1、1 平面向量的实际背景及基本概念教学设计平面向量的实际背景及基本概念教学设计 一、教材内容分析一、教材内容分析 向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它是沟通代数、几何、三角的桥梁,对更新和完善中学 数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，它的概念从大量的生活 实例和丰富的物理素材中抽象出来，经过研究，建立起完整的知识体系后，向量又作为数学模型，广泛地 运用于解决数学、物理学科及生活实际问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启 后的作用。 本节课是人教 A 版高中数学必修 4 第二章第一节，是平面向量的起始课，具有“统领全局”的作用。 本节
2、课是概念课，但重要的不仅仅是向量的形式化定义及几个相关概念，还要让学生去体会如何用数学的 观点刻画和研究现实事物，获得认识和研究数学新对象的基本思路和方法，进而提高提出问题、分析问题、 解决问题的能力。 二、二、教学目标设置教学目标设置 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； 2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、 相等向量、共线向量的关系 3.经历平面向量及其相关概念的形成过程，初步体会学习新概念的基本思路，同时学生的观察、联系、 类比、抽象、概括、归纳、实践等方面的能力都能得到一定程度培养和提高。 三、学生学情分析三
3、、学生学情分析 从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位 长度、0 和 1 的特殊性。还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容 的学习中（必修 4 任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节 课的学习提供了知识准备。 从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的抽象概括的能力，因此，可以尝试让学生从实际背 景中抽象并概括出向量的概念。 学生在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难以适应；向量的几何表示 是向量概念的形象化（几何化），它是学生认识过程中的又一次飞
4、跃，后继的向量运算，以及用向量方法 解决几何问题，都是以此为基础。 学生的易错点是，在解决向量问题时，不能从向量的两个要素全面考虑， 顾此失彼。 2 四、教学策略分析四、教学策略分析 本节课的难点是平面向量的概念，共线向量的概念，向量的几何表示的生成过程，突破策略主要是： 1.创设问题情境，让学生从初步感悟生活中既有大小，又有方向的量开始，逐步增加信息，以期达到 上升到理性认识所需的信息量； 2.学生通过物理背景的迁移，从同类事物中抽象概括得到向量的概念； 3.引导类比思考，让学生从特殊向量（力）的有向线段表示推广到一般向量的几何表示，用直观的有 向线段表示抽象的向量。 4.将教材上的例题设计
5、成探究活动，让学生经历从直观形象具体抽象再具体的反复过程，引导 学生有序地定义特殊向量，研究特殊的关系，这样做给了学生参与概括概念本质特征的机会，亲身经历了 概念的形成过程，在过程中感受学习新概念、解决新问题的方法 五、教学重点及难点五、教学重点及难点 1.重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示； 2.难点：向量的概念和共线向量的概念，向量的几何表示的生成过程。 六、教学方法与教学手段六、教学方法与教学手段 问题引导教学法，启发式教学，小组合作探究学习。 七、教学过程七、教学过程 1.创设情境创设情境 【引入】【引入】 观看战狼 2的片段，对学生进行爱国主义教育，同时设问：导弹能够精
6、准击中目标，需 要哪些信息呢？ 设计意图设计意图 通过学生熟悉的电影对学生进行爱国主义教育，同时引发学生思考得出位移这个既有大小, 又有方向的量。 【问题】【问题】 你能否再举出一些既有大小，又有方向的量？ 设计意图设计意图 激活学生的已有相关经验，从物理背景迁移到数学概念中来，得出向量的定义。 2.2.向量的定义向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量（辨析概念，引导学生得出关键词） 向量的两要素向量的两要素：大小（模）、方向.（定义向量的模） 例题辨析：例题辨析：请结合向量定义判断以下说法是否正确？ 1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量. 2.坐标平面上的轴和轴都是向量. xy 3 设计
7、意图设计意图 让学生体会向量的两要素缺一不可。 3.3.向量的表示向量的表示 【探究活动探究活动 1 1】认识概念之后，为了进一步研究的方便，通常要表示它。 请同学们按下列要求画出力的图示，并想想如何形象地表示向量。 设计意图设计意图 用“带箭头的线段”表示力，是初中物理已学习过的内容，是学生的“最近发展区”，将 这一内容再次进行条理化、 系统化， 是强化、 固化新知的 “停泊点”，让旧知自然地“生长”出新知。 向量的几何表示：向量的几何表示：用有向线段表示； 向量的字母表示：向量的字母表示：用字母、（黑体，印刷用）等表示，书写用，等；或用有向线段的起点与 a b 终点字母：等； AB 向量的
8、模：向量的模： aAB, 4.4.两个特殊的向量两个特殊的向量 【探究活动探究活动 2 2】现在我们会表示向量了，就可以更直观地去研究它，自然可以想到从特殊入手，下面我 们来观察一个变化。（利用 PPT 展示向量模的变化） （向量的模变化到 1 时） （向量的模变化到 0 时） 【问题】【问题】（1）你能给它取一个名字吗？（2）零向量的方向呢？ 设计意图设计意图 通过动态的演示观察到向量的模为 1 和模为 0 两种特殊情况，快速地得出单位向量和零向 量的定义。 单位向量：单位向量：长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量。 零向量：零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作。（的方向是任意的）
9、 0 0 4N 的重力4N 的重力N 的浮力N 的浮力 4 5.5.向量的特殊关系向量的特殊关系 【探究活动探究活动 3 3】刚才我们了解了向量大小上的特殊情况，下面我们从方向上来探究向量间的特殊关系； 请看如下问题： 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， （1）请给图中的部分线段加上箭头表示向量，并写出你所表示的向量； （2）你能发现这些向量有哪些关系？ （学生自主添加箭头构造向量，同桌之间交流探究向量的特殊关系，教师巡视选择合适的结果展示，然 后引导学生概括归纳出平行向量、相等向量） 设计意图设计意图 巩固向量的表示；该探究将平行向量、相等向量、共线向量的概念的形成过程串在了
10、一起，并让学生参与这些概念的形成过程，使得概念成为在教师引导下，学生观察、归纳、概括之后的自 然产物。 平行向量定义：平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量；若向量，平行，记作 a b a b 我们规定与任一向量平行，即都有. 0 0 a 例题辨析：例题辨析：若，则。 a b b c a c 设计意图设计意图 体会向量平行与直线平行的区别，强化特殊向量“零向量”与任一向量平行的性质。 相等向量定义：相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作=； a b 例题辨析：例题辨析：若=，则。 a b a b 设计意图设计意图 掌握相等向量和平行向量的关系。 【问题】【问题】1
11、向量平移后发生变化了吗？（PPT 动态演示） 2既然向量平移后不变，那么把三个平行向量都平移到同一起点 O 处，那么他们的终点的位 置有何特征呢？（课件展示） 设计意图设计意图 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关； 通过问 2 学生总结出共线向量与平行向量关系。 共线向量与平行向量关系共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量 5 6.6.例题巩固例题巩固 例：根据下列小题的条件，分别判断四边形 ABCD 的形状： （1）； BCAD （2）且. DCAB ADAB （1） （2） 设计意图设计意图 巩固平行向量和相等向量的相关
12、概念。 7.7.课堂总结课堂总结 （1 1）【问题】）【问题】有哪位同学能够分享一下本节课我们都学习了哪些新的概念？ 设计意图设计意图 由学生总结概括本节课所学习的主要内容，教师加以提炼。并总结学习新概念的基本思路， 即： （2 2）【问题】）【问题】数有运算和运算律，那么向量是不是也应该有运算和运算律呢？ （下节课我们将探讨这一个问题。） 设计意图设计意图 让学生感受数学学习的类比思想，同时为下节课新知的学习做铺垫，激发学生继续学习向 量的欲望。 8.作业布置作业布置 1.书本 77 页习题 2.1 A 组第 2、3、5、6 题 2.思考题：平行向量与平行线段的区别与联系？ 3.阅读课本 7
13、8 页向量及向量符号的由来 设计意图设计意图 布置作业面向全体学生，旨在学习巩固向量及其相关概念；通过自学阅读材料，让学 生了解向量的历史背景及其符号的来源，从历史的角度认识向量及其符号，让学生体会高度抽象的数学概 念不是凭空出现的，激发学生的学习兴趣。 【学生质疑】【学生质疑】 给学生一点时间让学生思考一下有没有什么问题需要提出质疑的？ 设计意图设计意图 培养学生质疑探究的能力。 C AB D A B C D 从同类具体事 例中抽象出共 同本质特征 下定义 符号 表示 认识 特殊 对象 考查 特殊 关系 6 八、课堂教学目标检测八、课堂教学目标检测 1教学过程中教师设问、学生回答、辨析、例题，检测学生发现知识、理解知识的能力。 2课堂总结检测学生能否掌握本堂课学习的知识、方法、思想；以及检测学生把碎片知识整体化的能 力。 3作业布置检测学生能否应用知识解决问题，能否落实本节课的教学目标。 九、板书设计九、板书设计 2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1 平面向量的实际背景及基本概念 定义：大小、方向 几何： 表示： 符号： ， AB a 模： aAB, 单位向量 向量向量 特殊向量 零向量：（方向任意） 0 相等向量：= a b 特殊关系 平行向量： a b 共线向量：共线向量就是平行向量 a b 例题讲解、学生实作区
