1、高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 14 与球有关的组合体与球有关的组合体 例 1：已知三棱锥的各顶点都在以为球心的球面上，球的表面积为， ，则（ ） A B C D 【答案】C 【解析】因为，所以， 又， 故三棱锥的外接球和以，为长宽高的长方体的外接球相同， 故外接球直径为， 又因为外接球的表面积为，则，故 例 2：在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球，同时在三棱柱 外有一个外接球，若，则球的体积 为 【答案】 【解析】因为，所以， 故的内接圆半径，所以球的半径， 所以， 又外接球的半径为， 所以外接球的体积为 PABCOO50 PA
2、ABPAAC3AB4AC 5BC PA 5 35 25 5 2 3AB4AC 5BC 22 345ABAC PAABPAAC PABCPAABAC 22222 49 16RPAABACPA 2 504R 22 4509 16RPA 5PA 111 ABCABC 1 O 111 ABCABC 2 OABBC3AB4BC 2 O 29 29 6 ABBC3AB4BC 5AC ABC 345 1 2 r 1 O 1 1Rr 11 22AAR 2 O 2 R 222222 21 1129 342 222 RABBCAA 2 O 33 22 442929 29 () 3326 VR 1、与球有关的几个方
3、面的应用 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 一、选择题 1知三棱锥的三条侧棱，两两垂直，且， 则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】由、两两互相垂直，且， 可知该三棱锥为正方体的一角，其外接球直径为正方体的对角线长， 即， 2三棱锥中，底面为非钝角三角形，其中， ，则三棱锥的外接球体积为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】因为，为非钝角三角形，故， 由余弦定理得，解得， 故为直角三角形，其中，故，故， 此时， 注意到球心即为线段的中点（此时点到，的距离均为） ， 故所求球体的体积 3 空间直角坐
4、标系中， 点在，平面上的射影分别为， ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A B C D PABCPAPBPC1PAPBPC PABC 161243 PAPBPC1PAPBPC 23R 3 2 R 2 43SR PABCABC2 7AB 6BC 7 sin 4 ACB34 3PAPCPABC 64 3 72 256 3 288 7 sin 4 ACBABC 3 cos 4 ACB 222 2cosABACBCAC BCACB8AC ABC90ABC 222 PAPCAC90APC ACOOABCP4 3 4256 33 VR Oxyz( 1,1,2)M xOyxOzyOzA BCMABC 45
5、67 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 【答案】C 【解析】如下图所示， 由题意知，、，且、两两垂直， 由于，平面， 直线的外接圆直径为， 所以，三棱锥的外接球直径为， 因此，三棱锥的外接球的表面积为 4在三棱锥中，则此 三棱锥外接球的半径为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为， 则，所以，所以该三棱锥外接球的半径为 5正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积 等于（ ） A B C D ( 1,1,0)A ( 1,0,2)B (0,1,2)CMA
6、MBMC MBMCMMA MBC MBC 222 |( 1 0)(0 1)(22)2BC MABC 2222 2|2( 2)6RMABC MABC 22 4 (2 )6RR ABCD5ABCD3 17ACBD4 10ADBC 3 17 2 2 10 13 2 13 , ,x y z 22 22 22 25 153 160 xy xz yz 222 169xyz 13 2 42 27 4 169 81 4 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 【答案】D 【解析】不妨设球的半径为，由题意得球心必在正四棱锥的高上，设为点， 如图所示，棱锥的侧
7、棱，过点作垂直于， 则为的中点，所以， 由，为正四棱锥的中心，因此， 即，解得， 所以所求球的表面积为 6已知三棱锥中，两两垂直，且长度相等若点， 都在半径为 的球面上，则球心到平面的距离为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】三棱锥中，两两垂直，且长度相等， 此三棱锥的外接球即以，为三边的正方体的外接球 球的半径为 ，正方体的边长为，即， RO 3 2VAOOEE EVA 3 2 2 VE VEOVOA O VOOE VAOA 22 3 2 () 2 3 22 R R 2 81 16 R 2 81 4 4 SR PABCPAPBPCPAB C1ABC 3 6 1 2 1 3 3 2 P
8、ABCPAPBPC PAPBPCO O1 2 3 3 2 3 3 PAPBPC 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 球心到截面的距离即正方体中心到截面的距离 设到截面的距离为， 则正三棱锥的体积， 为边长为的正三角形， 球心（即正方体中心）到截面的距离为 二、填空题 7已知一平面截球所得截面圆的半径为 ，且球心到截面圆所在平面的距离为，则球 的表面积为_ 【答案】 【解析】作出对应的截面图，截面圆的半径为 ， 球心到截面圆所在平面的距离为， 设球的半径为，在直角三角形中，即， 该球的表面积为 8在三棱柱中，侧棱底面，若该三棱柱的 所有顶
9、点都在同一个球的表面上，且球的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积 为_ 【答案】 【解析】如图，设，球的半径为， ABCABC PABCh PABC 3 11112 3 () 33323 ABCPAB VShSPC ABC 2 6 3 2 3 3 ABC S 2 3 h OABC 1 3 O12 20 11BC O22OC ROCB 222 5OBOCBC 2 5R 2 420R 111 ABCABC ABBCAC 1 AA ABC OO4 3 3 ABBCACa 1 AAb OR 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 球心在底面的射影
10、为，则为的外心，所以 又，所以 由球表面积的最小值为，可得的最小值为 ， 则，解得， 当且仅当，即，时取等号 因此三棱柱的侧面积为 三、解答题 9如图所示，正四棱锥底面的四个顶点，在球的同一个大圆 上，点在球面上，且已知 （1）求球的表面积； （2）设为中点，求异面直线与所成角的余弦值 【答案】（1）；（2） OABC O O ABC 233 323 aa AO 1 1 22 b OOAA 22 222 3 ()( ) 3234 abab R O4R1 2222 2 221 34342 3 ababab R 3ab 23 ab 6 2 a 2b 111 ABCABC 33 3ab PABCDA
11、BCDO P 16 3 PABCD V - = O MBCAMPC 16 3 5 10 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 【解析】如图，正四棱锥底面的四个顶点，在球的同一个大 圆上，点在球面上，底面， 所以， 球的表面积是 （2）以，为，轴建立空间直角坐标系， 则， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为 10如图四棱锥的底面是平行四边形，底面， ，分别是棱，的中点 （1）求异面直线与所成角的正切值； （2）求三棱锥外接球的体积 PABCDABCDO PPOABCDPOR 2 2 ABCD SR 16 3 PABCD V - =
12、2 116 2 33 RR2R O 2 416SR OAOBOP x y z (0,0,2)P(2,0,0)A(0,2,0)B( 2,0,0)C ( 1,1,0)M ( 3,1,0)AM ( 2,0, 2)PC 63 5 cos, 1010 8 AM PC AMPC 3 5 10 PABCDABCDPB ABCD 2BABD 2AD 3PB EFADPC EFAB PBAD 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，且， 又为的中点，所以，且， 所以即为异面直线与所成
13、角或补角， 因为面，所以面，可得， 所以 （2）在中，所以可得， 所以过，四点的球即以，为三条邻边的长方体的外接球， 设球的半径为，则，即， 所以三棱锥外接球的体积 资料更新 一、 原创 2021 届高三复习专练 全套资料： 1 函数的图像与性质 2 函数零点 3 含导数的抽象函数的构造. 4 恒成立问题. 5 导数的应用 6 三角函数 7 解三角形 8 平面向量 9 线性规划 10 等差数列与等比数列. 11 数列求通项公式 12 数列求和 13 三视图与体积 14 与球有关的组合体 15 平行垂直关系的证明 16 利用空间向量求角 6 4 7 7 6 BCMFMME FPCFMPB 13 22 FMPB EADMEAB2EMAB FEMEFAB PB ACFM ACFMEM 3 6 2 tan 42 FM FEM ME ABD 222 4ABBDADABBD PABDBPBDBA R 222 27RBPBDBA 7 2 R PBAD 3 47 7 36 VR 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 17 圆锥曲线的几何性质 18 离心率. 19 圆锥曲线综合 20 几何概型 二、江苏 21 届上学期期中考试 13 市数学试题及解析文件包 见：高考内部特供精优资料群 Word 版 1163173836
