1、 江苏省盐城市 2021 届高三第一学期期中考试 数学试卷 202011 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1命题“x(0，1)，x2x0”的否定是 Ax(0，1)，x2x0 Bx(0，1)，x2x0 Cx (0，1)，x2x0 Dx(0，1)，x2x0 2已知集合 Aln(1)x yx，集合 B 1 ( ) , 2 2 x y yx ，则 AB A B1，4) C(1，4) D(4，) 3已知向量a，b满足ab，且a，b的夹角为 3 ，则b与ab的夹角为 A 3 B 2
2、C 3 4 D 2 3 4在九章算术中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大 鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分 别打洞穿墙, 大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天 减半，若垣厚 33 尺，则两鼠几日可相逢 A5 B6 C7 D8 5函数( ) sin x f x xx (x，)的图像大致是 6要测定古物的年代，可以用发射性碳法：在动植物的体内都含有微量的发射性 14C，动 植物死亡后，停止新陈代谢， 14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变经科学测定，14C 的半衰期为 5730 年（设 14C
3、的原始量为 1，经过 x 年后，14C 的含量 ( ) x f xa即 1 (5730) 2 f） ， 现有一古物， 测得其 14C 的原始量的 79.37%， 则该古物距今约多少年？ （参考数据：3 1 0.7937 2 ，5730 1 0.9998 2 ） A1910 B3581 C9168 D17190 7已知数列 n a满足 1 1a ， 2 4a ， 3 10a ，且 1nn aa 是等比数列，则 8 i i 1 a A376 B382 C749 D766 8设 x，y(0，)，若 sin(sinx)cos(cosy)，则 cos(sinx)与 sin(cosy)的大小关系为 A B
4、 C D以上均不对 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9设函数( )5 x f x ， 2 ( )g xaxx(aR)，若 (1)f g5，则 a A1 B2 C3 D0 10函数 2 1 ( )(2)2ln 2 f xaxaxx单调递增的必要不充分条件有 Aa2 Ba2 Ca1 Da2 11在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2b2bc，则角 A 可为 A 3 4 B 4 C 7 12 D 2 3 12 设数列 n x， 若存在常数 a
5、， 对任意正数 r， 总存在正整数 N， 当 nN， 有 n xar， 则数列 n x为收敛数列下列关于收敛数列正确的有 A等差数列不可能是收敛数列 B若等比数列 n x是收敛数列，则公比 q(1，1 C若数列 n x满足sin()cos() 22 n xnn ，则 n x是收敛数列 D设公差不为 0 的等差数列 n x的前 n 项和为 n S( n S0)，则数列 1 n S 一定是收敛数列 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13若 2 sin() 43 ，则sin2 14在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c
6、，AD 为边 BC 上的中线，若 b4c 4 且 2 AB ADAB，则 cosA ；中线 AD 的长为 15若 n a是单调递增的等差数列，且4 n an aa，则数列 n a的前 10 项和为 16若函数 2 1 ( )ln 2 f xxbxax在(1，2)上存在两个极值点，则 b(3ab9)的取值范 围 是 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 设函数( )cos2sinf xxmx，x(0，) （1）若函数( )f x在 x 2 处的切线方程为 y1，求 m 的值； （2）若x
7、 (0，)，( )f x0 恒成立，求 m 的取值范围 18 （本小题满分 12 分） 设( )sin()f xx，其中为正整数， 2 ，当0 时，函数( )f x在 5 ， 5 单调递增且在 3 ， 3 不单调 （1）求正整数的值； （2）在函数( )f x向右平移 12 个单位得到奇函数；函数( )f x在0， 3 上的最小 值为 1 2 ；函数( )f x的一条对称轴为 x 12 这三个条件中任选一个补充在下面的问题 中，并完成解答 已知函数( )f x满足 ，在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 若 ab，(A)(B)ff 试问： 这样的锐角ABC 是否存在，
8、若存在， 求角 C； 若不存在， 请说明理由 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19 （本小题满分 12 分） 设函数( )()exf xax （1）求函数的单调区间； （2）若对于任意的 x0，)，不等式( )f xx2 恒成立，求 a 的取值范围 20 （本小题满分 12 分） 在ABC 中，D 为边 BC 上一点，DC2，BAD 6 （1）若 23 ADABAC 55 ，且角 B 6 ，求 AC 的长； （2）若 BD3，且角 C 3 ，求角 B 的大小 21 （本小题满分 12 分） 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 33 2Sa， 44 24Sa （1）
9、求数列 n a的通项公式； （2）令 2 2 n n n n a b S ，设数列 n b的前 n 项和为 n T，求证： n T2 22 （本小题满分 12 分） 设函数( )esin1 x f xax （1）当x( 2 ， 2 )时，( )0fx，求实数 a 的取值范围； （2）求证：存在正实数 a，使得( )0 xf x 总成立 江苏省盐城市 2021 届高三第一学期期中考试 数学试卷 202011 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1命题“x(0，1)，x2x0”的
10、否定是 Ax(0，1)，x2x0 Bx(0，1)，x2x0 Cx (0，1)，x2x0 Dx(0，1)，x2x0 答案：B 解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变为存在量词，其次否定结论，故选 B 2已知集合 Aln(1)x yx，集合 B 1 ( ) , 2 2 x y yx ，则 AB A B1，4) C(1，4) D(4，) 答案：C 解析：A(1，)，B(0，4)，故 AB(1，4) 3已知向量a，b满足ab，且a，b的夹角为 3 ，则b与ab的夹角为 A 3 B 2 C 3 4 D 2 3 答案：D 解析： 22 21 ()cos 32 baba bba bba ， 22 2 ()
11、2ababaa bba ， cos 2 2 1 ()1 2 2 a bab b ab a 故选 D 4在九章算术中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大 鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分 别打洞穿墙, 大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天 减半，若垣厚 33 尺，则两鼠几日可相逢 A5 B6 C7 D8 答案：B 解析： 1 2n n a ，21 n n S ， 1 1 ( ) 2 n n b ， 1 1 2( ) 2 n n T ， 1 1 2( )1 2 nn nnn PST ， 5 1 3333
12、 16 P ， 6 1 6533 32 P 5函数( ) sin x f x xx (x，)的图像大致是 答案：B 解析：()( ) sin()sin xx fxf x xxxx ， sin 1 sinsin xx xxxx ，x ， sin 11 sin x xx 6要测定古物的年代，可以用发射性碳法：在动植物的体内都含有微量的发射性 14C，动 植物死亡后，停止新陈代谢， 14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变经科学测定，14C 的半衰期为 5730 年（设 14C 的原始量为 1，经过 x 年后，14C 的含量 ( ) x f xa即 1 (5730) 2 f） ， 现有一古物，
13、测得其 14C 的原始量的 79.37%， 则该古物距今约多少年？ （参考数据：3 1 0.7937 2 ，5730 1 0.9998 2 ） A1910 B3581 C9168 D17190 答案：A 解析： 5730 1 2 a， 1 5730 3 ()0.7937a，0.79371910 x ax 7已知数列 n a满足 1 1a ， 2 4a ， 3 10a ，且 1nn aa 是等比数列，则 8 i i 1 a A376 B382 C749 D766 答案：C 解析： 3221 2()aaaa， 1 1 3 2n nn aa ， 1 3 22 n n a ， 3 232 n n Sn
14、 ， 8 749S 8设 x，y(0，)，若 sin(sinx)cos(cosy)，则 cos(sinx)与 sin(cosy)的大小关系为 A B C D以上均不对 答案：D 解析：由题意知 0sinx1，1cosy1，1rad57， 因为sin()cos 2 ，sin()cos 2 ， 所以sincos 2 xy 或sincos 2 xy ， cos(sin )cos(cos)sin(cos ) 2 xyy 或cos(sin )cos(cos )sin(cos ) 2 xyy ，故选 D 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中，
15、 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9设函数( )5 x f x ， 2 ( )g xaxx(aR)，若 (1)f g5，则 a A1 B2 C3 D0 答案：BD 解析： 1 (1)55112, 0 a f gaa 10函数 2 1 ( )(2)2ln 2 f xaxaxx单调递增的必要不充分条件有 Aa2 Ba2 Ca1 Da2 答案：AC 解析： 2(2)(1) ( )(2)2 axx fxaxaa xx 11在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2b2bc，则角 A 可为 A 3 4 B 4 C 7 12 D 2 3 答案：BC 解析
16、： 2222 112 2cosAcosAA 2223 c abbcbcbc b 12 设数列 n x， 若存在常数 a， 对任意正数 r， 总存在正整数 N， 当 nN， 有 n xar， 则数列 n x为收敛数列下列关于收敛数列正确的有 A等差数列不可能是收敛数列 B若等比数列 n x是收敛数列，则公比 q(1，1 C若数列 n x满足sin()cos() 22 n xnn ，则 n x是收敛数列 D设公差不为 0 的等差数列 n x的前 n 项和为 n S( n S0)，则数列 1 n S 一定是收敛数列 答案：BCD 解析：对于 A，令 n x1，则存在 a1，使0 n xar，故 A
17、错； 对于 B， 1 1 n n xxq ，若1q ，则对任意正数 r，当 n 1 1 log () 1 q r x 时， n x r1，所以此时不存在正整数 N 使得定义式成立； 若 q1，显然符合，若 q1 为摆动数列 1 1 ( 1)n n xx ，只有 1 x两个值，不会收 敛于一个值，所以舍去；q(1，1)时，取 a0，N 1 1 log () q r x 1，当 nN 时， 1 11 1 0 n n r xx qxr x ，故 B 正确； 对于 C， 1 sin()cos()sin()0 222 n xnnn ，符合； 对于 D， 1 (1) n xxnd， 2 1 () 22 n
18、 dd Snxn，当 d0 时， n S单调递增并且 可 以 取 到 比 1 r 更 大 的 正 数 ， 当 n 2 11 2 () 22 ddd xx r d N 时 ， 11 0 nn r SS ，d0 同 理，所以 D 正确 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13若 2 sin() 43 ，则sin2 答案： 1 9 解析： 2 1 sin2sin2()cos2()1 2sin () 42449 14在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AD 为边 BC 上的中线，若 b4c 4 且 2 AB ADAB，
19、则 cosA ；中线 AD 的长为 答案： 19 2 解析： 1 AD(ABAC) 2 ， 则 2221 AB ADABAB (ABAC)=ABAB AC=ABB 22 ， 2 AB ADAB，由投影可易知 DBAB，即B 2 ， b4，c1，则15a ， 1 cosA 4 ， 22 19 AD( ) 22 a c 15若 n a是单调递增的等差数列，且4 n an aa，则数列 n a的前 10 项和为 答案：220 解析：设(0) n aknb k，4()4() n an aak knbbknb，则 2 44 04 kkk bkbbb ，则4 n an，则 10 (440) 10 220
20、2 S 16若函数 2 1 ( )ln 2 f xxbxax在(1，2)上存在两个极值点，则 b(3ab9)的取值范 围 是 答案：(4， 81 16 ) 解析： 2 ( ) xaxb fx x ，则 2 ( )g xxaxb在(1，2)上有两个不同的零点 1 x， 2 x， 则 12 12 xxa x xb ， 则 2222 121212121122 39()3()9(3 )(3)babbx xx x xxx xxxxx， 1 x (1，2)， 2 11 3xx 9 4 ，2)，同理 2 22 3xx 9 4 ，2)，由于 12 xx， 22 1122 (3 )(3)xxxx(4， 81 1
21、6 ) 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 设函数( )cos2sinf xxmx，x(0，) （1）若函数( )f x在 x 2 处的切线方程为 y1，求 m 的值； （2）若x (0，)，( )f x0 恒成立，求 m 的取值范围 解： （1）由题意知：，得：m2； （2） 令，则 时，递增；时，递 减，故，因此 m1 18 （本小题满分 12 分） 设( )sin()f xx，其中为正整数， 2 ，当0 时，函数( )f x在 5 ， 5 单调递增且在 3 ， 3 不单调 （1
22、）求正整数的值； （2）在函数( )f x向右平移 12 个单位得到奇函数；函数( )f x在0， 3 上的最小 值为 1 2 ；函数( )f x的一条对称轴为 x 12 这三个条件中任选一个补充在下面的问题 中，并完成解答 已知函数( )f x满足 ，在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 若 ab，(A)(B)ff 试问： 这样的锐角ABC 是否存在， 若存在， 求角 C； 若不存在， 请说明理由 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解： （1）0 时，( )sin()f xx，N 由题意知： 又N ，故2； （2）选：关于对称 则， 又，故， ，即 或，
23、 即：或， 又 A，B 为ABC 内角，且 ab，故 因此，这样的ABC 存在，且 C 19 （本小题满分 12 分） 设函数( )()exf xax （1）求函数的单调区间； （2）若对于任意的 x0，)，不等式( )f xx2 恒成立，求 a 的取值范围 解： （1） 时，；时， 故( )f x递增区间为(，)，递减区间为(，)； （2），不等式恒成立 即，令，x0，则 ，令， 故在递增，则，即 因此在递增，所以， 所以，a2 20 （本小题满分 12 分） 在ABC 中，D 为边 BC 上一点，DC2，BAD 6 （1）若 23 ADABAC 55 ，且角 B 6 ，求 AC 的长； （
24、2）若 BD3，且角 C 3 ，求角 B 的大小 解： （1）因为 23 ADABAC 55 ，则 又 CD2，则 CB5，BD3，又BADB 6 ，故 ADBD3，且ADC 3 在ACD 中，由余弦定理：AC2AD2CD22AD CDcosADC7，故 AC； （2）设，则， 在ABD 中，由正弦定理： 在ACD 中，由正弦定理：，即 由上述两式得： 又，故，即，即 21 （本小题满分 12 分） 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 33 2Sa， 44 24Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 2 2 n n n n a b S ，设数列 n b的前 n 项和为
25、n T，求证： n T2 解： （1）设 n a的公差为 d，由题意知： 故； （2） 由 （1） 知：， 则， 故 22 （本小题满分 12 分） 设函数( )esin1 x f xax （1）当x( 2 ， 2 )时，( )0fx，求实数 a 的取值范围； （2）求证：存在正实数 a，使得( )0 xf x 总成立 解： （1）， 即，令，则 时，时， 故在递减，在递增 因此， 所以，； （2）取，则， 令，则在 R 上递增 又，故 x0 时，即；x0 时，即 x0 时， 令， x0， 故在递增，因此 所以，x0 时，即( )0 xf x ； 时，即( )0 xf x ； 时，由（1）知：，则在递增 因此，即( )0 xf x ； 因此， 1 2 a 时，( )0 xf x 总成立，即题意得证
