1、高三数学试题 第 1 页 共 6 页 秘密秘密启用前启用前 2020 届高三届高三期末考试期末考试 数学数学试题试题 20201 本试卷分第卷和第 II 卷两部分满分 150 分考试用时 120 分钟考试结束后，将 本试卷和答题卡一并交回 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡 上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、一、单项单项选择题：本大题共选择题：本大题共
2、8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1已知集合Axx | 11，则N A A1 B0,1 C 1 D0, 1 2已知i是虚数单位，Raa1 (1)i0()，复数za2i，则 z | 1 A 5 1 B5 C 5 5 D5 3已知yf x( )是R上的奇函数，当x0时，f x x ( )2，则当x0时，f x( ) A x 2 B x 2 C x 2 D x 2 4已知Ra，则“a01”是“R x， axax210 2 ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件
3、 D既不充分也不必要条件 5已知向量a (1，1)，b ( 1，3)，c (2，1)，且abc() ，则 A3 B3 C 7 1 D 7 1 6将曲线yf xx( )cos2上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲 线向右平移 4 个单位长度，得到曲线yxcos2，则f 6 ( ) A1 B1 C3 D 3 高三数学试题 第 2 页 共 6 页 C1 M N A1 B1 D1 C D A B P 7已知 ln , 1, ( ) (2), 1. xx f x fxk x 若函数( ) 1yf x恰有一个零点，则实数k的取值范 围是 A(1，) B1，) C(，1) D(，1
4、8已知直线 1 l：0()kxykR与直线 2 l：220 xkyk相交于点A，点B是圆 22 (2)(3)2xy上的动点，则|AB的最大值为 A3 2 B5 2 C52 2 D32 2 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9某特长班有男生和女生各 10 人，统计他们的身高，其数据(单位：cm)如下面的茎叶图 所示，则下列结论正确的是
5、A女生身高的极差为 12 B男生身高的均值较大 C女生身高的中位数为165 D男生身高的方差较小 10在平面直角坐标系xOy中， 抛物线C： 2 2(0)ypx p的焦点为F，准线为l设l与 x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上 的射影为E，EPF的外角平分线交x轴于点Q， 过Q作 QMPF于M，过Q作QNPE交线段EP的延长线 于点N，则 A| |PEPF B| |PFQF C| |PNMF D| |PNKF 11在正方体 1111 ABCDABC D中，N为底面ABCD的中心， P为线段 11 AD上的动点（不包括两个端点），M为线段 AP的中点，则 ACM与PN是异面直线
6、BCMPN C平面PAN 平面 11 BDD B D过, ,P A C三点的正方体的截面一定是等腰梯形 男生 女生 7 8 16 1 3 4 5 5 7 3 5 6 7 9 17 1 1 2 3 2 3 18 2 19 高三数学试题 第 3 页 共 6 页 12 如图所示， 一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km， 从P点沿海岸正东12km 处有一个城镇假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度为5km/h， 时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海 岸处距P点的距离设 2 4uxx ， 2 4vxx ，则 A函数( )vf u为减函数
7、B15432tuv C当1.5x 时，此人从小岛到城镇 花费的时间最少 D当4x 时，此人从小岛到城镇 花费的时间不超过3h 三三、填空题：本题共、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的数学百草园 、 好玩的数学 、 故 事中的数学等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱下面我们一起来看好 玩的数学中谈老的一篇文章五分钟内挑出埃及分数 ：文章首先告诉我们，古埃 及人喜欢使用分子为1的分数(称为埃及分数)如用两个埃及分数 1 3 与 1 15 的和表示 2 5 等从 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， 1 10
8、0 ， 1 101 这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们 的和为1，这三个分数是 （按照从大到小的顺序排列） 14在平面直角坐标系xOy中，角的顶点是O，始边是x轴的非负半轴，02， 点 (1tan 12 P， 1tan) 12 是终边上一点，则的值是 15已知F为双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点，过F作C的渐近线的垂线 FD，D为垂足，且 3 | ( 2 FDOFO为坐标原点)，则C的离心率为 16如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PCBC， ABBC，22ABBC，5PC ， 则PA与平面ABC所成角的大小为 ； 三棱锥PABC外接球的表面积是 (
9、本题第一空2分，第二空3分) x12x 12km 2km 1 d P 城镇 小岛 B C A P 高三数学试题 第 4 页 共 6 页 四四、解答题：本题、解答题：本题共共 6 小题，共小题，共 70 分分解答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 在3( cos)sinbCacB；22 cosacbC；sin3 sin 2 AC bAa 这三个 条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题 在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且满足_， 2 3b ，4ac，求ABC的面积 注注：如果选择
10、多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （本小题满分 12 分） 已知等比数列 n a满足 1 a， 2 a， 31 aa成等差数列，且 1 34 a aa；等差数列 n b的 前n项和 2 (1)log 2 n n na S 求： （1） n a， n b； （2）数列 n n a b的前n项和 n T 高三数学试题 第 5 页 共 6 页 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，2 3AD ，3AB ，3AP ，ADBC， AD 平面PAB，90APB，点E满足 21 33 PEPAPB. （1）证明：PEDC； （2）求二面角APDE的余弦值. 20 （本小题满分
11、12 分） 2017 年 11 月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的 目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中某投资公司准备在 2018 年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中 项目一：项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的 实物见证 现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天 坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为 (01)pp，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0 项目二：项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自
12、然山水景 区据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏 损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和1p （1）若投资项目一，记 1 X为盈利的天坑院的个数，求 1 ()E X（用p表示） ； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为 2 X百万元，求 2 ()E X（用p表示） ； （3）在（1） （2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项 目，并说明理由 E C D A BP 高三数学试题 第 6 页 共 6 页 21 （本小题满分 12 分） 设中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C过点 1 ( 3,) 2 A，F为C的右焦点，F的
13、 方程为 22 11 2 30 4 xyx （1）求C的方程； （2）若直线:(3)l yk x(0)k 与O相切，与F交于M、N两点，与C交 于P、Q两点， 其中M、P在第一象限， 记O的面积为( )S k， 求( | | ) ()N QM PSk 取最大值时，直线l的方程 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )ln(2)f xxa(0 x ，0)a ， 曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线在y轴 上的截距为 2 ln3 3 （1）求a； （2）讨论函数( )( )2g xf xx (0)x 和 2 ( )( ) 21 x h xf x x (0)x 的单调性； （3）设
14、1 2 5 a ， 1 () nn af a ，求证： 1 521 20 2 n n n a （n2） 高三数学答案 第 1 页 共 10 页 2020 届高三期末考试届高三期末考试 数学试题参考答案及评分标准数学试题参考答案及评分标准 20201 一、一、 单项选择题：本大题共单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 14：BCDA 58：CDBC 二、二、 多项选择题：本大题共多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9AB 10ABD 11BCD 12AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小
15、题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 1 2 ， 1 3 ， 1 6 14 6 152 1645，6 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17在横在横线上填写线上填写“3( cos)sinbCacB” 解：解：由正弦定理，得3(sincossin )sinsinBCACB 2 分 由sinsin()sincoscossinABCBCBC，得3cossinsinsinBCCB 由0C，得sin0C 所以3cossinBB 4 分 又cos0B （若cos0B ，则sin0B ， 22 sincos0BB这与 22 sincos1BB 矛盾） ，
16、所以tan3B 又0B，得 2 3 B 6 分 由余弦定理及2 3b ，得 222 2 (2 3)2cos 3 acac， 8 分 即 2 12()acac将4ac 代入，解得4ac 9 分 所以 113 sin43 222 ABC SacB 10 分 在横线上填写在横线上填写“22 cosacbC” 解：解：由22 cosacbC及正弦定理，得 2sinsin2sincosACBC 2 分 又sinsin()sincoscossinABCBCBC， 所以有2cossinsin0BCC 4 分 因为(0,)C，所以sin0C 从而有 1 cos 2 B 又(0,)B，所以 2 3 B 6 分
17、由余弦定理及2 3b ，得 222 2 (2 3)2cos 3 acac， 8 分 即 2 12()acac将4ac 代入，解得4ac 9 分 高三数学答案 第 2 页 共 10 页 所以 113 sin43 222 ABC SacB 10 分 在横线上填写在横线上填写“sin3 sin 2 AC bAa ” 解：解：由正弦定理，得 sinsin3sinsin 2 B BAA 2 分 由0A，得sin0A，所以sin3cos 2 B B 4 分 由二倍角公式，得2sincos3cos 222 BBB 由 0 22 B ，得cos0 2 B ，所以 3 sin 22 B 所以 23 B ，即 2
18、 3 B 6 分 由余弦定理及2 3b ，得 222 2 (2 3)2cos 3 acac， 8 分 即 2 12()acac将4ac 代入，解得4ac 9 分 所以 113 sin43 222 ABC SacB 10 分 18解： （1）设 n a的公比为q 因为 1 a， 2 a， 31 aa成等差数列， 所以 2131 2()aaaa，即 23 2aa因为 2 0a ，所以 3 2 2 a q a 2 分 因为 1 34 a aa，所以 4 1 3 2 a aq a 3 分 因此 1 1 2 nn n aa q 4 分 由题意， 2 (1)log(1) 22 n n nann S 所以
19、11 1bS， 5 分 122 3bbS，从而 2 2b 所以 n b的公差 21 2 1 1dbb 所以 1 (1)1 (1) 1 n bbndnn 6 分 高三数学答案 第 3 页 共 10 页 （2）令 nn n ca b，则2n n cn 因此 n T 12n ccc 1231 1 22 23 2(1) 22 nn nn 又 2341 21 22 23 2(1) 22 nn n Tnn ， 8 分 两式相减得 231 22222 nn n Tn 1 222 2 12 n n n 10 分 11 222 nn n 1 (1) 22 n n 所以 1 (1) 22 n n Tn 12 分
20、19 （1）证明：在RtPAB中，由勾股定理，得 2222 3( 3)6PBABAP 1 分 因为 21 33 PEPAPB，AB PBPA ， 所以 21 () () 33 PE ABPAPBPBPA 22211 + 333 PAPBPA PB 22 211 ( 3) +( 6)00 333 所以PE AB ，所以PEAB 3 分 因为AD 平面PAB，PE 平面PAB，所以PEAD. 4 分 又因为PEAB，ABADA，所以PE 平面ABCD. 5 分 又因为DC 平面ABCD，所以PEDC. 6 分 （2）解法一：解法一：由 21 33 PEPAPB，得2EBAE 所以点E是靠近点A的线
21、段AB的三等分点所以 1 1 3 AEAB 分别以AB，AD所在方向为y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系Axyz，则(0,0,0)A，(0,0,2 3)D，(0,1,0)E，( 2,1,0)P 8 分 E C D A BP 高三数学答案 第 4 页 共 10 页 设平面PDE的法向量为 111 ( ,)x y zm， ( 2,0,0)EP ，(0, 1,2 3)ED . 由 0, 0, EP ED m m 得 1 11 20, 2 30. x yz 令 1 1z ，则(0,2 3,1)m. 9 分 设平面APD的法向量为 222 (,)xy zn，( 2,1,0)AP ，(0,
22、0,2 3)AD . 由 0, 0, AP AD n n 得 22 2 20, 2 30. xy z 令 2 1x ，则(1,2,0)n. 10 分 设向量m与n的夹角为， 则 2222 2 62 26 cos | |13 (2 3)11(2) m n mn . 所以二面角APDE的余弦值为 2 26 13 . 12 分 解法二：解法二：由 21 33 PEPAPB，得2EBAE 所以点E是靠近点A的线段AB的三等分点所以 1 1 3 AEAB 过E作EMAP，垂足为M，过M作MQPD，垂足为Q. 7 分 因为AD 平面PAB，EM 平面PAB，所以EMAD. 又APADA，所以EM 平面PA
23、D. 因为PD平面PAD，所以EMPD. 因为MQPD，MQEMM， 所以PD平面EQM. 因为EQ平面EQM，所以EQPD. 所以EQM就是二面角APDE的一个平面角. 9 分 在RtAEM中，1AE ， 1 cos 3 MAE，所以 1 cos 3 MAAEMAE. 在RtPMQ中， 12 3 33 PMPAMA，sinsinQPMDPA z y x E C B A D P M Q E C B A D P 高三数学答案 第 5 页 共 10 页 2 32 155 AD PD ，所以 224 sin 3515 QMPMQPM. 在RtEQM中， 4 15 QM ， 2 3 ME ， 22 4
24、226 () +() = 31515 QE ， 所以 4 2 26 15 cos= 1326 15 QM EQM QE . 所以二面角APDE的余弦值为 2 26 13 . 12 分 20 （1）解：由题意， 1 X(20, )Bp 1 分 则盈利的天坑院数的均值 1 ()20E Xp 2 分 （2）若投资项目二若投资项目二，则 2 X的分布列为 2 X 2 1.2 P p 1p 4 分 盈利的均值 2 ()21.2(1)3.21.2E Xppp 6 分 （3）若盈利，则每个天坑院盈利0.2 40%0.08 (百万元)， 所以投资建设 20 个天坑院，盈利的均值为 11 (0.08)0.08
25、()0.08 201.6EXE Xpp (百万元) 7 分 22 11 (0.08)0.08()0.0820 (1)0.128 (1)DXD Xpppp 8 分 22 2 ()(23.21.2)( 1.23.21.2) (1)10.24 (1)D Xpppppp 9 分 当 12 (0.08)()EXE X时，1.63.21.2pp，解得 3 4 p 而 12 (0.08)()DXD X故选择项目一 10 分 当 12 (0.08)()EXE X时，1.63.21.2pp，解得 3 0 4 p 高三数学答案 第 6 页 共 10 页 此时选择项目一 11 分 当 12 (0.08)()EXE
26、X时，1.63.21.2pp，解得 3 4 p 此时选择项目二 12 分 备注：备注：在 1 (0.08)EX， 1 (0.08)DX， 2 ()D X计算正确的前提下，若考虑投资风险，仅用 12 (0.08)()DXD X，确定选择项目一同样给分！同样给分！ 21 （本小题满分 12 分） （1）解：设C的方程为 22 22 1 xy ab (0)ab 由题设知 22 31 1 4ab 2 分 因为F的标准方程为 22 1 (3) 4 xy， 所以F的坐标为( 3,0)，半径 1 2 r 设左焦点为 1 F，则 1 F的坐标为(3,0) 由椭圆定义，可得 1 2|aAFAF 2222 11
27、3(3)(0)( 33)(0) 22 4 由解得2a ，1b 所以C的方程为 2 2 1 4 x y 4 分 （2）由题设可知，M在C外，N在C内，P在F内，Q在F外，在直线l上的四 点满足| |MPMNNP，| |NQPQNP 由 2 2 1 4 (3) x y yk x 消去y得 2222 (14)8 31240kxk xk 5 分 因为直线l过椭圆C内的右焦点F，所以该方程的判别式0 恒成立 设 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy 由韦达定理，得 x y O 1 FF M N P Q 高三数学答案 第 7 页 共 10 页 2 12 2 8 3 14 k xx k ， 2
28、1 2 2 124 14 k x x k 22 121 2 |(1)()4PQkxxx x 2 2 44 41 k k 7 分 又因为F的直径| 1MN ， 所以| | (| |) | | 1NQMPPQNPMNNPPQMNPQ 2 3 41k 9 分 (3)yk x可化为30kxyk 因为l与O相切，所以O的半径 2 3 1 k R k ，所以 2 2 2 3 ( ) 1 k S kR k 10 分 所以(|)( )NQMPS k 2 22 9 (41)(1) k kk 2 42 9 451 k kk 2 2 9 1 45k k 2 2 9 1 2 45k k ， 当且仅当 2 2 1 4k
29、 k ，即 2 2 k 时等号成立 因此，直线l的方程为 2 (3) 2 yx 12 分 22解： （解： （1）对( )ln(2)f xxa求导，得 2 ( ) 2 fx xa 因此 2 (1) 2 f a 又因为(1)ln(2)fa， 所以曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为 2 ln(2)(1) 2 yax a ，即 x y O 1 FF M N P Q 高三数学答案 第 8 页 共 10 页 22 ln(2) 22 yxa aa 2 分 由题意， 22 ln(2)ln3 23 a a 显然1a 适合上式 3 分 令 2 ( )ln(2) 2 aa a (0)a ，求导得
30、2 12 ( )0 2(2) a aa ， 因此( )a为增函数故1a 是唯一解 4 分 （2）由（1）可知，( )ln(21)2g xxx(0)x ， 2 ( )ln(21) 21 x h xx x (0)x 因为 24 ( )20 2121 x g x xx ， 所以( )( )2g xf xx (0)x 为减函数 5 分 因为 22 224 ( )0 21(21)(21) x h x xxx ， 所以 2 ( )( ) 12 x h xf x x (0)x 为增函数 6 分 （3）证明：由 1 2 5 a ， 1 ()ln(21) nnn af aa ，易得0. n a 1 521 2
31、2 n n n a 2 5 n n a 由（2）可知，( )( )2ln(21)2g xf xxxx在(0,)上为减函数 因此，当0 x 时，( )(0)0g xg，即( )2f xx 令 1( 2) n xan ，得 11 ()2 nn f aa ，即 1 2 nn aa 因此，当n2时， 21 121 2 222 5 n n nnn aaaa 所以 1 521 2 2 n n n a 成立 8 分 下面证明： 1 20 n a 方法一：方法一：由（2）可知， 22 ( )( )ln(21) 2121 xx h xf xx xx 在(0,)上为增函数 高三数学答案 第 9 页 共 10 页
32、因此，当0 x 时，( )(0)0h xh，即 2 ( )0 21 x f x x 因此 11 1 ( )2f xx ，即 11 1 2(2) ( )2f xx 9 分 令 1( 2) n xan ，得 11 111 2(2) ()2 nn f aa ，即 1 111 2(2) 2 nn aa 当2n 时， 2 11 22 n aa 1 11 22 2 () ( ) 5 f a f 1 2 ln1.8 因为 1 ln1.8ln 3ln e 2 ，所以 1 20 ln1.8 ，所以 2 1 20 a 10 分 所以，当n3时， 1 111 2(2) 2 nn aa 2 2 11 (2) 2 n
33、a 2 2 11 (2)0 2na 所以，当n2时， 1 20 n a 成立 综上所述，当n2时， 1 521 20 2 n n n a 成立 12 分 方法二：方法二：2n时，因为0 n a ，所以 111 202 2 n nn a aa 下面用数学归纳法证明：2n时， 1 2 n a 当2n 时， 211 2 ()ln(21)ln(21)ln1.8 5 af aa 而 2 2 1 ln1.8ln1.8ln21.821.823.242 2 a ， 因为3.242，所以 2 1 2 a 可见2n 时，不等式成立 10 分 假设当(2)nk k时不等式成立，即 1 2 k a 当1nk时， 1 ()ln(21) nkkk aaf aa 高三数学答案 第 10 页 共 10 页 因为 1 2 k a ，( )ln(21)f xx是增函数，所以 1 1 ln(21)ln(21)ln2 2 kk aa 要证 1 1 2 k a ，只需证明 1 ln2 2 而 22 1 ln2ln2ln2222( 2)42 2 ， 因为42，所以 1 ln2 2 所以 1 1 2 k a 可见，1nk时不等式成立 由可知，当2n时， 1 2 n a 成立 12 分
