1、高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 9 线性线性规划规划 例 1：若实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】令，根据不等式组，作出可行域，如图所示， 由图知：当经过点和点时，分别取得最大值和最小值， 则， 所以的取值范围为 例 2：设，满足约束条件，则的最大值为 【答案】 【解析】由约束条件作出可行域如图，由图可知， xy 230 230 0 xy xy xy 23xy 1,151,15 1,161,16 23zxy 23zxy(3,3)A(1, 1)B max 2 33 315z min 2 1 3
2、 ( 1)1z 23xy 1,15 x y 33 1 0 xy xy y y z x 1 3 1、线性目标函数的最值问题 2、非线性目标函数的最值问题 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 在点与两点之间的斜率最大，把代入可得 例 3： 已知实数，满足， 若目标函数最大值为5， 取到最大值时的最优解是唯一的，则的取值是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】由不等式组，即为，作可行域如图： 目标函数可化为经过点时，取到最大值， 这时坐标满足，解得，点坐标为， 3 1 ( , ) 2 2 A(0,0) 3 1 ( , ) 2 2 A y
3、z x max 1 1 2 3 3 2 z xy 10 220 220 xy xy xy (0)zaxy a a 1 4 1 3 1 2 1 10 220 220 xy xy xy 10 220 220 xy xy xy zaxyyaxzCz C 220 10 xy xy 4 3 x y C(4,3) 3、含参问题 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 代入得到 例 4：我市高中数学研究会准备从会员中选拔名男生，名女生组成一个小组去参加数学 文化知识竞赛，若，满足约束条件，则该小组最多选拔学生（ ） A名 B名 C名 D名 【答案】B 【解
4、析】作出，满足约束条件表示的平面区域，如图所示： 要求招入的人数最多，即取得最大值，目标函数化为， 在可行域内任意取，且为正整数，截距最大时的直线为过，得， 此时目标函数取得最大值为 zaxy 1 2 a xy xy 25 1 1 2 7 xy yx x -? ? 21161311 xy 25 1 1 2 7 xy yx x -? ? zxy=+yxz= -+ xy 7 25 x xy = -= (7,9)A 7916z =+= 4、线性规划的实际应用问题 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 一、选择题 1若实数，满足，则的最小值为（ ）
5、 A B C D 【答案】B 【解析】作出可行域如图所示，作直线， 再将其平移至时，直线的纵截距最小，的最小值为 2若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 由约束条件作出可行域如图所示， 当过时， 有 xy 1 10 220 x xy xy 2zxy 24510 2yxz (1,2)Az4 x y 30 20 0 xy xy y 43zxy 0123 43zxy(1,2)A min 462z 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 3设满足，若的最大值是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】由题，
6、可得可行域如图所示（阴影部分） ，由得， 平移直线，由图像可知当直线经过点时，直线的截距最 小，即最大， 由，解得为， 代入目标函数中可得 4已知，满足约束条件，则的最大值为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】由，满足约束条件作出可行域如图， 化目标函数为，由图象可知， , x y 220 1 10 xy x xy 2zxy 231 1 2 2zxy2yxz 2yxz2yxz A 2yxz z 1 10 x xy A (1,0) max 2 1 02z xy 270 0 , xy xy xy NN 2zxy 4567 xy 270 0 , xy xy xy NN 2zxy2yxz (2
7、,2)A 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为 5若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ） A B C D或 【答案】C 【解析】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 由，解得，点的坐标为 结合图形可得，若不等式组表示的平面区域是一个三角形， 则实数需满足，故选 C 6已知实数，满足，若的最大值是，则实数的取值 范围是（ ） 2yxz (2,2)Ayz6 50 02 ya xy x a 5a7a57a5a7a 50 02 xy x 50 2 xy x 2 7 x y A(
8、2,7) 50 02 ya xy x a57a xy13yxyax2yx3a 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 A B C D 【答案】A 【解析】不等式，等价于， 化简得， 设，则；且的最大值是， 由图形知，解得， 所以实数的取值范围是，故选 A 7 在平面直角坐标系中， 若不等式组所表示的平面区域内存在点， 使不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示： (,31,3(,2(0,1) 13yxyax 1 3 y xyy xyax 1 0 (1)3 y x yax 2z
9、yx2yxzz3 12a 3a a(,3 440 2100 5220 xy xy xy 00 (,)xy 00 10 xmy m 5 (, 2 1 (, 2 4,)(, 4 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 其中，直线过定点， 当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意； 当时，直线的斜率，不等式表示直线 下方的区域，不满足题意； 当时，直线的斜率，不等式表示直线 上方的区域， 要使不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立， 只需直线的斜率，解得， 综上可得实数的取值范围为，故选 B 8 已知， 满足约束条件 ， 若的取值集合
10、为， 且， 则实数的取值范围是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 其中， ， (2,6)A10 xmy ( 1,0)D 0m10 x 10 x 0m10 xmy 1 0 m 10 xmy 10 xmy 0m10 xmy 1 0 m 10 xmy 10 xmy 00 (,)xy 00 10 xmy 10 xmy 1 2 AD k m 1 2 m m 1 (, 2 xy 10 10 220 xy xy xy + -? -+ ? -? zmxy=+A1,8A m 1 2 , 3 3 1,8 11 4 , 93 - 4 1, 3 (1,0)A(0
11、,1)B(3,4)C 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 的最值在顶点处取到，所以，解得 9设，满足条件，且，则的取值范围是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，其中， ， 设，则的几何意义为平面区域内的点到定点的连线的斜率， 由图象知的斜率最小，的斜率最大， 则的斜率，的斜率为， 即，则， 即的取值范围是 zmxy 18 1348 m m 3 4 1,m xy0 xy4312xy 23 1 xy x 1,52,62,103,11 (0,4)A 12 12 (,) 77 B 2312(1)1 12 1
12、11 xyxyy xxx 1 1 y k x 1 1 y k x ( 1, 1)D BDAD BD1 BD kAD 4 1 5 0 1 AD k 15k2210k3 1 211k 23 1 xy x 3,11 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 10若实数，满足约束条件，则的最大值是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】由实数，满足约束条件作出可行域，如图： ，联立，解得， 的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方， 其最大值，故选 D 11已知实数，满足，则的取值范围是（ ） xy 2 239 0 xy xy x 22 zxy 1
13、04910 xy 2 239 0 xy xy x (0, 3)A(0,2)COAOC 2 239 xy xy (3, 1)B 22 xy 2 22 3( 1)10OB xy 24 48 1 xy xy xy 22 2xyx 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 A B C D 【答案】D 【解析】由约束条件作出可行域如图， 联立，解得， ， 其几何意义为可行域内的动点与定点距离的平方减 ， 到直线的距离， 的取值范围是 12某企业准备投资万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的 数据表格（以班级为单位） ： 新一年因生源和环
14、境等因素， 全校总班级至少个， 至多个， 若每开设一个初、 高中班， 可分别获得年利润万元、万元，则第一年利润最大为（ ） 0,19 1 ,20 5 0,20 1 ,19 5 24 48 1 xy xy xy 1 48 xy xy (3,4)A 2222 2(1)1xyxxy (1,0)P1 P24xy |2 14|2 5 55 d 22 |(3 1)(40)2 5PA 22 2xyx 1 ,19 5 1200 2030 23 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 A万元 B万元 C万元 D万元 【答案】A 【解析】设开设初中班个，高中班个
15、，利润为，则 由题意得，满足的条件为，即， 画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示 由，得平移直线（图中的虚线） ， 结合图形可得，当直线经过可行域内的点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最 大值 由，解得， 故点的坐标为，（万元） ， 即第一年利润最大为万元，故选 A 二、填空题 13若，满足约束条件，则的最小值为 70586072 xyz23zxy xy * * 2654461200 2030 0, 0, xyxy xy xx yy N N * * 240 2030 0, 0, xy xy xx yy N N 23zxy 2 33 z yx 2 33 z yx Myz 30 240 x
16、y xy 20 10 x y M(20,10) max 2 303 1070z 70 x y 10 10 0 xy xy y 2zxy 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 【答案】 【解析】作出可行域如图所示，则目标函数的最小值即为直线满足 约束条件下取得的截距的最小值，则利用平移法平移直线， 通过图象可知，当直线经过点时截距最小，所以 14设，满足约束条件，则的最大值是 【答案】 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，由得， 平移直线， 由图象直线当直经过时， 直线的截距最小， 此时最大为，就的最大值是 15实数，满足不等式，则的最大
17、值为 【答案】 2 2zxy2yxz 2yx ( 1,0) min 2 ( 1)02z xy 3260 0 0 xy x y zxy 2 zxyyxz yxztxz(2,0)Byxz z2 02z zxy2 xy 20 250 40 xy xy xy |24|zxy 21 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 【解析】实数，满足不等式组，对应的平面区域如图， 设区域中的点到直线的距离为， 则有， 求的最大值等价于求点到直线的距离最大值， 由图象可知，当点与点重合时距离最大， 则有 16已知实数，满足，则的最大值是_ 【答案】 【解析】由约束
18、条件可作如图所示的可行域，两直线的交点， 则当过原点的直线过点时，斜率最大，即的最大值为 xy 20 250 40 xy xy xy 00 (,)P xy240 xy 00 24 5 xy d 00 245xyd |24|xyP240 xy P(7,9)A max |7 184| 21z xy 30 260 0 xy xy y -? +-? y x 1 4 (4,1)A A 01 04 y k x - = - y x 1 4 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 17已知变量，满足，则的取值范围为_ 【答案】 【解析】 如图， 由可行域的图
19、知， 在点处取最大值为， 最小值为原点到直线 的距离的平方为，所以的取值范围为 18已知实数、满足，则的最大值为 【答案】 【解析】的几何意义是区域内的点到定点的斜率， 作出不等式组对应的平面区域， 由图象知的斜率最大，由，解得， xy 22 1 1 xy x y +? 22 zxy=+ 4 ,2 5 (1,1)222xy+= 4 5 22 xy+ 4 ,2 5 xy 2 60 20 x xy yx 1 6 y z x 1 2 1 6 y z x (6, 1)D AD 2 20 x yx (2,1)A 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836
20、此时，故答案为 19在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点， 则线段的最小值为 【答案】 【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域， 易知的最小值即为原点到直线的距离，即 20已知，满足，若的最大值为，最小值为，则 的 最小值为 【答案】 【解析】作出不等式组，表示的平面区域，如图阴影部分所示， 即及其内部，其中， 1 11 262 z 1 2 xOyM 2360 20 0 xy xy y OM 2 |OM20 xy min 2 |2 2 OM xy 10 30 2 xy xy x 22 xy mnmxny 22 10 30 2 xy xy x ABC(1,2)A)(2,1B(
21、2,3)C 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 令，其表示阴影部分的点到坐标原点的距离的平方 显然在点处取得最大值，则 而原点到直线的距离，且， 的最小值，故， 令，可得， 故当直线经过点时，取得最小值， 最小值为 21设集合，( , )|2Bx ymxy 21, ,mx yR，若，则实数的取值范围是_ 【答案】 【解析】根据，可知，从而，解得或 集合表示夹在两条平行直线与之间的带形区域 当时，如图 1，集合是以为圆心，为半径的圆面， 22 uxy C 22 xy m 22 2313m 30 xy 22 | 3|3 2 11 d | |5
22、OAOB 22 xy 2 39 () 22 n 9 13 2 xmxnyy 9 13 2 zxy 262 99 yxz 262 99 yxz (1,2)Az 9 13 1222 2 z 222 ( , )|(2), , 2 m Ax yxymx yR AB蛊m 1 ,22 2 AB蛊A蛊 2 2 m m0m 1 2 m B 1: 20lxym+-= 2: (21)0lxym+ -+= 0mA(2,0)Pm 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 由于点总在直线的上方，只需与圆有公共点即可， 令，解得，与相矛盾，故此时无解； 当时，如图 2，集
23、合表示以为圆心，以和为半径的圆环面，只 需，中至少有一条与圆有公共点即可， 令或，解得或， 又，故， 综上可得，的取值范围为 22，两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参 加献爱心活动，两个小区每位同学往返车费及服务老人的人数如下表： 根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过元，且小区参加献爱心活动的同学比小 区的同学至少多 人，则接受服务的老人最多有_人 【答案】 P 2 l 2 l 222 (2)xym-+= 20(21) 2 m m 2 1 2 m 0m 1 2 m A (2,0)P 2 m m 1 l 2 l 222 (2)xym-+= 20(21) 2 m m 202 ) 2 m m 2 1 2 m 2222m 1 2 m 1 22 2 m m 1 ,22 2 AB 37BA 1 35 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 【解析】设，两区参加活动同学的人数分别为，受到服务的老人人数为， 则，且，作出可行域，如图， 平移直线，由图可知，当直线过点时，最大， 当，时，取得最大值为， 即接受服务的老人最多有人 ABxyz 53zxy 1 3537 1 , yx xy x x yN 53zxy53zxy(4,5)Mz 4x5y z35 35
