1、高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 16 利用空间向量求角利用空间向量求角 例1： 如图1四边形与四边形分别为正方形和等腰梯形， ，沿边将四边形折起，使得平面平面，如 图 2，动点在线段上，分别是，的中点，设异面直线与所成 的角为，则的最大值为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】如图以为坐标原点建立空间直角坐标系， 由题意可得， ，动点在线段上，则可设， ， ， 令，则， 则， 当时，取最大值 ABCDADEFADEF 2AF 4AD 2EF ADADEFADEF ABCD MEF ,N G ABBCMNAG cos 30 10
2、 10 5 10 10 5 5 A 0,0,0A4,2,0G2,0,0N0,1,1F ADEFMEF0, ,1My1,3y 4,2,0AG uuu r 2, ,1NMy uuur 22 82|4 cos|cos,| | 2 5555 yAG NMy AG NM AGNM yy 4ty1,3t4yt 2 2 2 2 551 cos 11 55 54 554 21( )81 tt t t tt 3t cos 30 10 1、利用空间向量求异面直线所成角 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 例 2：在正方体中，为线段的中点，点在线段上，则直线
3、 与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】设正方体的边长为，以、分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 1111 ABCDABC DOACE 11 AC OE 11 ABC 33 , 43 23 , 33 1 1 , 4 3 1 3 1 , 2 2DADC 1 DD , ,x y z 1,1,0O 1 2,0,2A2,2,0B 1 0,2,2C 1 0,2, 2AB uuu r 1 2,0,2BC uuu r 2、利用空间向量求直线与平面所成角 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 设，则，
4、设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为，则， 当时，取最大值为； 当或时，取最小值为， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 例 3：如图所示，菱形与正三角形的边长均为，它们所在的平面互相垂直， 平面且 （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 【解析】 （1）过点作，连接， ,2,2E aa02a1,1,2OEaa uuu r 11 ABC, ,x y zn 1 1 0 0 AB BC n n 0 0 yz xz 1z 1x 1y 1,1,1n OE 11 ABC 2 |2 sin | 3214 OE OE a
5、n n 1a sin 3 3 0a2asin 2 3 OE 11 ABC 23 , 33 ABCDBCE2 DF ABCD3DF EFABCD ABCBCEABFE 7 8 EEHBCHD3EH 3、利用空间向量求二面角 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 因为，所以， 故平行四边形，所以， 由平面，平面， 所以平面 （2）连接，根据题意，如图： 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， ，得； 设平面的法向量为， 由，得， 由， 所以二面角的余弦值为 ABCD B
6、CEEH BCE ABCDBCEBC EH ABCD FDABCD3FD FDEHFDEH EHDFEFHD EF ABCDHD ABCD EFABCD HAAHBC HHBHAHE , ,x y z (0, 3,0)A (1,0,0)B (0,0, 3)E( 2, 3, 3)F ( 1, 3,0)BA uur ( 1,0, 3)BE uur ( 3, 3, 3)BF uuu r BAF ( , , )x y zm 3330 30 BFxyz BAxy m m ( 3,1,2)m BEF ( , , )a b cn 30 3330 BEac BFabc n n ( 3,2,1)n 3227 c
7、os, 88 m n AFBE 7 8 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 一、选择题 1正方体中，动点在线段上，分别为，的中 点若异面直线与所成的角为，则的取值范围为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直 角坐标系，如图： 设，易得， 设， 设， 即 当时，取到最大值；当时，取到最小值， 所以的取值范围为 2 如图， 在四棱柱中， 底面为正方形， 侧棱底面， 1111 ABCDABC D M 1 ACEF 1 DDAD EFBM , 6 3 , 4 3 , 6 2 , 4 2 DDA
8、DC 1 DDx y z 2DA 1,0, 1EF uu r 1 2 , 2 ,201CMCA22, 2 ,2BM cos|cos,|EBMF u u uuu rur 22 2 2 211 cos01 12 2 321 2228 2 3() 33 1 3 cos 3 2 1cos 1 2 , 6 3 1111 ABCDABC DABCD 1 AA ABCD 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 ，是侧面内的动点，且，记与平面所 成的角为，则的最大值为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，
9、则， ， ， ， ， 的最大值为 3 在三棱锥中， 平面平面， 3AB 1 4AA P 11 BCC B 1 APBD AP 11 BCC B tan 4 3 5 3 2 25 9 1 ,DA DC DD , ,x y z ( ,3, )P xz (3,3, )APxz 1 ( 3, 3,4)BD 1 APBD 1 0AP BD 3(3)3 340 xz 3 4 zx 2 222 252548819 |(3)69 161625255 BPxzxxx |5 tan |3 AB BP tan 5 3 PABCPAC ABC90PACABCPABC 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173
10、836 高中数学探究群 562298495 ，是的中点设，若，则二面角的余弦值 的范围为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面， 在平面作直线垂直直线， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， 在， 易求边上的高为，线段在上的投影长为， 所以， ， PBACEAB AC BC 2,3BPCE 310 , 34 37 , 34 710 , 44 510 , 34 PAC ABCPACIABCAC PAACAP PAC PA BACPA AC BACAC A Axyz =1PABCPBAC ABCRt 222 =1ABACBC AC
11、 2 1 BCAC 1 2 1 1 (,0)B 0,0,1P0,0C 22 1 1 (,0) 22 E 0, ,1CP uur2 1 1 (, 1)PB uur 22 1 1 (, 1) 22 PE uur 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则平面的一个法向量为， ， 设二面角为， ， 显然是关于的减函数， 时，； 时， 二、解答题 4如图，在三棱锥中，已知、都是边长为的等边三角形， BPC , ,x y zm 0 0 CP PB m
12、m 22 0 11 0 yz xyz 1y BPC 2 1 (,1,) 1 m EPC , ,i j kn 0 0 CP PE n n 22 0 11 0 22 jk ijk 1j BPC 2 2 1 (,1,) 1 n 42 2 1 m n 2 2 | 1 m 2 2 22 | 1 n BPCE ,(0,) 2 2 21 cos|1 |2 m n m n 2,3 2 21 cos|1 |2 m n m n 2 2 max 2110 cos1 224 3 2 min 215 cos1 233 ABCDABDBCD2E 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 5
13、62298495 为中点，且平面，为线段上一动点，记 （1）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （2）当二面角的余弦值时，求的值 【答案】 （1）； （2） 【解析】连接，为的中点，是等边三角形，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系 则， 因为为线段上一动点，且，其中， 则 （1）当时， BDAEBCDFAB BF BA 2 3 DFBC A CDF 7 65 65 7 7 1 2 CEEBDBCDVCEBD EEBECEA xyz Exyz 0 03A, , 1,0,0B0, 3,0C1,0,0D FAB BF BA 01 1,0, 3,0, 3BFBA uuu ru
14、ur 2 3 22 3 (,0,) 33 BF uuu r 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 ， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值是 （2）设平面的一个法向量为， 由，即，令，可得，则， 设平面的一个法向量为， ， 由，得， 令，则， 则， 设二面角的平面角为， 则， 整理得， ，解得 5如图，在三棱锥中，平面平面， ，若为的中点 22 342 3 2,0,0(,0,)( ,0,) 3333 DFDBBF uuu ruuu ruuu r 1, 3,0BC 4 7 3 cos, 72 7 | | 2 3 DF BC DF BC DFB
15、C uuu r uuu r uuu r uuu r uuu ruuu r DFBC 7 7 ACD , ,x y zn 1,0, 3DA uuu r 1, 3,0DC 0 0 DA DC n n 30 30 xz xy 3x 1yz 3, 1, 1 n CDF , ,a b cm 2,0, 30,02,0, 3DFDBBF uuu ruuu ruuu r 0 0 DC DF m m 30 230 ab ac 3ab2c 3 ,2 m A CDF 22 2 327 65 coscos, 65 325 m n m n mn 2 82290 01 1 2 SABCSBC ABC 2SBSCABAC
16、2BC OBC 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 （1）证明：平面； （2）求异面直线和所成角； （3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的 长 【答案】 （1）证明见解析； （2）； （3） 【解析】 （1）， 平面平面，平面平面，平面， 平面 （2）， 如图，分别以，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系， ， ， ， 异面直线和所成角为 SOABC ABSC SOMAMSAB 30 15 OM 3 1 3 SBSCBOOCSOBC SBC ABCSBCIABCBCSOSBC SOABC 2SBSCABAC 2BC
17、 BSCSBACA OBOAOC xyz 0,1,0A1,0,0B0,0,1S1,0,0C 1, 1,0AB uuu r 1,0, 1SC uur |11 |cos,| 222 | | AB SC AB SC ABSC uu u r uur uu u r uur uu u ruur ABSC 3 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 （3）设为平面的法向量， ，即， 设， 设与平面所成角为， ， ， ，（舍） ， 的长为 6如图所示， 在四棱锥中，底面是菱形，与交 于点，底面，为的中点， （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦
18、值； （3）求与平面所成角的正弦值 , ,a b cmSBA 1, 1,0AB uuu r 1,0, 1SB uu r 0 0 ab ac 1,1,1m 0,0,Mt0,1t0, 1,AMt uuur AMSAB | sin|cos,| | | AM AM AM uuur uuur uuur m m m 2 130 15 31 t t 22 661521ttt 2 31030tt 3 310tt3t 1 3 t OM 1 3 EABCDABCD60ADCACBD OEC ABCDFBEABCE DEACF EOAF AFEBD 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学
19、探究群 562298495 【答案】 （1）证明见解析； （2）； （3） 【解析】 （1）如图，连接， 因为底面是菱形，与交于点，可得点为的中点， 又为的中点，所以为的中位线，可得， 又，不在平面内，可得平面 （2）如图连接点与中点位轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设菱形的边长为，可得， 可得， 可得， 设异面直线与所成角为，可得 （3）可得， 可得， 设平面的一个法向量为，可得， 7 5 20 5 5 OF ABCDACBDOOBD FBEOFBDEOFDE OFACFDEACFDEACF CAD x CB y CE z ABCD22CE ()0,0,2E 3 1 (,0) 22 O(
20、 3,1,0)A 0,1,1F 3 1 (, 2) 22 EO uuu r 3,0,1AF EOAFcos =| | EO A O F EAF uuu r uuu uuu ruuu r r 222 222 317 3021 7 5 222 =| | 202 5 31 ()( )2(3)01 22 ( 3, 1,0)D0,2,0B0,0,2E 0(3,3,0)DBn(0,2,2)BE uur EBD n 0DBn0BEn 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 可得的值可为， 由， 可得与平面所成角的正弦值为 7如图，一个正三角形和一个平行四
21、边形在同一个平面内，其中， ，的中点分别为，现沿直线将翻折成 ，使二面角为，设的中点为 （1）求证：平面平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值 【答案】 （1）证明见解析； （2）； （3） 【解析】 （1）证明：因为四边形为平行四边形，、分别为、的中点， 所以四边形为平行四边形，所以 又、分别为、的中点，所以 因为、平面，、平面， 所以平面，平面， 因为、平面，所以平面平面 （2）因为三角形为正三角形，为的中点， 所以，所以为二面角的平面角， 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面 作平面于，则在直线上 又二面角的平面角为，所以在线段的延长线上 n (3
22、, 1,1) (3,0, 1)AF uuu r AFEBD 25 55 4 | AF AF n n uuu r uuu r ABC ABDE8AB 43BDAD ,AB DE FGABABC ABCCABD120CEH CDFAGH ABCE CDEDEF 111 8 5 37 37 ABDEFGABDE FDGAFDAG HGCEDEHGCD FDCDAGHAGHGAGH FDAGHCDAGH FDCD CDFFDCDDCDFAGH ABCBDADFAB ABCFABDFCFDCABD CFDFFAB CFD ABABDECFDABDE COABDEOODF CABD120CFDODF 高考
23、内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 易知，则， 以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过点平行于的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为 ， 从而其正切值为 （3）由（2）知， 设平面的法向量为，则由， 得，令，得 易知平面的一个法向量， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 8如图（1） ，梯形中，过分别作，垂足 分别， 已知， 将梯形沿同侧折起， 得空间几何体，如图（2） 4 3CF 2 3FO 6CO FFDFA x y FOC z (0,4,0)A(0, 4,0)B(3 3,0,0)D(3 3,8
24、,0)E( 2 3,0,6)C (0, 8,0)AB (5 3,8, 6)CE ABCE |648 7 |cos,| 358 5 7 | | AB CE AB CE ABCE uu u r uur uu u r uur uu u ruur 2 8 7 1() 111 35 88 7 35 (5 3,0, 6)CD (0,8,0)DE CDE 1 ( , , )x y zn 1 CDn 1 DEn 5 360 80 xz y 5 3z 1 (6,0,5 3)n DEF 2 (0,0,1)n CDEDEF 12 12 12 |5 | 37 |cos,| |3|7 n n n n nn ABCDAB
25、CD ,A B AECDBFCD EF，2ABAE5CD 1DE ABCD ,AE BF ADE BCF 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 （1）若，证明：平面； （2）若，线段上存在一点，满足与平面所成角的 正弦值为，求的长 【答案】 （1）证明见解析； （2） 【解析】 （1）由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为 2，在图 2 中， 由已知得，平面， 又平面， 又，平面 （2）在图 2 中，即平面， 在梯形中，过点作交于点，连接， 由题意得， 由勾股定理可得，则， 过作交于点，可知，两两垂直， 以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴
26、的正方向建立空间直角坐标系， AFBDDE ABFE DECF3CD ABPCPACD 5 20 AP 2 3 AFBE AFBDBEBDBAFBDE DE BDEAFDE AEDEAEAFADEABFE AEDEAEEFDEEFEAE DEFC DEFCDDMEFCFMCE 2DM 1CM DCCF 6 CDM2CE EEGEFDCGGEEAEF E,EA EF EG uur uuu r uuu r x y z 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 则， ， 设平面的一个法向量为， 由，得，取，得， 设，则，得， 设与平面所成的角为，
27、，所以 9 在三棱柱中， 侧面底面， 且侧面 为菱形 （1）证明：平面； （2）若，直线与底面所成角的正弦值为，求三棱 (2,0,0)A(2,2,0)B (0,1, 3)C 13 (0,) 22 D ( 2,1, 3)AC 13 ( 2,) 22 AD ACD, ,x y zn 0 0 AC AD n n 230 13 20 22 xyz xyz 1x 1, 1, 3n APm (2,0)Pm02m 2,1,3CPm uur CPACD 2 52 sin|cos,| 203 5 7(1) m CPm m n 2 3 AP 111 ABCABC 11 ABB A ABC90ABC 11 ABB
28、A 1 AB 11 ABC 1 60A AB2AB 1 ACABC 5 5 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 锥的体积 【答案】 （1）证明见解析； （2）1 【解析】 （1）证明：连接，因为四边形是菱形，则， 因为平面平面，且为交线， 平面， ， 又，平面 （2）取的中点，连接，则平面， 且，以为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 因为四边形为平行四边形，则， 平面的一个法向量为， ，解得， 1 CABA 1 AB 11 ABB A 11 ABAB 11 ABB A ABCABBCAB BC 11 ABB
29、 A 1 BCAB 11 BCBC 111 ABBC 1111 ABC BB 1 AB 11 ABC 11 AB MBM ABC ABBCBA x BC y BM z BCt2,0,0A 1 1,0, 3A0, ,0Ct 1 ( 1,0, 3)AA ( 2, ,0)ACt 11 A ACC 11111 3, , 3ACAAACAAACt ABC0,0,1n 1 1 2 1 |35 cos | |5 , 12 | AC AC AC t n n 3t 11 111 2331 332 C ABAABA VSBC - =?创创= 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群
30、 562298495 资料更新 一、 原创 2021 届高三复习专练 全套资料： 1 函数的图像与性质 2 函数零点 3 含导数的抽象函数的构造. 4 恒成立问题. 5 导数的应用 6 三角函数 7 解三角形 8 平面向量 9 线性规划 10 等差数列与等比数列. 11 数列求通项公式 12 数列求和 13 三视图与体积 14 与球有关的组合体 15 平行垂直关系的证明 16 利用空间向量求角 17 圆锥曲线的几何性质 18 离心率. 19 圆锥曲线综合 20 几何概型 二、江苏 21 届上学期期中考试 13 市数学试题及解析文件包 见：高考内部特供精优资料群 Word 版 1163173836
