B15xZx，则 AB A2 B3 C2，3 D1，2，3 2若复数1 iz ，则 1 z z A1 B2 C2 2 D4 3某班级要从 6 名男生、3 名女生中选派 6 人参加社区宣传活动，如果要求至少有 2 名女 生参加，那么不同的选派方案种数为 A19 B38 C55 D65 4
3、数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波 那契于 1202 年在他撰写的算盘全书中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一 项都等于它前面两项的和在该数列的前 2020 项中，偶数的个数为 A505 B673 C674 D1010 5已知非零向量ba,满足|ba ，且|2|baba，则a与b的夹角为 A 2 3 B 2 C 3 D 6 6为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测， 若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检 测现对 20 名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每
4、份样本的检测结果是阴性还是阳 性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为 p，且检测次数的数学期望为 20，则 p 的值为 A 1 20 1 1 () 20 B 1 21 1 1 () 20 C 1 20 1 1 () 21 D 1 21 1 1 () 21 2 7 已知未成年男性的体重 G （单位： kg） 与身高 x （单位： cm） 的关系可用指数模型Gebxa 来描述，根据大数据统计计算得到 a2.004，b0.0197现有一名未成年男性身高为 110cm，体重为 17.5kg预测当他体重为 35kg 时，身高约为(ln20.69) A155cm B150cm C145cm D135
5、cm 8已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，M 为 CC1的中点，点 N 在侧面 ADD1A1内， 若 BMA1N则ABN 面积的最小值为 A 5 5 B 2 5 5 C1 D5 二、二、 多项选择题多项选择题：本：本题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分， 共共 20 分在每小题给出的选项分在每小题给出的选项中，中，有多有多 项符合题目要求。全部选对得项符合题目要求。全部选对得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分。分。 9已知 3 cos() 55 ，则 3 sin(2) 5 A 24 25 B 12 25 C 12 25
6、 D 24 25 10 已知抛物线 C： y24x， 焦点为 F， 过焦点的直线 l 与抛物线 C 相交于 A( 1 x， 1 y)， B( 2 x， 2 y)两点，则下列说法一定正确的是 AAB的最小值为 2 B线段 AB 为直径的圆与直线 x1 相切 C 12 x x为定值 D若 M(1，0)，则AMFBMF 11已知( )f x是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线 x1 对称，则 A(4)( )f xf x B( )f x在区间(2，0)上单调递增 C( )f x有最大值 D( )sin 2 x f x 是满足条件的一个函数 12若存在实数 t，对任意的 x(0，s，不等式 2 (2
7、)(1)0 xxttx 恒成立则 s 的 值可以为 A 51 2 B 51 2 C 35 2 D 35 2 三、填空题三、填空题：本题共本题共 4 小题，小题， 每小题每小题 5 分，共分，共 20 分分。 13 已知 F1， F2为双曲线 2 2 1 4 y x 的左、 右焦点， P 为双曲线右支上一点， 且 12 PF2 PF， 则PF1F2的面积为 14 已知实数 a， b(2，)， 且满足 22 11 ln b aba ， 则 a， b，ab的大小关系是 15数学多选题有 A，B，C，D 四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求全都选 对的得 5 分， 部分选对的得 3 分， 有选
8、错的不得分， 已知某道数学多选题正确答案为 B， D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率 为 16在三棱锥 P-ABC 中，PAAB，PA4，AB3，二面角 P-AB-C 的大小为 30 ，在侧面 PAB 内（含边界）有一动点 M，满足 M 到 PA 的距离与 M 到平面 ABC 的距离相等， 则 M 的轨迹的长度为 3 四、解答题四、解答题：本题共本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 10 分） 在 对 任 意n 1 ， 满 足 11 2(1) nnn
9、 SSS ， 1 2 nnn SSa ， 1nn Sna (1)n n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中 问题：已知数列 n a的前 n 项和为 n S， 2 4a ， ，若数列 n a是等差数列， 求数列 n a的通项公式；若数列 n a不一定是等差数列，说明理由 （注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分） 18 （本小题满分 12 分） 振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数， 记录了某天所有工人每 人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如下： 制造电子产品的件数 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100
10、) 工人数 （1）若去掉70，80)内的所有数据，则件数的平均数减少 2 到 3（即大于等于 2，且小 于 3） ，试求样本中制造电子产品的件数在70，80)的人数 x 的取值范围； （同一区间数据用 该组区间数据的中点值作代表） （2）若电子厂共有工人 1500 人，且每位工人制造电子产品的件数 XN(70，112)，试 估计制造电子产品件数小于等于 48 件的工人的人数 附：若 XN(， 2 )，则 P(x)0.68，P(22x)0.96 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，OBsinABDODsinADB， ABC 3 ，AB3BC
11、3 （1）求 sinDAC； （2）若ADC 2 3 ，求四边形 ABCD 的面积 4 20 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，平面 PAC底面 ABCD，PAPC AC （1）证明：ACPB； （2）若 PB 与底面所成的角为 45 ，求二面角 B-PC-A 的余弦值 21 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，并且经过点(0，1)，离心率为 3 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）动直线 l 与圆 O：x2y21 相切于点 M，与椭圆 C 相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 D，求OMD 面积的最大值，并
12、求此时点 D 的坐标 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 1 ( )ln ex x f xxx （1）求函数( )yf x在 x1 处的切线方程； （2）证明： （i）( )2f x ； （ii）任意Nn ， 1 e(2ln ) nn nn 5 数学数学参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 1 C 【 解 析 】 因 为xxxxxA1 |034| 2 3，4, 3, 2B， 所 以 .3, 2BA 2B【解析】由iz1，得i i i z z 1 1 1 ，则. 2|1| 1 i z z 3D【解析】至少有 2 名女生参加包括 2 名女生 4 名男生与 3 名女生 3 名男生两种情况，
13、所以不同选派方案种数为.65 3 6 3 3 4 6 2 3 CCCC 4 B 【解析】 由斐波那契数列的特点， 可得此数列只有第)(3 * Nkk项为偶数， 所以前 2020 项中偶数的个数为 673 5 C 【 解 析 】 设a与b的 夹 角 为 由|2|baba得 2 2 1 aba， 所 以 2 1 | cos ba ba ，所以. 3 6 A 【解析】 若合并检测， 检测次数取值为 1， 21， 对应的概率分别为 2020 )1 (1,)1 (pp， 数学期望为1)1 (1 21)1 ( 2020 pp，由 20 )1 (120p)1 (1 21 20 p，解得 . 20 1 1 2
14、0 1 p 7C【解析】将5 .17,110Gx代入 x eG 0197. 0 004. 2，得 1100197. 0 004. 25 .17 e，将 35G代入G x e 0197. 0 004. 2，得 x e 0197. 0 004 . 2 35由 得 2= 1100197. 00197. 0 x e，即 2ln)110(0197. 0 x，解得.145xs 8B【解析】如图，取 1 DD的中点为M，易知/AM.BM点P为AD的中点，则在正方 形DDAA 11 中， 1 AMPA，即BMPA 1 所以，点N的轨迹为线段PA 1 易知ABN 为直角三角形，当PANA 1 时，NA取最小值为
15、 5 52 ，此时ABN面积最小，最小值为 . 5 52 6 二、选择题二、选择题 9AD【解析】 5 2 2sin 5 3 2sin 5 cos 5 sin2 因为 5 3 5 cos ，所以 5 4 5 sin ，所以. 25 24 5 3 2sin 10BCD【解析】抛物线xyC4: 2 的焦点坐标为(1，0)，准线方程为1x，过焦点的 弦中通径最短，所以| AB最小值为42p，故 A 不正确；如图，设线段AB中点为D， 过 点DBA,作 准 线 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 111 ,DBA， 由 抛 物 线 定 义 可 知 | |,| 11 BBAFAA| BF， 所以| 2
16、1 |)|(| 2 1 | 111 ABBBAADD， 所以以线段AB为 直径的圆与直线1x相切，故 B 正确；设AB所在直线的方程为1 nyx，由 ,4 , 1 2 xy nyx 消去x，得044 2 nyy，所以 21y y1 16 )( , 4 2 21 21 yy xx，故 C 正确； 又nyy4 21 ， ) 1)(1( ) 1() 1( 11 21 1221 2 2 1 1 xx xyxy x y x y kk BMAM 0 ) 1)(1( )( 22 ) 1)(1( ) 2() 2( 21 2121 21 1221 xx yyyny xx nyynyy ， 故 D 正确 11AD
17、【解析】由)(xf是定义在 R 上的奇函数得)()(xfxf，图象关于直线1x对 称可得)2()(xfxf， 所以4(),()2(fxfxf)()2()xfxfx， 故 A 正 确；无法判断单调性，故 B，C 错误； 2 sin)( x xf 是奇函数，且 )2(xf)(xf，故 D 正确. 7 12 ABC 【解析】 不等式0)1)(2( 2 xttxx可化为0)1() 1()1( 2 xtxt， 问题转化为：存在实数t，使得在区间, 0(s上，函数 xy( 2 ) 1与函数xy 的图象恒在 直线ty1的两侧，如图画出函数 2 ) 1( xy与函数xy 的图象， 由 ,) 1( , 2 xy
18、 xy 得 2 53 x或 2 53 x（舍去） ，从而得 2 15 2 53 1 t， 由抛物线的对称性知ty1与 2 ) 1( xy图象的右边交点的横坐标为 2 15 ，故在区间 2 15 , 0上， 函数 2 ) 1( xy与函数xy 的图象恒在直线ty1的两侧， 所以实数s 的取值范围为 2 15 , 0即选项 ABC 符合题意. 三、填空题三、填空题 13 4 【解析】 由题意得|2| 21 PFPF ， 又| 1 PF2| 2 PF， 所以4| 1 PF，2| 2 PF 又 | 21F F52， 所 以 2 21 2 2 2 1 |FFPFPF， 所 以 2 21 PFF， 所 以
19、 . 4| 2 1 21 21 PFPFS FPF 14baba【解析】 由 a b ba ln 11 22 ， 得 2 1 a b b aln 1 ln 2 设x x xfln 1 )( 2 ， 则 x xf 1 )( 3 2 3 22 x x x ，当),2(x时，)(, 0)( xfxf在区间),2(上单 调递增，故ba ，所以. baba 15 5 1 【解析】随机地填涂了至少一个选项共有 1 4 C15 4 4 3 4 2 4 CCC种涂法，得分的涂 法为 3 种，故他能得分的概率为. 5 1 8 16 5 56 【解析】 如图， 过M作PAMN 于MON,平面ABC于O， 过O作A
20、BOQ 于Q，连接MQ，则MQO为二面角CABP的平面角，由 30MQO得 MOMQ2又MNMO，所以MNMQ2，在PAB中，以AB所在直线为x轴， AP 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则直线AM的方程为yx2，直线PB的方程 为01234 yx，所以直线AM与PB的交点坐标为 5 12 , 5 6 R，所以M的轨迹为线段 AR，长度为 5 56 5 12 5 6 22 四、解答题四、解答题 17解：选择条件： 因为对任意 Nnn, 1，满足) 1(2 11 nnn SSS， 所以2 11 nnnn SSSS， （4 分） 所以. 2 1 nn aa （6 分） 因为无法确定 1 a的值，
21、 所以 12 aa 不一定等于 2 所以数列 n a不一定是等差数列 （10 分） 选择条件： 由 nnn aSS 2 1 ，得2 1 nnn aSS，即., 2 * 1 Nnaa nn （6 分） 又因为4 2 a，所以. 2 1 a 所以数列 n a是等差数列，其公差为 2 （8 分） 9 因此，数列 n a的通项公式为.2nan (10 分) 选择条件： 因为),1( 1 nnnaS nn 所以)2)(1() 1( 1 nnnanS nn ， （2 分） 两式相减得),2(2) 1( 1 nnannaa nnn 即).2(2 1 naa n n （6 分） 又2 21 aS，即, 2 1
22、2 aa所以 Nnaa nn , 2 1 ， 又2, 4 122 aaa，所以2 1 a， 所以数列 n a是以 2 为首项，2 为公差的等差数列， （8 分） 所以.2) 1(22nnan (10 分) 18 解： (1)由题意， 当0 x时计算其他数据的平均数为 68) 1954851165355145( 20 1 ， 故原平均数应满足71 20 751360 70 x x ， （3 分） 解得Zxx,158， 所以件数在)80,70的人数的取值范围为158 x，.Zx （6 分） (2)因为件数)11,70( 2 NX， 所以02. 0 2 1 )96. 01 ()48(XP， （9 分
23、） 所以估计 1500 人中每天制造产品件数小于等于 48 的人数为 0.02 1500=30 （12 分） 19 解 ： (1) 在ABC中 ， 3 A B C，3AB1BC， 由 余 弦 定 理 得 BCABBCABAC2 222 7 2 1 13213c o s 22 A B C， 所以.7AC（2 分） 由正弦定理得 ABC AC BAC BC sinsin ，. 14 21 7 2 3 sin sin AC ABCBC BAC（4 分） 10 在AOB中，由正弦定理得 ABD OA BAC OB sinsin ， 即BACOAABDOBsinsin， 同理，在AOD中，OAADBOD
24、 sin.sinDAC 又因为ADBODABDOBsinsin，所以.sinsinDACOABACOA 所以. 14 21 sinsinBACDAC （6 分） (2)在ADC中，由正弦定理得 ADC AC DAC CD sinsin ， 即 2 3 7 14 21 CD ，所以. 1CD （8 分） 又由余弦定理得 CDAD ACCDAD ADC 2 cos 222 ， 即 AD AD 2 71 2 1 2 ，解得. 2AD （10 分） ACADSSS ABCADCABCD 2 1 四边形 ACBACACABDAC 2 1 sin 2 1 sin . 4 35 )(sinABADDAC (
25、12 分) 20(1)证明：连接BD交AC于O，因为底面ABCD为菱形，所以.BDAC （1 分） 因为OPCPA,为AC的中点，所以.POAC （2 分） 又BDOPOBD,平面POPBD,平面PBD， 所以AC平面.PBD （4 分） 又PB平面PBD，所以.PBAC （5 分） (2)解：因为OPCPA,为AC的中点所以.ACPO 又平面PAC底面ABCD，平面PAC底面ABCDPOAC,平面PAC， 11 所以PO底面ABCD，所以OPOCOB,两两垂直 （6 分） 以O为坐标原点，分别以OPOCOB,所在直线为x，zy,轴，建立如图所示空间直角坐 标系xyzO ，PB与底面所成的角即
26、为 45PBO， 所以OPOB 设3OP，则3, 1OBOC， 所以, 1, 0(),3, 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 3(APCB)0 , 1 , 3(),3, 0 , 3(),0BCBP （7 分） 设平面BPC的一个法向量为),(zyxn ，则 , 0 , 0 BCn BPn 即 , 03 , 033 yx zx 令1x，得) 1 , 3, 1 (n， （9 分） 又平面APC的一个法向量为),0 , 0 , 3(OBm （10 分） 所以. 5 5 35 3 | ,cos nm nm nm 又因为二面角APCB为锐角，所以二面角APCB的余弦值为 5 5 (
27、12 分) 21解：(1)设椭圆C的标准方程为)0(1 2 2 2 2 ba b y a x ， 由题意得，. 2 3 , 1 a c b 因为 222 cba， （2 分） 所以3, 2ca，所以椭圆C的标准方程为1 4 2 2 y x （4 分） (2)设动直线l的方程为).0( mnmyx 由直线l与圆O相切得1 1 | 2 m n ，即. 1 22 mn （5 分） 由 , 1 4 , 2 2 y x nmyx 得042)4( 222 nmnyym， 其中4(16)4)(4(44 22222 mnmnm. 048 2 ）n （6 分） 设),(),(),( 002211 yxDyxBy
28、xA， 12 则 4 2 2 21 m mn yy，从而. 4 4 , 4 2 0 2 0 m n x m mn y （7 分） 所以| 2 1 | 2 1 MDMDOMS OMD 1 2 1 | 2 1 2 0 2 0 22 yxOMOD 1 )4()4( 16 2 1 22 22 22 2 m nm m n 4 | . 2 3 )4( 9 2 1 222 2 m m m m . | 4 | 1 . 2 3 m m （9 分） 因为4 | 4 | m m，所以. 8 3 OMD S 当2|m时，上式等号成立，此时. 5|n （10 分） 故OMD的面积最大值为 8 3 ，此时D点的坐标为 4
29、 5 , 2 5 或 4 5 , 2 5 或 4 5 , 2 5 或 4 5 , 2 5 . （12 分） 22(1)解：)(xf的定义域为), 0(， 1) 1 (, 1) 1 ( , 1ln 1 )( 1 ffx e x xf x ， （2 分） 所以)(xf在1x处的切线方程为xy(1) 1，即. 02 yx （3 分） (2)证明：2)() i (xf可化为.ln2 1 xx e x x 设 1 )( x e x xh，则 1 1 )( x e x xh， 当) 1, 0(x时，)(, 0)( xhxh在区间(0，1)上单调递增， 当), 1 (x时，)(, 0)( xhxh在区间),
30、 1 (上单调递减， 故. 1) 1 ()( max hxh （5 分） 设2ln)(xxxg，则1ln)( xxg， 当 e x 1 , 0时，)(, 0)( xgxg在区间 e 1 , 0上单调递减， 13 当 , 1 e x时，)(, 0)( xgxg在区间, 1 (e上单调递增， 故. 1 2 1 )( min ee gxg （7 分） 因为 e 1 21，所以xx e x x ln2 1 ，所以. 2)(xf （8 分） (ii)由2)(xf，得2ln 1 xx e x x ， 令 * , 1 Nn n x，得2ln 11 1 1 n n nen ，即nn en 2ln 1 1 1 ， （10 分） 所以.ln2 1 nne n n 所以0ln2nn， 所以.)ln2( 1nn nne (12 分)
