1、高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 4 恒成立问题恒成立问题 例 1：设函数， （1）解方程； （2）若是上的奇函数，且对任意 实数恒成立，求实数的取值范围 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）根据题意，原方程可转化为， 即，解得， 经验证，是原方程的解 （2）因为是上的奇函数，所以， 故，则，且在上单调递增 由，得， 又是上的奇函数，所以， 又在上单调递增，所以， 故对任意的都成立，即对任意的都成立， 因为（当且仅当时取等号） ，所以， 故实数的取值范围是 例 2：已知函数，如果当时，不等式恒成立，求实数 的取值范围 ( )3x
2、g x ( )9xh x 33 ()log 2 ( )8l(og9( )xg xh x (1) ( ) ( ) g xa f x g xb R( ( )( )120f h xfk g x xk 2x(,2) 32 389)9( xxx 39 x 2x 2x 1 (1)3 ( ) ( )3 x x g xaa f x g xbb R()( )fxf x 3a1b 2 ( )3(1) 31 x f x ( )f xR ( ( )( )120f h xfk g x( ( )( )12f h xfk g x ( )f xR( ( )( )12f h xf k g x ( )f xR( )( )12h
3、xk g x 2 3132 xx k xR 1 3 3 x x k xR 11 32 32 33 xx xx 1 3 3 x x 2k k(,2) 1ln x f x x 1x 1 k f x x k 1、利用最值分析 2、分离参数求解 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 【答案】 【解析】， 即只需要即可， 设， ， 令(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析） ， ，在单调递增， ，在单调递增， 当时， 实数的取值范围是 例 3： 已知不等式在上恒成立， 则实数的取值范围是 【答案】 【解析】先作出的图象， (,2 1x
4、1 1 ln1 ln 1 xxxk k xxx min 1 1lnxx k x 1 1lnxx g x x 22 1 1 ln1 1 ln ln xxxxx xx gx xx lnh xxx 11 1 x h x xx 1x 0h x h x1,+ ) 110h xh 0g x g x1,+ ) 1x min 12g xg 2k k(,2 2 1logaxx 1,2x a (1,2 2 1yx 3、数形结合 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 观察图象可得：若要使不等式成立，则的图象应在的上方， 应为单增的对数函数，即， 另一方面，观察图
5、象可得：若要保证在时不等式成立， 只需保证在时，即可，代入可得， 综上可得： 一、选择题 1 已知不等式对任意的恒成立， 则整数的最小值为 （ ） A B C D 【答案】A 【解析】令，则， 令，则在上， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 又， logayx 2 1yx logayx1a 1,2x 2x 2 1logaxx2x 1log 22 a a 12a sincosxxxa0,xa 2101 ( )sincosf xxxx( )sincossincosfxxxxxxx ( )0fx0, 2 x (0,) 2 x( )0fx( )f x (,) 2 x( )0fx( )f x (0)1
6、f ( ) 22 f()1f 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 所以当时，取得最大值，即， 所以，即整数的最小值是，故选 A 2已知，不等式在上恒成 立，则的取值范围是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】作出的图象可知为减函数，等价于 在恒成立，即，解得 3若不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】恒成立不等式变形为， 即的图象在图象的上方，先作出的图象， 对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关 通过观察图象，可得只需，解得 4已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于 2
7、 x ( )f x max ( )( ) 22 f xf 2 a a2 2 2 43,0 23,0 xxx f x xxx 2f xafax,1a a a , 2 (1,)(0,2)(,0) f x f x2f xafax 2xaax ,1xa a max 221axa2a 21xxc xRc (1,) 1 ( ,) 2 (0,1) 1 (,1) 2 21xcx 2yxc1yx 1yx 2yxcyx c 21c 1 2 c ( )f x( )g xR( )( ) x f xg xe 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 的不等式在上恒成立，
8、则实数的取值范围是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】依题意知， ，关于的不等式在区间上恒成立， 等价于在区间上恒成立， 等价于 令， ， 故实数的取值范围是 5 设正数， 对任意， 不等式 恒成立，则正数的取值范围是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】由，可得， ，可得在单调递增，在单调递减， 故， 若原不等式恒成立，只需， x 2 2 ( )0( )f xagx(0,ln2)a 40 (,) 9 40 ,) 9 40 (, 9 40 (,0) 9 ( )( )()() x fxgxf xg xe 1 ( )() 2 xx f xee 1 ( )() 2 xx g xeex
9、2 2 ( )0( )f xagx(0,ln2) 22 2 ( )4() ( )() xx xx f xee a gxee (0,ln2) min 2 4() (0,ln2) () xx xx ee ax ee xx tee (0,ln2)x 3 (0, ) 2 t 2 2224 4()441446440 44 ()9819 xx xx eet eettt 40 9 a a 40 (, 9 22 1e x f x x 2 x e x g x e 12 ,0,x x 12 1 g xf x kk k (0,1)1,) ,)e 1, ) e 12 1 g xf x kk 2 1 1 kf x g
10、x k 2 1 max 1 kf x g x k 2 1 x g xex e g x0,11, max 1g xge 2 1 kf x e k 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 再进行一次参变分离，则只需， ， ，解得 二、填空题 6 若不等式对任意的，恒成立， 则 的取值范围是 【答案】 【解析】设，则， 则原不等式可化为， 则由上式对任意的恒成立，得对任意的恒成立 若，不等式显然成立； 若，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，则，即， 综上所述，的取值范围是 7已知函数，对任意的，都有，则最大的正整 数为 【答案】 2 2 1
11、1 kf xk eef x kk 2 min 1k ef x k 22 22 111 22 e x f xe xe xe xxx 2 min 2f xe 1 2 k ee k 1k 22 (ln )2(1)ln40mxyxm 3 ,xe e1,3ym 4 (, ) 5 lnxs 3 ,xe e1,3s 22 (ln )2(1)ln40mxyxm 2 4 ()2(1)m sy s 1,3y 4 ()4m s s 1,3s 0m 0m 4 ( )f ss s 1,2(2,3 4( )5f s 54m 4 0 5 m m 4 (, ) 5 | )( x exf) 1(, 1 mmxexxf )2(
12、m 4 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 【解析】，即， 作出函数和的图象， 可知， 即的最大整数值为 8 已知， 若不等式对任意恒 成立，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】令，可得， ， 由可得，当时， 即，在上单调递增， ，即，解得， 结合，可得 三、解答题 9设，当时，恒成立，求的取值范围 【答案】 exxf )2( 2x eex 2x g xe h xex 11ghe 2 444gehe 3 555gehe5m m4 22 lnf xaxxax(0)a 32ef xe1,xe a 1e 1x 11feae 2 2 2 xax
13、aa fxxa xx 1ae 1,xe 0 xa20 xa 2 0 xaxa x 0fx f x1,e 32f ee 22 32aeaee21eae 1ae 1ae 2 22f xxmx1,x f xm m 3,1m 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 【解析】恒成立不等式为，只需， 令，则对称轴为 当时，在单调递增， ，即； 当时，在单调递减，在单调递增， ，即， 综上， 10已知函数， （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值 范围 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 （1）当时， 易得当
14、时，；当时， 函数在上单调递增，在上单调递减 （2）恒成立，只需， 由，得， 令，解得， 在单调递减，在单调递增， ， ，都有恒成立， 2 220 xmxm 2 min 220 xmxm 2 22g xxmxm xm 1m g x1, min 11 220g xgmm 3m3, 1m 1m g x1,m,m 22 min 220g xg mmmm 21m 1,1m 3,1m 2 21ln ,f xaxaxx aR 1 x g xex 0a( )f x 12 0,xxR 12 f xg xa 1,0a 0a ln f xxx 11 1 x fx xx 01x 0 fx1x 0 fx ( )f x
15、(0,1)(1,) 12 f xg x 1 min f xg x 1 x g xex 1 x g xe 0 g x0 x g x,00, min 00g xg 1 0, x 2 111 21ln0axaxx 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 即只需 ， 当时，令， 则，与矛盾， 当时，解得， 在单调递增，在单调递减， ， ，解得， 综上所述： 11已知函数，其中 （1）讨论函数的单调性； （2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 （1）， 当时，可得恒成立，在单调递增； 当时，令，可
16、解得或， 在，单调递增；在，单调递减 （2）若在上恒成立，则只需， max0f x 2 22112111 221 axaxaxx fxaxa xxx 0a 21a x a 21211 lnln 20 aa f aaa 0f x 0a 210ax 0 fx1x f x0,11, max 1211 f xfaaa 10 a1a 1,0a ( ) a f xxb x , a bR ( )yf x 2 , 2 1 a10)(xf 1 , 4 1 b 7 (, 4 2 22 1 axa fx xx 0a 0 fx f x ,0 , 0, 0a 0 fxxaxa f x (,) a(,)a(,0) a(0
17、,)a 10)(xf 1 , 4 1 max ( )10f x 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 由（1）可知在的边界处取得最大值， ，即对任意的恒成立， ，可得， 综上，的取值范围为 12设，其中，函数在点 处的切线方程为 其中 （1）求证：函数有且仅有一个零点； （2）当时，恒成立，求最小的整数的值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 【解析】 （1），所以， 当时，即，解得， ，函数在上单调减， 由于， 则函数有且仅有一个零点 （2）一方面，当时，由此； f x 1 , 4 1 1 10 4 110 f f 39 4 4 9 b
18、a ba 2 , 2 1 a min min 39 (4 ) 4 (9) ba ba 7 4 b b 7 (, 4 ( )ln x a f xbx e , a bR( )f x(1,(1)f 12 (1)1yx ee 2.7182e ( )f x 0,x( ) k f x ex k 2 ( ) x ab fx ex 1 (1)(1) a fb ee 1x 1 y e 1 (1) a f ee 1ab 11 ( )0 x fx ex ( )f x(0,)x 1 (1)0f e 1 ( )10 e f e e ( )f x 1x 1 (1) k f ee 2k 高中数学探究 562298495 高
19、考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 当时，下证：，在时恒成立， ， 记函数，在上单调递增，在上单调递减， ； 记函数，在上单调递减， 在上单调递增， ，即， ，成立， 又因为和不能同时在同一处取到最大值， 所以当时，恒成立，所以最小整数 2k 2 ( )f x ex (0,)x 21 ( )ln x f xx exe 22 ln x x xx exee ( ) x x g x e 1 ( ) x x g x e ( )g x(0,1)(1,+ ) 1 ( )(1)g xg e ( )lnh xxx( )1 lnh xx ( )h x 1 (0, ) e 1 ( ,+ ) e 11 ( )( )h xh ee 1 ( )h x e ln( ) x x xxg x e 112 ( )h x eee ( )g x( )h x (0,)x 2 ( )f x ex 2k
