1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 20202020 年河南省六市高三第二次联合调研检测年河南省六市高三第二次联合调研检测 数学（理科）数学（理科） 本试卷分第本试卷分第卷 （选择题） 和第卷 （选择题） 和第 IIII 卷 （非选择题） 两部分， 满分卷 （非选择题） 两部分， 满分 150150 分， 考试用时分， 考试用时 120120 分钟 其分钟 其 中第中第 I1I1 卷卷 2222 题，题，2323 题为选考题，其它题为必考题考试结束后，将答题卡交回题为选考题，其它题为必考题考试结束后，将答题卡交回 注意事项：注意事项： 1 1答题前，考生必须将自己
2、的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内内 2 2选择题必须用选择题必须用 2B2B 铅笔填涂；非选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用 0.50.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚整、笔迹清楚 3 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效试题卷上答题无效 4 4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮
3、纸刀保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀 第第 I I 卷卷 选择题（共选择题（共 6060 分）分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1. 设全集U R，集合(4)(1)0Ax xx，则 UA= （ ） A. ( 1,4 B. 1,4) C. ( 1,4) D. 1,4 【答案】C 【解析】 【分析】 由一元二次不等式求解可得集合 A,求其补集即可. 【详解】因为(4)(1)0 xx，
4、 所以1x或4x ， 即 |1Ax x 或4x ， 所以( 1,4) UA ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的补集运算，属于容易题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 2. 复数 1 z在复平面内对应的点为(2,3)， 2 2zi （i为虚数单位） ，则复数 1 2 z z 的虚部为 （ ） A. 8 5 B. 8 5 C. 8 5 i D. 8 5 i 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数对应的点知 1 23zi，利用复数的除法法则计算 1 2 z z ，即可求解. 【详解】因为复数 1 z在复平面内对应的点为(2,3)， 所
5、以 1 23zi， 则 1 2 2+3(23 )( 2)1 818 2( 2)( 2)555 ziiii i ziii ， 所以复数的虚部为 8 5 . 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，复数的除法运算，复数的虚部，属于容易题. 3. 在ABC中，AB c ，AC b ，若点D满足 1 2 BDDC，则AD （ ） A. 12 33 bc B. 21 33 bc C. 41 33 bc D. 11 22 bc 【答案】A 【解析】 【分析】 由条件即得 1112 3333 ADABBDABBCABACABACAB uuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruu u r
6、uuu ruu u ruuu ruu u r . 【详解】 1 2 BDDC， 1 3 BDBC uuu ruuu r ， 故有 1112 3333 ADABBDABBCABACABACAB uuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruu u r . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的线性表示，向量的加减运算，是基础题. 4. 南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理： “幂势既同，则积不容异”其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体
7、，被平行于这 两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体 积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 1 V， 2 V，被平行于这两个 平面的任意平面截得的两个截面面积分别为 1 S、 2 S，则“ 1 S、 2 S不总相等”是“ 1 V， 2 V不 相等”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 先得到命题： 如果“ 1 S、 2 S不总相等”， 那么“ 1 V， 2 V不相等”的等价命题： 命题： 如果“ 1 V， 2 V相等”，那么“ 1
8、S、 2 S总相等”，然后根据祖暅原理结合充分，必要条件的定义判断. 【详解】命题：如果“ 1 S、 2 S不总相等”，那么“ 1 V， 2 V不相等”的等价命题是： 命题：如果“ 1 V， 2 V相等”，那么“ 1 S、 2 S总相等”， 根据祖暅原理，当两个截面的面积 1 S、 2 S总相等时，这两个几何体的体积 1 V， 2 V相等， 所以逆命题为真，则是必要条件， 当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等， 故不充分， 所以“ 1 S、 2 S不总相等”是“ 1 V， 2 V不相等”的必要不充分条件. 故选：B 高考资源网（） 您身边的高考专家
9、版权所有高考资源网 - 4 - 【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及等价命题，还考查了转化求解问题的能力，属于 基础题. 5. 鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图 是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为 A. 3 34000mm B. 3 33000mm C. 3 32000mm D. 3 30000mm 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为 100，宽为 20，高为 20 的长方体的上面的中间部分 去掉一个长为 40，宽为 20，高为 10 的小长体的一个几何体，由此能求
10、出该零件的体积 【详解】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是： 长为 100，宽为 20，高为 20 的长方体的上面的中间部分去掉一个长为 40，宽为 20，高为 10 的小长体的一个几何体， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 如图， 该零件的体积： V100202040201032000（mm 3） 故选C 【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能 力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题 6. 在正项等比数列 n a中， 22 2415 9002aaa a， 64 9aa，则 2020 a的个位数字是（
11、 ） A. 1 B. 7 C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 由等比数列的性质可得 1 524 a aa a，根据条件求得 24 30aa，又由 53 9aa，利用等比数 列的通项公式求出基本量 1 a和q，即可求出 n a，再对等比数列各项个位数进行分析推理，从 而得出 2020 a的个位数字. 【详解】解：根据题意，由等比数列的性质可得 1 524 a aa a， 因为 22 2415 9002aaa a，所以 22 2424 9002aaa a， 所以 222 242424 2()900aaa aaa， 又因为 n a为正项等比数列，则0 n a ，0q ， 所以 24
12、30aa，又由于 64 9aa， 则 3 11 53 11 30 9 a qa q a qa q ，即 2 1 2 130 9 a qq q ， 解得： 1 1,3aq ， 故 1 3 n n a， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 可知 234 12345 1,3,39,327,381aaaaa 可得 n a的个位数以 4 为周期不断循环， 所以 201920194 50434 504 20201 3(3 )3(3 )27aa q， 所以 2020 a的个位数字是 7. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的性质和等比数列的通项公式，考查推理与运算能力，属于基
13、础 题. 7. 关于圆周率 ,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰试验.受其启发, 我们也可以通过设计下面的试验来估计 的值,试验步骤如下： 先请高三年级 1000 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对 ( , )(01,01)x yxy； 若卡片上的x,y能与 1 构成锐角三角形,则将此卡片上交； 统计上交卡片数,记为m； 根据统计数m估计 的值.假如本次试验的统计结果是218m,那么可以估计 的值约 为（ ） A. 389 124 B. 391 124 C. 389 125 D. 391 125 【答案】D 【解析】 【分析】 根据x,y能与 1 构成锐角三角形可求得 ,
14、x y满足的不等式,进而利用几何概型的方法列式求解 即可. 【详解】因为实数对( , )(01,01)x yxy与 1 构成锐角三角形,设边长为 1 的边对应的 角度为,则 222 1 cos0 2 xy xy ,即 22 1xy. 根据几何概型的方法可知 2 2 1 1 218 4 1 10001 ,故 218782 41 100 3 0250 91 125 . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 故选：D 【点睛】本题主要考查了随机模拟法与几何概型求解圆周率值的问题,需要根据题意确定 , x y 满足的不等式,再根据面积的比列式化简求解.属于中档题. 8. 已
15、知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线过点(3,2)， 且双曲线的一个焦点在抛 物线 2 4 7yx的准线上，则双曲线的方程为（ ） A. 22 1 2128 xy B. 22 1 2821 xy C. 22 1 34 xy D. 22 1 43 xy 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得渐近线的斜率，即为, a b的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c，由a b c， ， 的关系，解方程可得, a b进而得到所求双曲线的方程 【详解】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线过点(3,2)， 可得渐近线的斜率为 2 3 b k a
16、， 双曲线的一个焦点在抛物线 2 4 7yx的准线7x 上， 可得7c ， 即 22 7ab， 解得2b，3a ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 则双曲线的方程为： 22 1 34 xy 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率 公式是解题的关键，属于基础题 9. 已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的表面上，且ABBC，ABCD， 2 BCD 3 ，若2BCCD， 2 3AB ，则球O的表面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】 先确定三角形BCD外接圆
17、半径，再解方程得外接球半径，最后根据球表面积公式得结果. 【详解】因为ABBC，ABCD，所以AB 面BCD 因为2BCCD， 2 BCD 3 所以 222 1 2cos442 2 212 2 BDBCCDBC CDBCD ,即2 3BD 因此三角形 BCD 外接圆半径为 1 2 2 sin BD BCD , 设外接球半径为 R，则 2 222 2437428 2 AB RSR . 故选：C. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、 切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平
18、面几何知识寻找几何体中元素间的 关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几 何体已知量的关系，列方程(组)求解. 10. 将函数4sin()(0) 3 yx 的图像分别向左、向右各平移 6 个单位长度后，所得的 两个图象对称轴重合，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平移后的两个图象对称轴重合，求得的表达式，进而求得的最小值. 【详解】由于函数4sin()(0) 3 yx 的图象分别向左、向右各平移 6 个单位长度后分 别得到 4sin 63 x 和4sin 63 x ，即4sin 63 x 和
19、 4sin 63 x . 依题意平移后两个图象对称轴重合，所以2 6 kkZ ，即3k， 由于0,kZ，所以当1k 时取得最小值为3. 故选：A 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数的图象与性质，属于基础题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 11. 已知函数( )yf x满足(1)(1)f xf x，当 1,1x 时 2 ( )f xx，则方程 ( )lgf xx实根共有（ ） A. 10 个 B. 9 个 C. 18 个 D. 20 个 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，( )yf x为周期 2 的偶函数，然后在同一坐标系中作出两个函
20、数的图象，结合图的 交点的个数，得到答案 【详解】函数 yf xxR满足： f x2f x， f x是周期为 2 的周期函数， 当x1,1 时， 2 f xx， 作出 yf x和( )lgf xx两个函数的图象， lg101 , lg91,lg111， 11x时，无交点. 如图所示，结合图象，得方程( )lgf xx的解的个数为 20 个 故选 D 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中得到函数 yf x是周期为 2 的函 数，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，把方程解得个数转化为图象的交点的个数是解 答的关键，着重考查了数形结合思想的应用 12. 已知椭圆 22 1 22 :1
21、(0) xy Cab ab 与圆 2 2 2 2 3 : 4 b xyC，若在椭圆 1 C上不存在点 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - P，使得由点P所作圆 2 C的两条切线互相垂直，则椭圆 1 C的离心率的取值范围是（ ） A. 3 (0,) 3 B. 2 (0,) 2 C. 2 ,1) 2 D. 3 ,1) 3 【答案】A 【解析】 【分析】 画出图象，根据图像判断出 22 32ba，由此求得离心率的取值范围，进而求得离心率的最小 值. 【详解】由题意，如图，若在椭圆 1 C上不存在点P，使得由点P所作的圆 2 C的两条切线互相 垂直， ，则只需 0 90
22、APB，即 0 45APO ， 0 3 2 2 sinsin45 2 b a ，即 22 32ba，因为 222 abc解得： 22 3ac. 2 1 3 e ，即 3 3 e ，而01e ， 3 0 3 e，即 3 0, 3 e . 故选：A 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率最值的求法，考查圆的切线的几何性质，考查数形结合 的数学思想方法，属于中档题. 第第卷卷 非选择题（共非选择题（共 9090 分）分） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 13
23、. 已知函数 3 ( )1f xaxx的图像在点(1, (1) f处的切线过点（2，11） ，则a_ 【答案】2 【解析】 【分析】 求出函数的导数 2 ( )31fxax ， (1)31fa，而(1)2fa,根据点斜式得到直线方 程，利用切线的方程经过的点求解即可 【 详 解 】 函 数 3 ( )1fxa xx的 导 数 为 ： 2 ( )31fxax ， (1)31fa， 而 (1)2fa ， 切线方程为：2311yaax，因为切线方程经过（2，11） ， 所以11231 2 1aa 解得2a 故答案为：2. 【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函
24、数 求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写 出直线方程. 14. 若实数x，y满足约束条件1 330 yx xy xy ，则5zxy的最小值为_ 【答案】3 【解析】 【分析】 先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值 【详解】作出约束条件1 330. yx xy xy ， ，表示的平面区域（如图示：阴影部分） ： 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 由 10 yx xy 得A（ 1 2 , 1 2 ） ， 由5zxy得5yxz ，平移5yx ， 易知过点A时直线在y上截距最小，此时，产生5 Min yxz 所以
25、5 Min zxy的最小值为 11 53 22 Min z 故答案为：3 【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义 15. 设函数 22 ( )4 xx f xeex ，则不等式 2 ()( 56)f xfx0的解集是_ （用 区间表示） 【答案】( 1,6) 【解析】 【分析】 可判断出函数 ( )f x为奇函数，且函数( )f x为增函数，从而可解不等式. 【详解】函数 22 ( )4 xx f xeex ， 2222 ()4 =4( ) xxxx fxeexeexf x 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 所以函数 (
26、)f x为奇函数. 又 2 2222 ( )224=22 =20 xxxxxx fxeeeeee 所以( )0fx 在R上恒成立， 所以函数 ( )f x在R上是增函数. 不等式 2 ()( 56)f xfx0即 2 ()(56)f xfx 所以 2 56xx，解得16x 所以不等式的解集是( 1,6) . 故答案为：( 1,6) 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题. 16. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为 2 4 a，则 cb bc 的最大值是_ 【答案】2 3 【解析】 【分析】 由面积公式可得 2 2 2sinabcA ，再
27、用余弦定理可得 22 2 2sin2cosbcbcAbcA ， 即2 3sin()2 3 cb A bc 得出结果. 【详解】由题，三角形的面积： 22 121 sin2 2sin 242 SabcAabcA . 由余弦定理： 222 cos 2 bca A bc ，可得： 222 2cos2 2sin2cosbcabcAbcAbcA . 所以 22 2 2sin2cos2 3sin()2 3 cbbc AAA bcbc ，其中 2 tan= 2 . 所以 bc cb 的最大值为2 3. 故答案为：2 3. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 【点睛】本题考查了
28、正余弦定理解三角形，将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于 较难题. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 已知数列 n a满足： 2 12 231 n aaa nn n ()nN （）求 n a的通项公式； （）设 1 n n b a ，若数列 n b的前n项和为 n S，求满足 19 40 n S 的最小正整数n 【答案】 （）2 (1) n an n（）20 【解析】 【分析】 （）因为 2 12 231 n aaa nn n ，所以 2 112 (1
29、)1 23 n aaa nn n ，两式作 差，并进行整理即可得解； （）求出数列 n b的通项公式，通过裂项相消法进行求和，解不等式即可得到答案. 【详解】 （） 2 12 231 n aaa nn n 当 1n 时，可得 1 4a ， 当2n时， 2 112 (1)1 23 n aaa nn n ， -可得：(21) 12 1 n a nn n ， 2 (1) n an n，1n 时也满足， 2 (1) n an n. （） 111 11 2 (1)21 n n b an nnn 111111111 11 22223121 n S nnn ， 又 19 40 n S ， 1119 1 21
30、40n ，解得19n， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 所以满足 19 40 n S 的最小正整数n为 20. 【点睛】本题主要考查通项公式的求法及裂项相消法求和的应用，考查学生的逻辑推理能力 和运算求解能力，属于中档题.当数列出现前后项差的时候，可考虑裂项相消求和法.使用裂 项法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的 项，未被消去的项有前后对称的特点. 18. 在直角梯形ABCD中 （如图 1） ，/ABDC，90BAD，5AB，2AD ，3CD ， 点E在CD上，且2DE ，将ADE沿AE折起，使得平面ADE 平面A
31、BCE（如图 2） ，G为 AE中点 （）求四棱锥DABCE的体积； （）在线段BD上是否存在点P，使得/CP平面ADE？若存在，求 BP BD 的值；若不存在， 请说明理由 【答案】 （）2 2（）存在， 4 5 【解析】 【分析】 （）根据平面与平面垂直的性质定理得到DG 平面ABCE，再根据椎体的体积公式计算可 得结果； （）过点C作/CFAE交AB于点F，过点F作/FPAD交DB于点P，连接PC，可证得 平面/CFP平面ADE，再根据平面与平面平行的性质可得/CP平面ADE，最后根据平面几 何知识可求得比值. 【详解】 （）证明：因为G为AE中点，2ADDE，所以DGAE 高考资源网（
32、） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 因为平面ADE 平面ABCE，平面ADE平面ABCEAE， DG平面ADE，所以DG 平面ABCE 直角三角形ADE中，易求 2 2AE ， 则2 AD DE DG AE ， 所以四棱锥DABCE的体积 1(15)2 22 2 32 D ABCE V （）在BD上存在点P，使得/CP平面ADE且 4 5 BP BD ， 过点C作/CFAE交AB于点F，过点F作/FPAD交DB于点P，连接PC， 如图所示： 因为/CFAE，AE 平面ADECF 平面ADE，所以/CF平面ADE， 同理/ /FP平面ADE， 又因为CFPFF，所以平面/CF
33、P平面ADE 因为CP平面CFP，所以/CP平面ADE 所以在BD上存在点P，使得/CP平面ADE 因为四边形AECF为平行四边形 所以1AFCE，即4BF ， 故 4 5 BPBF BDAB . 所以在BD上存在点P，使得/CP平面ADE且 4 5 BD . 【点睛】本题考查了平面与平面垂直的性质定理、平面与平面平行的判定与性质，考查了椎 体的体积公式，属于中档题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 19. 某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪 50 元，快递骑手每完成一单业务提成 3 元：方案（2）规定每日底薪 100
34、 元，快递业务的前 44 单没有提成，从第 45 单开始，每完成一单提成 5 元该快递公司记录了每天骑手的人均业务 量现随机抽取 100 天的数据，将样本数据分为 25,35 , 35,45 , 45,55 , 55,65 , 65,75 , 75,85 , 85,95七组， 整理得到如图所示的频率 分布直方图 （） 随机选取一天， 估计这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于 65 单的概率； （）若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案（1） ，丁、戊选择了日工资方案（2） 现从上述 5 名骑手中随机选取 2 人，求至少有 1 名骑手选择方案（2）的概率； （）若仅从人均日收入的角度考虑，请
35、你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方 案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 【答案】 （）0.4； （II） 7 10 （）选择方案（1） ，理由见解析 【解析】 【分析】 （）将65,75 , 75,85 , 85,95这三组的频率求出，再相加即可得到答案； （）利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果； （）利用频率分布直方图计算出快递公司人均日快递量的平均数，根据平均数计算出两种 方案下骑手的人均日收入，比较可得结果. 【详解】 （）设事件A为“随机选取一天这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不 少于 65 单” 依题意，快递公司的人均日快递业务量
36、不少于 65 单的频率分别为：0.2、0.15、0.05， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 因为0.20.150.050.4，所以 P A估计为0.4 （）设事件B为“从五名骑手中随机选取 2 人至少有 1 名骑手选择方案（2）” 从五名骑手中随机选取 2 名骑手，有 10 种情况， 即甲，乙，甲，丙，甲，丁，甲，戊，乙，丙，乙，丁，乙，戊，丙，丁， 丙，戊，丁，戊 其中至少有 1 名骑手选择方案（2）的情况为甲，丁，甲，戊，乙，丁，乙，戊，丙， 丁，丙，戊，丁，戊共 7 种情况，所以 7 ( ) 10 P B （）快递公司人均日快递量的平均数是： 300.
37、05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562 因此，方案（1）日工资约为5062 3236元， 方案（2）日工资约为10062445190 元236元， 故骑手应选择方案（1）. 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图计算频率、平均数，考查了古典概型的概率公式， 属于基础题. 20. 设函数 2 ( )lnf xxaxx （）若当1x 时 ( )f x取得极值，求a的值及( )f x的单调区间； （）若 ( )f x存在两个极值点 1 x， 2 x，证明： 21 21 ()( )4 2 f xf xa xxa 【答案】 （）3a 单调增区间为 1 (0, ),(1,
38、) 2 ，单调减区间为 1 (,1) 2 （）见解析 【解析】 【分析】 （1） 求导数( )fx， 由题意可知1x 为方程( )0fx 的根， 求解a值， 再令导数( )0fx ， ( )0fx ，分别求解单调增区间与单调减区间，即可. （2）函数 f x存在两个极值点，等价于方程 0fx 即 2 210 xax 在(0, )上有两 个不等实根，则，即可，再将 21 21 f xf x xx 变形整理为 21 21 lnln 2 xxa xx ；若证明不 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - 等式 21 21 4 2 f xf xa xxa ，则需证明 21 2
39、1 lnln4xx xxa ，由 12 0 2 a xx变形为 21 2121 lnln2xx xxxx ，不妨设 21 0 xx，即证 2 21 2 1 1 1 ln2 1 x xx x x x ，令 2 1 1 x t x ，则 21 ln 1 t h tt t ，求函数( )h t的取值范围，即可证明. 【详解】 （） 2 121 ( )2,(0) xax fxxax xx 1x 时， f x取得极值， 10 f ，3a 2 231(21)(1) ( ) xxxx fx xx 由 0fx 得 1 0 2 x或1x ， 由 0fx 得 1 1 2 x f x的单调增区间为 1 (0, )
40、2 和(1,)，单调减区间为 1 (,1) 2 （） 2 21 ( ),(0) xax fxx x f x存在两个极值点， 方程 fx 即 2 210 xax 在(0, )上有两个不等实根 2 80a 且 12 1 2 a xx， 22 21 222111 2121 lnlnf xf xxaxxxaxx xxxx 2121 21 2121 lnlnlnln 2 xxxxa xxa xxxx 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 - 所证不等式 21 21 ()()4 2 f xf xa xxa 等价于 21 21 lnln4xx xxa 即变形为 21 2121 ln
41、ln2xx xxxx 不妨设 21 0 xx，即变形为 2 21 2 1 1 1 ln2 1 x xx x x x 令 2 1 1 x t x ， 2 21 2 1 1 1 ln2 1 x xx x x x 变形为 2(1) ln0 1 t t t ， 令 2(1) ( )ln 1 t h tt t 则 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t h t ttt t ， h t在(1,)上递增 10h th， 2 21 2 1 1 1 ln2 1 x xx x x x 成立， 21 21 ()()4 2 f xf xa xxa 成立 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，以及根据极值求参数取值范围，证明不等式. 属于难题. 21. 已知圆 22 (2):4Fxy，动点,0Q x yx ，线段QF与圆F相交于点P，线段 PQ的长度与点Q到y轴的距离相等 （）求动点Q的轨迹W的方程； （）过点 2,4A 作两条互相垂直的直线与W的交点分别是M和N（M在N的上方，A，M，N 为不同的三点） ，求向量NM在y轴正方向上的投影的取值范围 高考资源网（）
