1、高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 20 几何几何概型概型 例 1：在内任取一个实数，设，则函数的图象与轴 有公共点的概率等于（ ） A B C D 【答案】D 【解析】的图象与轴有公共点， ，或， 在内取一个实数， 函数的图象与轴有公共点的概率， 故选 D （1）图形类几何概型 例 2-1：如图，六边形 ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在 图中阴影部分的概率是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】设正六边形的中心为点 O，BD 与 AC 交于点 G，BC1， 则 BGCG，BGC120 ， 6,9
2、m 2 ( )f xxmxm ( )f xx 2 15 7 15 3 5 11 15 2 ( )f xxmxm x 2 40mm4m0m 6,9m ( )f xx 4( 6)9011 9( 6)15 P 1 4 1 3 2 3 3 4 1、长度类几何概型 2、面积类几何概型 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 在BCG 中，由余弦定理得，得， 所以， 因为， 所以该点恰好在图中阴影部分的概率 （2）线性规划类几何概型 例 2-2：某校早读从点分开始，若张认和钱真两位同学均在早晨点至点分之间 到校，且二人在该时段的任何时刻都到校都是等可能
3、的，则张认比钱真至少早到分钟的 概率为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】如图所示，设张认和钱真两位同学到校的时间分别为，时，且， 时， 则张认比钱真至少早到10分钟的概率，故选 D 222 12cos120BGBGBG 3 3 BG 113333 sin120 2233212 BCG SBGBG 13 3 61 1 sin606 22 ABCDEBOCF SS 六边形 62 1 3 BCG ABCDEF S P S 六边形 7307730 10 1 12 1 9 1 6 2 9 x y x7,7.5y 1 6 yx 43 (7,) 6 A 43 15 (,) 72 B 111 2 2
4、33 11 9 22 P 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 （3）利用积分求面积 例2-3： 如图， 在正方形内任取一点， 则点恰好取自阴影部分内的概率为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为， 由定积分的定义可得：， 设“点 M 恰好取自阴影部分内”为事件 A， 由几何概型中的面积型可得，故选 B 例 3：已知在四棱锥中，底面，底面是正方形， ，现在该四棱锥内部或表面任取一点，则四棱锥的体积不小于 的概率为_ 【答案】 【解析】当四棱锥的体积为时， OABCMM 1 4 1 3 2
5、5 3 7 (1,1) 13 1 2 0 0 21 (1)d()| 33 Sxxxx 阴 1 1 3 ( ) 13 S P A S 阴 正方形 PABCDPA ABCDABCD 2PAABOOABCD 2 3 27 64 OABCD 2 3 3、体积类几何概型 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 设到平面的距离为，则，解得 如图所示，在四棱锥内作平面平行于底面，且平面与 底面的距离为 因为底面，且，所以， 又四棱锥与四棱锥相似， 所以四棱锥的体积不小于的概率 一、选择题 1如图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，
6、数得落在椭圆外的黄豆数为 96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ） A1632 B1532 C868 D768 【答案】A 【解析】设椭圆的面积为，则，故 OABCDh 2 12 2 33 h 1 2 h PABCDEFGHABCDEFGH ABCD 1 2 PA ABCD2PA 3 4 PH PA PABCDPEFGH OABCD 2 3 33 327 ()( ) 464 P EFGH P ABCD VPH P VPA S 30096 4 6300 S 16.32S 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 2 若 实 数，
7、则的 值 使 得 过 点可 以 作 两 条 直 线 与 圆 相切的概率等于（ ） A B C D 【答案】D 【解析】由点 A 在圆外可得，由题中方程表示圆可得或， 所以，故所求概率为，故选 D 3最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在 2019 年元旦期间举行特大优惠活动，凡 消费达到 88 元以上者，可获得一次抽奖机会已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为 6 个 扇形块，分别记为 1，2，3，4，5，6，其面积成公比为 3 的等比数列（即扇形块 2 是扇形 块 1 面积的 3 倍） ，指针箭头指在最小的 1 区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等 奖的概率是（ ） A B C D
8、【答案】C 【解析】由题意，可设扇形区域的面积分别为， 则由几何概型得， 消费元以上者抽中一等奖的概率，故选 C 4在正三棱锥内任取一点P，使得的概率是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】如图，分别取D，E，F为SA，SB，SC的中点， 则满足条件的点P应在棱台内， 而， ， ，故选 A 3,3k k(1,1)A 22 5 20 4 xykxyk 1 2 1 3 1 4 1 6 0k 1k 4k 10k 1 6 1 40 1 121 1 364 1 1093 1,2,3,4,5,6,3 ,9 ,27 ,81 ,243xxxxxx 88 1 392781243364 x P xxxxxx
9、 SABC 1 2 P ABCSABC VV 7 8 3 4 1 2 1 4 DEFABC 1 4 DEFABC SS 1 8 S DEFSABC VV 7 8 DEFABC SABC V P V 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 5设函数，在区间上随机取一个数，则的概率为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】由，得，即， 根据几何概型的概率公式可得从区间内随机选取一个实数， 的概率为，故选 D 6在区间上随意选择两个实数，则使成立的概率为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得成
10、立的平面区域为 以坐标原点为圆心，1 为半径的圆的与轴正半轴，轴正半轴围成的区域， 由几何概型的概率计算公式得，所求概率，故选 B 2 ( )logf xx(0,5)x( )2f x 1 5 2 5 3 5 4 5 2f x 2 log2x 04x 0,5x 2f x 404 505 0,1, x y 22 1xy 2 4 3 5 22 1xy O 1 4 xy 4 = 14 P 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 7如图，在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】由题意，阴影部分的面积
11、为， 又矩形的面积为， 所以在矩形内随机撒一颗黄豆， 则它落在空白部分的概率为，故选 B 8在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】因为，所以，即， 所以所求概率，故选 D 9已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点 落在这个正八面体内部的概率为（ ） A B C D OABC 3 e4 3 e3 3 e1 3 e 1 0 1 = 0 d1 xx Sexee 阴影 OABC 3 OABC S 矩形 OABC 4 = 3 OABC OABC SSe P S 阴影矩形 矩形 0,1x 0.5 log(43)0 x
12、3 4 2 3 1 3 1 4 0.5 log(43)0 x043 1x 3 1 4 x 3 1 1 4 1 04 P 1 2 1 3 1 6 1 12 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 【答案】C 【解析】设正方体的棱长是 1，构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成， 以上面一个正四棱锥为例，它的高等于正方体棱长的一半， 正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是， 这个正四棱锥的体积是；构成的八面体的体积是， 八面体的体积是，正方体体积是， 故从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为，故选 C 10 若即时起 10
13、分钟内， 305 路公交车和 202 路公交车由南往北等可能进入二里半公交站， 则这两路公交车进站时间的间隔不超过 2 分钟的概率为（ ） A018 B032 C036 D064 【答案】C 【解析】设 305 路车和 202 路车的进站时间分别为、， 设所有基本事件为，“进站时间的间隔不超过 2 分钟”为事件， 则， 画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则， 则，故选 C 11如图所示，在边长为 1 的正方形内任取一点，则以为边长能构成 锐角三角形的概率为（ ） 1 2 2 2 12211 322212 11 2 126 1 V 2 V 12 :1:6V V 1 6 x y 010 : 01
14、0 x y A ( , )|010,010,| 2Ax yxyxy 10 10 8 836S 36 ( )0.36 100 A S P A S OABC,()P x y, ,1x y 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 A B C D 【答案】A 【解析】连接AC，首先由得构成三角形的点P在内， 若构成锐角三角形，则最大边 1 所对的角必是锐角， ，即点P在以原点为圆心，1 为半径的圆外 点P在边AB，BC及圆弧AC围成的区域内，所求概率为， 故选 A 12阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱 锥
15、体，在阳马中，为阳马中最长的棱， ， 若在阳马的外接球内部随机取一点， 则该点位阳马内的概率为 （ ） A B C D 【答案】C 【解析】根据题意，的长等于其外接球的直径， 因为， 又平面，所以， 1 4 1 6 1 3 12 1xyABC 22 12 cos0 2 xy xy 22 1xy 1212 4 1 124 PABCDPCPABCD1AB 2AD 3PC PABCD 1 27 4 27 8 27 4 9 PC 222 PCPAABAD 2 314PA 2PA PA ABCD 14 1 2 2 33 P ABCD V 3 43 32 V 球 3 4 8 3 27 43 32 P 高考
16、内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 二、填空题 13在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二 象限的概率为_ 【答案】 【解析】画出不等式组，表示的平面区域(如图中阴影部分所示)， 因为， 所以点P恰好落在第二象限的概率为 14 有一个底面半径为1， 高为3的圆柱， 点分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心， 在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点的距离都大于1的概率为_ 【答案】 【解析】由题意知，所求的概率为 15勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构 运动学家勒洛首先发现，其作法
17、是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两 个顶点间作一段弧， 三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形 现在勒洛三角形中随机取一 点，则此点取自正三角形内的概率为 10 20 0 xy xy y 2 9 10 20 0 xy xy y 139 3 224 ABC S 11 1 1 22 AOD S 1 2 2 9 9 4 AOD ABC S S 12 ,O O 12 ,O O 5 9 5 1 (13)( 12 3) 39 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 【答案】 【解析】如图：设，以为圆心的扇形面积是， 的面积是， 所以勒洛
18、三角形的面积为 3 个扇形面积减去 2 个正三角形面积， 即， 所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是 16如图，矩形满足，为的中点，其中曲线为过三点的 抛物线随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为 【答案】 【解析】以所在的直线为轴，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 3 2(3) 2BC B 2 22 63 ABC 13 2 23 22 2 32 322 3 3 33 22 32(3) ABCD 2BCABEBC,A D E 1 6 BC x E 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 不妨设， 则， 过三点
19、抛物线方程为， 阴影部分面积为， 又矩形得面积为， 故点落在阴影部分的概率为 资料更新 一、 原创 2021 届高三复习专练 全套资料： 1 函数的图像与性质 2 函数零点 3 含导数的抽象函数的构造. 4 恒成立问题. 5 导数的应用 6 三角函数 7 解三角形 8 平面向量 9 线性规划 10 等差数列与等比数列. 11 数列求通项公式 12 数列求和 13 三视图与体积 14 与球有关的组合体 15 平行垂直关系的证明 16 利用空间向量求角 17 圆锥曲线的几何性质 18 离心率. 19 圆锥曲线综合 20 几何概型 二、江苏 21 届上学期期中考试 13 市数学试题及解析文件包 见：高考内部特供精优资料群 Word 版 1163173836 1AB 2BC 1,0B 1,0C1,1A 1,1D ,A D E 2 yx 1 23 1 1 1 d 111 2 11 233 Sxxx ABCD 1 22 ABCD S 1 1 3 26 ABCD S P S =
