1、 遂宁市高中 2021 届零诊考试 数学（理科）试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第卷（选择题，满分 60 分） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴 是否正确。 2选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对 应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每
2、个小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的。 1已知集合3 , 0 , 1A，2 , 0B, 那么等于 A 1,0,2,3 B 1,0,2 C0,2,3 D0,2 2若复数 iiai)()(1 (是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为 A2 B1 C0 D 1 3已知 5 3 ) 2 3 cos( ， 22 3 ，则cos的值等于 A. 5 4 B. 25 9 C. 25 44 D. 25 39 4 若数列 n a满足)( 2 12 1 Nn a a n n ，且1 1 a，则 2021 a A. 1010 B. 1011 C. 2020 D. 2021 5为了得到函数 3 3 2log
3、xy的图象，可将函数xy 3 log的图象上所有的点 A.纵坐标缩短到原来的 3 1 ，横坐标不变，再向右平移2个单位长度 B.横坐标缩短到原来的 3 1 ，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度 C.横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度 D.纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，再向右平移2个单位长度 6. 用数学归纳法证明等式 ) 12)(1() 12(321nnn时，从 kn 到1 kn等式左 边需增添的项是 A22 k B1) 1(2k C )32()22(kk D(1) 1 2( 1) 1kk 7. 已知正项等比数列 n a满足 2 1 1 a，2 342 aaa，又
4、 n S为数列 n a 的前n项和，则 5 S A 2 31 或 2 11 B 2 31 C15 D6 8.若函数 2 2 1 ln)(xcxxxf存在垂直于y轴的切线，又 0,)( 0,log )( 3 3 xbax xx xg，且有 1) 1 (gg，则cba的最小值为 A1 B 2 C 12 D3 9. 秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、 诗词、弓、剑、营造之学。1208 年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月， 在梅州辞世。 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。他在著作数书九章中创用了“三 斜求积术”，即是已知三角形
5、的三条边长cba,，求三角形面积的方法.其求法是：“以小斜幂并 大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅， 开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为 2 222 22 24 1bca caS，若ABC 中有 2 sincA 2sinC， 3 cos 5 B ，且 abc，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为 A 5 3 B 5 4 C1 D 4 5 10. 已知函数) 19(log)( 3 x xxf，则使得 10log11 3 2 xxf成立的x的取值范围是 A 2 2 , 0 B , 10 , C1 , 0 D 1 , 11在ABC中，点D为边
6、AC上一点， 22 BCAB，且 ADAC2 ，BDAC2， 2CMMB ，AN NB ，则 BCCNABAM A5 B 9 2 C 7 2 D3 12已知函数axexf bx )(， Rba,，且1)0(f,当 0 x时， ) 1cos()(xxxf 恒成立, 则 a 的取值范围为 A0, B 1, e C,e D , e 第卷（非选择题，满分 90 分） 注意事项： 1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题至第 21 题为必考题，每个试题考生都作答；第 22、 2
7、3 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13计算： 3log6log332 22 2 1 的值为 14已知向量), 1 ( ma ，)3 ,(mb ，若ab，则实数m等于 15. 已知ba,均为实数，函数 )2( 2 1 )( x x xxf在ax 时取得最小值，曲线) 1ln(2xy 在点0 , 0处的切线与直线2 bxy平行，则ba 16. 已知向量) 1 ,sin2(xm ，)2 ,sincos3(xxn，设函数nmxg)( ， xgexf x sin) 12 ()( 。则下列对函数)(xf和)(xg的描述正确的命题有 （请写
8、出 全部正确命题的序号） )(xg的最大值为 3. )(xg在,0 3 上是增函数 )(xg的图象关于点 5 ,0 12 对称 f x在 ,上存在唯一极小值点 0 x，且 0 1()0f x 三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 12 分） 已知集合73axaxA，集合 05 0 x x xB （1）若BBA，求实数a的取值集合M； （2）求函数 Mxxx MCxx xf R , 3 , 2 )( 2 的值域。（其中M为（1）问中的集合M，全集为实数 集R）。 18（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且点 ),(
9、 n S n n )( Nn均在函数 1 xy的图象上 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 4n nn ba n ， n T是数列 2 log n b的前n项和。 求满足 23 11151 111 101 n TTT 的最大正整数n的值。 19（本小题满分 12 分） 已知函数 234 )(bxxaxxf ),(Rba，( )( )( )g xf xfx是偶函数 （1）求函数 ( )g x的极值以及对应的极值点； （2）若函数 2234 ) 1( 4 1 )()(ccxxxcxxfxh，且)(xh在5 , 2上单调递增，求实数 c的取值范围。 20（本小题满分 12 分） 已知函数
10、31) 3 cos(sin4)( xxxf （1）若关于x的方程03)(mxf在 2 , 3 x 上有解，求实数m的取值范围； （2） 设A B C的内角A满足13)(Af， 若 4 ACAB ， 求BC边上的高AD长的最大值。 21（本小题满分 12 分） 已知函数) 1() 1ln()(xxxf，axaexg x ln)()(Ra （1） 若曲线)(xgy 在点)0(, 0 g处的切线与直线bxey) 1()(Rb重合， 求ba的值； （2）若函数txfy)(的最大值为5，求实数t的值； （3）若)()(xfxg，求实数a的取值范围。 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，
11、则按所做的第一题计分。 22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线l：2) 6 cos( ，圆C：sin2。以极点O为原点，极轴为x轴 正半轴建立直角坐标系xOy. （1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程； （2）已知点P在圆C上，点P到直线l和x轴的距离分别为 1 d， 2 d，求 12 dd的最大值。 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数mxxxf112)( （1）当2m时，求不等式3)(xf的解集； （2）若)(xf的最小值为M，且4mMba),(Rba，求 22 32ba 的最小值。 遂宁市高中 2021 届零诊考试 数学
12、（理科）试题参考答案及评分意见 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A B A C B D B C D B 二、填空题 13.7 14. 3 15. 5 16. 三、简答题 17. 17. （本小题满分本小题满分 1212 分分） （1）因为集合 05 0 x x xB5 , 0， 2 分 而73axaxA，且BBA，则AB ， 3 分 所以 57 03 a a ，解得32a，所以32aaM5 分 （2）因为32aaM3 , 2，又MCx R ，即 , 32,x，所以 , 50 ,2x； 8 分 令 4 11 ) 2 1 (3)( 22 xxx
13、xg，又Mx3 , 2， 所以此时 9)3()2()( max ggxg， 4 11 ) 2 1 ()( min gxg，即9 , 4 11 )(xg； 11 分 综上函数)(xf的值域为), 4 11 0 ,9 , 4 11 , 5 0 , ， 即函数)(xf的值域为), 4 11 0 , 12 分 18. 18. （本小题满分本小题满分 1212 分分） （1）点),( n S n n （n ）均在函数 1 xy 的图象上， 1 n S n n ，即 2 n Snn 1 分 当2n时， 2 2 1 112 nnn aSSnnnnn 3 分 当1n 时， 2 11 112aS ，满足上式 4
14、 分 数列 n a的通项公式是2 n an 5 分 （2）由（1）得： 21 2 n n b ， 2 log21 n bn 6 分 21222 loglog.log nn Tbbb1 321n 7 分 1 21 2 nn 2 n 8 分 2222 2222222 23 11111121 31 411 111111 23234 n n TTTnn 2222 1 3 2 4 3 511 234 nn n 1 2 n n 10 分 令 1 2 n n 51 101 ，解得： 101n 11 分 故满足条件的最大正整数n的值为100 12 分 19. 19. （本本小题满分小题满分 1212 分分）
15、（1） 234 )(bxxaxxf，bxxaxxf234)( 23/ ，1 分 bxxbxaaxxfxfxg2)3() 14()()()( 234/ ， ( )g x为偶函数， 02 014 b a ，解得 0 4 1 b a 3 分 34 4 1 )(xxxf，则 24 3 4 1 )(xxxg， )6)(6(6)( 3/ xxxxxxg 由0)( / xg，解得6x或60 x；由0)( / xg，解得6x或06x； )(xg在6,，6, 0单调递增；在0 ,6，,6单调递减。 函数 )(xg 的一个极大值点为6，对应的极大值为 69g ； 5 分 另一个极大值点为6，对应的极大值为 69g
16、 ； 6 分 函数)(xg极小值点为0，对应的极小值为 00 g 7 分 （2）由（1）知 34 4 1 )(xxxf， 2234 ) 1( 4 1 )()(ccxxxcxxfxh 223 ccxxcx， cxcxxh23)( 2/ ，函数)(xh在5 , 2上单调递增， 023 2 cxcx在5 , 2上恒成立，即有 2 (31)2cxx，在2,5恒成立 法一： 2 22 1 31 3 x c x x x ， 10 分 1113 36 22 x x , 2,5x 224 113 13 3 2 x x , 2,5x 4 13 c 12 分 法二、令cxcxx23)( 2 ，5 , 2x 0)5
17、( 0)2( ，即 01075 0412 cc cc ，解得 13 4 c 实数c的取值范围), 13 4 .12 分 20. 20. （本小题满分本小题满分 1212 分分） (1) 31) 3 cos(sin4)( xxxf31) 3 sinsin 3 cos(cossin4 xxx 31)sin 2 3 cos 2 1 (sin4xxx 31 2 2cos1 322sin x x 1 sin23cos2xx 2sin 21 3 x ， 4 分 又 2 , 3 x ，所以 3 2 , 33 2 x 1 , 2 3 3 2sin x，所以 f x的值域为31,3 . 5 分 而3)( mxf
18、，所以3m 31,3 ，即 1,33m . 6 分 （2）由13)(Af，即131 3 2sin2 A，解得 3 A 或 2 .由4 ACAB ，即 4cosAbc，所以 3 A ，则8bc 8 分 由余弦定理，得 22cos2 2222 bcbccbAbccba .10 分 由面积公式，知 11 sin 22 ABC SbcAa AD， 即ADa 2 1 2 3 8 2 1 .所以6 22 34 AD。 所以BC边上的高AD长的最大值为6 12 分 21. 21. （本小题满分本小题满分 1212 分分） （1）因为axaexg x ln)(，所以1)( / x aexg，则1)0( / a
19、gk切， 点)0(, 0 g的坐标为aaln, 0，故切线方程为xaaay) 1()ln(， 即)ln() 1(aaxay，由于它与直线bxey) 1(重合，所以 baa ea ln 11 ， 解得 1eb ea ，故12 eba。 3 分 （2）因为) 1() 1ln()(xxxf1x，所以 1 1 1 1 )( / x x x xf， 由0)( / xf，解得01x，由0)( / xf，解得0 x， 所以函数 )(xf 在)0 , 1(单调递增，在, 0单调递减，而1)0()( max fxf， 所以51t，解得4t 6 分 （3）因为)()(xfxg，即) 1() 1ln(lnxxaxa
20、ex 即1ln) 1ln(axaex，令axaexh x ln) 1ln()(，即有 1)(xh 。 当10 a时， 1ln)0(aah ，所以10 a不合题意； 当1a时，) 1ln()(xexh x ， 1 1 )( / x exh x 当)0 , 1(x时，0)( / xh，当, 0 x时，0)( / xh 所以当0 x时，)(xh取得最小值，最小值为1)0(h，从而1)(xh，符合题意； 当1a时，axaexh x ln) 1ln()(ln(1) x ex（放缩） ； 又由知1) 1ln(xex， 符合题意； 综上，实数a的取值范围为, 1。 12 分 22. 22. （本小题满分本小
21、题满分 1010 分分） （1）由l：2) 6 cos( 得， 2cos 2 3 sin 2 1 ； 因为 sin cos y x ，代入有直线l的直角坐标方程为：2 2 3 2 1 xy， 即为043 yx 2 分 由圆C：sin2得，sin2 2 ，因为x cos ，ysin ， 222 xy，所以圆C直角坐标方程为：1) 1( 22 yx， 由1) 1( 22 yx得， 4 分 圆C的参数方程为 sin1 cos y x （为参数）， 5 分 （2）设点P坐标为sin1 ,cos 则 2 3sincos3 1)3( 4sin1cos3 22 1 d)sincos33( 2 1 ， 又si
22、n1 2 d 那么 2 5 ) 3 sin(cos 2 3 sin 2 1 2 5 21 dd 当 6 5 时， 12 dd取得最大值 2 7 10 分 23.23. （本小题满分本小题满分 1010 分分） （1）当2m时， 1, 1 11, 33 1, 5 )( xx xx xx xf，又3)(xf，则有 1 35 x x 或 11 333 x x 或 1 31 x x ；解得1x或01x或4x。即0 x或4x。所以不等式3)(xf的 解集为0 xx或4x 5 分 （2）因为 1,3 11,13 1,3 )( xmx xmx xmx xf在1x处取得最小值2m， 所以2 mM，则24mMba，由柯西不等式 4)( 3 1 3 2 1 2 3 1 2 1 )32( 2 222 22 bababa 所以 22 32ba 5 24 ，当且仅当ba32 ，即 5 6 a， 5 4 b时，等号成立。 故 22 32ba 的最小值为 5 24 。 10 分
